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三角函数、三角恒等变换、解三角形知识梳理

时间:2015-08-19


第五部分
一、知识梳理

三角函数、三角恒等变换、解三角形

(一)基本知识梳理:见《步步高》文科 P116—P118;理科 P128—P130。 (二)要点梳理: 1.若 ? ? (0,

) ,则 sin ? ? ? ? tan ? ;角的终边越“靠近” y 轴时,角的正弦、正切的绝对值就较大,角的终 2 边“靠近” x 轴时,角的余弦、余切的绝对值就较大. [例 1]方程 sin x ? x 的解的个数为____个.
解析: 在平面直角坐标系中作出函数 y ? sin x 与 y ? x 的图像, 由函数 y ? sin x, y ? x 都是奇函数, 而当 x ? 1 时

?

x ? sin x 恒成立.在 x ? (0, ) 时,sin x ? x ,所以两函数图像只有一个交点(坐标原点) ,即方程 sin x ? x 只有 2
一个解。同样:当 x ? ( ?

?

? ?

, ) 时,方程 tgx ? x 只有唯一解 x ? 0 . 2 2

2.求某个角或比较两角的大小:通常是求该角的某个三角函数值(或比较两个角的三角函数值的大小) ,然后再 定区间、 求角 (或根据三角函数的单调性比较出两个角的大小) .比如: 由 tan? ? tan? 未必有 ? ? ? ; 由? ? ? 同样未必有 tg? ? tg? ;两个角的三角函数值相等,这两个角未必相等,如 sin ? ? sin ? ;则 ? ? 2k? ? ? ;

o s ? ?c o s ?, t n ? ?a t n ?, 或 ? ? 2k? ? ? ? ? , k ? Z ; 若c 则 ? ? 2k? ? ? , k ? Z ; 若a 则 ? ? k? ? ? , k ? Z .
[例 1]已知 ? , ? 都是第一象限的角,则“ ? ? ? ”是“ sin ? ? sin ? ”的( ) A、充分不必要条件;B、必要不充分条件;C、充要条件;D、既不充分又不必要条件. 解析: ? , ? 都是第一象限的角,不能说明此两角在同一单调区间内.如

? 13?
3 , 6

都是第一象限的角,

?
3

?

13? sin ? sin .选 D. 3 6

?

13? 但 6

[例 2]已知 ? ? 0, ? ? 0, ? ? ? ? ? ,则“ ? ? ? ”是“ sin ? ? sin ? ”的(



A、充分不必要条件;B、必要不充分条件;C、充要条件;D、既不充分又不必要条件. 解析:注意到由 ? , ? , ? ? ? ? (0, ? ) ,则 ? , ? 可以看作是一三角形的两内角.选 C. 3.已知一个角的某一三角函数值求其它三角函数值或角的大小, 一定要根据角的范围来确定; 能熟练掌握由 tan ? 的值求 sin ? , cos? 的值的操作程序;给(一个角的三角函数)值求(另一个三角函数)值的问题,一般要用“给 值”的角表示“求值”的角,再用两角和(差)的三角公式求得. [例 1]已知 6 sin ? ? sin ? cos ? ? 2 cos ? ? 0, ? ? (
2 2

?
2

, ? ) ,求 sin( 2? ?

?
3

) 的值. 1 2 或 tan ? ? ? . 又 2 3

2 2 ? ? 2 co s2 ? ? 0 得: 6 t an ? ? t an ? ? 2 ? 0 ,则 tan? ? 解析:由 6 sin ? ? sin? co s

? 2 2 tan ? 12 1 ? tan2 ? 5 ? ? ( , ? ) ,所以 tan ? ? ? .∴ sin 2? ? ? ? cos 2 ? ? ? . , 3 1 ? tan 2 ? 13 2 1 ? tan2 ? 13
∴ sin(2? ?

?
3

)?

5 3 ? 12 . 26
1

4. 欲求三角函数的周期、最值、单调区间等,应注意运用二倍角正(余)弦公式,半角公式降次 ,即:

sin 2 x ?

