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函数定义域知识点梳理、经典例题及解析、高考题带答案


函数的定义域
【考纲说明】
1、理解函数的定义域,掌握求函数定义域基本方法。 2、会求较简单的复合函数的定义域。 3、会讨论求解其中参数的取值范围。

【知识梳理】
(1) (2) 定义:定义域是在一个函数关系中所有能使函数有意义的 确定函数定义域的原则 1.当函数 y=f(x)用列表法给出时,函数的定义域指的是表格中所有实数 x

的集合。 2.当函数 y=f(x)用图象法给出时,函数的定义域指的是图象在 x 轴上的投影所覆盖的实数的集合。 3.当函数 y=f(x)用解析式给出时,函数定义域指的是使解析式有意义的实数的集合。 4.当函数 y=f(x)由实际问题给出时,函数定义域要使函数有意义,同时还要符合实际情况。 3、.确定定义域的依据: ①f(x)是整式(无分母) ,则定义域为 ②f(x)是分式,则定义域为 ③f(x)是偶次根式,则定义域为 ④对数式中真数 ⑤零次幂中, ⑦正切函数 y ? tan x ; 的集合; 的集合; ,当指数式、对数式底中含有变量 x 时,底数 ,即 x 中
0

的集合。



; 。

⑥若 f(x)是由几个基本初等函数的四则运算而合成的函数,则定义域是各个函数定义域的

4、抽象函数的定义域(难点) (1)已知 f (x) 的定义域,求复合函数 f [ g ? x ?] 的定义域 由复合函数的定义我们可知,要构成复合函数,则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中,因此可 得其方法为:若 f (x) 的定义域为 x ? ?a, b ? ,求出 f [ g ( x)] 中 a ? g ( x) ? b 的解 x 的范围,即为 f [ g ( x)] 的定义域。 (2)已知复合函数 f [ g ? x ?] 的定义域,求 f (x) 的定义域 方法是:若 f [ g ? x ?] 的定义域为 x ? ?a, b ? ,则由 a ? x ? b 确定 g (x) 的范围即为 f (x) 的定义域。

1

(3)已知复合函数 f [ g ( x)] 的定义域,求 f [h( x)] 的定义域 结合以上一、二两类定义域的求法,我们可以得到此类解法为:可先由 f [ g ? x ?] 定义域求得 f ? x ? 的定义域, 再由 f ? x ? 的定义域求得 f [h? x ?] 的定义域。 (4)已知 f ( x) 的定义域,求四则运算型函数的定义域 若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的,其定义域为各基本函数定义域的交集,即先求出各个函数 的定义域,再求交集。

【经典例题】
1. (陕西文 2)函数 f ( x) ? lg 1 ? x 2 的定义域为 (A) [0,1] (B) (-1,1) 2 解析:由 1-x >0 得-1<x<1,选 B (C) [-1,1] (D) (-∞,-1)∪(1,+∞)

2、 (06 广东卷)函数 f ( x) ? A. (? , ??) 解:由 ?

3x 2 1? x

? lg(3 x ? 1) 的定义域是
C. ( ? , )

1 3

B. (? ,1)

1 3

1 1 3 3

D. (??, ? )

1 3

?1 ? x ? 0 1 ? ? ? x ? 1 ,故选 B. 3 ?3x ? 1 ? 0

3. (江西文 3)函数 f ( x) ? lg A. (1, 4) 解析: B. [1, 4)

1? x 的定义域为( x?4

) D. (??, ? (4, ?) 1] ?

C. (??, ? (4, ?) 1) ?

1? x ? 0 ? (1 ? x)( x ? 4) ? 0,?1 ? x ? 4. 选 A. x?4
log 2 x ? 2 的定义域是(
B.[3, +∞) ) D.[4, +∞)

4. (湖南卷)函数 y ? A.(3,+∞) 解:函数 y ?

C.(4, +∞)

log 2 x ? 2 的定义域是 log 2 x ? 2 ≥ 0 ,解得 x≥4,选 D.

5、 (湖北卷 4)函数 f ( x) ?

