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2011年高三数学(理科)一轮复习讲义:4.7 正弦定理、余弦定理应用举例


2011 年高三数学(理科)一轮复习讲义:4.7 正弦 定理、余弦定理应用举例
一、选择题(共 6 小题,每小题 7 分,满分 42 分) 1. (7 分)在 200 m 高的山顶上,测得山下一塔的塔顶和塔底的俯角分别为 30°和 60°,则塔高为( A. B. C. D. m m m m )

2. (7 分)一船向正北航行,看见正西方向有相距 1

0 海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上,继续航行半小时后, 看见一灯塔在船的南偏西 60°,另一灯塔在船的南偏西 75°,则这艘船的速度是每小时( )

A.5 海里

B.5

海里

C.10 海里

D.10

海里

3. (7 分)已知两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离都等于 a km,灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 20°,灯塔 B 在 观察站 C 的南偏东 40°,则灯塔 A 与 B 的距离为( ) A.akm B. akm C. akm D.2akm 4. (7 分)一船自西向东航行,上午 10 时到达灯塔 P 的南偏西 75°、距塔 68 海里的 M 处,下午 2 时到达这座灯塔 的东南方向的 N 处,则这只船航行的速度为( ) A. B.34 海里/时 C. D.34 海里/时 海里/时 海里/时

5. (7 分)如图,一货轮航行到 M 处,测得灯塔 S 在货轮的北偏东 15°,与灯塔 S 相距 20 海里,随后货轮按北偏 西 30°的方向航行 30 分钟后,又测得灯塔在货轮的东北方向,则货轮的速度为( )

A.20(

+

)海里/小时 B.20 (



) 海里/小时C.20(

+

)海里/小时 D.20(



)海里/小时

6. (7 分)线段 AB 外有一点 C,∠ ABC=60°,AB=200 km,汽车以 80 km/h 的速度由 A 向 B 行驶,同时摩托车以 50 km/h 的速度由 B 向 C 行驶,则运动开始____ h 后,两车的距离最小. ( ) A. B.1 C. D.2

二、填空题(共 3 小题,每小题 6 分,满分 18 分)

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www.jyeoo.com 7. (6 分) (2010?湖北模拟)在△ ABC 中,BC=1,∠ B= ,当△ ABC 的面积等于 时,tan C= _________ .

8. (6 分) (2009?海淀区一模)在△ ABC 中,AC=

,BC=2,B=60°,则∠ A= _________ ,AB= _________ .

9. (6 分)甲船在 A 处观察乙船,乙船在它的北偏东 60°的方向,两船相距 a 海里,乙船正向北行驶,若甲船是乙 船速度的 倍,则甲船应取方向 _________ °才能追上乙船;追上时甲船行驶了 _________ 海里. 三、解答题(共 3 小题,满分 40 分) 10. (13 分)如图,扇形 AOB,圆心角 AOB 等于 60°,半径为 2,在弧 AB 上有一动点 P,过 P 引平行于 OB 的直 线和 OA 交于点 C,设∠ AOP=θ,求△ POC 面积的最大值及此时 θ 的值.

11. (13 分)在△ ABC 中,已知 (Ⅰ )求 的值;



(Ⅱ )若△ ABC 的面积为 4,AB=2,求 BC 的长. 12. (14 分)在海岸 A 处,发现北偏东 45°方向,距 A 处( ﹣1)海里的 B 处有一艘走私船,在 A 处北偏西 75° 方向,距 A 处 2 海里的 C 处的缉私船奉命以 10 海里/小时的速度追截走私船,此时走私船正以 10 海里/小时的速 度从 B 处向北偏东 30°的方向逃窜,问缉私船沿什么方向能最快追上走私船,并求出所需要的时间.

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2011 年高三数学(理科)一轮复习讲义:4.7 正弦 定理、余弦定理应用举例
参考答案与试题解析
一、选择题(共 6 小题,每小题 7 分,满分 42 分) 1. (7 分)在 200 m 高的山顶上,测得山下一塔的塔顶和塔底的俯角分别为 30°和 60°,则塔高为( A. B. C. D. m m m m



考点: 解三角形的实际应用. 专题: 计算题. 分析: 先画出简图,然后从塔顶向山引一条垂线 CM,根据根据直角三角形的正切关系得到 AB=BD×tan60°, AM=CM×tan30°,进而可得到 AM 的长,再相减即可. 解答: 解:依题意可得图象, 从塔顶向山引一条垂线 CM 则 AB=BD×tan60°,AM=CM×tan30°,BD=CM
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∴ AM= 所以塔高 CD=200﹣ 故选 A. =

