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河北省邯郸市一中2013届高三9月份月考数学(文)试题


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河北省邯郸市一中 2013 届高三 9 月份月考数学(文)试题
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,每小题给出的四个选项,只有一 项是符合题目要求的。 1.曲线 y ? x3 在点 (3, 27) 处的切线与两坐标轴所围成的三角形面积是 A.53 B.5

4 C.35 ( ) D.45

2. f (x) 是定义在 R 上的以 3 为周期的偶函数,且 f (2) ? 0 ,则方程 f (x) =0 在区间(0, 6)内解的个数的最小值是 A. 5 B. 4 C. 3 ( D. 2 ( ) )

? 3.下列函数中,既是偶函数又在 (0, ?) 上单调递增的是
A. y ? x3 B. y ? cos x C. y ?

4.已知函数 f ? x ? ? cos x ?

?
2

1 x2

D. y ? ln x ( )

( x? R) ,则下列叙述错误的

A. f ? x ? 的最大值与最小值之和等于 ? B. f ? x ? 是偶函数 C. f ? x ? 在 ? 4, 7? 上是增函数 D. f ? x ? 的图像关于点 ?

?? ? ? , ? 成中心对称 ?2 2?
)

5.已知函数 f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β),且 f(2 001)=3,则 f(2 012)的值是 ( A.-1 B.-2 C.-3 D.1 6.已知函数 f ( x) ? sin(? x ?

?

? 个单位长度 8 ? C.向左平移 个单位长度 4
A.向左平移 A.(2n-1)2

g ( x) ? cos(? x ? ) 的图象,只要将 y ? f ( x) 的图象 4

?

4

)( x ? R, ? ? 0) 的最小正周期为 ? ,为了得到函数
( )

? 个单位长度 8 ? D.向右平移 个单位长度 4
B.向右平移 ) 1 D. (4n-1) 3 )

2 7.在等比数列{an}中,a1+a2+…+an=2n-1(n∈N*),则 a2+a2+…+an等于 ( 1 2

1 B. (2n-1)2 3

C.4n-1

8.等差数列{an}的前 m 项和为 30,前 2m 项和为 100,则它的前 3m 项和为 ( A.130 B.170 C.210 D.260 9.
x

若函数 f ? x ? 的零点与 g ? x? ? 4 ? 2 x ? 2 的零点之差的绝对值不超过 0.25, 则

f ? x ? 可以是
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A. f ? x ? ? 4x ?1 C. f ? x ? ? ex ?1 10. 函数 y ?

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B. f ? x ? ? ( x ?1)2

D. f ? x ? ? In ? x ?

? ?

1? ? 2?
( )

log 2 | x | 的图象大致是 x

11.已知函数 f ( x) ? mx3 ? nx2 的图象在点 (?1, 2) 处的切线恰好与直线 3x ? y ? 0 平行,若

f ( x) 在区间 ?t , t ? 1? 上单调递减,则实数 t 的取值范围是
A.(?2, ?1)





[ B. ?2, ?1]

C. ?2,0? ?

D. ?3, ?1? ?

12. 已

知函数 f ( x ? 1) 是偶函数,当 1 ? x1 ? x2 时, [ f ( x2 ) ? f ( x1 )]( x2 ? x1 ) ? 0 恒成立,设

1 ( ) a ? f (? ), b ? f (2), c ? f (3) ,则 a , b, c 的大小关系为 2 A. b ? a ? c B. c ? b ? a C. b ? c ? a D. a ? b ? c 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分,把答案填在横线上。
13、蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师,单个蜂

巢可以近似地看作是一个正六边形,如图为一组蜂 巢的截面图. 其中第一个图有 1 个蜂巢,第二个图 有 7 个蜂巢,第三个图有 19 个蜂巢,按此规律,以

f ( n) 表 示 第 n 幅 图 的 蜂 巢 总 数 . 则 f (4) =_____; f (n) =___________.

14.若 sin(? ? ? ) ? 2cos(2? ? ? ), 求

sin(? ? ? ) ? 5cos(2? ? ? ) 的值 3cos(? ? ? ) ? sin(?? )

.

? 1 x ?( ) , x ? 4, 15. 已知函数 f ( x) ? ? 2 则f (2 ? log2 3) 的值为 ___________ ? f ( x ? 1), x ? 4. ?
16. 函数 y ? log a ( x ? 3) ?1( a ? 0, a ? 1) 的图象恒过定点 A,若点 A 在直线 mx ? ny ? 1 ? 0 上,其中 mn ? 0 ,则
1 2 ? 的最小值为 m n

.