1 1 ? ? (1 ? cos 2 x), cos 2 x ? (1 ? cos 2 x) ;引入辅助角(特别注意 , 经常弄错)使用两角和、差的 2 2 3 6

正弦、余弦公式(合二为一) ,将所给的三角函数式化为 y ? A sin(?x ? ? ) ? B 的形式.函数 y ?| A sin(?x ? ? ) | 的周期是函数 y ? A sin(?x ? ? ) 周期的一半. 注意辅助角 ? 的应用:a sin x ? b cos x ? 在象限一致. 5.当自变量 x 的取值受限制时,求函数 y ? A sin(?x ? ? ) 的值域,应先确定 ?x ? ? 的取值范围,再利用三角函 数的图像或单调性来确定 sin(?x ? ? ) 的取值范围,并注意 A 的正负;千万不能把 x 取值范围的两端点代入表达 式求得. 6.三角形中边角运算时通常利用正弦定理、 余弦定理转化为角 (或边) 处理.有关 a, b, c 的齐次式 (等式或不等式) , 可以直接用正弦定理转化为三角式;当知道△ABC 三边 a, b, c 平方的和差关系,常联想到余弦定理解题;正弦 定理应记为

a 2 ? b 2 sin(x ? ? ) .其中 tan ? ?

b ,且角 ? 所在的象限与点 ( a, b) 所 a

a b c ? ? ? 2 R (其中 R 是△ABC 外接圆半径). sin A sin B sin C

7.在△ABC 中: a ? b ? A ? B ? sin A ? sin B ; sin(B ? C ) ? sin A , cos(B ? C ) ? ? cos A ,

cos B?

B?C A B?C A ? sin , sin ? cos 等常用的结论须记住.三角形三内角 A、B、C 成等差数列,当且仅当 2 2 2 2

?

3

.

[例 1] (1)已知△ABC 三边 a, b, c 成等差数列,求 B 的范围; (2)已知△ABC 三边 a, b, c 成等比数列,求角 B 的取值范围.

a 2 ? c 2 ? b2 解析: (1)由△ABC 的三边 a, b, c 成等差数列,则 2b ? a ? c , cos B ? ,消去 b 化得 2ac
cos B ?

? ? 3(a 2 ? c 2 ) 1 6ac 1 1 ? ? ? ? .所以 B ? (0, ] ; (2)同样可以求得 B ? (0, ] . 3 3 8ac 4 8ac 4 2
3 . 4

[例 2]△ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别为 a, b, c ,已知 a, b, c 成等比数列,且 cos B ? (1)求 cotA ? cot C 的值; (2)设 BA ? BC ?

3 ,求 a ? c 的值. 2 sin B 2 2 解析: ( 1 )先切化弦: cot A ? cot C ? . 由 a, b, c 成等比, b ? ac ? sin B ? sin A sin C ,所以 sin A sin C
cot A ? cot C ? 3 1 7 4 7 .由 cos B ? 得 sin B ? ,则 cot A ? cotC ? . sin B 4 7 4

(2)注意到 BA ? BC ? ac cos B ?

3 3 ac ? ,所以 ac ? 2 ,则 b 2 ? 2 .又由余弦定理得: 4 2

b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ,得 a 2 ? c 2 ? 5 , (a ? c) 2 ? a 2 ? 2ac ? c 2 ? 9 ,所以 a ? c ? 3 .
2

8. sin x ? cos x, sin x ? cos x, sin x cos x 这三者之间的关系虽然没有列入同角三角比的基本关系式,但是它们在 求值过程中经常会用到,要能熟练地掌握它们之间的关系式:(sin x ? cos x)2 ? 1 ? 2sin x cos x .求值时能根据角 的范围进行正确的取舍. [例]已知关于 x 的方程 sin 2 x ? a(sin x ? cos x) ? 2 ? 0 有实数根,求实数 a 的取值范围.

