nbhkdz.com冰点文库

GCT


第7章 排列、组合、二项式定理和概率
一、两个原理 二、排列

三、组合
四、排列、组合的应用题

五、二项式定理
六、概率(★ 古典概型 )
★(加法公式) ★(乘法公式)

第7章 排列、组合、二项式定理和概率
一、两个原理 1. 分类计数原理(加法原理) 若完成一

件事有 n 类办法。 在第一类办法中有 m1 种不同的方法; 在第二类办法中有 m2 种不同的方法; 在第 n 类办法中有 mn 种不同的方法。 则完成这件事共有:

m1 ? m2 ?

? mn

种不同的方法。

2. 分步计数原理(乘法原理)
若完成一件事需要分成

n

个步骤。

做第一步有 m1 种不同的方法; 做第二步有 m2 种不同的方法; 做第 n 步有 mn 种不同的方法。 则完成这件事共有:

m1 ? m2 ?
例 A城
汽车3 火车2 飞机1

? mn

种不同的方法。

B城;

A村

B村

C村

例 4人报名参加3项比赛,每人报且只报一项, 则不同的报法有( B )种。 3 4 3 3 A. 4 B. 3 C. C4 D. P 4
解 按人分步
二、排列 1. 排列:从 n 个不同的元素中任取

3 ?3 ?3 ?3 ? 3

4

m个( m ? n )元 素,按照一定的顺序排成一列,叫做从 n 个不同 元素中取出 m个元素的一个排列。 特别: 当 m ? n 时,称为全排列。 即 n 个不同元素全部取出的排列。

2. 排列数

m个( m ? n )元素的 m m 所有排列的个数。 记作: P 或 An n


从 n 个不同的元素中取出

P

3 10

指 …….

例 由2,5,7,8可组成多少个没有重复数字的三位数? 解 P43 .
(若可以有重复数字的三位数?)

4.

3

例 5人排成一排照相,共有多少种排法?
5 解 P ? 5! ? 120 5

★ 3. 排列数公式

n! ? n ? (n ? 1) ? (n ? 2)

2 ?1

P ? n ? (n ?1) ? (n ? 2)
m n

(n ? m ? 1)
n n



n! P ? (n ? m)!
m n

特别: P

? n!

例 P ? 10 ? 9 ? 8 ? 720.
补 由 0,1, 2,

3 10

9 可组成多少个8位数的电话号码?10 .

8

多少个没有重复数字的8位数的电话号码?

P

8 10

三、组合 1. 组合: 从 n 个不同的元素中任取 m个( m ? n ) 元素并成一组,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个 元素的一个组合。 2. 组合数

m个( m ? n )元素的 m 3 所有组合的个数。 记作: Cn 例 C10 指 …….
0 ?Cn ?1 ● 由定义知 ? 1 ? Cn ? n ?C n ? 1 ? n
1 1 ? 3, (C2 ? 2, C3

从 n 个不同的元素中取出

)

(C ? C ?
2 2 3 3

? 1)

3. 组合数公式

P C ? m!
m n
3 10

m n



n! C ? m !(n ? m)!
m n

P 10 ? 9 ? 8 例 C ? ? ? 120. 6 3!
4. 组合数的性质 ① ②

3 10

C ?C
m n

n ?m n m n

.

n (常当 m ? 时用) 2
m?1 n

C

m n?1

? C ?C

.

C ? C ?C .
4 5 4 4 3 4



C

9 1 ? 10 10 ? C10

C

3 7 ? 120. ? C 10 10



C lim 1 n?? C ? C1 ? C ? 2 3
A. 0
1 B. 2

n?2 n 1 4

?C
C. 1

1 n

?( C ).
D. 2

C 解 原式 ? lim n ?? 2 ? 3 ? 4 ?

2 n

?n

等差数列前n项和公式

n(n ? 1) n 2 ? lim ? lim ? 1. n ?? 2 ? n n ?? (2 ? n)( n ? 1) 2



1 ?C ). lim ?( 1 1 1 n?? n(C ? C ? C ? 3 ?C ) 2 3 4
2 2 C ? C3 ? C4 ?
2 2 2 2

2 n 1 n

2 ? Cn 解 原式 ? lim 1 n?? n(C1 ? C1 ? C1 ? ? C 2 3 4 n)

3 2 C3 ?C32 ? C4 ?