17. 若函数 f x)=x3-3bx+b 在区间 ( (0, 内有极小值,则 b 应满足的条件是 1) _____ 18.设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,则 S4 , S8 ? S4 , S12 ? S8 , S16 ? S12 成等差数列.类
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T16 成等比数列. T12

比以上结论有:设等比数列 {bn } 的前 n 项积为 Tn ,则 T4 ,______,________

三.解答题(本大题共 5 小题,其中 19 题 10 分,23 题 14 分,其余各 12 分,共 60 分) 19.已知 {an } 是公比大于 1 的等比数列, a1 , a3 是函数 f ( x) ? x ? (1)求数列 {an } 的通项公式; (2) 若数列 {bn } 满足 bn ? log3 an ? n ? 2 , b1 ? b2 ? b3 ? ……? bn ? 80 , n 的最小值。 且 求

9 ? 10 的两个零点。 x

20.已知 f ( x) ? 2cos2 x ? 3 sin 2 x (Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调递增区间; (Ⅱ)在 ?ABC 中,a, b, c 分别是角 A,B,C 的对边,a ? 1 且 f ( A) ? 3 ,求 ?ABC 的面积 S 的最大值.

21.已知数列 ?an ? 的首项 a1 ?

1 3 的等比数列,其前 n 项和 Sn 中 S3 ? , 4 16

(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设 bn ? log 1 | an | , Tn ?
2

1 1 1 1 1 ,求证: ? Tn ? ? ? ??? ? 6 2 b1b2 b2b3 bnbn?1

22.已知函数 f ( x ) ?

ln x . x 1 处的切线方程; e

(1)求函数 f ( x ) 的图像在 x ?

(2)设实数 a ? 0 ,求函数 F ( x) ? af ( x) 在 [a, 2a] 上的最小值。

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23.设函数 f ( x) ? x2 ? 2x ? a ln x 。 (1)若函数 f ( x ) 是定义域上的单调函数,求实数 a 的取值范围; (2)求函数 f ( x ) 的极值点。

答案
一、 二、 三、 选择题:1-5 BBDCC
2

6-10 CDCAC 11-12 BA

填空题:13.37 3n ? 3n ? 1 14. ? 解答题:

T T 3 1 15. 16.8 17.(0,1) 18. 8 , 12 5 24 T4 T8

19.解:(1)因为a1 , a3是函数f ( x) ? x ? 所以a1 , a3是方程x2 ? 10 x ? 9 ? 0的两根

9 ? 10的两个零点 x

又因为公比大于1,所以a1 ? 1, a3 ? 9, 则q ? 3 所以等比数列{an }的通项公式为an ? 3n ?1 (2)bn ? log 3 an ? n ? 2 ? 2n ? 1 所以{bn }数列是首项为3,公差为2的等差数列 故有b1 ? b2 ? b3 ? …… ? bn ? n 2 ? 2n ? 80 解得n ? 8或n ? ?10,所以n的最小值为8
20. 解: )? f ( x) ? 2cos x ? 3 sin 2 x ? 1 ? cos 2 x ? 3 sin 2 x (Ⅰ
2

? 2sin(2 x ? ) ? 1 ,……………………………………………………3 分 6 ? 2 k? ?

?

?

2

? 2x ?

?

解得 k? ?

?
3

6

? 2 k? ?

?

? x ? k? ?

?
6

2

(k ? Z ),

(k ? Z ) .

? f ( x) 的单调递增区间为 [k? ?
(Ⅱ ? f ( A) ? 3,? sin(2 A ? )

?

?
6

, k? ? ](k ? Z ) 3 6

?

) ? 1. ? 0 ? A ? ? ,? 2 A ?

?
6

?

?
2

,即 A ?

?
6

.

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又 a ? b ? c ? 2bc cos A 及
2 2 2

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a2 , 2(1 ? cos A)

b2 ? c 2 ? 2bc,?bc ?

1 a 2 sin A 2? 3 ,当且仅当 b ? c 时,取“=”. ? S ? bc sin A ? ? 2 4(1 ? cos A) 4
? S 的最大值为

2? 3 4
3 3 ? 不符合题意,∴q ? 1 , 4 16
1 ? ? a1 ? 4 ? ? ?q ? ? 1 ? 2 ?

