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上海市2015年高三二模汇编——三角函数

时间:2015-05-12


2015 年高三二模汇编——三角
一、填空题
1. ( 2015 年 崇 明 理 7 文 8 ) 在 ?ABC 中 , 已 知 BC ? 8 , AC ? 5 , 三 角 形 面 积 为 12 , 则
c o sC 2?



【答案】

7 25

2.(2015 年

奉贤理 7 文 7)若 ? ? ?

1 ?? ? ? , ? , sin 2? ? ,则 cos ? ? sin ? 的值是__________. 16 ?4 2?

?
【答案】

15 4
5 1 0

?
2 的第 1 行第 2 列的元素 1 的代数余子式为 ?1 ,则 1

3.(2015 年虹口理 10 文 10)若行列式 sin ?? ? x ?

?? ? cos ? ? x ? 2 4 ? ?

实数 x 的取值集合为____. 【答案】 (2k ? 1)? ,(k ? Z ) 4.(2015 年黄埔理 5)已知角 ? 的顶点与平面直角坐标系的原点重合,始边在 x 轴的正半轴上,终边经过 点 P ? ?3a, 4a ? (a ? 0, a ? R) ,则 cos 2? 的值是 【答案】 7 25

.

5. ( 2015 年 黄 埔 理 6 ) 在 △ ABC 中 , 内 角 A、B、C 所 对 的 边 分 别 为 a、b、c , 且

a 2 ? b2 ? c 2 ? 2 bs ci n,则 A ? A=



? 【答案】 4
6.(2015 年静安理 2)已知扇形的圆心角是 1 弧度,半径为 5cm ,则此扇形的弧长为 【答案】 5 7.(2015 年静安文 7)方程 3sin x ? cos x 的解集为 【答案】 { x | x ? k ? ? .

cm .

?
6

, k ?Z}


8.(2015 年静安理 7)方程 lg ( 3 sin x ) ? lg ( ? cos x ) 的解集为 【答案】 { x | x ? 2k ? ?

5? , k ?Z} 6
1

9.(2015 年闵行理 4 文 4)若 cos ? ? 【答案】

? 4 ,且 ? ? ? 0, ? ? ,则 tg ? 2 5



1 3
2

10.( 2015 年浦东理 8 文 8)若对任意 x ? R ,不等式 sin 2 x ? 2 sin x ? m ? 0 恒成立,则 m 的取值范围 是 .

【答案】 (1 ? 2 ,??) 11.(2015 年普陀理 3 文 2)若函数 f ? x ? ? sin 【答案】 2 12.(2015 年普陀理 5)若 0 ? x ? ? ,则函数 y ? sin ?

?x
2

sin

? ??x
2

?? ? 0 ? 的最小正周期为 ? ,则 ? ?

?? ? ?? ? ? x ? cos ? ? x ? 的单调递增区间为 ?3 ? ?2 ?

北 60°

? 5? 【答案】 [ , ] 3 6
13.(2015 年普陀文 4)若 ? 【答案】 [ ?

?
2

?x?

?
2

,则函数 y ? cos x ? cos ?

?? ? ? x ? 的单调递减区间为 ?2 ?

A

? ?

, ] 4 4

C

B 14.(2015 年普陀理 10)如图,机车甲、乙停在 A、 B 处,且 AB ? 10km .甲的速度为 4 千米/小时,乙的
速度是甲的

1 倍,甲沿北偏东 60 的方向移动,乙沿正北方向移动.若两者同时移动 100 分钟, 2
千米.

第10题图

则它们之间的距离为 【答案】 20 3 3

15. ( 2015 年徐汇理 5 )在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a , b, c ,若 a ?

3 , c ? 2, A ?

?
3

,则

?ABC 的面积为
【答案】



3 2

16. ( 2015 年徐汇文 5 )已知函数 y ? cos x 与 y ? sin(2 x ? ? ) (0 ? ? ? ? ) 的图像有一个横坐标为 点,则常数 ? 的值为 【答案】 .