C ? lim n?? n(2 ? 3 ? 4 ?

3 n ?1

? n)

(n ? 1) ? n ? (n ? 1) n ?1 6 ? lim ? lim ? n ?? (2 ? n)(n ? 1) n?? 3(2 ? n) n? 2

1 . 3

四、排列、组合的应用题(大致分为三类)

1. 无限制条件的排列或组合题 直接根据有关公式求。
2. 有限制条件的排列或组合题
直接计算法 间接计算法

直接计算法:把符合限制条件的排列(或组合)数 直接计算出来。 间接计算法:先算出无限制条件的所有排列(或组 合)数,再从中减去全部不符合条件 的排列(或组合)数。 3. 排列、组合综合题 通常先考虑组合,后考虑排列。

例 5名学生和2位教师排成一排照相,两位教师 不在两端,且要相邻的排法共有( D )种。
A. 108 B. 240 C. 480 D. 960

解 直接计算法
法一 先安排老师

分步

1? 5 2P ? 2 ? 4 ? 5! ? 960 4 P 5

法二 先安排学生
5 1 ? 2 ? 5! ? 4 ? 960 2P ? P 5 4



6人排成一排照相,其中甲、乙两人不能相邻 的排法有( 480 )种。

解 法一(间接计算)

P ? 2P ? 6!? 2 ? 5! ? 480
6 6 5 5

法二(直接计算) 分步 先安排其余4人,再安排甲、乙。

P ?P
4 4

2 ? 5

480

例 5个男生和2个女生站成一排照相。

(1)共有多少种排法? (2)男生甲必须站在左端或右端,且2个女生必须相邻, 有多少种排法? (3)男生甲必须站在中间,且2个女生必须相邻, 有多少种排法?

解 (1) P77 ? 7! ? 5040
(2 ) 先安排甲 (3 )

P ?P ? 2 ? 480
1 2 5 5



先安排两个女生

P ?P ? 2 ? 192
1 4 4 4



例 100件产品中,有3件次品,其余均为合格品,
从这100件中任取3件,则: (1)恰有1件次品的取法有多少种? (2)至少有1件次品的取法有多少种? (3)至多有2件次品的取法有多少种?

解 (1) 直接计算
(2) 间接计算 (3) 间接计算

C ?C C
1 3 3 100 3 100

2 97

? 13968
3 97

? C

? 14260

3 ? C C3 ? 161699



从4名男生和3名女生中挑出3人站成一排, 3人中至少有一名男生的排法共有( C )种。 A. 29 B. 34 C. 204 D. 209

解 法一(间接计算)

P ? P ? 7 ? 6 ? 5 ? 3! ? 204
3 7 3 3

▽ 法二(直接计算)

C ? C ?P ? C ? C ?P33 ? P43 ? 204
1 4 2 3

3 3

2 4

1 3

例 将4本不同的书分给3个人,每人至少1本, 不同分配方法的种数是( B )。
A. C C P
3 C. 3P 3 1 4 1 3 3 3 2 3 B. C4 P3

D. 3P43
2 1 1

解 由题知,3人中有一人得到2本,其余2人各得1本。
分步 先把书分组,再

C ?P
2 4

3 3

例 把4封不同的信投入3个不同的邮箱,且每个邮箱 至少投一封信,共有( C )种投法?
A. 12 B. 21 C. 36 D. 42

解 分步

C ?P
2 4

3 ? 3

4?3 ? 3! ? 36 2!

