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2014年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(理科)含答案


2014 年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)
数学(理科)lzn
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.已知集合 M ? {?1,0,1} , N ? {0,1, 2} ,则 M N ? A. {?1, 0,1} A. 3 ? 4i B. {?1, 0,1, 2} B.

3 ? 4i C. {?1, 0, 2} C. ?3 ? 4i D. {0,1} D. ?3 ? 4i 2.已知复数 Z 满足 (3 ? 4i) z ? 25 ,则 Z=

? y?x ? 3.若变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 1且z ? 2 x ? y 的最大值和最小值分别为 m 和 n ,则 m ? n ? ? y ? ?1 ?
A.8 B.7
2 2

C.6
2 2

D.5

4.若实数 k 满足 0 ? k ? 9 ,则曲线 A.离心率相等

x y x y ? ? 1的 ? ? 1 与曲线 25 ? k 9 25 9 ? k
C.实半轴长相等 D.焦距相等

5.已知向量 a ? ?1,0, ?1? ,则下列向量中与 a 成 60 ? 夹角的是

B.虚半轴长相等

A.(-1,1,0) B.(1,-1,0) C.(0,-1,1) D.(-1,0,1) 6. 已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图 1 和图 2 所示, 为了解该地区中小学生的近视形成原因, 用分层抽样的方法抽取 2%的学生进行调查,则样本容量和抽取的高中生近视人数分别是 近视率/% 小学生 3500 名 高中生 2000 名

50 30 10

初中生 4500 名

A.200,20

B.100,20

O 小学 C.200,10

初中

高中 D.100,10

年级

7.若空间中四条两两不同的直线 l1 , l2 , l3 , l4 ,满足 l1 ? l2 , l2 ? l3 , l3 ? l4 ,则下面结论一定正确的是 A. l1 ? l4 8 . 设 集 合 A=

?? x , x , x , x , x ? x ?{?1, 0,1}, i ? 1, 2,3, 4,5?
1 2 3 4 5 i

B. l1 / / l4

C. l1 , l4 既不垂直也不平行

D. l1 , l4 的位置关系不确定 , 那 么 集 合 A 中 满 足 条 件

“ 1 ? x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5 ? 3 ”的元素个数为 A.60 B.90 C.120 D.130 二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~13 题) 9.不等式 x ? 1 ? x ? 2 ? 5 的解集为
?5 x

。 。 。 。

10.曲线 y ? e 。 ? 2 在点 (0,3) 处的切线方程为 11.从 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 中任取七个不同的数,则这七个数的中位数是 6 的概率为

a ? b 13. 若等比数列 ?an ? 的各项均为正数, 且 a10 a11 ? a9 a12 ? 2e5 , 则l n a1 ? l n a2 ? ? l n a2 0 ?
B C 中,角 A, B, C 所对应的边分别为 a, b, c ,已知 b cos C ? c cos B ? 2b ,则 12. 在 ?A
(二)选做题(14~15 题,考生从中选做一题) 14 . ( 坐 标 系 与 参 数 方 程 选 做 题 ) 在 极 坐 标 系 中 , 曲 线 C1 和 C2 的 方 程 分 别 为

? sin 2 ? ? cos? 和
1

以极点为平面直角坐标系的原点, 极轴为 x 轴正半轴, 建立平面直角坐标系, 则曲线 C1 和 C2 ? sin ? ? 1 , 交点的直角坐标为_________. 15. (几何证明选讲选做题)如图 3,在平行四边形 ABCD 中, E 点 在 AB 上且 EB ? 2 AE , AC 与 DE 交于点 F ,则 D F A E B C

?CDF的面积 ? ?AEF的面积

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? A sin( x ? (1)求 A 的值; (2)若 f (? ) ? f (?? ) ?

?