2 x ? t 2 ? 1 , 其 中 t ? [? 2 , 2 ] . 则 关 于 t 的 方 程 t 2 ? at ? 1 ? 0 在 解 析 : 令 sin x ? cos x ? t , 则 s i n
若有实根必有一根在 [ ?1,1] 内, 只要△ ? 0 即可, t ? [? 2 , 2 ] 上有解.注意到方程 t 2 ? at ? 1 ? 0 两根之积为 1, 得 a ? 2 或 a ? ?2 . 9.正(余)弦函数图像的对称轴是平行于 y 轴且过函数图像的最高点或最低点,两相邻对称轴之间的距离是半个 周期;正(余)弦函数图像的对称中心是图像与“平衡轴”的交点,两相邻对称中心之间的距离也是半个周期; 函数 y ? tan x, y ? cot x 的图像没有对称轴,它们的对称中心为 ( 个周期. [例]若函数 f ( x) ? a sin x ? cos x 的图像关于点 (?

k? ,0), k ? Z .两相邻对称轴之间的距离也是半 2

?
3

,0) 成中心对称,则 a ? ___. (答案:

3 ) 3

10.三角形中的边角关系:
设△ABC,角 A,B,C 的对边为 a,b,c,外接圆半径为 R,内切圆半径为 r,面积为 S,则 ①角的关系:A+B+C= ? ; ②边的关系:a+b>c, b+c>a, c+a>b; ③边角关系:正弦定理 a=2RsinA 等,余弦定理 a2=b2+c2-2bccosA 等。 ④三角形的形状: △ABC(设 a<b<c)为锐角三角形 ? a2+b2>c2; △ABC(设 a<b<c)为直角三角形 ? a2+b2=c2; △ABC(设 a<b<c)为钝角三角形 ? a2+b2<c2;

BE AB ? ; EC AC 1 ? abc 1 ? ( a ? b ? c )r ⑤面积:S= aha ? ab sin C ? 2 2 4R 2 二.易错易混易忘知识点提醒:
∠A 的平分线 AE(E∈BC)满足: 【易错点 1】单位圆中的三角函数线在解题中一方面学生易对此知识遗忘,应用意识不强,另一方面易将角的三 角函数值所对应的三角函数线与线段的长度二者等同起来,产生概念性的错误。 1.下列命题正确的是( )

A、 ? 、 ? 都是第二象限角,若 sin ? ? sin ? ,则 tan ? ? tan ? B、 ? 、 ? 都是第三象限角,若 cos ? ? cos ? ,则 sin ? ? sin ? C、 ? 、 ? 都是第四象限角,若 sin ? ? sin ? ,则 tan ? ? tan ? D、 ? 、 ? 都是第一象限角,若 cos ? ? cos ? ,则 sin ? ? sin ? 。 (答案:C) 【知识点归类点拔】 单位圆的三角函数线将抽象的角的三角函数值同直观的有向线段的数量对应起来, 体现了数 形结合的数学思想, 要注意一点的就是角的三角函数值是有向线段的数量而不是长度。 三角函数线在解三角不 等式、比较角的同名函数值的大小、三角关系式的证明都有着广泛的应用并且在这些方面有着一定的优越性。 例如利用三角函数线易知 ? ? ? 0,

? ?? ? ,sin ? ? ? ? tan ? , sin ? ? cos? ? 1等。 ? 2?

3

2.(2000 全国高考)已知 sin ? ? sin ? ,那么下列命题正确的是( A、若 ? 、 ? 都是第一象限角,则 cos ? ? cos ? C、若 ? 、 ? 都是第三象限角,则 cos ? ? cos ?



(答案:D)

B、若 ? 、 ? 都是第二象限角,则 tan ? ? tan ? D、若 ? 、 ? 都是第四象限角,则 tan ? ? tan ?

【易错点 2】在利用三角函数的图象变换中的周期变换和相位变换解题时。易将 ? 和 ? 求错。 1.要得到函数 y ? sin ? 2 x ?

? ?

??

1 ? 的图象,只需将函数 y ? sin 2 x 的图象() 3?

