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2015高考数学专题复习:空间向量法求角(理科)

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2015 高考数学专题复习:空间向量法的应用 例 1.求平面的一个法向量 在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中 G , E , F 分别为 AA1 , AB, BC 的中点,求平面 GEF 和平面 FGD1 的法向量及其 二面角余弦值 z D1 C1 A1 B1 G D E F B C y 2.空间向量法应用: 1.求直线和平面所成的角 A x 已知 A, B 为直线 l 上任意两点, n 为平面 ? 的法向量,则 l 和平面 ? 所成的角 ? 为: cos ? ? a ?b a?b ? x1 x2 ? y1 y 2 ? z1 z 2 2 2 2 x12 ? y12 ? z12 ? x2 ? y2 ? z2 sin ? ? cos ? 当 ? ? ? 0, ? ? ?? ? 时? ? ? ? 2 ? 2? 当? ?? ?? ? , ? ? 时? ? ? ? ? ?2 ? 2、利用法向量求二面角的大小的原理: 设 m, n 为平面 ? , ? 的法向量,二面角 ? ? l ? ? 的大小为 ? ,向量 m, n 的夹角为 ? ,则有 ? ? ? ? ? 或 ? ? ? n2 ?ω n1 ? n1 α θ l β 图1 α θ l β n2 图2 cos? ? a ?b a?b ? x1 x2 ? y1 y 2 ? z1 z 2 2 2 2 x ? y12 ? z12 ? x2 ? y2 ? z2 2 1 说明:通过法向量的方向来求解二面角,两个法向量的方向是“一进一出”,所求的二面角的平面角就等于两法 向量的夹角,如果是“同进同出”, 所求的二面角的平面角就等于两法向量的夹角的补角 1 三. 空间向量法: 1.下图分别为三棱锥 S ? ABC 的直观图与三视图,在直观图中, SA ? SC, M、N 分别为 AB, SB 的中点. (Ⅰ)求证: AC ? SB (Ⅱ)求二面角 M ? NC ? B 的余弦值. S N 2 2 C 正 视 图 4 侧 视 图 A M B 4 4 俯视图 2.如图, PDCE 为矩形, ABCD 为梯形,平面 PDCE ? 平面 ABCD , ?BAD ? ?ADC ? 90 , 0 1 CD = a , PD = 2a . 2 (Ⅰ)若 M 为 PA 中点,求证: AC // 平面 MDE AB = AD = (Ⅱ)求平面 PAD 与 PBC 所成二面角大小 P E M D A C B 2 3.多面体 ABC ? A1 B1C1 中,ABB1 A1 是正方形,AC ? AB ? 1 ,A1C ? A1 B ? BC ,B1C1 // BC ,B1C1 ? (Ⅰ)求证: AB1 // 面 A1C1C (Ⅱ)求二面角 C ? AC 1 1 ? B 的余弦值的大小 1 BC . 2 A1 B1 C1 A B C 4.在直四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 中,底面 ABCD 为平行四边形,且 AD ? 2 , AB ? AA1 ? 3 , ?BAD ? 60 , 0 E 为 AB 的中点. (Ⅰ)证明: AC1 ∥平面 EB1C (Ⅱ)求直线 ED1 与平面 EB1C 所成角的正弦值. D1 C1 B1 C A1 D A E B 0 5.四棱锥 P ? ABCD 的底面是边长为 1 的菱形, ?BCD ? 60 ,E 是 CD 中点, PA ? ABCD , PA ?

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