? 的交 3

? 6
2

17.(2015 年长宁理 9)已知方程 sin x ? 3 cos x ? m ? 1 在 x ? [0 , ? ] 上有两个不相等的实数解,则实数 m 的取值范围是________. 【答案】 [ 3 ? 1 , 1) 18.(2015 年长宁文 7)方程 sin x ? 3 cos x ? 0 在 x ? [0, ? ] 上的解为_____________. 【答案】 x ?

2? 3

二、选择题
1.(2015 年徐汇文 15)“ ? ? arcsin (A)充分不必要条件 (C)充要条件 【答案】A

1 1 ”是“ sin ? ? ”的( 3 3



(B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

2.(2015 年长宁理 15 文 15)在△ ABC 中,“ sin A ? A.充分非必要条件 C.充要条件 【答案】B

? 1 ”是“ A ? ”的( 6 2



B.必要非充分条件 D.既非充分又非必要条件

三、解答题
1.(2015 年崇明理 19 文 19)(本题满分 12 分)本题共有 2 小题,第(1)小题满分 6 分,第(2)小题满分 6 分. 已知函数 f ( x) ? 3sin(2x ? ) ? 2sin 2 ( x ? ) ( x ? R) . 6 12 (1)化简并求函数 f ( x) 的最小正周期; (2)求使函数 f ( x) 取得最大值的 x 集合. 【答案】解:(1) f ( x ) ? 3 sin(2 x ? 所以函数 f ( x) 的最小正周期 T ? ? (2)当 2 x ?

?

?

?
6

) ? 2sin 2 ( x ?

?
12

) ? 3 sin(2 x ?

?
6

) ? 1 ? cos(2 x ?

?
6

) ? 2sin(2 x ?

?
3

) ?1

5? , k ? Z 时,函数取得最大值, 3 2 12 5? 所以使函数 f ( x) 取得最大值的 x 集合为 {x | x ? k? ? , k ? Z} 12
?
? 2k? ?

?

, k ? Z ,即 x ? k? ?

2.(2015 年奉贤理 19 文 19)如图,甲船在 A 处,乙船在 A 处的南偏东 45°方向,距 A 有 4.5 海里,并以 10 海里/小时的速度沿南偏西 15°方向航行,若甲船以 14 海里/小时的速度航行,应沿什么方向,用多少小 北 时能尽快追上乙船?(13 分)
A
3

45° B 15°

【答案】解析:设用 t 小时,甲船能追上乙船,且在 C 处相遇。 在△ABC 中,AC=14t,BC=10t,AB=4.5, 设∠ABC=α ,∠BAC=β ,∴α =180°-45°-15°=120° 根据余弦定理 AC ? AB ? BC ? 2 AB ? BC cos ? ,
2 2 2

2分

?14t ?

2

?

81 1 2 ? 1? 20t ? ? 2 ? 4.5 ?10t ? ( ? ) , 4 2
3 9 ,t= ? (舍) 4 32

4分 6分 8分

128t 2 ? 60t ? 27 ? 0 ,(4t-3)(32t+9)=0,解得 t=
∴AC=28×

3 3 =,BC=20× =15 4 4

3 2 ?5 3, 21 14 5 3 又∵α =120°,∴β 为锐角,β =arcsin , 14 5 3 7 2 2 5 3 ? 又 < < ,∴arcsin < , 4 14 14 14 2 ? 5 3 甲船沿南偏东 -arcsin 的方向 4 14 3 用 小时可以追上乙船。 4 BC sin ? ? 根据正弦定理,得 sin ? ? AC 15 ?