2

1

1

例 4个不同的小球放入甲、乙、丙、丁4个盒中, 恰有一个空盒的放法共有( D )种。
1 2 A. C4 C4 1 4 C. C4 P4 3 3 B. C4 P3
3 2 3 D. C4 C4 P 3

解 法一 分步 先选一个空盒

C ?C P
1 4

2 3 4 3









▽ 法二 分步 先把球分组,

2

1

1

再把球放入4个盒中。

C ?P
2 4

3 4

P (? C ? ) P
3 4

3 4 3 3

五、二项式定理

定理

? n ? Z 对任意 ,都有:

( a ? b) ? ? C a b
n r ?0 r n n?r

n

r

共 n ?1 项

0 n 0 1 n ?1 1 2 n?2 2 n 0 n ? Cn a b ? Cn a b ? Cn a b ? ? ? Cn ab n n a b n 上式称为 (a ? b) 的二项展开式。

● 展开式的通项:

Ca b
r n
1 n 0 n

r n

n?r r

● 展开式的二项式系数


C (r ? 0,1,2,?n)
2 n

C , C , C , ?C

0 n

1 n

2 n

n n

C ?C ?C ?

?C ? 2
n n

n

当 n ? 1, 2,3, 4,5 的二项式系数可排成下表:

1

(a ? b) 2 (a ? b) 3 (a ? b) 4 (a ? b) (a ? b)5
1

2 1 1 2 2 1 2 1 3 2 1 3 3 1 4 2 1 4 6 4 1 5 2 1 5 10 10 5 1
“杨辉三角”

1

① 二项式系数中,两端都是1,且中间的系数最大. ② 二项式系数具有对称性。 ③ 相邻两行系数间的关系(除两端的1以外,每个系数都

等于它“肩上”的两数之和)。

● 二项式系数的性质
0 n 1 n 2 n

C , C , C , ?C
n n n

0 n

1 n

2 n

n n

C ? C ? C ??? C ? 2

(令 a

? b ?1 )

● 展开式中某项的二项式系数与该项的系数不同。

例 在 (1 ? 2 x)7 的展开式中,
3 ? 35 第四项的二项式系数为: C7

而第四项的系数为: (
n n

2 C ? 280
3 3 7

3 3 3 3 3 第四项为: C7 ? (2x) ? 2 ? C7 x )

( a ? b) ? ? C a b
r ?0 r n n?r

r

第四项 r=3

补 右图是我国古代的“杨辉三角形”,按其数字

构成规律,图中第八行所有 等于( B ). (09年) A. 96 C. 256 B. 128 D. 312

中应填数字的和

1

解 n?7

?2

7

? 128

1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1



1 r 解 展开式的通项为: C ? x ? (? ) x r r 9? r ?r ? (?1) C9 ? x ? x
r 9 9? r

1 9 求 ( x ? ) 的展开式中 x3 的系数。 x

? (?1) C ? x
r r 9

9? 2 r

令 9 ? 2r ? 3 ,得

r ?3
3 3 9

?

x 的系数为: (?1) C ? ?84
3

注意:符号问题

1 n 补 (2 x ? ) 的展开式的二项式系数之和为64, x 则展开式中常数项为( D )。
A. 20 B. ?20 C. 160 D. ?160

解 由题知

2 ? 64
n
r 6

1 r 展开式的通项为: C ? (2 x) ? (? ) x r 6? r r 6? 2 r ? (?1) ? 2 ? C6 ? x
6? r

?

n?6

? 展开式中常数项为: (?1)3 ? 23 ? C63 ? ?160
注意:二项式系数与第几项系数的区别

令 6 ? 2r ? 0 ,得

r ?3



已知 (1 ? 2 x) 展开式中所有系数之和等于81,
n

则展开式中

A.

4
n

x 项的系数为( D )。 B. 8 C. 16 D. 32
2

3

解 (1 设? 2 x) ? a0 ? a1 x ? a2 x ?
令 x ? 1 ,得

? an x(重要)
n

?

a0 ? a1 ? a2 ? ? ? an ? 3
3n ? 81
r

n

n?4
r r 4 r

? 展开式中 x3 的系数为: 23 C43 ? 32

r 展开式的通项为: C4

? (2x) ? 2 C x

补 难

( x ? 2) ? ( x ?1) 的展开式中, x 的系数是( B ) A. 180 B. 179 C. 90 D. 89
10 2

10



( x ? 2) ? ( x ?1)
10 2

? x ( x ? 2) ? ( x ? 2)
2 10

10



( x ? 2) ? x ? C x ? 2 ? C x ? 2 ? ?
10 10 1 9 10
2 10

1

2 2 8 8 10 10

2 2

?

x 的系数为: 4C ?1 ? 179
10

★ 补 若 (2x ?

