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2008年2009年2010年全国高中数学联赛各省预赛试题分类汇编 函数题1


高二数学培优 函数部分(08,09,10 预赛试题)
一、函数解析式、抽象函数

? 1 x x ? 4, ?( ) , 1、(2009 年吉林预赛)若函数 f ( x) ? ? 2 则 f (log2 3) ? ( ? f ( x ? 1), x ? 4, ?

).
1 24

(A) ?

/>
23 8

(B)

1 11

(C)

1 19

(D)

2、(2010 年山西省预赛试题) 函数 f ( x) ? ax2 ? 2 ,若 f ( f ( 2 )) ? ? 2 ,则 a ?
3、(2008 年福建预赛)己知函数 f ( x ) 满足对所有的实数 x, y ,都有

f ( x) ? f (2x ? y) ? 5xy ? f (3x ? y) ? 2x2 ? 1 ,则 f (10) 的值为(
(A)-49 (B)-l (C) 0 (D) 25

).

4、(2010 年吉林省预赛试题)已知 f (1,1) ? 1 , f (m, n) ? N * (m, n ? N * ) ,且对任意

m, n ? N * 都 有 : ① f (m, n ? 1) ? f (m, n) ? 2 ; ② f (m ? 1,1) ? 2 f (m,1) , 则
f (2 0 12 00 0的值为 , ) 8

5、(2009 年陕西预赛)设 f (x) 是定义在 R 上的奇函数, f (1) ? 2 ,当 x ? 0 时, f (x) 是增 函数,且对任意的 x、 y ? R ,都有 f ( x ? y ) ? f ( x) ? f ( y) ,则函数 f (x) 在区间[-3,-2]上 的最大值是

6、(2008 年河北预赛)函数 f ( x) 是 (0, ??) 上的单调递增函数,当 n ? N * 时, . f (n) ? N * ,且 f [ f (n)] ? 3n ,则 f (1) 的值等于( ) A 1 B 2 C 3 D 4

3 2 7、 (2008 年湖南预赛)设函数 f ( x) ? x ? 3x ? 6 x ? 14 ,且 f (a) ? 1 , f (b) ? 19 ,则

a ? b ?(

) B.1 C.0 D. ? 2

A.2 8、(2008 年全国联赛)

设 f ( x) ? ax ? b ,其中 a , b 为实数, f1 ( x) ? f ( x) , fn?1 ( x) ? f ( f n ( x)) , n ? 1, 2,3,? ,若

f7 ( x) ? 128x ? 381 ,则 a ? b ?

.

9 、 (2010 年 河 南 省 预 赛 试 题 ) 设 f ( x ) ?

x ?1 , 记 f1 ( x) ? f ( x) , 若 x ?1

f n?1 ( x) ? f ( f n ( x)) ,则 f 2010 ( x) ?
10、 (2008 年浙江)设 f ( x) ?

1 1 1 1 ? ? _?__ _ , f ( ) ? ( ) _____ 则 x f lg x lg x lg x 1? 2 1? 4 1? 8 x



11 、 (2010 年 新 疆 维 吾 尔 自 治 区 预 赛 试 题 ) 已 知 函 数 f ( x) ?

x2 ,若 1? x2

1 1 1 1 m ? f (1) ? f (2) ? ... ? f (101), n ? f ( ) ? f ( ) ? ... ? f ( )? f( ) ,则 m ? n ? 2 3 100 101

12、(2010 年山东省预赛试题)若函数 f ( x) ? ln

2010 ex ke ,则 ? f ( )? e?x 2011 k ?1

13、(2010 年甘肃省预赛试题)函数 f : R ? R 对于一切 x, y, z ? R 满足不等式
f ( x ? y) ? f ( y ? z ) ? f ( z ? x) ? 3 f ( x ? 2 y ? z ) ,则 f (1) ? f (0) ?
14、(2008 年全国联赛) 设 f ( x) 是定义在 R 上的函数,若 f (0) ? 2008 ,且对任意 x ? R ,满足

) f ( x? 2 )? f ( x ) 3x , f ( x ? 6) ? f ( x) ? 63 ? 2x ,则 f (2008 =___________ ? ? 2

15、(2010 年山东省预赛试题)函数 f ( x) ? x 3 ? 2 x 2 ? 3x ? 4 的图像的对称中心为

二、函数的值域、最值

1 、(2008 年江西预赛)若函数 f ? x ? ? lg ax 2 ? 4 x ? a ? 3 的值域为 R ,则实数 a 的

?

?

取值范围是(

).

A 、 ? 4,??? ; B 、 ? 0, 4? ; C 、 ? 0, 4? ; D 、 ? ??, ?1? ? ? 4, ???