1 ln( x 2 ? 3x ? 2 ? ? x 2 ? 3x ? 4) 的定义域为 D x

2

A. (??, ?4] ? [2, ??)

B. (?4, 0) ? (0.1)

C.

[-4,0) ? (0,1]

D. [?4, 0) ? (0,1)

6、 (2012 高考四川文 13)函数 f ( x) ? 【答案】 (??, ) . 【解析】根据题意知 1 ? 2x ? 0 , x ? 7、2012 高考山东文 3】函数 f ( x) ? (A) [?2,0) ? (0,2] 【答案】B

1 的定义域是____________。 (用区间表示) 1? 2x

1 2

1 1 ,所以定义域为 (??, ) . 2 2

1 ? 4 ? x 2 的定义域为 ln( x ? 1)

(B) (?1,0) ? (0,2]

(C) [?2, 2]

(D) (?1, 2]

【解析】 方法一: 特值法, x ? ?2 时,f ( x) ? ln( x ? 1) 无意义, 当 排除 A,C.当 x ? 0 时,f (0) ? ln(0 ? 1) ? ln 1 ? 0 , 不能充当分母,所以排除 D,选 B.

?x ? 1 ? 0 ? x ? ?1 ? ? 方法二:要使函数有意义则有 ?ln( x ? 1) ? 0 ,即 ? x ? 0 ,即 ? 1 ? x ? 0 或 0 ? x ? 2 ,选 B. ?? 2 ? x ? 2 ?4 ? x 2 ? 0 ? ?

, 8、已知函数 f ( x) 的定义域为 ? ?1 5? ,求 f (3x ? 5) 的定义域.
分析:该函数是由 u ? 3x ? 5 和 f (u ) 构成的复合函数,其中 x 是自变量, u 是中间变量,由于 f ( x) 与

f (u ) 是同一个函数,因此这里是已知 ?1≤ u ≤ 5 ,即 ?1≤ 3x ? 5 ≤ 5 ,求 x 的取值范围.

4 10 , 解:? f ( x) 的定义域为 ? ?1 5? ,??1≤ 3x ? 5 ≤ 5 ,? ≤ x ≤ . 3 3
? 4 10 ? 故函数 f (3x ? 5) 的定义域为 ? , ? ?3 3 ?

3 9、已知函数 f ( x ? 2 x ? 2) 的定义域为 ? 0,? ,求函数 f ( x) 的定义域.
2

分析:令 u ? x 2 ? 2 x ? 2 ,则 f ( x 2 ? 2 x ? 2) ? f (u ) , 由于 f (u ) 与 f ( x) 是同一函数,因此 u 的取值范围即为 f ( x) 的定义域. 解:由 0 ≤ x ≤ 3 ,得 1 ≤ x 2 ? 2 x ? 2 ≤ 5 . 令 u ? x 2 ? 2 x ? 2 ,则 f ( x 2 ? 2 x ? 2) ? f (u ) , 1≤ u ≤ 5 .

, 故 f ( x) 的定义域为 ?1 5? .

3

5 10、若 f ( x) 的定义域为 ? ?3,? ,求 ? ( x) ? f (? x) ? f (2 x ? 5) 的定义域.
??3 ≤ ? x ≤ 5, 5 解:由 f ( x) 的定义域为 ? ?3,? ,则 ? ( x) 必有 ? 解得 ?4 ≤ x ≤ 0 . ??3 ≤ 2 x ? 5 ≤ 5,

0 所以函数 ? ( x) 的定义域为 ? ?4,? .
11、已知函数 y ?

mx 2 ? 6mx ? m ? 8 的定义域为 R 求实数 m 的取值范围。

分析:函数的定义域为 R ,表明 mx 2 ? 6mx ? m ? 8 ? 0 ,使一切 x ? R 都成立,由 x 2 项的系数是 m ,所以应 分 m ? 0 或 m ? 0 进行讨论。 解:当 m ? 0 时,函数的定义域为 R ; 当 m ? 0 时, mx 2 ? 6mx ? m ? 8 ? 0 是二次不等式,其对一切实数 x 都成立的充要条件是