10 分 11 分

12 分 13 分

3.(2015 年虹口理 21 文 21)(本题满分 14 分)本题共 2 小题,第 1 小题 6 分,第 2 小题 8 分. 如图,经过村庄 A 有两条夹角 60 为的公路 AB , AC ,根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂 P ,分别在两条公路边上建两个仓库 M , N (异于村庄 A ),要求 PM ? PN ? MN ? 2 (单位:千米).记 ?AMN ? ? . (1)将 AN , AM 用含 ? 的关系式表示出来; C (2)如何设计(即 AN , AM 为多长时),使得工厂产生的噪声对居民的影响最小 (即工厂与村庄的距离 AP 最大)? N P

A
解:(1)在 ?AMN 中,由正弦定理,得 于是 AN ?

M

B

AN AM MN 4 ? ? ? 3. sin ? sin(120? ? ? ) sin 60? 3

??2 分

4 4 3 sin ? , AM ? 3 sin(? ? 60?) (0? ? ? ? 120?). ??6 分 3 3 (2)在 ?ANP 中,由余弦定理,得

4

AP 2 ? AN 2 ? NP 2 ? 2 AN ? NP cos ?ANP 4 ?4 ? ?? 3 sin ? ? ? 22 ? 2 ? 3 sin ? ? 2 ? cos(180? ? ? ) 3 ?3 ? 16 16 8 20 ? sin 2 ? ? 4 ? 3 sin ? ? cos ? ? ( 3 sin 2? ? cos 2? ) ? 3 3 3 3 16 20 ? sin(2? ? 30?) ? (0? ? ? ? 120?). 3 3
2

??11分

故当 2? ? 30? ? 90?,即? ? 60? 时, ( AP2 )max ? 12. 此时 AN ? AM ? 2.

于是,设计 AN ? AM ? 2(千米) 时,工厂与村庄的距离 AP 最大,为 2 3 (千米); 工厂产生的噪声对居民的影响最小. ??14 分 4.(2015 年黄埔理 20)(本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 7 分. 1 3 cos 2 x ? 1, x ? R ,函数 f ? x ? 与函数 g ? x ? 的图像关于原点对称 已知函数 g ? x ? ? sin 2 x ? 2 2 (1)求 y ? f ? x ? 的解析式; (2)求函数 f ? x ? 在 ? 0, ? ? 上的单调递增区间. 【答案】解(1)设点 ( x, y ) 是函数 y ? f ( x) 的图像上任意一点,由题意可知,点 (? x, ? y ) 在 y ? g ( x) 的 图 像上,

1 3 1 3 sin(?2 x) ? cos(?2 x) ? 1, x ? R .所以, f ( x) ? sin 2 x ? cos 2 x ? 1 , x ? R . 2 2 2 2 1 3 ? (2)由(1)可知, f ( x) ? sin 2 x ? cos 2 x ? 1 ? sin(2 x ? ) ? 1, x ?[0, ? ] ,记 D ? [0, ? ] . 2 2 3 5 ? ? ? ? 由 2k? ? ? 2 x ? ? 2k? ? , k ? Z ,解得 k? ? ? ? x ? k? ? , k ? Z , 12 12 2 3 2
于是有 ? y ?

5 ? ? , k? ? ], k ? Z 的区间上单调递增. 12 12 结合定义域,可知上述区间中符合题意的整数 k 只能是 0 和 1. 5 ? 令 k ? 0 得 D1 ? [? ? , ] ; k ? 1 时,得 D1 ? [ 7 ? , 13 ? ] . 所以, D
则函数 f ( x ) 在形如 [k? ?

12

12

12

12

D1 ? [0,

?
12

],

D

于是,函数 f ( x ) 在 [0, ? ] 上的单调递增区间是 [0, ? ] 和 [ 7 ? , ? ] . 12 12 5.(2015 年黄埔文 20)(本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 7 分. 已知函数 g( x) ?

7 D2 ? [ ? , ? ] . 12

(1)求 y ? f ( x) 的解析式; (2)当 x ? [ ?

