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高三数学一轮平面向量数量积代数运算试卷


高三数学一轮平面向量数量积代数运算试卷 一、选择题 1、设 =4,若 在 方向上的投影为 2,且 方向上的投影为 1,则 的夹角等

于 ( B ) A、 C、 B、 D、

考点:平面向量数量积的含义与物理意义。 分析: 利用向量的数量积的几何意义: 向量的数量积等于一个向量的模乘以另一个向量在第 一个向量上的投影; 列出两个方程求出两个

向量的模, 再利用向量的数量积公式求出两个向 量的夹角. 解答:解:设两个向量的夹角为 θ,据题意 即

所以 又 即

所以 ∵ ∴ ∴ 故选 B 点评:本题考查向量的数量积的几何意义;利用向量数量积的公式求出向量的夹角余弦. 2、△ABC 的外接圆的圆心为 O,半径为 1, 在向量 A、 C、 方向上的投影为( B、 D、 ) ,且 ,则向量

考点:平面向量数量积的含义与物理意义。 分析: 由题意△ABC 的外接圆的圆心为 O, 半径为 1,且 ,而

? 该边的中点,又且

?

?

,这说明点 O 在三角形 ABC 的边 BC 上且为

=1,说明△ABC 是以边 BC 为直角的等腰直角三角形,利

用投影的定义即可求得. 解答: 因为△ABC 的外接圆的圆心为 O, 解: 半径为 1, 且 ? ? ? , , 而

这说明点 O 在三角形 ABC 的边 BC 上且为该边的中点,则三角形应该是以 BC 边为斜边的 直角三角形, 又△ABC 的外接圆的圆心为 O,半径为 1,且 直角的等腰直角三角形, 所以向量 在向量 方向上的投影: . =1,说明△ABC 是以边 BC 为

故选 B. 点评: 此题考查了当三角形的外接圆的圆心在三角形的一边时, 说明该三角形是直角三角形 这一结论,还考查了向量在另一向量上的投影的定义. 3、已知 A、 C、 ,且满足 B、 D、 ,则向量 在 方向上的投影等于( B )

考点:平面向量数量积的含义与物理意义。 专题:计算题。 分析:由 且 ,两边同时平方整理可得, ,结合向量数量

积的定义量积的定义可得, 方向上的投影 解答:解:∵ 可求 ,且满足

及向量 在 方向上的投影的定义向量 在

两边同时平方可得, 整理可得, 由向量数量积的定义可得, 所以向量 在 方向上的投影 故选:B 即

点评:本题主要考查了向量数量积的定义、向量数量积的性质及向量投影的定义的应用,属 于基础试题 4、在△ABC 中,若 ? +
2

=0,则△ABC 是( B )

A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、等腰直角三角形 考点:平面向量数量积的含义与物理意义。 专题:计算题。 分析:由 案. 解答:解:由 得 即 所以△ABC 是直角三角形. 故选 B. 点评:本题主要考查了平面向量数量积的含义与物理意义,关键是通过向量的数量积为 0 得垂直关系,解题时经常用到. 5、已知| |=8, 是单位向量,当它们之间的夹角为 时, 在 方向上的投影为( ) , , ,得: ,即: 得出答

A、4 B、4 C、4 D、8+2 考点:平面向量数量积的含义与物理意义。 专题:计算题。 分析: 利用向量数量积的几何意义: 向量的数量积等于一个向量的模乘以另一个向量在第一 个向量上的投影. 解答:解:由两个向量数量积的几何意义可知: 在 方向上的投影即: =| || |cos =8× 1× =4

故选 B 点评:本题考查向量数量积的几何意义求向量的投影. 6、对于非零向量 、 ,下列命题中正确的是( C ) A、 C、 或 B、 ∥ ? 在 上的正射影的数量为 D、

