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高中数学课件 1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则2


1.2.2基本初等函数的导数公式 及导数的运算法则(2)

复习回顾
基本初等函数的导数公式: ⑴ ( x )' ? nx
? ? ?1

⑷ (sin x )' ? cos x

1 ⑵ (e )' ? e ⑶ (ln x )' ? x ⑸ (cos x )'

; ? ? sin x
x x

⑹ (a x )' ? a x ln a(a ? 0, 且a ? 0) 1 1 ⑺ (log a x )' ? log a e ? (a ? 0, 且a ? 0) x x ln a 求导法则: ⑴ ? f ( x ) ? g( x )?? ? f ?( x ) ? g?( x ) ⑵ ? f ( x) g( x)?? ? f ?( x) g( x) ? f ( x) g?( x)
? f ( x ) ?? f ?( x ) g( x ) ? f ( x ) g?( x ) ⑶? ( g( x ) ? 0) ? ? 2 g( x ) ? g( x ) ?

怎么求 y ? sin 2 x 的导数?

解: y? ? (sin 2 x )? ? (2sin x cos x)? = (2sin x )? cos x ? 2sin x ? (cos x )? = 2(cos2 x ? sin2 x ) = 2cos 2x 另外,同学们注意这个函数的特点,函数 y ? sin 2 x 可以看成是 由函数 y ? sin ? 和 ? ? 2x 复 合而成的(其中 ? 称为中间变量),那么可不可以根据 这两个简单函数的导数来求导呢?
这就是复合函数的求导问题.

复合函数的概念 一 般 地 , 对 于 两 个 函 数 y ? f (u) 和 u ? g( x ) ,如果通过变量 u , y 可以表示成 x 的函 数,那么称这个函数为函数 y ? f (u) 和 u ? g( x ) 的复合函数,记作 y ? f ? g( x)? .

如:由函数 y ? sin ? 和 ? ? 2x 复合得复合函数 y ? sin 2 x ;
由函数 y ? ln ? 和 ? ? x ? 2 复合得复合函数 y ? ln( x ? 2) ;
由函数 y ? ? 和 ? ? x 2 ? 2 x ? 3 复合得复合函数 y ? x 2 ? 2 x ? 3 .

事实上,有许多常见函数可以看成是由一些简 单函数复合而来的.

练习 1.分析下列函数是由什么简单函数怎样复合而成的. ⑴ y ? (2 x ? 1)3 由函数 y ? ? 3 和 ? ? 2 x ? 1 复合而成的 ?
⑵ y ? sin(2 x ? ) 6 ? 由函数 y ? sin ? 和 ? ? 2 x ? 复合而成的 6 1
⑶y?
( x ? 2)2

由函数 y ?


1

y?e

?

2

和 ? ? x ? 2 复合而成的

?2 x ? 3

由函数 y ? e ? 和 ? ? ?2 x ? 3 复合而成的
⑸ y ? ln(2 x ? 1)

能否利 用简单函数 的导数写出 复合函数的 导数呢?

由函数 y ? ln ? 和 ? ? 2 x ? 1 复合而成的

复合函数求导探究

探究:已知函数 y ? f ( ? ) , ? ? g( x) 的导数分别为 f ?( ? ) , g?( x ) ,试写出复合函数 y ? f ? g( x)? 的导数.

△ y △ y △? ? ? 又注意到 △ x △? △ x ? ? y? ? ? ? x? 即 y ? ? ? f ? g( x ) ? ?? ? f ? ? g( x ) ? ? g?( x ) ∴ yx x ? ?
复合函数求导法则 复合函数 y ? f ? g( x)? 的导数和函数 y ? f (u) 和 u ? g( x ) 的导数间的关系为 y x? ? yu? ? ux? ,即 y 对 x 的导数 等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积.
若 y ? f ? g( x)? ,则 y? ? ? f ? g( x )? ?? ? f ? ? g( x ) ? ? g?( x ) ? ?
自学课本例4(复合函数求导)

△y △y ∵ y x? ? lim , y?? ? lim △ x ?0 △ x △ ? ? 0 △?

△? , ? x? ? lim △ x ?0 △ x

练习 2.求下列函数的导数. ? 3 ⑵ y ? sin(2 x ? ) ⑴ y ? (2 x ? 1) 6 1 ?2 x ? 3 ⑶y? ⑷y?e ⑸ y ? ln(2 x ? 1) ( x ? 2)2

解:⑴ y? ? ?(2 x ? 1)3 ?? ? 3(2 x ? 1)2 (2 x ? 1)? ? 6(2 x ? 1)2 ? ?

? 1 ?? 1 2 解:⑶ y? ? ? ? ?2 ( x ? 2)? ? ? 2? 3 ( x ? 2) ? ( x ? 2) ( x ? 2)3 ?

? ?? ? ? ? ? ? ? ?sin(2 x ? )? ? cos(2 x ? ) ? (2 x ? )? ? 2cos(2 x ? ) 解:⑵ y 6 ? 6 6 6 ?

? ? (e?2 x?3 )? ? e?2 x?3 ? (?2 x ? 3)? ? ?2e?2 x?3 解:⑷ y
解:⑸ y? ? ? ln(2 x ? 1)?? ?
1 2 ? (2 x ? 1)? ? 2x ? 1 2x ? 1

自我小结一下本课学习内容

课堂小结: 根据复合函数的求导法则, 加减乘除四则 运算的求导法则,利用简单函数的导数,我们 就可以快速准确地求出许多复杂函数的导数.
练习 3. 求下列函数的导数. ⑴ y ? x ? 2x ? 3
2
2

? ? 1? 解:⑴ y? ? ( x ? 2 x ? 3) ( x ? 2 x ? 3)? ? ? 2 x2 ? 2 x ? 3 2 x2 ? 2 x ? 3 x2 ? 2 x ? 3 e2 x ? ? (e 2 x ln 2 x )? ? (e 2 x )? ln 2 x ? e 2 x (ln 2 x )? ? 2e 2 x ln 2 x ? ⑵y x cos x ? ? ? ( x ) ? (cos x ? 2? x )? ? (cos x )?2? x ? cos x (2? x )? ? ?2? x sin x ? 2? x (ln2)cos x ⑶y 2

cos x ⑵ y ? e ln2 x ⑶ y ? x 2x ? 1 1 2x ? 2 2
2x

课外思考: 1.试由公式 (e x )? ? e x 根据复合函数求导法则推出公 式 (a x )? ? a x ln a . 2.若可导函数 f ( x ) 是奇函数,求证:其导函数 f ?( x ) 是偶函数. 3. 已知函数 y ? f ( x ) 是可导的周期函数,试求证其 导函数 y ? f ?( x ) 也为周期函数. 4.曲线 y ? ln(2 x ? 1) 上的点到直线 2 x ? y ? 3 ? 0 的最 短距离是( A ) ( D )0 (A) 5 (C) 3 5 ( B)2 5

作业:课本 P A 组 4⑷⑸⑹、 P A 组 2

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