4

), x ? R ,且 f (

5 3 ?) ? , 12 2

3 ? 3 , ? ? (0, ) ,求 f ( ? ? ? ) 。 2 2 4

17. (本小题满分 13 分)随机观测生产某种零件的某工厂 25 名工人的日加工零件数(单位:件) ,获得 数据如下:30,42,41,36,44,40,37,37,25,45,29,43,31,36,49,34,33,43,38,42,32,34,46,39,36,根据上述数据得到 样本的频率分布表如下: 分组 频数 频率 [25,30 ] 3 0.12 (30,35 ] 5 0.20 (35,40 ] 8 0.32 (40,45 ] n1 f1 (45,50 ] n2 f2 (1)确定样本频率分布表中 n1 , n2 , f1 和 f 2 的值; A B (2)根据上述频率分布表,画出样本频率分布直方图; (3)根据样本频率分布直方图,求在该厂任取 4 人,至少 有 1 人的日加工零件数落在区间(30,35]的概率。 18. (本小题满分 13 分) 如图 4, 四边形 ABCD 为正方形, D E F

PD ? 平面 ABCD , ?DPC ? 300 , AF ? PC 于点 F , FE / / CD ,交 PD 于点 E . (1)证明: CF ? 平面ADF P (2)求二面角 D ? AF ? E 的余弦值。

C

19. (本小题满分 14 分)设数列 ?an ? 的前 n 和为 Sn ,满足 Sn ? 2nan?1 ? 3n ? 4n, n ? N ,且 S3 ? 15 ,
2 *

(1)求 a1 , a2 , a3 的值;

(2)求数列 ?an ? 的通项公式。 20. (本小题满分 14 分)已知椭圆 C :

x2 y 2 5 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的一个焦点为 ( 5, 0) ,离心率为 , 2 a b 3

(1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若动点 P( x0 , y0 ) 为椭圆外一点,且点 P 到椭圆 C 的两条切线相互垂直,求点 P 的轨迹方程。 21. (本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) ?

1 ( x ? 2 x ? k ) ? 2( x 2 ? 2 x ? k ) ? 3
2 2

,其中 k ? ?2 ,

(1)求函数 f ( x ) 的定义域 D(用区间表示) ; (2)讨论函数 f ( x ) 在 D 上的单调性; (3)若 k ? ?6 ,求 D 上满足条件 f ( x) ? f (1) 的 x 的集合(用区间表示) 。
2

2014 年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)
数学(理科)参考答案
1-8:BACD BADD; 8.解:A 中元素为有序数组 ? x1, x2 , x3 , x4 , x5 ? ,题中要求有序数组的 5 个数中仅 1 个数为 ?1 、仅 2 个数
1 2 3 为 ?1 或仅 3 个数为 ?1 ,所以共有 C5 ? 2 ? C5 ? 2 ? 2 ? C5 ? 2 ? 2 ? 2 ? 130 个不同数组;

(2, ??) ; 10. y ? ?5x ? 3 ; 11. 1 ; 12.2; 13.50; 14.(1,1); 15.9; 6 C3 ? C3 11.解:6 之前 6 个数中取 3 个,6 之后 3 个数中取 3 个, P ? 6 3 3 ? 1 ; 6 C10 16.解: (1) f ( 5? ) ? A sin( 5? ? ? ) ? 3 , 12 12 4 2 ? A ? 3 ? 3 , A ? 3 ; f (??) f (?) 2 2 (2) f (? ) ? f (?? ) ? 3 sin(? ? ? ) ? 3 sin(?? ? ? ) ? 3 , 4 4 2 ? 3[ 2 (sin ? ? cos ? ) ? 2 ( ? sin ? ? cos ? )] ? 3 , 2 2 2 ? ? 6 cos ? ? 3 , cos ? ? 6 ,又 ? ? (0, ) , 4 2 2 ? sin ? ? 1 ? cos 2 ? ? 10 , 4 3 f ( ? ? ? ) ? 3 sin(? ? ? ) ? 3 sin ? ? 30 . 4 4 17. 解: (1) n1 ? 7, n2 ? 2 , f1 ? 0.28, f 2 ? 0.08 ;
9. (??, ?3) (2)样本频率分布直方图为
频率 组距

0.064 0.056 0.04 0.024 0.016 25 30 35 40 45 50 日加工零件数 0 (3)根据样本频率分布直方图,每人的日加工零件数落在区间(30,35]的概率 0.2, 设所取的 4 人中,日加工零件数落在区间(30,35]的人数为 ? ,则 ? ~ B(4, 0.2) ,

P(? ? 1) ? 1 ? P(? ? 0) ? 1 ? (1 ? 0.2)4 ? 1 ? 0.4096 ? 0.5904 ,
所以 4 人中,至少有 1 人的日加工零件数落在区间(30,50]的概率约为 0.5904.