考点:平面向量数量积的性质及其运算律。 专题:阅读型。 分析: 本题考查的知识点是平面向量的数量积的性质及其运算律, 根据平面向量的数量积的

性质及其运算律对题目中给出的四个结论逐一进行判断即可得到正确的答案. 解答:解:由于 当 若 因为 ? ,所以 A 错. cos180° =﹣ ,B 错,

反向时,根据定义, 在 上的正射影的数量为 ? ,从而 =0 =0,C 对. ?
2

,D 错

故选 C 点评:在进行平面向量的运算时,要注意:向量没有除法,不能约分,不满足三个向量的乘 法结合律,这些都是容易犯错的地方. 7、 与 的夹角为 60° 若 , A、2 B、3 C、5 D、6 考点:平面向量数量积的性质及其运算律。 专题:计算题。 分析: 与 的夹角为 60° 知| |=2, ( 由 , 由 由此能求出| |. 解答:解:∵ 与 的夹角为 60° , | |=2, ( ∴ ∴ , )?( =﹣2, , ) ( ? =﹣2, 知 , , 则 = ( B )

解得| |=3,或| |=﹣2(舍) . 故选 B. 点评:本题考查平面向量数量积的性质及其运算律,解题时要认真审题,仔细解答. 8、已知向量 与 的夹角为 60° ,| |=2,| |=3.则|2 ﹣ |=( A、13 B、12 C、 D、 考点:平面向量数量积的性质及其运算律;向量的模。 专题:计算题。 分析:直接根据向量模的求法先平方再开方把向量 与 的夹角为 60° 以及| |=2,| |=3.代 C )

入即可求出结论. 解答:解:因为:向量 与 的夹角为 60° ;| |=2,| |=3. 所 |= 以 = : = |2 = . ﹣

故选 C. 点评:在进行平面向量的运算时,要注意:向量没有除法,不能约分,不满足三个向量的乘 法结合律,这些都是考试容易犯错的地方,大家一定要高度重视. 9、给出下面四个命题: ①对于任意向量 、 , 都有 或 成立; ②对于任意向量 、 , 若 , 则

;③对于任意向量 、 、 ,都有 成立.

成立;④对于任意

向量 、 、 ,都有

其中错误的命题共有( B ) A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个 考点:平面向量数量积的性质及其运算律。 分析: 本题考查的知识点是平面向量的数量积的性质及其运算律, 根据平面向量的数量积的 性质及其运算律对题目中给出的四个结论逐一进行判断即可得到正确的答案. 解答:解:对于任意向量 、 ,都有 故①正确. 对于任意向量 、 ,若 不确定,故②错误 是一个数量,由数乘向量的性质,易得 成立 表示一个与 平行(共线)的向量,而 表示一个与 平行(共线) 成立,故③ ,则 ,只能说明两个向量的大小相等,但方向 ,易得 恒成立,

的向量,故④错误 故正确的结论有两个 故选 B 点评:在进行平面向量的运算时,要注意:向量没有除法,不能约分,不满足三个向量的乘 法结合律,这些都是考试容易犯错的地方,大家一定要高度重视. 10、设 是互相垂直的单位向量,向量 ,则实数 m 的值是( D ) .若

A、 C、

B、2 D、﹣2

考点:平面向量数量积的性质及其运算律。 专题:计算题。 分析:根据题意先求出两个向量的坐标,再求出 和 的坐标,利用

的条件,即它们的数量积为零,利用数量积的坐标表示求出 m 的 值. 解答:解:由题意知, =(m+1,﹣3) =(1,m﹣1),则 , , (m,﹣m﹣2) , ∵ ,∴m(m+2)﹣(m﹣4) (m+2)=0, =(m+2,m﹣4) , =

解得,m=﹣2, 故选 D. 点评:本题考查两个向量的数量积公式的应用,两个向量垂直的性质,两个向量坐标形式的 运算. 11、已知 (1) (2) (3) (4) 反向 ; . 是三个非零向量,则下列命题中,真命题的个数是( ; ; )

A、1 B、2 C、3 D、4 考点:平面向量数量积的性质及其运算律。 专题:计算题。 分析: 由已知中 , 可判断 (1) 的真假, 进而结合

是三个非零向量,及平面向量数量积的性质及其运算律,分别判断(2)(3)(4)的真假, , , 即可得到答案. 解答:解:∵ 若 ?|cosθ|=1 ?cosθ=±1 是三个非零向量, =