1 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 1,x ? R ,函数 f ( x) 与函数 g ( x) 的图像关于原点对称. 2 2

, ] 时,求函数 f ( x) 的取值范围. 4 2 【答案】解(1)设点 ( x, y ) 是函数 y ? f ( x) 的图像上任意一点,由题意可知,点 (? x, ? y ) 在 y ? g ( x) 的图像
上, 于是有 ? y ?

? ?

1 3 1 3 sin(?2 x) ? cos(?2 x) ? 1, x ? R .所以, f ( x) ? sin 2 x ? cos 2 x ? 1 , x ? R . 2 2 2 2

5

1 3 ? (2)由(1)可知, f ( x) ? sin 2 x ? cos 2 x ? 1 ? sin(2 x ? ) ? 1 . 2 2 3 ? ? ? ? 4 又 x ? [ ? , ] ,所以, ? ? 2 x ? ? ? . 4 2 6 3 3
考察正弦函数 y ? sin x 的图像,可知, ? 于是, ?

? ? 3 ? ? sin(2 x ? ) ? 1 , x ? [ ? , ] . 4 2 2 3

3 ? ? 1 ? sin(2 x ? ) ? 1 ? 0 . 2 3

所以,当 x ? [ ?

? ?

, ] 时,函数 f ( x) 的取值范围是 ? 4 2

2? 3 ? f ( x) ? 0 . 2

6.(2015 年静安理 20)(本题满分 14 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 已知函数 f ( x), g ( x) 满足关系 g ( x) ? f ( x) ? f ( x ? ? ) ,其中 ? 是常数. (1)若 f ( x) ? cos x ? sin x ,且 ? ?
x (2)设 f ( x) ? 2 ?

?
2

,求 g ( x) 的解析式,并写出 g ( x) 的递增区间;

1 ,若 g ( x) 的最小值为 6,求常数 ? 的值. 2x

解:(1)? f ( x) ? cos x ? sin x , ? ?

?

2

? f ( x ? ? ) ? cos x ? sin x ;? g ( x) ? cos2 x ??4 分

递增区间为 ? ? ? k? , ? ? k? ? ,( k ? Z )(注:开区间或半开区间均正确) ??????6 分 (2)? g ( x) ? ? 2 x ?

?1 ?2

? ?

1 ? ? x ?? 1 ? 2 ? x ?? x ? ? 2 ? ? 2 2 1 1 g ( x) ? 2? ? ? 2 x ? ? ? 2? ? ? 2 2 2? ? ? 2 x ?
?

? ?

1 ? ? ? x 1? ? ? x ? ? ? 2 ? x ? ? ? 2 ? 2 ? ? x ? ,???8 分 2 ? ? 2 ?2 ? ? ? 1 ? 2? ? ? ? 2 ? 6 ???????10 分 2
所以 ? ? log 2 2 ? 3 ?????????14 分

解得 2 ? 2 ? 3 ?????????12 分

?

?

7.(2015 年静安文 20) (本题满分 14 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 已知函数 f ( x), g ( x) 满足关系 g ( x) ? f ( x) ? f ( x ? ? ) ,其中 ? 是常数. (1)若 f ( x) ? cos x ? sin x ,且 ? ? ,求 g ( x) 的解析式,并写出 g ( x) 的递增区间; 2 1 (2)设 f ( x) ? x ,若 g ( x) ? 1 在 x ? [ , ??) 上恒成立,求常数 ? 的取值范围. 2 【答案】解:(1)? f ( x) ? cos x ? sin x , ? ?

?

?

2

? f ( x ? ? ) ? cos x ? sin x ;? g ( x) ? cos2 x ?4 分

递增区间为 ? ? ? k? , ? ? k? ? ,( k ? Z )(注:开区间或半开区间均正确) ??????6 分

?1 ?2

? ?