PD ? 平面 ABCD , ? PD ? AD ,又 CD ? AD , PD CD ? D , ? AD ? 平面 PCD , ? AD ? PC ,又 AF ? PC , ? PC ? 平面 ADF ,即 CF ? 平面ADF ;
18.(1)

3

0 (2)设 AB ? 1 ,则 Rt ?PDC 中, CD ? 1 ,又 ?DPC ? 30 ,

z A B

? PC ? 2 , PD ? 3 ,由(1)知 CF ? DF

? DF ? 3 , AF ? 2

AD 2 ? DF 2 ? 7 , 2 2 2 1 ?CF ? AC ? AF ? ,又 FE / /CD , 2 ? DE ? CF ? 1 ,? DE ? 3 ,同理 EF ? 3 CD ? 3 , 4 PD PC 4 4 4 如图所示,以 D 为原点,建立空间直角坐标系,则 A(0, 0,1) , E ( 3 , 0, 0) , F ( 3 , 3 , 0) , P( 3,0,0) , C (0,1, 0) , 4 4 4
P x

D E F

C

y

? 3 ?m ? AE ? AE ? ( 4 , 0, 0) 设 m ? ( x, y, z ) 是平面 AEF 的法向量,则 ? ,又 ? , ?m ? EF ? EF ? (0, 3 , 0) ? 4 ? 3 ? m ? AE ? 4 x ? z ? 0 所以 ? ,令 x ? 4 ,得 z ? 3 , m ? (4,0, 3) , ? m ? EF ? 3 y ? 0 ? 4 由(1)知平面 ADF 的一个法向量 PC ? (? 3,1,0) , 设二面角 D ? AF ? E 的平面角为 ? ,可知 ? 为锐角, | m ? PC | cos ? ?| cos ? m, PC ?|? ? 4 3 ? 2 57 ,即所求. 19 | m | ?| PC | 19 ? 2
19.解: S2 ? 4a3 ? 20 , S3 ? S2 ? a3 ? 5a3 ? 20 ,又 S3 ? 15 ,

? a3 ? 7 , S2 ? 4a3 ? 20 ? 8 ,又 S2 ? S1 ? a2 ? (2a2 ? 7) ? a2 ? 3a2 ? 7 , ? a2 ? 5 , a1 ? S1 ? 2a2 ? 7 ? 3 , 综上知 a1 ? 3 , a2 ? 5 , a3 ? 7 ; (2)由(1)猜想 an ? 2n ? 1,下面用数学归纳法证明. ①当 n ? 1 时,结论显然成立; ②假设当 n ? k ( k ? 1 )时, ak ? 2k ? 1 , 3 ? (2k ? 1) 2 则 Sk ? 3 ? 5 ? 7 ? (2k ? 1) ? ? k ? k (k ? 2) ,又 Sk ? 2kak ?1 ? 3k ? 4k , 2

?k (k ? 2) ? 2kak ?1 ? 3k 2 ? 4k ,解得 2ak ?1 ? 4k ? 6 , ? ak ?1 ? 2(k ? 1) ? 1 ,即当 n ? k ? 1 时,结论成立;
由①②知, ?n ? N*, an ? 2n ? 1. 20.解: (1)可知 c ? 5 ,又 椭圆 C 的标准方程为

c ? 5 ,? a ? 3 , b2 ? a 2 ? c 2 ? 4 , a 3

x2 y 2 ? ? 1; 9 4 (2)设两切线为 l1 , l2 ,
①当 l1 ? x 轴或 l1 / / x 轴时,对应 l2 / / x 轴或 l2 ? x 轴,可知 P(?3, ?2) ;

4

②当 l1 与 x 轴不垂直且不平行时, x0 ? ?3 ,设 l1 的斜率为 k ,则 k ? 0 , l2 的斜率为 ? 1 ,

k

x2 y 2 ? 1, l1 的方程为 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) ,联立 ? 9 4 得 (9k 2 ? 4) x2 ? 18( y0 ? kx0 )kx ? 9( y0 ? kx0 )2 ? 36 ? 0 ,
因为直线与椭圆相切,所以 ? ? 0 ,得 9( y0 ? kx0 )2 k 2 ? (9k 2 ? 4)[( y0 ? kx0 )2 ? 4] ? 0 ,