?θ=0 或 θ=π ? ,故(1)正确; 反向 ?θ=π ?cosθ=﹣1 ,故(2)正确;

? ? ? 若 当 , ,故(3)正确; 不一定相等,故 时,只能说明 , 在向量 上的投影相等,但 不成立, 不一定成立

故(4)错误; 故选 C 点评: 本题考查的知识点是平面向量数量积的性质及其运算律, 熟练掌握平面向量数量积的 性质及其运算律,是解答本题的关键. 12、在△ABC 中,| |=3,| |=4,| |=5,则 的值是( B )

A、25 B、﹣25 C、7 D、﹣7 考点:平面向量数量积的性质及其运算律。 专题:计算题。 分析: 把要求的式子变形为 ( ? + ? ) ( + ? + ? ) ( + ? + ) ,

提取公因式,再利用向量加法的三角形法则及向量的模的定义和求法得到式子的值. 解答:解: ( = ? ? + + ? ? )+ ( + ? ? + = ? )+ ( + + ? ) + )

=﹣ (

=﹣ (9+16+25)=﹣25, 故选 B. 点评:本题考查两个向量加法的三角形法则,及向量的模的定义和求法. 13、已知向量 、 满足| |=1,| |=2,|2 + |=2,则向量 在向量 方向上的投影是( )

A、﹣ C、

B、﹣1 D、1

考点:平面向量数量积的性质及其运算律;向量的投影。 专题:计算题。 分析:根据|2 + |=2,两边平方得到 4 的数量积,利用投影的公式得到结果. 解答:解:∵|2 + |=2, ∴4 ∵| |=1,| |=2 ∴ =﹣1, =﹣1, =4, =4,根据| |=1,| |=2,做出两个向量

∴向量 在向量 方向上的投影是

故选 B. 点评:本题考查平面向量数量积的运算和性质,本题解题的关键是求出两个向量的数量积, 再利用投影的公式得到结果. 14、向量 , , 满足 + + = , ⊥ ,| |=1,| |=2,则| |等于( D ) A、1 B、 C、2 D、 考点:平面向量数量积的性质及其运算律;向量的模;平面向量数量积的运算。 专题:计算题。 分析:由 + + = ,可知向量 , , 组成一个三角形,由 ⊥ ,知构成以| |、| |为直 角边的直角三角形,由此能求出| |. 解答:解:∵ + + = , ∴向量 , , 组成一个三角形, ∵ ⊥ , ∴构成以| |,| |为直角边的直角三角形, ∵| |=1,| |=2, ∴ =| | +| | =5,
2 2

∴| |=



故选 D. 点评:本题考查平面向量的性质和运算律,解题时要认真审题,仔细解答,注意合理地进行 等价转化. 15、 (2010?湖南)若非零向量 a,b 满足|a|=|b|, (2a+b)?b=0,则 a 与 b 的夹角为( C ) A、30° B、60 C、120° D、150° 考点:数量积表示两个向量的夹角。 专题:计算题。 分析:由 +3 与 7 ﹣5 垂直, ﹣4 与 7 ﹣2 垂直,我们不难得到( +3 )?(7 ﹣5 ) =0 ﹣4 ) 7 ﹣2 ) 构造方程组, ( ( ? =0, 我们易得到
2 2

=

=2 ? , 再结合 cosθ=



我们求出 与 的夹角. 解答:解:∵2 + 与 垂直 ∴(2 + )? = 即|
|2 2

+2 ? =0

=﹣2 ?

又∵| |=| | ∴| |?| |=﹣2 ? 又由 cosθ=

易得:cosθ=﹣ 则 θ=120° 故选 C 点评:若 θ 为 与 的夹角,则 cosθ= 熟练掌握. 16、 (2005?北京)若 A、30° B、60° C、120° D、150° 考点:数量积表示两个向量的夹角。 专题:计算题。 ,且 ,则向量 与 的夹角为( C ) ,这是利用向量求角的唯一方法,要求大家