?1 ? , ?? ? 时, ? ? 1 ? x ???8 分 g ( x) ? x ? ( x ? ? ) ? 1,当 x ? ? ?2 ? x ?1 ? 1 令 h( x ) ? ? x ,则函数 y ? h( x) 在 x ? ? 2 , ?? ? 上递减??????10 分 ? ? x
(2)
6

3 ?????????12 分 2 ?1 ? 3 x ? ? , ?? ? ?? ?2 ? 上恒成立?????????14 分 2 时, g ( x) ? 1 在 因而,当
所以 h( x) max ? h( ) ?

1 2

8.(2015 年静安理 21 文 21) (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 某公园有个池塘,其形状为直角 ?ABC , ?C ? 900 , AB 的长为 2 百米, BC 的长为 1 百米. (1)若准备养一批供游客观赏的鱼,分别在 AB 、 BC 、 CA 上取点 D、E、F ,如图(1), 使得 EF //AB , EF ? ED ,在 ?DEF 内喂食,求当 ?DEF 的面积取最大值时 EF 的长; (2)若准备建造一个荷塘,分别在 AB 、 BC 、 CA 上取点 D、E、F ,如图(2),建造 ?DEF 连廊 (不考虑宽度)供游客休憩,且使 ?DEF 为正三角形,记 ?FEC ? ? ,求 ?DEF 边长的最小值 及此时 ? 的值.(精确到 1 米和 0.1 度) A A

F D C E
图(1)

D F B C E
图(2)

B

【答案】解:(1)设 EF ? x ,则 CE ?
S?DEF ?

3? x? x x ,故 BE ? 1 ? ,所以 DE ? ?1 ? ? ,??2 分 2 ? 2? 2 2

3 ? x? x ?1 ? ? , x ? (0, 2) ,????????????????????4 分 4 ? 2?
2

3 x? x? 3 1? x x? 3 ? ?1 ? ? ? ? ? ? 1 ? ? 当且仅当 x ? 1 时等号成立,即 ? S?DEF ?max ? .????6 分 2 2? 2? 2 4? 2 2? 8 ? ?? (2)在 Rt?ABC 中, ?A ? 300 ,设 ?FEC ? ? , ? ? ? 0, ? , ? 2?

因为 S?DEF ?

则 ?EFC ? 900 ? ? , ?AFD ? 1800 ? 600 ? (900 ? ? ) ? 300 ? ? ,??????????8 分 所以 ?ADF ? 1800 ? 300 ? (300 ? ? ) ? 1200 ? ? 设 CF ? x ,则 AF ? 3 ? x ,在 ?ADF 中, 又由于 x ? EF sin ? ? DF sin ? ,所以 化简得 DF ? 此时 tan ? ?
3 2sin ? ? 3 cos ? ? 3 7
DF 3?x ? ,??????10 分 0 sin 30 sin(1200 ? ? )

DF 3 ? DF sin ? ? ?????????11 分 0 sin 30 sin(1200 ? ? )

? 0.65 百米=65 米????????????13 分

3 , ? ? 40.90 , ? ? 49.10 ???????????????????14 分 2 解法 2:设等边三角形边长为 EF ? ED ? DF ? y ,

7

在△ EBD 中, ?B ? 60 , ?EDB ? ? ,????????????????8 分 由题意可知 CE ? y cos ? ,??????????????????????9 分 y 1 ? y cos ? 则 EB ? 1 ? y cos ? ,所以 ,??????????????11 分 ? sin 60 sin ? 3 3 ? ? 0.65 ,??????????????????13 分 即y? 2sin ? ? 3 cos ? 7 此时 tan ? ?

3 , ? ? 40.90 , ? ? 49.10 ???????????????????14 分 2

9.(2015 年闵行理 20 文 20)(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第(1)小题满分 4 分,第(2)小题满分 10 分. 设三角形 ABC 的内角 A、B、C 所对的边长分别是 a、b、c ,且 B ?

?
3

.若 △ ABC 不是钝角三角形,

2a 的取值范围. c 2? 2? ?C 【答案】[解] (1)因为 A ? C ? ,A? 3 3
求:(1)角 C 的范围;(2) 由0 ? C ?

