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1.2.1任意角的三角函数 公开课优秀课件


y

P

? o
x

新课

导入

y

﹒?
?

P a, b ?



· x

P

新课

导入



思 考 : OP ? a 2 ? b 2 ? 1

初中的锐角三角函数
y


?
M

P ?a, b ?

PM ? sin ? ? OP
OM ? cos ? ? OP

b a ?b
2 2

?b

a a 2 ? b2

o



?a

x

PM b tan ? ? ? OM a

b ? a

以原点O为圆心,以单位 长度为半径的圆,称为单位圆. 点P就是α的终边与单位圆的交点

2.任意角的三角函数定义
设 ? 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P( x, y )

y 叫做 那么:(1)
x

? 的正弦,记作 sin ?,即 sin ? ? y ; (2)x 叫做? 的余弦,记作 cos?,即 cos ? ? x ; y y ? tan ? (3) 叫做 的正切,记作 ,即 tan ? ? ( x ? 0)
x
y

﹒ ? P ? x, y
O

· ?
P(

1 3 P( , ) 2 2

4 3 P ( ? ,? ) 5 5

· ·

A?1,0? x

所以,正弦,余弦,正切都 是以角为自变量,以单位圆上点 的坐标或坐标的比值为函数值的 函数,我们将它们称为三角函数.

9 19 ,? ) 10 10

课堂 训练 1、求下列角的三角函数值

α
sinα cosα tanα

900 1800 2700

y

P?0,1?

1

0 -1

-1

P?- 1,0?

0
不存在

0
不存在

﹒B

210 0
O

x A(1,0)

P?0,-1?

0

实例

剖析
0

例1 求3000的正弦、余弦和正切值.
解:在直角坐标系中,作?AOB ? 300 ,易知 ?AOB
1 ? 3 ( 的终边与单位圆的交点坐标为 2 , 2 )




y
300
0

所以

o



﹒B

A

x

3 4 例2:已知角α终边过点P ( 5 , 5 ,) 求α的正弦,余弦和正切值。
4 sin ? ? y ? 5
3 cos ? ? x ? 5

y

y 4 tan ? ? ? x 3

O

α

· P

3 4 ( , ) 5 5

x

例3:已知角α 终边过点P0(3,4),求α 的正弦,余弦和正切 值。

解:设角α的终边与单位圆交于P(x,y),分别过点P、P0 作x轴的垂线,垂足为M、M0,则 OP ? 1 OM ? x PM ? y

OM 0 ? 3

P0 M 0 ? 4

O P0 ? 32 ? 4 2 ? 5

?OMP ∽ ?OM 0 P0
| PM | P0 M 0 y 4 ? ? ? OP OP0 1 5

y
1 p(x,y)

· P0(3,4)
M0 x

| OM | OM 0 ? OP OP0

?

x 3 ? 1 5

O

α
4 3

·

M

sin ? ?

4 5

cos? ?

3 5

tan? ?

定义推广:
设角? 是一个任意角, P( x, y) 是终边上的任意一点, 点 P 与原点的距离 r ?

x2 ? y2 ? 0

P ( x, y )
?
O
A?1,0? x

·

y

y y 那么① 叫做 ? 的正弦,即 sin ? ? r r x x · ? ② r 叫做 的余弦,即 cos ? ? r y y ③ x 叫做? 的正弦,即 tan ? ? ?x ? 0? x

课堂

训练
,求角 的正

2、 已知角 的终边经过点 弦、余弦和正切值 .
解:由已知可得 于是,
r ? OP0 ? (?3) 2 ? (?4) 2 ? 5

y

y 4 sin ? ? ? ? ; r 5

O

x

x 3 cos? ? ? ? ; r 5

y -4 4 tan ? ? ? ? x -3 3

· P ?- 3,-4?
0

探讨

提高

2 、已知角?的终边上一点P ? ?15a,8a ? ?a ? R且a ? 0 ?, 练习1 、

求角?的sin ? ,cos ? , tan ?的值.

归纳总结
1. 内容总结: 任意角三角函数的概念以及它推广的定义。
2 .方法总结: 运用了定义法、数形结合法解题. 3 .体现的数学思想: 数形结合思想,分类讨论思想

作业:

课本第15页 练习 2、 3 课本第20页 习题1.2 A组 2

谢谢大家,再见!

探讨

提高

解:①当角α终边落在第一象限时,在角α终边上 取点P(1,2),设点P到原点距离为r,则
r ? x ? y ? 1 ?2 ? 5
2 2 2 2

练习 2、已知角α的终边落在直线y=2x上,求sinα, cosα,tanα的值。 y
y 2 tan ? ? ? ? 2 x 1

﹒P(1,2)
O

y ? 2x

y 2 2 5 sin ? ? ? ? 于是, r 5 5

x 1 5 cos ? ? ? ? r 5 5

x

②当角α终边落在第三象限时,
在角?的终边上取点? ?1, ?2?,则r ?

? ?1? ? ? ?2?
2

2

? 5

sin ? ?

?2 2 5 ?1 5 ?2 ?? , cos ? ? ?? , tan ? ? ?2 5 5 ?1 5 5


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