2、(2008 年河北预赛)若函数 y ? log a ? x 2 ? ax ? 1? 有最小值,则 a 的取值范围是 ( ) . A 0 ? a ?1 B 0 ? a ? 2, a ? 1 C 1? a ? 2 D a?2

3、 (2008 年江苏初赛)已知函数 f ( x) ? ?2x 2 ? bx ? c 在 x ? 1 时有最大值 1,
?1 1 ? 0 ? m ? n ,并且 x ? ?m, n?时, f (x) 的取值范围为 ? , ? . 试求 m,n 的值. ?n m?

4 、 (2010 年 江 西 省 预 赛 试 题 ) 设 多 项 式 f (x) 满 足 : 对 ?x ? R , 都 有

f ( x ? 1) ? f ( x ? 1) ? 2x 2 ? 4x ,则 f (x) 的最小值是
5 、 (2010 年 全 国 联 赛 一 试 试 题 ) 函 数 f ( x) ? a 2 x ? 3a x ? 2(a ? 0, a ? 1) 在 区 间
x ? [?1,1] 上的最大值为 8 ,则它在这个区间上的最小值是

6、(2010 年福建省预赛试题)已知函数 f ( x) ? x | x ? 2a | ,试求 f (x) 在区间 [0,1] 上 的最大值 g (a) 7、(2010 年辽宁省预赛试题)已知
1 ? a ? 1 ,若 f ( x) ? ax2 ? 2 x ? 1 在 [1,3] 上的最 3

大值为 M (a) ,最小值为 N (a ) ,令 g (a) ? M (a) ? N (a) (1)求 g (a) 的函数表达式; (2)求证: g (a) ?
8、(2008 年全国联赛) 函数 f ( x) ? A.0

1 恒成立。 2

5 ? 4 x ? x2 在 (??, 2) 上的最小值是 2? x
B.1 C.2 D.3

( )

x2 ? n (n ? N * ) 的最大值为 an ,最小值为 bn ,则 9、(2009 年新疆预赛)设函数 f(x)= 2 x ? x ?1
an-bn=________ 10、(2009 辽宁初赛)函数 f(x)=
x ? x3 1 ? 2x 2 ? x 4

的最大值与最小值的乘积是__________.

11、(2010 年四川省预赛试题)已知函数 f ( x) ?
0 ,则非零实数 k 的值是

x 4 ? (k 2 ? 2k ? 4) x 2 ? 4 的最小值是 x 4 ? 2x 2 ? 4

12、(2008 年江西预赛)设 x ? R ,则函数 f ? x ? ? x 2 ? 1 ? 为 .

? x ?12?

2

? 16 的最小值

1? x2 13、(2010 年江西省预赛试题)函数 f ( x) ? 的值域是 x?2

14、(2010 年安徽省预赛试题)函数 f ( x) ? 2 x ? 4 x ? x 2 的值域是 15、(2010 年山西省预赛试题)若 x ? [0, ? ] ,函数 y ?
sin x cos x 的值域是 1 ? sin x ? cos x

16、(2010 年辽宁省预赛试题)函数 f ( x) ? 2 | sin x | ?3 | cos x | 的值域是 17、(2010 年全国联赛一试试题)函数 f ( x) ? x ? 5 ? 24 ? 3x 的值域是
18 、 (2008 四 川 初 赛 ) 函 数 f ( x) ? x ? 1 ? x ? 3 ? x ? 5 ? x ? 7 的 最 小 值 为 __________________ .

2 19、(2009 年广州)设 f ( x) ? min 2 x ? 3, x ? 1,11 ? 3 x ,则 max f ( x) 的值为

?

?



20、(2008 年江苏复赛)已知函数 f(x)=x-k x2-1(x≥1),其中 k 为给定的实数,0<k<1. 试求 f(x)的值域.

21、(2008 年浙江)已知 f ? x ? ? x 2 ? ? a 2 ? b 2 ? 1? x ? a 2 ? 2ab ? b 2 是偶函数,则函数 图象与 y 轴交点的纵坐标的最大值是( A. 2 B. 2 C. 2 2 D. 4 )

22、 (2009 江苏复赛初赛) 设 x 、 y 为实数,2 x ? y ? 1 , 则二元函数 u ? x2 ? 4 x ? y 2 ? 2 y 的最小值是 .
2 2

23、(2009 年新疆预赛)曲线 x ? 2 xy ? 3 y ? 1 的点到坐标原点的距离的最小值为

24、(2010 年河北省预赛试题)已知关于 x 的不等式 x ? 2 ? x ? k 有实数解,则 实数 k 的取值范围是 25、(2010 年全国联赛一试试题)已知函数 y ? (a cos2 x ? 3) sin x 的最小值为 ? 3 , 则实数 a 的取值范围是


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