分析:要求两个向量的夹角,需要知道两个向量的模和夹角,而夹角是要求的结论,所以根 据两个向量垂直,数量积为零,把式子变化出现只含向量夹角余弦的方程,解出夹角的余弦 值,根据角的范围,得到结果. 解答:解:若 设向量 与 的夹角为 θ ∵ ∴ 则 ∴ 故选 C 点评:从最近几年命题来看,向量为每年必考考点,都是以选择题呈现,从 2006 到 2009 年几乎各省都对向量的运算进行了考查, 主要考查向量的数量积的运算, 结合最近几年的高 考题,2010 年向量这部分知识仍是继续命题的重点,但应有所加强,对向量的模的考查应 是重点. 17、 (2004?福建)已知 的夹角是( A ) A、 C、 B、 D、 是非零向量且满足 ,则 , , ,

考点:数量积表示两个向量的夹角。 专题:计算题。 分析:利用向量垂直数量积为 0 列出两个等式;利用向量数量积的运算律将等式展开,得到 两个向量模的关系及模与数量积的关系; 利用向量的数量积公式表示出向量夹角的余弦, 求 出夹角. 解答:解:设 ∵ ∴ 的夹角是 α



=

∴ 故选 A 点评:本题考查向量垂直的充要条件、向量数量积的运算律、利用向量的数量积公式表示向 量夹角的余弦. 18、已知 , 为互相垂直的单位向量, = ﹣2 , = +λ ,且 与 的夹角为锐角,则实 数 λ 的取值范围是( C ) A、 (﹣∞, ) B、 (﹣2, )∪( ,+∞) D、 ,+∞) (

C、 (﹣∞,﹣2)∪(﹣2, ) 考点:数量积表示两个向量的夹角。

分析:由已知中 , 为互相垂直的单位向量, = ﹣2 , = +λ ,我们可以计算出 ? , 再由 与 的夹角为锐角,可以构造关于 λ 的不等式组,解不等式组即可得到答案. 解答:解:∵ , 为互相垂直的单位向量, ∴ ? =1, ? =1, ? =0 又∵ = ﹣2 , = +λ , ∴ ? =( ﹣2 )?( +λ )+1﹣2λ, 若 与 的夹角为锐角, 则 1﹣2λ>0,故 λ< 但当 λ=﹣2 时, = = ﹣2 ,此时 与 的夹角为 0 故实数 λ 的取值范围是(﹣∞,﹣2)∪(﹣2, ) 故选 C 点评:本题考查的知识点是数量积表示两个向量的夹角,其中根据 与 的夹角为锐角,数 量积大于 0,构造关于 λ 的不等式组,是解答的关键,但本题易忽略 λ=﹣2 时, = = ﹣ 2 ,此时 与 的夹角为 0,而错选 A. 二、填空题

19、已知| |=4,

,向量 在 方向上的投影为



12 .

考点:平面向量数量积的含义与物理意义。 专题:计算题。 分析:根据两个向量的数量积的表示形式和向量 在 方向上的投影为| |cosθ,得到两个向 量的数量积等于一个向量在另一个向量上的投影乘以另一个向量的模长, 根据所给的数据得 到结果. 解答:解:∵向量 在 方向上的投影为| |cosθ, =| || |cosθ, ∴ =(| |cosθ)| |= ,

故答案为:12. 点评:本题考查向量的投影的概念,考查两个向量的数量积的概念,本题是一个基础题,解 题时注意不要把一个向量在另一个向量上的投影的表示式弄错. 20、如图,矩形 ABCD 中,AB=1,AD=2,M 为 AD 的中点,则 的值为 3 .

考点:平面向量数量积的性质及其运算律。 专题:计算题。 分析:分别以长方形的两邻边建立直角坐标系,将向量用坐标表示,将向量的数量积用坐标 形式的公式求出. 解答:解:以 CD,CB 分别为 x,y 轴,建立平面直角坐标系则 B(0,2) ,M(1,1) ,D(1,0)



=1× 1+1× 2=3

故答案为 3 点评:本题考查通过建立坐标系,将向量用坐标表示,将向量的数量积用坐标形式的公式求 出. 21、 已知△ABC 的三边长 AC=3, BC=4, AB=5, 为 AB 边上任意一点, P 则 的最大值为 9 . 考点:平面向量数量积的性质及其运算律;余弦定理。