= m

点评: 本题主要考查构造三角形求解实际问题.属基础题. 2. (7 分)一船向正北航行,看见正西方向有相距 10 海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上,继续航行半小时后, 看见一灯塔在船的南偏西 60°,另一灯塔在船的南偏西 75°,则这艘船的速度是每小时( )

A.5 海里

B.5

海里

C.10 海里

D.10

海里

考点: 解三角形的实际应用. 专题: 计算题. 分析: 如图,依题意有∠ BAC=60°,∠ BAD=75°,所以∠ CAD=∠ CDA=15°,从而 CD=CA=10,在直角三角形 ABC 中, 得 AB=5,由此能求出这艘船的速度.
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www.jyeoo.com 解答: 解:如图,依题意有∠ BAC=60°,∠ BAD=75°, 所以∠ CAD=∠ CDA=15°, 从而 CD=CA=10, 在直角三角形 ABC 中,得 AB=5, 于是这艘船的速度是 =10(海里/小时) .

故选 C. 点评: 本题考查三角形知识的实际运用,解题时要注意数形结合思想的灵活运用. 3. (7 分)已知两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离都等于 a km,灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 20°,灯塔 B 在 观察站 C 的南偏东 40°,则灯塔 A 与 B 的距离为( ) A.akm B. akm C. akm D.2akm 考点: 专题: 分析: 解答: 在实际问题中建立三角函数模型. 计算题. 先根据题意确定∠ ACB 的值,再由余弦定理可直接求得|AB|的值. 解: 由图可知,∠ ACB=120°, 由余弦定理
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cos∠ ACB=

=

=﹣ ,

则 AB= a(km) . 故选 B.

点评: 本题主要考查余弦定理的应用.正弦定理和余弦定理在解三角形和解决实际问题时用的比较多,这两个定 理及其推论,一定要熟练掌握并要求能够灵活应用. 4. (7 分)一船自西向东航行,上午 10 时到达灯塔 P 的南偏西 75°、距塔 68 海里的 M 处,下午 2 时到达这座灯塔 的东南方向的 N 处,则这只船航行的速度为( ) A. B.34 海里/时 C. D.34 海里/时 海里/时 海里/时

考点: 解三角形的实际应用. 专题: 应用题. 分析: 根据题意可求得∠ MPN 和,∠ PNM 进而利用正弦定理求得 MN 的值,进而求得船航行的时间,最后利用里 程除以时间即可求得问题的答案. 解答: 解:由题意知∠ MPN=75°+45°=120°,∠ PNM=45°. 在△ PMN 中,由正弦定理,得
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www.jyeoo.com = ,

∴ MN=68×

=34



又由 M 到 N 所用时间为 14﹣10=4(小时) , ∴ 船的航行速度 v= 故选 A. = (海里/时) ;

点评: 本题主要考查了解三角形的实际应用.考查了学生分析问题和解决问题的能力. 5. (7 分)如图,一货轮航行到 M 处,测得灯塔 S 在货轮的北偏东 15°,与灯塔 S 相距 20 海里,随后货轮按北偏 西 30°的方向航行 30 分钟后,又测得灯塔在货轮的东北方向,则货轮的速度为( )

A.20(

+

)海里/小时 B.20 (



) 海里/小时C.20(

+

)海里/小时 D.20(



)海里/小时

考点: 解三角形的实际应用. 专题: 计算题. 分析: 由题意知 SM=20, ∠ SNM=105°, ∠ NMS=45°, ∠ MSN=30°, △ MNS 中利用正弦定理可得
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代入可求 MN,进一步利用速度公式即可 解答: 解:由题意知 SM=20,∠ NMS=45°, ∴ SM 与正东方向的夹角为 75°,MN 与正东方向的夹角为,60° ∴ ∠ SNM=105° ∴ ∠ MSN=30°, △ MNS 中利用正弦定理可得, .