3) ? a0 ? a1x ? a2 x ? a3 x ? a4 x ,
4 2 3 4

则 (a0 ? a2 ? a4 ) A. 1

? (a1 ? a3 ) 的值是( A ). B. ?1 C. 0 D. 2
2 2 2 2



(a0 ? a2 ? a4 ) ? (a1 ? a3 ) ? (a0 ? a2 ? a4 ? a1 ? a3 )(a0 ? a2 ? a4 ? a1 ? a3 )
a0 ? a2 ? a4 ? a1 ? a3 ? (2 ? 3)
2 2
4

令 x ? 1 ,得 令 x ? ?1 得

4

? (a

a0 ? a2 ? a4 ? a1 ? a3 ? (?2 ? 3)
? (3 ? 4) ? 1
4

4
4

0

? a2 ? a4 ) ? (a1 ? a3 ) ? (2 ? 3) (?2 ? 3)

六、古典概率 1. 基本概念 ● 随机现象: 某些现象,在个别试验中其结果 呈现出不确定性,而在大量重复试验中其结果 又具有统计规律性,这些现象称为随机现象。
为了研究随机现象,我们所进行的观察或实验,称为试验。

● 随机试验: 若一个试验具有下列三个特点: ① 在相同条件下可以重复进行。 ② 每次试验的可能结果不止一个,并且事先可以 知道试验的所有可能结果。 ③ 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。 则称这一试验为随机试验。 记为:E.

例 E1 抛掷一枚硬币,观察正面和反面出现的情况。 E2 掷一颗骰子,观察出现的点数。
随机试验的样本点: 随机试验中的每一个基本结果。 随机试验的样本空间:随机试验的全体样本点组成的 集合。 记为: ?
★● 随机事件: 随机试验的样本空间的子集。 (简称事件) (随机试验中,可能发生也可能不发生

的结果)。

A, B, C 表示。 例 抛硬币 A ?{出现正面}, B ?{出现反面} 掷骰子 A ?{出现的点数小于3}
通常用

基本事件: 由一个样本点构成的集合。 (或 随机试验的每一个基本结果) 事件 A 发生: 在一次试验中,当且仅当 A 中包含的一个 一个样本点出现。 ● 事件的关系及运算 设

A, B 为两事件
?

A B :“事件 A 与 B 中至少有一个发生”的事件。 称为事件 A 与 B 的并(和). A ? B
(或 事件“ A 或 B ”)。

A

B

A B: “事件 A 与 B 同时发生”的事件。 称为事件 A 与 B 的交(积). AB (或 事件“ A 且 B ”)。

?

A

B

互斥事件(互不相容事件): 在一次试验中,若 A 与 B 不可能同时发生。
? B

例 基本事件是两两互斥的。

A

例 掷骰子 A ?{出现1点}, B ? {出现3点} 则 A与 B 互斥。 对立事件: 在一次试验中,若 A 与 B 不可能同时发生,
且必有一个发生,则称 A 与 B 互为对立事件。

A 的对立事件记为: A
事件 A 的概率: 0 ? P ( A) ? 1

?

A

B

2. 古典概型
(等可能概型)

若随机试验 E 满足: ① 基本事件只有有限个。
② 每一个基本事件的发生是等可能的。 则称此试验(试验模型)为古典概型。

定理 在古典概型中, A 是一个随机事件,则

m P ( A) ? n
其中: n 基本事件的总数 事件 A 所包含的基本事件的个数

m

● 计算 m, n 常要用排列、组合的知识。

例 一袋内有10个大小相同的球,其中有6个白球,
4个黑球。现从中任取2球,求: (1)取出的2球都是白球的概率; (2)取出的2球恰好一黑一白的概率; (3)取出的2球中至少有一个黑球的概率。

解 此题属古典概型

C 1 ? (1) P( A) ? C 3
▽ (3) 法一

法二

2 C ? P(C ) ? 1 ? P(C ) ? 1 ? 3 C

1 1 C4 C6 ? C42 ? 2 P(C) ? 2 3 C10

2 6 2 10

n?C

C ?C 8 ? (2) P( B) ? 2 C10 15
1 4 1 6 2 6 2 10

2 10

先不讲!