??36k 2 ? 4[( y0 ? kx0 )2 ? 4] ? 0 ,

?( x02 ? 9)k 2 ? 2x0 y0k ? y02 ? 4 ? 0
所以 k 是方程 ( x02 ? 9) x2 ? 2x0 y0 x ? y02 ? 4 ? 0 的一个根, 同理 ? 1 是方程 ( x02 ? 9) x2 ? 2x0 y0 x ? y02 ? 4 ? 0 的另一个根,

k y 2 ?4 ,得 x02 ? y02 ? 13 ,其中 x0 ? ?3 , ? k ? (? 1 ) ? 0 2 k x0 ? 9
所以点 P 的轨迹方程为 x2 ? y 2 ? 13 ( x ? ?3 ) ,

因为 P(?3, ?2) 满足上式,综上知:点 P 的轨迹方程为 x2 ? y 2 ? 13 . 21.解: (1)可知 ( x2 ? 2 x ? k )2 ? 2( x2 ? 2 x ? k ) ? 3 ? 0 ,

?[( x2 ? 2x ? k ) ? 3] ?[( x2 ? 2x ? k ) ?1] ? 0 , ? x2 ? 2 x ? k ? ?3 或 x 2 ? 2 x ? k ? 1 , ?( x ? 1)2 ? ?2 ? k (?2 ? k ? 0) 或 ( x ? 1)2 ? 2 ? k (2 ? k ? 0) ,

? | x ? 1|? ?2 ? k 或 | x ?1|? 2 ? k ,
??1 ? ?2 ? k ? x ? ?1 ? ?2 ? k 或 x ? ?1 ? 2 ? k 或 x ? ?1 ? 2 ? k , 所以函数 f ( x ) 的定义域 D 为

(?1 ? ?2 ? k , ?1 ? ?2 ? k ) (?1 ? 2 ? k , ? ?) ; 2( x 2 ? 2 x ? k )(2 x ? 2) ? 2(2 x ? 2) ( x 2 ? 2 x ? k ? 1)(2 x ? 2) ?? (2) f '( x) ? ? , 3 3 2 ( x 2 ? 2 x ? k ) 2 ? 2( x 2 ? 2 x ? k ) ? 3 ( x 2 ? 2 x ? k ) 2 ? 2( x 2 ? 2 x ? k ) ? 3
由 f '( x) ? 0 得 ( x2 ? 2x ? k ? 1)(2 x ? 2) ? 0 ,即 ( x ? 1 ? k )( x ? 1 ? k )( x ? 1) ? 0 ,

(??, ?1 ? 2 ? k )

? x ? ?1 ? ?k 或 ?1 ? x ? ?1 ? ?k ,结合定义域知 x ? ?1 ? 2 ? k 或 ?1 ? x ? ?1 ? ?2 ? k , 所以函数 f ( x ) 的单调递增区间为 (??, ?1 ? 2 ? k ) , (?1, ?1 ? ?2 ? k ) ,
同理递减区间为 (?1 ? ?2 ? k , ?1) , (?1 ? 2 ? k , ? ?) ; (3)由 f ( x) ? f (1) 得 ( x2 ? 2x ? k )2 ? 2( x2 ? 2x ? k ) ? 3 ? (3 ? k )2 ? 2(3 ? k ) ? 3 ,

?[( x2 ? 2x ? k )2 ? (3 ? k )2 ] ? 2[( x2 ? 2x ? k ) ? (3 ? k )] ? 0 , ?( x2 ? 2x ? 2k ? 5) ? ( x2 ? 2x ? 3) ? 0 ,

?( x ?1 ? ?2k ? 4)( x ?1 ? ?2k ? 4) ? ( x ? 3)( x ?1) ? 0 ,
? x ? ?1 ? ?2k ? 4 或 x ? ?1 ? ?2k ? 4 或 x ? ?3 或 x ? 1 , k ? ?6 ,?1? (?1, ?1 ? ?2 ? k ) , ?3 ? (?1 ? ?2 ? k , ?1) , ?1 ? ?2k ? 4 ? ?1 ? 2 ? k , ?1 ? ?2k ? 4 ? ?1 ? 2 ? k , 结合函数 f ( x ) 的单调性知 f ( x) ? f (1) 的解集为
(?1 ? ?2k ? 4, ?1 ? 2 ? k ) (?1 ? ?2 ? k , ? 3) (1, ?1 ? ?2 ? k ) (?1 ? 2 ? k , ?1 ? ?2k ? 4) .

5


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