?m ? 0 ? 2 ?? ? (?6m) ? 4m(m ? 8) ? 0

? 0 ? m ?1

综上可知 0 ? m ? 1 。 评注:不少学生容易忽略 m ? 0 的情况,希望通过此例解决问题。

【课堂练习】
1、 (2010 全国卷 2 文数)函数 y=1+ln(x-1)(x>1)的反函数是( (A)y= e (C)
x ?1



-1(x>0)
x ?1

(B) y= e (D)y= e

x ?1

+1(x>0) +1 (x ? R) ) (B) [0, 4] (D) (0, 4)

y= e

-1(x ? R)

x ?1

2、 (2010 重庆文数)函数 y ? 16 ? 4 的值域是(
x

(A) [0, ??) (C) [0, 4)

3、 (2010 山东文数)函数 f ? x ? ? log 2 3 ? 1 的值域为(
x

?

?

) D. ?1, ?? ? ? ) D. [2,??)

A.

? 0, ?? ?

B.

? 0, ?? ? ?

C.

?1, ?? ?

4、 (2010 广东文数)函数 f ( x) ? lg( x ? 1) 的定义域是( A. (2,??) B. (1,??) C. [1,??)

4

5、 (2010 湖北文数)函数 y ?

1 的定义域为( log 0.5 (4 x ? 3)
C(1,+∞) D. (



A.(

3 ,1) 4

B(

3 ,∞) 4

3 ,1)∪(1,+∞) 4
( )

6、 (2012 年高考(江西理) )下列函数中,与函数 y=

1 定义域相同的函数为 3 x
x

A.y=

1 sin x

B.y=

1nx x

C.y=xe

D.

sin x x
_;函数 f ( x ?2) 的定义域为________; ;函数 f ( ? 2) 的定义域

7、设函数 f ( x ) 的定义域为 [ 0 , 1] ,则函数 f ( x ) 的定义域为_
2

_

8、若函数 f ( x ? 1) 的定义域为 [?2, ] ,则函数 f (2x ? 1) 的定义域是 3 为 。

1 x

9、知函数 f ( x ) 的定义域为 [?1, 1] ,且函数 F ( x) ? f ( x ? m) ? f ( x ? m) 的定义域存在,求实数 m 的取值范围。

1 10、 (湖北卷 4)函数 f ( x) ? ln( x 2 ? 3x ? 2 ? ? x 2 ? 3x ? 4) 的定义域为 x

A. (??, ?4] ? [2, ??) C.
[-4,0) ? (0,1]

B. (?4, 0) ? (0.1) D. [?4, 0) ? (0,1)
1 有相同定义域的是 x
D. f ( x) ? e
x

1、(2009 福建卷文)下列函数中,与函数 y ? 2、A . f ( x) ? ln x B. f ( x) ?

1 x

C. f ( x) ?| x |

12、 (2010 广东理数)函数 f ( x) =lg( x -2)的定义域是

f ( x) ?
13、 (广东文 4)函数 A. (??, ?1) B. (1, ??)

1 ? lg( x ? 1) 1? x 的定义域是
C. (?1,1) ? (1, ??)



) D. (??, ??)

5

【课后作业】
1、 (江西文 3)若

f ( x) ?

1 log 1 (2 x ? 1)
2

,则 f ( x) 的定义域为(

)

1 ( ? , 0) 2

1 (? , ??) B. 2

1 (? , 0) ? (0, ??) C. 2

1 ( ? , 2) D. 2

2、 (江西理 4)设 f ( x) ? x ? 2 x ? 4 ln x ,则 f ( x) ? 0 的解集为
2 '

A. (0,??)

B. (?1,0) ? (2,??)

C. (2,??)

D. (?1,0)

y?
3、安徽文 13)函数

1 6 ? x ? x 2 的定义域是
.

4、 【2012 高考四川文 13】函数 f ( x) ?

1 的定义域是____________。 (用区间表示) 1? 2x

5、 (安徽卷 13)函数 f ( x ) ?

x ? 2 ?1 log 2 ( x ? 1)

的定义域为



6、 (湖南卷 14)已知函数 f ( x) ? (1)若 a>0,则 f ( x) 的定义域是

3 ? ax (a ? 1). a ?1

; .