例 某市电话号码由8位数字组成,设每位数字可以
是从0到9这10个数字中的任意一个,电话号码 由8个不同数字组成的概率是( A )。
8 P A. 10 8 10 8 C10 B. 8 10 8 P10 C. 10 8 8 C10 D. 10 8

解 此题属古典概型

n ? 10

8

P P( A) ? 10

8 10 8

例 桌上有中文书6本、英文书6本、俄文书3本。
从中任取3本,其中恰有中文书、英文书、俄文书 各1本的概率是( C )。

4 A. 91

1 B. 108

108 C. 455

414 D. 455

解 此题属古典概型

n?C
1 3

3 15

C ?C ?C P( A) ? C
1 6 1 6 3 15

108 ? 455

例 将5个相同的球放入位于一排的8个格子中, 每格至多放一个球,则3个空格相连的概率是( C ) 3 3 5 5 A. B. C. D. 56 28 28 56 解 此题属古典概型

n?C

5 8

6 3 P( A) ? 5 ? C8 28
三个空格相连的放法共有6种,有两种理解: ① 直接数出来

② “3个空格相连”可看成占一个格子

C ?6
5 6





1, 2,3, 10 这十个数中任取四个数, 其和为奇数的概率是( B )。 A. 0.46 B. 0.48 C. 0.50 D. 0.52


解 此题属古典概型
1 5 3 5

n?C
3 5

4 10

(选最接近的一个选项) 1奇3偶 2奇2偶 3奇1偶 4奇 4偶

C ?C ? C ?C P( A) ? 4 C10
1 5 3 5

1 5

2C ? C 10 ? ? 0.48 ? 4 21 C10

补 若从 1, 2,3,

10 这十个数中任取3个不同的数, 则它们能构成公比大于1的等比数列的概率是( B ).
1 A. 40
1 B. 30

1 C. 20

1 D. 15

3 解 此题属古典概型 n ? C10

4 1 P( A) ? 3 ? . C10 30
能构成公比大于1的等比数列的3个数只有:

1, 2, 4; 1,3,9;

2, 4,8;

4, 6,9.
四种情况。

补 有长为1cm, 2cm,3cm, 4cm, 5cm, 6cm的六根细

木条,任取其中3根为边能构成一个三角形的概率 为( D ). 1 1 7 3 A. B. C. D. 4 5 20 10

解 此题属古典概型 n ? C 7 7 P( A) ? 3 ? . C 6 20

3 6

能构成三角形的3根木条共有如下7种情况: 4,5, 6; 2,3, 4 3, 4,5 2, 4,5 3, 4, 6 2,5, 6; 3,5, 6;

★ 3. 互斥事件有一个发生的概率(加法公式)

定理

若事件 A 与 B 互斥,则有:

P( A ? B) ? P( A) ? P( B)

可推广

一般地, P( A ? B) ? P( A) ? P( B) ? P( AB)

推论

P( A) ? 1 ? P( A)
(常用于:“至少有一个 )

例 一袋内有10个大小相同的球,其中有6个白球,
4个黑球。现从中任取2球,求: (3)取出的2球中至少有一个黑球的概率。

解 法二

C 2 P( A) ? 1 ? P( A) ? 1 ? ? 3 C
例 在10件产品中,有6件一等品,4件二等品。从中任
取3件,其中至少有一件为二等品的概率是多少?

2 6 2 10

解 有两种方法

C 5 P( A) ? 1 ? P( A) ? 1 ? ? . 6 C

3 6 3 10

例 在 1, 2,3,

100 中任取一数,求该数能被2整除

或能被5整除的概率。

解 设 A ?{该数能被2整除},

B ? {该数能被5整除}


P( A ? B) ? P( A) ? P( B) ? P( AB) 3 50 20 10 ? ? ? ? 100 100 100 5
50 20 10 P( A) ? , P( B) ? , P( AB) ? 100 100 100





★ 4. 相互独立事件同时发生的概率(乘法公式)

若一个事件是否发生对另一个事件发生的概率 没有影响,则称这两个事件是相互独立。(投篮、射击)
定理 若事件 A 与 B 相互独立,则有:

P( AB) ? P( A) ? P( B)
定理 若事件 A 与 B 相互独立, 事件 A 与 B ;

可推广

则: 事件 A 与 B ;都相互独立。

事件 A 与 B 。

例 甲、乙两人独立射击一目标,各射击一次,已知
甲命中概率为0.7,乙命中概率为0.6,试求: (1)两人都命中的概率; (2)恰有一人命中的概率; (3)至少有一人命中的概率。

解 设 A? {甲命中}, B ?{乙命中}
则由题知, P( A) ? 0.7

P( B) ? 0.6

( AB) ? P( A) ? P( B) ? 0.7 ? 0.6 ? 0.42 (1) PAB
AB ? AB ( AB ? AB) ? P( AB) ? P( AB) (2 ) P
互斥

? P( A)P(B) ? P( A) P( B) ? P( A)[1 ? P( B)] ? [1 ? P( A)]P( B) ?

(3)法一

PA (A ?? BB) ? P( A) ? P( B) ? P( AB)
? 0.7 ? 0.6 ? 0.42 ? 0.88

? 法二

PA (A AB) BB ?? AA BB ?? AB
? P( AB ) ? P( A B) ? P( AB) ? ? ? 0.88.

法三 设 C ?{至少有一人命中},则

P(C ) ? 1 ? P(C ) ? 1 ? P( AB)

? 1 ? P( A) P( B)
? 1 ? [1 ? P( A)][1 ? P( B)] ? ? ? 0.88.

例 打印一页文件,甲出错的概率为0.04,乙出错的
概率为0.05。从两人打印的文件中各任取一页, 其中恰有一页出错的概率是( C )。 A. 0.038 B. 0.048 C. 0.086 D. 0.096

解 设 A? {甲出错}, B ?{乙出错}
则由题知,P( A) ? 0.04

P( B) ? 0.05

AB ? AB P ( AB ? AB) ? P( AB) ? P( AB)
互斥

? P( A)P(B) ? P( A) P( B) ? P( A)[1 ? P( B)] ? [1 ? P( A)]P( B) ? 0.04 ? (1 ? 0.05) ? (1 ? 0.04) ? 0.05 ? 0.086

例 有两个独立的报警器,当紧急情况发生时,它们
发出信号的概率分别是0.95和0.92,则在紧急情况 出现时,至少有一个报警器发出信号的概率是( D ). A. 0.920 B. 0.935 C. 0.950 D. 0.996

解 设 A? {甲报警器发出信号} B? {乙报警器发出信号}
则由题知, P( A) ? 0.95 法一 法二

P( B) ? 0.92

PA (A ?? BB) ? P( A) ? P( B) ? P( AB) ? P( A) ? P( B) ? P( A) P( B) ?

1 ? P( AB) ? 1 ? P( A) P( B) ? 1 ? [1 ? P( A)][1 ? P( B)] ?



在一段电路中并联着3个自动开关,只要其中 有一个开关闭合,线路就能正常工作。已知在 某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7, 则在这段时间内线路能正常工作的概率为( A ). A. 0.973 B. 0.982 C. 0.978 D. 0.985

解 设 A? {某段时间内甲开关能够闭合}
则由题知, P( A) ? P( B) ? P(C ) ? 0.7

? 1 ? P( ABC ) ? 1 ? P( A)P(B)P(C )
? 1 ? [1 ? P( A)] 3 ? 1 ? 0.3 ? 0.973
3

补 甲盒中有200个螺杆,其中A型的有160个;

乙盒中有240个螺母,其中A型的有180个。 从甲乙两盒中各任取一个零件,能配成A型螺栓的 概率为( C ). 1 15 19 3 A. B. C. D. 20 16 20 5

解 法一(古典概型)

C ?C P( A) ? C ?C
1 160 1 200

1 180 1 240

3 160 ?180 ? ? 200 ? 240 5

160 法二 设 A ? {从甲盒中取一个A型螺杆} 则 P ( A) ? 200

B? {从乙盒中取一个A型螺母}

160 180 3 ? ? P(AB AB) ? P( A) P( B) ? 200 240 5

180 P( B) ? 240

5. 独立重复试验(贝努利概型)
若随机试验满足:

① 在相同条件下进行

n 次重复试验。
A 不发生)

② 每次试验只有两种可能结果(A 发生或 ③ 在每次试验中,A 发生的概率都一样。 ④ 各次实验是相互独立的。

(即 每次实验的结果与其他各次试验的结果无关)
则称这种实验为独立重复试验(贝努利概型)。

定理

若在一次试验中事件 A 发生的概率为 p ,

则在 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次 的概率为:

P n (k ) ? C ? p ? (1 ? p)
k n k

n ?k

(0 ? k ? n)

例 甲投篮1次投中的概率是0.6,求:
(1)甲投篮5次投中4次的概率; (2)甲投篮5次至少投中4次的概率;

解 此题属独立重复试验 p ? 0.6 4 4 5?4 (1) P (4) ? 0.26 ? C ? 0.6 ? (1 ? 0.6) 5 5 (2)P( A ? B) ? P( A) ? P( B) ? P 5 (4) ? P 5 (5) 4 4 5?4 5 5 5?5 ? C5 ? 0.6 ? (1 ? 0.6) ? C5 ? 0.6 ? (1? 0.6) ? 0.34

例 一批产品的次品率为0.1,逐件检测后放回,在 连续三次检测中,至少有一件是次品的概率是( A ) A. 0.271 B. 0.243 C. 0.1 D. 0.081 解 法一(独立重复试验) 次品率 p ? 0.1 P( A1 ? A2 ? A3 ) ? P( A1 ) ? P( A2 ) ? P( A3 ) ? ?P 3 (1) ? P 3 (2) ? P 3 (3)
法二 P( A) ? 1 ? P( A)

A :三件全是正品
正品率 p ? 0.9
3 3?3

? 1 ? P3 (3)
3 3

? 1 ? C ? 0.9 ? (1 ? 0.9)
? 0.271




2015GCT真题及参考答案

2015GCT真题及参考答案_研究生入学考试_高等教育_教育专区。2015GCT真题及参考答案 第一部分 语言表达能力测试 (50 小题,每小题 2 分,满分 100 分) 一、选择...

2015GCT真题及参考答案(数学)

2015GCT真题及参考答案(数学)_从业资格考试_资格考试/认证_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档2015GCT真题及参考答案(数学)_从业资格考试_资格考试/认证...

2012年GCT考试真题和参考答案

2012 年 GCT 考试语文真题和参考答案(A 卷文字版)第一部分语言表达能力测试(50 题,每题 2 分,满分 100 分) 一、选择题 1.下面各组词语,没有错别字的一...

GCT 历年分数线

GCT 历年分数线_研究生入学考试_高等教育_教育专区。GCT 历年分数线 国家线 2004~2013年 GCT 历年分数线 2004 年 GCT 考试百分位在 30%的成绩是 192 分左右,...

2013年GCT逻辑真题及详细解析(word完整版)

2013 年 GCT 逻辑真题及解析(A 卷)约定:“∧”表示“且”,“∨”表示“或”,“→”表示“则”,“”表示 “非” 1.人或许可以分为两类:有那么一点雄心...

GCT考试后得到的是双证还是单证

GCT考试后得到的是双证还是单证_研究生入学考试_高等教育_教育专区。上海在职研究生网:http://sh.yuloo.com/zaizhi/ GCT 属于在职联考的一种,所涉及到的专业不同...

GCT的考试心得汇总

心得经验:细数 GCT 考试成功具备的五大要素 GCT 辅导专家认为一个成功的考研学习者要具备下面五个要素:一是自信心,二是决心, 三是毅力,四是自我管理,五是自我...

2015年GCT语文真题及答案解析

2015年GCT语文真题及答案解析_研究生入学考试_高等教育_教育专区。第一部分 语言表达能力测试 (50 小题,每小题 2 分,满分 100 分) 一、选择题 1.中共十八大...

2017年硕士研究生入学资格考试(GCT)备考指南

2017 年硕士研究生入学资格考试(GCT) 备考指南一、GCT 考试介绍: GCT(Graduate Candidate Test)考试,面向在职人群的"硕士学位研究生入学资格 考试"。重点考察学生的...