MN=

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www.jyeoo.com ∴ 货轮航行的速度 v= 海里/小时

故选:B 点评: 本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用,解决实际问题的关键是要把实际问题转化为数学问题,然 后利用数学知识进行求解. 6. (7 分)线段 AB 外有一点 C,∠ ABC=60°,AB=200 km,汽车以 80 km/h 的速度由 A 向 B 行驶,同时摩托车以 50 km/h 的速度由 B 向 C 行驶,则运动开始____ h 后,两车的距离最小. ( ) 1 A. B. C. D.2

考点: 函数模型的选择与应用;余弦定理. 专题: 计算题;作图题. 分析: 如图:设 th 后,两车距离最小,则: 求两车 D,E 的距离最小,可以转化为在△ BDE 中,已知 BD,BE,∠ B.求 DE,用余弦定理即
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可. 解答:

解:如图所示,设 th 后,汽车由 A 行驶到 D,摩托车由 B 行驶到 E,则 t≤2.5, ∴ AD=80t,BE=50t.因为 AB=200,所以 BD=200﹣80t,问 题就是求 DE 最小时 t 的值. 2 2 2 由余弦定理:DE =BD +BE ﹣2BD?BEcos60° 2 2 =(200﹣80t) +2500t ﹣(200﹣80t)?50t 2 =12900t ﹣42000t+40000.二次函数求最小值即 当 t= 时,DE 最小.

故答案为:C 点评: 本题考查建立数学模型的能力,根据题意,建立三角形,由余弦定理,得二次函数模型,求二次函数的最 值问题,是基础题. 二、填空题(共 3 小题,每小题 6 分,满分 18 分) 7. (6 分) (2010?湖北模拟)在△ ABC 中,BC=1,∠ B= ,当△ ABC 的面积等于 时,tan C= .

考点: 余弦定理;同角三角函数基本关系的运用. 专题: 计算题. 分析: 先利用三角形面积公式求得 c,进而利用余弦定理求得 cosC 的值,进而利用同角三角函数的基本关系求得 sinC 的值,最后利用商数关系求得 tanC 的值. 解答: 解:S△ABC= acsinB=
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∴ c=4
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www.jyeoo.com 2 2 2 由余弦定理:b =a +c ﹣2accosB=13 ∴ cosC= ∴ sinC= = =﹣ ,

∴ tanC=

=﹣

=﹣2

故答案为:﹣2 点评: 本题主要考查了余弦定理的应用,同角三角函数的基本关系的应用.应熟练记忆同角三角函数关系中的平 方,倒数和商数关系. 8. (6 分) (2009?海淀区一模)在△ ABC 中,AC=

,BC=2,B=60°,则∠ A=

,AB=



考点: 正弦定理. 专题: 计算题. 分析: 先通过正弦定理求出 sinA 进而求出∠ A(注意∠ A 的范围) ;再根据求出的∠ A 和余弦定理求出 AB 的值,注 意根据角的大小对结果进行取舍. 解答: 解:根据正弦定理
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∴ sinA= ∴ ∠ A=45°或 135° ∵ BC<AC ∴ ∠ A<∠ B ∴ ∠ A=

=

×2=

根据余弦定理 BC =AC +AB ﹣2AC?AB?cosA 即 4=6+AB ﹣2?
2

2

2

2

?AB?

求得 AB= ∵ ∠ C=180°﹣∠ A﹣∠ B=75° ∴ ∠ B>∠ A ∴ AB>BC AB= 故答案为 ,

点评: 本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用.在解决三角形的问题时,常用这两个定理对边角进行互化. 9. (6 分)甲船在 A 处观察乙船,乙船在它的北偏东 60°的方向,两船相距 a 海里,乙船正向北行驶,若甲船是乙 船速度的 倍,则甲船应取方向 30 °才能追上乙船;追上时甲船行驶了 a 海里. 考点: 解三角形的实际应用. 专题: 计算题.

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www.jyeoo.com 分析: 由题意及方位角的定义画出简图, 设到 C 点甲船上乙船, 乙到 C 地用的时间为 t, 乙船速度追为 v, 则 BC=tv, AC= tv,B=120°,在三角形中利用正弦定理及余弦定理即可求解. 解答: 解:如图所示,设到 C 点甲船上乙船, 乙到 C 地用的时间为 t,乙船速度追为 v, 则 BC=tv,AC= tv,∠ B=120°, 由正弦定理知 ∴ , ,

∴ sin∠ CAB= ,∴ ∠ CAB=30°,∴ ∠ ACB=30°, ∴ BC=AB=a, ∴ AC =AB +BC ﹣2AB?BCcos120° =a +a ﹣2a ?
2 2 2 2 2 2

=3a ,∴ AC= a.

2

a.