专题:计算题。 分析:先建立直角坐标系,把几个向量的坐标计算出来,再根据向量减法的坐标公式,以及 向量的数量积坐标公式计算即可. 解答:解;∵△ABC 的三边长 AC=3,BC=4,AB=5,∴△ABC 为直角三角形,且∠C 为 直角, 以 CB 为 x 轴,CA 为 y 轴,建立直角坐标系,则 C(0,0) ,A(0,3) ,B(4,0) ,设 P (x,y) 则 =(x,y). =(4,3) , =(4,0) ,∴ =(x,y)?(0,3)=3y

∵0≤y≤3,∴0≤3y≤9 故答案为 9 点评:本题主要考查了向量的坐标运算,属于向量运算的常规题. 22、已知向量 、 均为单位向量,且 ⊥ .若(2 +3 )⊥(k ﹣4 ) ,则 k 的值为 6 . 考点:平面向量数量积的性质及其运算律。 专题:计算题。 分析:利用向量的数量积公式求出两个向量的数量积,利用向量垂直的充要条件列出方程, 求出 k 的值. 解答:解:因为(2 +3 )⊥(k ﹣4 ) , 所以(2 +3 )?(k ﹣4 )=0,即 又因为向量 、 均为单位向量,且 ⊥ , 所以可得 2k=12,解得 k=6. 故答案为 6. 点评:解决向量垂直的问题,应该利用向量垂直的充要条件:数量积为 0 即向量的坐标对应 的乘积和为 0. 23、 (2010?浙江)已知平面向量 的夹角为 120° ,则| |的取值范围是 (0, ] . 满足 ,且 与 ,

考点:平面向量数量积的运算。 专题:计算题。 分析:画出满足条件的图形,分别用 120° ,易得 B=60° ,再于 解答:解:令用 则由 又∵ = 与 = , 的夹角为 120° , 、 = 、 表示向量 与 ,由 与 的夹角为

,利用正弦定理,易得| ,如下图所示:

|的取值范围.

∴∠ABC=60° 又由 AC= 由正弦定理 | ∴| 故| |= |∈(0, ≤ ] ] 得:

|的取值范围是(0, ]

故答案: (0,

点评: 本题主要考查了平面向量的四则运算及其几何意义, 突出考查了对问题的转化能力和 数形结合的能力,属中档题. 24、 (2008?江西)如图,正六边形 ABCDEF 中,有下列四个命题: (A) (B) (C) (D) ; ; ; .

其中真命题的代号是 A、B、D (写出所有真命题的代号) .

考点:平面向量数量积的运算;向量加减混合运算及其几何意义。 专题:常规题型。 分析:结合图形,依据向量的基础知识,逐一判断即可得到结果. 解答:解: 取 AD 的中点 O,则 ,∴A 对 ,∴B 对

设 又

,则

,而 ,∴D 对

,∴C 错

∴真命题的代号是 A,B,D 故选 A,B,D 点评:本题考查平面向量数量积的运算,向量加减混合运算及其几何意义,是基础题. 25、 (2007?天津)如图,在△ABC 中,∠BAC=120° ,AB=2,AC=1,D 是边 BC 上一点, DC=2BD,则 = .

考点:平面向量数量积的运算。 分析:法一:选定基向量 算,求出 的值. , 将两向量 ,用基向量表示出来,再进行数量积运

法二: 由余弦定理得 又 夹 角 大 小 为

, 可得 ∠

, ,

ADB



所以

=

. , , 由图及题意得 ( = ) , ( = = )

解答: 法一: 解: 选定基向量 ∴ = 法二:由题意可得 + =











=



故答案为:﹣ . 点评:本题主要考查余弦定理和向量数量积的应用.向量和三角函数的综合题是高考热点, 要给予重视. 26、 (2005?江苏)在△ABC 中,O 为中线 AM 上一个动点,若 AM=2,则 的最小值是 ﹣2 . 考点:平面向量数量积的运算。 专题:计算题。 分析:利用向量的运算法则:平行四边形法则作出 到 的夹角,利用向量的数量积公式将 ,判断出 共线,得

转化成二次函数求出最小

值, 解答:解:以 OB 和 OC 做平行四边形 OBNC. 则 因为 M 为 BC 的中点 所以 ∴ 且 = 反向

设 OA=x, (0≤x≤2)OM=2﹣x,ON=4﹣2x ∴ =2x ﹣4x(0≤x≤2)
2

其对称轴 x=1 所以当 x=1 时有最小值﹣2 故答案为﹣2 点评:本题考查向量的运算法则、向量共线的充要条件、向量的数量积公式、二次函数最值 的求法. 三、解答题 27、已知 , ; . .