?????????????2 分

?

2 2 6 2 2a 4 R sin A sin A ? ? (2) ?????????????6 分 c 2 R sin C sin C ? 2sin( B ? C ) sin C ? 3 cos C 3 cos C ? ( ? C ? )?????10 分 ? ? ? 1? 6 2 sin C sin C sin C ? 2a 3 cos C 当 C ? 时, ? 1? ?1 2 c sin C ? ? 2a 3 ? 1? ? ?1, 4? 当 ? C ? 时, ?????????????12 分 6 2 c tan C 2a 3 ? 1? ? ?1, 4? . 所以 ?????????????14 分 c tan C
10.(2015 年浦东理 21 文 21)(本大题共有 2 个小题,满分 14 分)第(1)小题满分 6 分,第(2)小题满 分 8 分. 一颗人造卫星在地球上空 1630 千米处沿着圆形轨道匀速运行,每 2 小时绕地球一周,将地球近似为 一个球体,半径为 6370 千米,卫星轨道所在圆的圆心与地球球心重合,已知卫星与中午 12 点整通过卫星 跟踪站 A 点的正上空 A ' ,12:03 时卫星通过 C 点(卫星接收天线发出的无线电信号所需时间忽略不计). (1)求人造卫星在 12:03 时与卫星跟踪站 A 之间的距离(精确到 1 千米); A? C (2)求此时天线方向 AC 与水平线的夹角(精确到 1 分).

,0 ? A ?

?

得:

?

?C?

?

?????????????4 分

A

8

O

【答案】解:(1)设人造卫星在 12:03 时位于 C 点处, ?AOC ? ? , ? ? 360? ?
2 2 2

3 ? 9? ,?2 分 120

在 ?ACO 中, AC =6370 +8000 -2 ? 6370 ? 8000 ? cos9? ? 3911704.327 , AC ? 1977.803 (千米),?????????????????5 分 即在下午 12:03 时,人造卫星与卫星跟踪站相距约为 1978 千米.???????6 分 (2)设此时天线的瞄准方向与水平线的夹角为 ? ,则 ?CAO ? ? ? 90? ,

sin 9? sin(? ? 90?) 8000 ? sin 9? ? 0.6327 ,???????9 分 , sin(? ? 90?) ? 1978 8000 1978 即 cos? ? 0.6327 , ? ? 50?45' ,????????????????????11 分 即此时天线瞄准的方向与水平线的夹角约为 50?45' .????????????12 分

11.(2015 年普陀理 19)(本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分.
2 已知函数 f ? x ? ? cos x, g ? x ? ?

(1)若直线 x ? a 是函数 y ? f ? x ? 图象的一条对称轴,求 g ? 2a ? 的值; (2)若 0 ? x ?

1 ? 3 sin x cos x . 2

?
2

,求 h ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? 的值域.

【答案】解:(1) f ( x ) ? 2分

1 1 k? k? cos 2 x ? ,其对称轴为 2 x ? k? ,即 x ? , k ? Z ,所以 a ? , 2 2 2 2
4分 6分

1 1 3 ? 3 sin x cos x ? ? sin 2 x, 2 2 2 1 3 1 3 1 所以 g (2a) ? ? sin(4a) ? ? sin(2kx) ? 2 2 2 2 2
由于 g ( x) ?

1 1 1 3 ? sin 2 x) ? sin(2 x ? ) ? 1 2 2 2 2 6 ? ? ? 7? , 由 0 ? x ? 得 ? 2x ? ? 2 6 6 6 1 ? ? ? sin(2 x ? ) ? 1 2 6 1 1 所以 ? h( x ) ? 2 ,即函数 h( x) 的值域为 [ , 2] . 2 2
(2) h( x) ? ( cos 2 x ? ) ? ( ?