故答案为:北偏东 30°,

点评: 此题考考查了学生对于题意及方位角的概念的理解,还考查了利用正余弦定理求解三角形,还考查了学生 的计算能力. 三、解答题(共 3 小题,满分 40 分) 10. (13 分)如图,扇形 AOB,圆心角 AOB 等于 60°,半径为 2,在弧 AB 上有一动点 P,过 P 引平行于 OB 的直 线和 OA 交于点 C,设∠ AOP=θ,求△ POC 面积的最大值及此时 θ 的值.

考点: 已知三角函数模型的应用问题. 专题: 计算题. 分析: 根据 CP∥ OB 求得∠ CPO 和和∠ OCP 进而在△ POC 中利用正弦定理求得 PC 和 OC,进而利用三角形面积公式 表示出 S(θ)利用两角和公式化简整理后,利用 θ 的范围确定三角形面积的最大值. 解答: 解:因为 CP∥ OB,所以∠ CPO=∠ POB=60°﹣θ,∴ ∠ OCP=120°. 在△ POC 中,由正弦定理得
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= 又

,∴ =

=

,所以 CP=

sinθ.

,∴ OC=

sin(60°﹣θ) .

因此△ POC 的面积为 S(θ)= CP?OCsin120°= ? = sinθsin(60°﹣θ)= sinθ? sin(60°﹣θ)×

sinθ(

cosθ﹣ sinθ)

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www.jyeoo.com = = = ( ( sinθcosθ﹣ sin θ) sin2θ+ cos2θ﹣ )
2

[cos(2θ﹣60°)﹣ ],θ∈(0°,60°) . .

所以当 θ=30°时,S(θ)取得最大值为

点评: 本题主要考查了三角函数的模型的应用.考查了考生分析问题和解决问题的能力. 11. (13 分)在△ ABC 中,已知 (Ⅰ )求 的值;



(Ⅱ )若△ ABC 的面积为 4,AB=2,求 BC 的长. 考点: 三角函数中的恒等变换应用;余弦定理. 专题: 计算题. 分析: (Ⅰ )根据正弦的二倍角公式和内角和为 180°化简原式,然后将 cosA 的值代入即可; (Ⅱ )根据同角三角函数基本关系由 cosA 求出 sinA,然后根据三角形的面积公式求出 b 与 c 的积,然后利 用余弦定理求出 BC 即可. 解答:
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解: (Ⅰ ) (Ⅱ )在△ ABC 中,∵ ∴ . ,得 bc=10, ,



由 S△ABC=4,得 ∵ c=AB=2,∴ b=5, ∴

∴ . 点评: 考查学生应用三角函数中的恒等变换的能力,以及掌握三角形面积公式的能力,运用余弦定理解直角三角 形的能力. 12. (14 分)在海岸 A 处,发现北偏东 45°方向,距 A 处( ﹣1)海里的 B 处有一艘走私船,在 A 处北偏西 75° 方向,距 A 处 2 海里的 C 处的缉私船奉命以 10 海里/小时的速度追截走私船,此时走私船正以 10 海里/小时的速 度从 B 处向北偏东 30°的方向逃窜,问缉私船沿什么方向能最快追上走私船,并求出所需要的时间. 考点: 解三角形的实际应用. 专题: 应用题. 分析: 设缉私船追上走私船需 t 小时, 进而可表示出 CD 和 BD, 进而在△ ABC 中利用余弦定理求得 BC, 进而在△ BCD 中,根据正弦定理可求得 sin∠ BCD 的值,进而求得∠ BDC=∠ BCD=30°进而求得 BD,进而利用 BD=10t 求得 t. 解答: 解:如图所示,设缉私船追上走私船需 t 小时, 则有 CD= ,BD=10t.在△ ABC 中,
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www.jyeoo.com ∵ AB= ﹣1,AC=2, ∠ BAC=45°+75°=120°. 根据余弦定理可求得 BC= . ∠ CBD=90°+30°=120°. 在△ BCD 中,根据正弦定理可得 sin∠ BCD= ∵ ∠ CBD=120°,∴ ∠ BCD=30°,∠ BDC=30°, ∴ BD=BC= ,则有 10t= ,t= =0.245(小时)=14.7(分钟) . ,

所以缉私船沿北偏东 60°方向,需 14.7 分钟才能追上走私船.

点评: 本题主要考查了解三角形的实际应用.考查了运用三角函数的基础知识解决实际的问题.

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2011年高三数学(理科)一轮复习讲义:4.7 正弦定理、余弦定理应用举例

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