(1)若 ∥ ,求

(2)若向量 与 的夹角为 60° ,求

考点:平面向量数量积的性质及其运算律;向量的模;向量的线性运算性质及几何意义。 专题:计算题。 分析: (1)由已知中 , .若 ∥ ,我们可以分 与 同向, 与 反向,两

种情况进行讨论,即可得到答案.

(2) 由已知中 进而得到答案.



. 向量 与 的夹角为 60° 我们利用平方法, , 求出



解答:解: (1)当 与 同向时, 当 与 反向时, (2)因为 = 所以 , =

= = .

=



点评:本题考查的知识点是平面向量数量积的性质及其运算律,向量的模,向量的线性运算 性质及几何意义,其中熟练掌握向量数量积公式,是解答本题的关键,其中(1)中易忽略 与 反向,而错解为 28、△ABC 中, (1)求证: (2)若 ,求 的最小值及相应 t 值. 一种情况.

考点:平面向量数量积的性质及其运算律;向量的模。 专题:计算题。 分 析 :( 1 ) 由 题 意 可 得 : ,进而得到答案. (2)由题可得: , 即 ∠ C=90°, 根 据 = ,可得 ,再利用二次函 , 因 为 , 所 以

,并且∠B=45° ,得到 数的性质求出答案. 解答:解: (1)因为在△ABC 中, 所以 . ,即 , .

又因为△ABC 中, 所以 所以



(2)因为 所以 又因为 所以 所以 所以 t=1 时, = ,所以∠C=90° .



,并且 ,并且∠B=45° . = 有最小值 = .





点评: 本题考查向量的三角形法则与利用向量的数量积运算求向量的模, 以及二次函数的有 关性质. 29、已知| |=1,| |=2, 与 的夹角为 (Ⅰ)求 ? ; (Ⅱ)向量 +λ 与向量 λ ﹣ 的夹角为钝角,求实数 λ 的取值范围. 考点:平面向量数量积的性质及其运算律;数量积表示两个向量的夹角。 专题:综合题。 分析: 求出两个向量的数量积; 由向量的数量积公式将两个向量所成的角为钝角转化为数量 积小于 0 且不为反向. 解答:解: (Ⅰ) (Ⅱ) + ( =
2



=2x1x =1. + (λ ﹣1) ?
2

) λ ﹣ ) ? ( =λ

﹣λ

2

=λ+λ ﹣1﹣4λ=λ ﹣3λ﹣1. 因为 +λ ) 与 <0,令 λ ﹣3λ 不反向.
2

2

2

与向量 λ ﹣ 的夹角为钝角的夹角为钝角,所以( ﹣1<0,得 .经验证此时

点评:本题考查向量的数量积公式、考查利用向量的数量积公式解决向量的夹角问题. ,以 及钝角的余弦值的范围,解不等式求出参数的范围 30、已知向量 (1)求| ﹣2 = 与 的夹角为 30° ,且| |= ,| |=1,

|的值; +2 , = ﹣2 ,求向量 在 方向上的投影.

(2)设向量

考点:平面向量数量积的性质及其运算律;向量的模;向量的投影。 专题:综合题。 分析: (1)由| ﹣2 |= ,能求出其结果.

(2)由 能求出向量 在

; 方向上的投影.





解答:解: (1)∵| ﹣2 | = = = =1. (2)由(1)可知 ; ;



=

=

从而向量



方向上的投影为



点评:本题考查平面向量的数量积的性质和运算律的应用,解题时要认真审题,仔细解答, 注意合理地进行等价转化.


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