8分 10 分 11 分

12.(2015 年徐汇理 20)(本题满分 14 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 一个随机变量 ? 的概率分布律如下:

? P

x1
cos2A

x2
sin(B+C)

其中 A, B, C 为锐角三角形 .....ABC 的三个内角. (1)求 A 的值; (2)若 x1 ? cos B , x2 ? sin C ,求数学期望 E? 的取值范围.

9

【答案】解:(1)由题 cos 2 A ? sin ? B ? C ? ? 1 ,??????..2’ 则 1 ? 2sin 2 A ? sin A ? 1 ? sin A ?

A?

?
6

1 ? sin A ? 0舍 ? ??..4’ 2

又 A 为锐角,得

??????..6’

(2)由 A ?

?
6

得B?C ?

5? 1 1 ,则 cos 2 A= sin ? B ? C ? ? ,即 P ?? ? x1 ? ? P ?? ? x2 ? ? ????..8’ 6 2 2

1 1 ? E? ? cos B ? sin C ??????..9’ 2 2 3 ? ?? 1 3 3 ? 5? ? 1 sin ? C ? ? , ??????..11’ ? cos ? ? C ? ? sin C ? sin C ? cos C ? 2 6? 2 4 4 ? ? 6 ? 2 ? ? ?? C ? ? 0, ? ? ? ?? ? ? ? ? 2? ?? ? ? 由 ?ABC 为锐角三角形,得 ? ? C ?? , ? ? C ? ?? , ? 6 ?6 3? ?3 2? ? B ? 5? ? C ? ? 0, ? ? ? ? ? 6 ? 2? ? ? 3 3? ? ? ?1 3? ? 则 sin ? C ? ? ? ? , ,得 E? ? ? ? ? 4 ,4? ? ??????..14’ ? ? 6? ?2 2 ? ? ? ?
13.(2015 年徐汇文 20)(本题满分 14 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分. 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a , b, c ,且 a cos C ? c cos A ? 2b cos A . (1)求角 A 的大小; (2)若 a ? 3, c ? 2 ,求 ?ABC 的面积. 【答案】解:(1) sin A cos C ? sin C cos A ? 2sin B cos A ??????.3’ 所以 sin ? A ? C ? ? 2sin B cos A ,即 sin B ? 2sin B cos A 由于 0 ? A ? ? ,故 A ? (2)由余弦定理得, 故 S?ABC ? 由 sin B ? 0 ? cos A ?

?
3

1 ??????.6’ 2

??????.7’
2

? 3?

? 22 ? AC 2 ? 2 ? 2 ? AC ? cos

?
3

所以 AC ? 1 ??????.12’

1 ? 3 ??????.14’ ? 2 ?1? sin ? 2 3 2

14.(2015 年杨浦理 19 文 20)(本题满分 12 分) 如图,一条东西走向的大江,其河岸 A 处有人要渡江到对岸 B 处,江面上有一座大桥 AC ,已知 B 在 A 的西南方向, C 在 A 的南偏西 15? , BC ? 10 公里.现有两种渡江方案: 方案一:开车从大桥 AC 渡江到 C 处,然后再到 B 处; 方案二:直接坐船从 A 处渡江到对岸 B 处. 若车速为每小时 60 公里,船速为每小时 40 公里(不考虑水流速度),为了尽快到达 B 处,应选择哪个方 案? 说明理由. A
10

B

C

??BAC ? 30?, 【答案】解: ?ABC中,?ABC ? 45?,?BCA ? 105?,
AB AC 10 ? ? sin105 ? sin 45? sin30? ? AB ? ( 5 6 ? 2),AC ? 10 2, 设方案一和方案二耗时分别为 t1, t2 , ?
则 t1 ?