(2) 若 f ( x) 在区间 ? 0,1? 上是减函数,则实数 a 的取值范围是
7、 【2012 高考山东文 3】函数 f ( x) ? (A) [?2,0) ? (0,2]
1 ? 4 ? x 2 的定义域为 ln( x ? 1)

(B) (?1,0) ? (0,2]

(C) [?2, 2]

(D) (?1, 2] . . )

8、 【2012 高考江苏 5】函数 f ( x) ? 1 ? 2 log 6 x 的定义域为 9、 (重庆 13)若函数 f ( x) ? 10、 (广东 1)已知函数 f ( x) ? A.{x| x >-1}

2x

2

? 2 ax ? a

? 1 的定义域为 R,则 a 的取值范围为

1 1? x

的定义域为 M, g ?x ? ? ln ?1 ? x ? 的定义域为 N,则 M∩N =( C.{x|-1< x <1} D. ?

B.{x| x <1}

6

11、 (全国 I14)函数 y ? f (x) 的图像与函数 y ? log 3 x( x ? 0) 的图像关于直线 y ? x 对称,则 f (x) ? 12、 (上海 1) .函数 f ? x ? ?

.

lg ? 4 ? x ? x?3

的定义域为



13、 (浙江 10)设 f ( x) ? ?

? x 2 , | x |? 1, ? x, | x |? 1,

g (x) 是二次函数,若 f ( g ( x)) 的值域是 [0,??), 则g ( x) 的值域是( )
(C) [0,??) (D) [1,??)

(A) (??,?1] ? [1,??) 14、 (湖北 4) .函数 f ( x) ?

(B) (??,?1] ? [0,??)

1 ln( x 2 ? 3x ? 2 ? ? x 2 ? 3x ? 4 ) 的定义域为( ) x A. (??,?4] ? [2,??) B. (?4,0) ? (0,1) C. [?4,0) ? (0,1] D. [?4,0) ? (0,1)

15、已知函数 f ( x) ?| lg x | .若0 ? a ? b, 且f (a) ? f (b) ,则 a ? 2b 的取值范围是( ) (A) ( 2 2 ,?? ) (B) 2 2 ,??

?

?

(C) (3,??)

(D) ?3,???
2

16、 (江苏 11)已知函数 f ( x ) ? ?

? x 2 ? 1, x ? 0 ? 1, x ? 0

,则满足不等式 f (1 ? x ) ? f (2 x) 的 x 的范围是

17、 (湖北 2) .已知 U ? ? y | y ? log 2 x, x ? 1? , P ? ? y | y ?

? ?

1 ? , x ? 2 ? ,则 C U P =( ) x ?
D. (??, 0][ , ??)

A. [ , ?? )

1 2

B. ? 0, ?

? ?

1? 2?

C. ? 0, ?? ?

1 2

18、 (陕西 11)设若 f ( x) ? ?

?lg x, x ? 0, ? f ( f (1)) ? 1 ,则 a = a 2 ? x ? ?0 3t dt , x ? 0, ?
? ? x, x ? 0,
2 ? x , x ? 0.

19、 (浙江 1) .设函数 f ( x ) ? ? A.-4 或-2

若f (? ) ? 4 ,则实数 ? =()
C.-2 或 4 D.-2 或 2

B.-4 或 2

7

【参考答案】
【课堂练习】 1D 2C 3A 4B 5A 6D7、 [?1,1] ; 13、C

[4,9]

8、 [0, ];

5 2

1 1 (??, ? ] ? [ , ??) 3 2

9、 ?1 ? m ? 1

10D 11A 12、 (1,+∞) 【课下作业】

3.

C

2、C 3、 (-3,2) 4、. (??, )

1 2

5、

[ 3 ?? ) ,

3? ? 6、 ? ??, ? a? ?



? ??, 0 ? ? ?1,3?

7、B

8、 0, 6 ? ?

?

9、[-1,0]

10、C

11、 3

x

12、 ?? ?,3? ? ?3,4?

13、C

14、D

15、C

16、 (?1, 2 ? 1)

17、 A

18、1

19、B

8


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