21.解: )若 q ? 1 ,则 S3 ? (Ⅰ

1 ? a1 ? ? 4 ? 当 q ? 1 时,由 ? 得 3 ? S3 ? a1 (1 ? q ) ? 3 ? 1? q 16 ?
∴an ?

1 1 1 ? (? )n?1 ? (? )n?1 4 2 2 1 (Ⅱ )∵bn ? log 1 an ? log 1 (? ) n ?1 ? n ? 1 2 2 2 1 1 1 1 ? ? ? ∴ bn bn ?1 (n ? 1)(n ? 2) n ? 1 n ? 2 1 1 1 ? ??? ∴Tn = b1b2 b2b3 bnbn ?1 1 1 1 1 1 1 1 1 = ( ? ) ? ( ? ) ? ?????? ?( ? )? ? 2 3 3 4 n ?1 n ? 2 2 n?2 1 1 1 ?Tn ?1 ? Tn ? ? 0 ,?{Tn } 是递增数列.?T1 ? Tn ,? ? Tn ? (n ? 2)(n ? 3) 6 2

ln x x 1 ? ln x 1 1 ? f ' ( x) ? ,? f ( ) ? ?e, 令k ? f ' ( ) ? 2e2 2 x e e 1 1 ?函数f ( x)的图像在x ? 处的切线方程为y ? e ? 2e 2 ( x ? ) e e 2 即y ? 2e x ? 3e 22.(1) ? f ( x)的定义域为(0,+?),f(x)=

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(2) F ' ( x) ? af ' ( x) ?

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a (1 ? ln x) , 令F ' ( x) ? 0, 得x ? e 2 x ' ?当x ? (0, e)时,F ( x) ? 0, F ( x)在(0, e)上为增函数 当x ? (e, ??)时,F ' ( x) ? 0, F ( x)在(e, ??)上为减函数 ? F(x)在[a,2a]上的最小值为F(x)min ? min{F (a ), F (2a)} 1 a ? F (a ) ? F (2a) ? ln 2 2 ?当0 ? a ? 2时,F (a) ? F (2a) ? 0,F(x)min ? F ( a) ? ln a 1 当a ? 2时,F (a ) ? F (2a ) ? 0, F(x)min ? F (2a) ? ln 2a 2
23. (1) f '( x) ? 2 x ? 2 ?

a 2x2 ? 2x ? a ? ,若函数 f ( x ) 是定义域上的单调函数,则只能 x x

f '( x) ? 0 在 (0, ??) 上恒成立,即 2 x 2 ? 2 x ? a ? 0 在 (0, ??) 上恒成立恒成立,令
则函数 g ( x) 图象的对称轴方程是 x ? g ( x) ? x2 ? 2x ? a , 成立,即只要 a ?

1 , 故只要 ? ? 4 ? 8a ? 0 恒 2

1 。 2 1 时, f '( x) ? 0 的点是导数不变号的点, 2

(2)有(1)知当 a ? 故a ? 当a ?

1 时,函数无极值点; 2
1 1 ? 1 ? 2a 1 ? 1 ? 2a , x2 ? 时, f '( x) ? 0 的根是 x1 ? , 2 2 2

若 a ? 0 , 1 ? 2a ? 1,此时 x1 ? 0 , x2 ? 0 ,且在 (0, x2 ) 上 f '( x) ? 0 , 在 ( x2 , ??) 上 f '( x) ? 0 ,故函数 f ( x ) 有唯一的极小值点 x2 ? 当0 ? a ?

1 ? 1 ? 2a ; 分) (7 2

1 时, 0 ? 1 ? 2a ? 1 ,此时 x1 ? 0, x2 ? 0 , 2

f ' ( x) 在 ? 0, x1 ? , ? x2 , ??? 都大于 0 , f ' ( x) 在 ( x1 , x2 ) 上小于 0 ,
此时 f ( x ) 有一个极大值点 x1 ?

1 ? 1 ? 2a 1 ? 1 ? 2a 和一个极小值点 x2 ? . (11 分) 2 2 1 ? 1 ? 2a ; 2

综上可知, a ? 0 时, f ( x ) 在 ? 0,??? 上有唯一的极小值点 x2 ?

0?a?

1 1 ? 1 ? 2a 时 , f ( x ) 有 一 个 极 大 值 点 x1 ? 和一个极小值点 2 2

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x2 ?

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1 1 ? 1 ? 2a ; a ? 时,函数 f ( x ) 在 ? 0,??? 上无极值点。 2 2

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