? 个单位。 3 1 ? B、 先将每个 x 值缩小到原来的 倍,y 值不变,再向左平移 个单位。 4 3 ? C、 先把每个 x 值扩大到原来的 4 倍,y 值不变,再向左平移个 单位。 6 1 ? D、 先把每个 x 值缩小到原来的 倍,y 值不变,再向右平移 个单位。 4 6
A、 先将每个 x 值扩大到原来的 4 倍,y 值不变,再向右平移

(答案:D)

【知识点归类点拔】利用图角变换作图是作出函数图象的一种重要的方法,一般地由 y ? sin x 得到

y ? Asin ? wx ? ? ? 的图象有如下两种思路:一先进行振幅变换即由 y ? sin x 横坐标不变,纵坐标变为原来的 A
倍得到 y ? A sin x ,再进行周期变换即由 y ? A sin x 纵坐标不变,横坐标变为原来的

1

?

倍,得到

y ? A sin wx ,再进行相位变换即由 y ? A sin wx 横坐标向左(右)平移

? 个单位,即得 ?

?? ? y ? A sin ? ? x ? ? ? A sin ?? x ? ? ? ,另种就是先进行了振幅变换后,再进行相位变换即由 y ? A sin x 向 ?? ?
左(右)平移 ? 个单位,即得到函数 y ? Asin ? x ? ? ? 的图象,再将其横坐标变为原来的

1

?

倍即得

y ? Asin ? wx ? ? ? 。不论哪一种变换都要注意一点就是不论哪一种变换都是对纯粹的变量 x 来说的。
【易错点 3】没有挖掘题目中的确隐含条件,忽视对角的范围的限制而造成增解现象。 1.已知 ? ? ? 0, ? ? , sin ? ? cos ? ?

7 求 tan ? 的值。 13

(答案: tan ? ?

12 ) 5

【知识点归类点拔】在三角函数的化简求值过程中,角的范围的确定一直是其重点和难点,在解题过程中要注意 在已有条件的基础上挖掘隐含条件如:结合角的三角函数值的符号、三角形中各内角均在 ? 0,? ? 区间内、与已知 角的三角函数值的大小比较结合三角函数的单调性等。本题中实际上由单位圆中的三角函数线可知若

?? ? ? ?? ? ? ? 0, ? 则必有 sin ? ? cos ? ? 1 ,故必有 ? ? ? , ? ? 。 2 2 ? ? ? ?
【易错点 4】根据已知条件确定角的大小,没有通过确定角的三角函数值再求角的意识或确定角的三角函数名称 不适当造成错解。
4

1. 在三角形 ABC 中,已知 sin A ?

3 5 16 , cos B ? ,求三角形的内角 C 的大小。(答案: arccos ) 5 13 65

【知识点归类点拔】根据已知条件确定角的大小,一定要转化为确定该角的某个三角函数值,再根据此三 角函数值确定角这是求角的必然步骤,在这里要注意两点一就是要结合角的范围选择合适的三角函数名称 同时要注意尽量用已知角表示待求角,这就需要一定的角的变换技巧如: 2? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? 等。 二是依据三角函数值求角时要注意确定角的范围的技巧。 【易错点 5】对正弦型函数 y ? Asin ?? x ? ? ? 及余弦型函数 y ? A cos ?? x ? ? ? 的性质:如图象、对称轴、对 称中心易遗忘或没有深刻理解其意义。 1.如果函数 y ? sin 2 x ? a cos 2 x 的图象关于直线 x ? ? A.

?
8

对称,那么 a 等于(



2

B.-

2

C.1

D.-1

解析: (法一) 函数的解析式可化为 y ?

a 2 ? 1sin ? 2 x ? ? ? ,故 y 的最大值为 a2 ? 1 ,依题意,直线 x ? ?

?
8

是函数的对称轴,则它通过函数的最大值或最小值点即 sin ? ?

? ?? ? ?? ? ? a cos ? ? ? ? 4? ? 4?

? a2 ? 1 ,解得 a ? ?1 .故选 D
(法二)若函数关于直线 x ? ?