2分 4分 8分

10 ? 10 2 1 ? 2 ( 5 6 ? 2) 6 ? 2 ? , t2 ? ? 60 6 45 9 ? t1 ? t2 ?选择方案一

10 分 12 分

15.(2015 年闸北理 15 文 16)(本题满分 15 分,第(1)小题 6 分,第(2)小题 9 分) 如图所示,某市拟在长为 8km 道路 OP 的一侧修建一条运动赛道,赛道的前一部分为曲线段 OSM , 该曲线段为函数 y ? Asin ? x ? A ? 0, ? ? 0? x ? ? 0, 4 ? 的图像,且图像的最高点为 S 3, 2 3 ,赛道的 后一部分为折线段 MNP ,且 ?MNP ? 120 . (1)求 M 、 P 两点间的直线距离; (2)求折线段赛道 MNP 长度的最大值.

?

?

?

?

解法一:(1)依题意,有 A ? 2 3

????1 分 ????1 分

T 2? ? 又 ? 3, 而T ? , ?? ? 4 ? 6

? y ? 2 3 sin y ? 2 3 sin

?

2? ? 3 ,? M ? 4,3? ,又 P ?8,0 ? 3

6

x

当 x ? 4 时,

???????????????3 分 ?MP ? 42 ? 32 ? 5 (2)在 ?MNP 中, ?MNP ? 120 , MP ? 5 . 设 ?PMN ? ? ,则 0 ? ? ? 60 . ??????????????1 分 MP NP MN 由正弦定理得 , ? ? sin120 sin ? sin ? 60 ? ? ?

10 3 10 3 sin ? , MN ? sin ? 60 ? ? ? , ?????????????3 分 3 3 10 3 10 3 10 3 sin ? ? sin ? 60 ? ? ? ? sin ?? ? 60 ? ??3 分 故 NP ? MN ? 3 3 3 0 ? ? ? 60 ,? 当 ? ? 30 时,折线段赛道 MNP 最长. ????????2 分 ? NP ?
解法二 :(1)同解法一. (2)在 ?MNP 中, ?MNP ? 120 , MP ? 5. 由余弦定理得 MN ? NP ? 2MN ? NP ? COS ?MNP ? MP ,
2 2 2

11

即 MN ? NP ? MN ? NP ? 25 ;
2 2

??????????3 分

故 ? MN ? NP ? ? 25 ? MN NP ? ?
2

3 2 ? MN ? NP ? ? ,从而 4 ? MN ? NP ? ? 25 ?4 分 2 ? ?
??????2 分

2

10 3 ,当且仅当 MN ? NP 时等号成立. 3 亦即,设计为 MN ? NP 时,折线段赛道 MNP 最长.
即 MN ? NP ? 还可设计为:① N ?

注:本题第(2)问答案及其呈现方式均不唯一,除了解法一、解法二给出的两种设计方法,

? 12 ? 3 9 ? 4 3 ? ? 12 ? 3 9 ? 4 3 ? ? 2 , 6 ? ? ;② N ? ? 2 , 6 ? ? ;③点 N 在线段 MP 的垂直平分线上等. ? ? ? ?

16.(2015 年长宁理 19 文 19)(本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分. 在△ ABC 中,已知 2 sin (1)求角 C 的大小; (2)若角 A ?
2

A? B ? cos 2C ? 1 ,外接圆半径 R ? 2 . 2

?

6

,求△ ABC 面积的大小.

【答案】(1)由题意, 1 ? cos(A ? B) ? cos2C ? 1 ,
2 因为 A ? B ? C ? ? ,所以 cos(A ? B) ? ? cosC ,故 2 cos C ? cosC ? 1 ? 0 ,??(2 分)

? 1 . ??????(5 分)所以, C ? . ??????(6 分) 3 2 c ? c ? 2 R ,得 (2)由正弦定理, ? 4 ,所以 c ? 4 sin ? 2 3 . ???(2 分) ? sin C 3 sin 3 ? a ? 2 R ,得 a ? 2 , ????(4 分) 因为 A ? ,由 6 sin A ? 1 又 B ? ,所以△ ABC 的面积 S ? ac ? 2 3 . ????(6 分) 2 2
解得 cos C ? ?1 (舍),或 cos C ?

12


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