?
8

是函数的对称则必有 f ? 0 ? ? f ? ?

? ?? ? ,代入即得 a ? ?1 。 ? 4?

【知识点归类点拔】对于正弦型函数 y ? Asin ?? x ? ? ? 及余弦型函数 y ? A cos ?? x ? ? ? 它们有无穷多条对称 轴及无数多个对称中心, 它们的意义是分别使得函数取得最值的 x 值和使得函数值为零的 x 值, 这是它们的几何 和代数特征。希望同学们认真学习本题的三种解法根据具体问题的不同灵活处理。 【易错点 6】利用正弦定理解三角形时,若已知三角形的两边及其一边的对角解三角形时,易忽视三角形解的个 数。 1.在 ?ABC 中, B ? 30? , AB ? 2 3, AC ? 2 。求 ?ABC 的面积. (答案: 3或2 3 )

【知识点归类点拔】 正弦定理和余弦定理是解三角形的两个重要工具, 它沟通了三角形中的边角之间的内在联系, 正弦定理能够解决两类问题(1)已知两角及其一边,求其它的边和角。这时有且只有一解。 (2)已知两边和其 中一边的对角,求其它的边和角,这是由于正弦函数在在区间 ? 0,? ? 内不严格格单调,此时三角形解的情况可能 是无解、一解、两解,可通过几何法来作出判断三角形解的个数。如:在 ?ABC 中,已知 a,b 和 A 解的情况如 下: (1) 当 A 为锐角

(2)若 A 为直角或 钝角

5

【易错点 7】三角形中的三角函数问题。对三角变换同三角形边、角之间知识的结合的综合应用程度不够。 1.在△ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,且

cos B b ?? . (Ⅰ)求角 B 的大小(Ⅱ)若 cos C 2a ? c

b ? 13, a ? c ? 4 ,求△ABC 的面积.
(Ⅰ)解法一:由正弦定理 a ? b
sin A sin B ? c ? 2 R 得 a ? 2R sin A, b ? 2R sin B, c ? 2R sin C. 将上式代入已知 sin C

cos B b cos B sin B ?? 得 ?? . cos C 2a ? c cos C 2 sin A ? sin C

即 2 sin A cos B ? sin C cos B ? cos C sin B ? 0.

2 sin A cos B ? sin(B ? C ) ? 0.

又∵A+B+C= ? , ? s i nB ( ? C) ? s i nA. ? 2 s i nA c o s B ? s i nA ? 0.

解法二:由余弦定理得 cos B ?

a2 ? c2 ? b2 b2 ? c2 ? a2 , cosC ? 将上式代入 2ac 2bc cos B b a 2 ? c 2 ? b2 2ab b 2 2 2 ?? 得 ? 2 2 2 ?? . cos C 2a ? c 2ac a ?b ?c 2a ? c 整理得 a ? c ? b ? ?ac.

2 1 ? sin A ? 0,? cos B ? ? . ? B 为三角形的内角,? B ? ? . 3 2

? cos B ?

a 2 ? c 2 ? b 2 ? ac 1 ? ?? . 2ac 2ac 2

又∵为三角形的内角,? B ?

2 ?. 3

(Ⅱ)将 b ? 13 , a ? c ? 4, B ?

2 2 2 2 ? 代入余弦定理 b ? a ? c ? 2ac cos B 得 3

1 3 1 b 2 ? (a ? c) 2 ? 2ac ? 2ac cos B,?13 ? 16 ? 2ac (1 ? ). ? ac ? 3. ? S ?ABC ? ac sin B ? 2 4 2

3.

【知识点归类点拔】 三角形中的三角函数问题一直是高考的热点内容之一。 对正余弦定理的考查主要涉及三角形 的边角互化(如判断三角形的形状等,利用正、余弦定理将条件中含有的边和角的关系转化为边或角的关系是解 三角形的常规思路) ,三角形内的三角函数求值、三角恒等式的证明、三角形外接圆的半径等都体现了三角函数 知识与三角形知识的交汇,体现了高考命题的原则。

6


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