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【导与练】(新课标)2016届高三数学一轮复习 第8篇 第2节 圆与方程课时训练 理


【导与练】(新课标)2016 届高三数学一轮复习 第 8 篇 第 2 节 圆 与方程课时训练 理

【选题明细表】 知识点、方法 圆的方程 直线与圆的位置关系 圆与圆的位置关系 与圆有关的最值问题 与圆有关的轨迹问题 题号 2 1、6、8、9、10、13、15、16 3、4、14 5、7、12 11、15

一、选择题 1.对任意的实数 k

,直线 y=kx+1 与圆 x +y =2 的位置关系一定是( (A)相离 (B)相切 (C)相交但直线不过圆心 (D)相交且直线过圆心 解析:直线 y=kx+1 恒过定点(0,1),且定点(0,1)在圆 x +y =2 内, 故直线 y=kx+1 一定与圆相交.又圆心(0,0)不满足方程 y=kx+1, ∴直线与圆相交但不过圆心. 2.(2014 合肥模拟)已知圆 x +y -2x+my-4=0 上两点 M、N 关于直线 2x+y=0 对称,则圆的半径 为( (A)9 B ) (B)3 (C)2 (D)2
2 2 2 2 2 2

C )

解析:由题意知,圆心(1,- )在直线 2x+y=0 上,

∴2- m=0,解得 m=4;

1

∴圆的方程为(x-1) +(y+2) =9,圆的半径为 3. 3.(2014 青岛模拟)过点 P(2,3)向圆 x +y =1 作两条切线 PA、PB,则弦 AB 所在直线的方程为 ( B ) (A)2x-3y-1=0 (C)3x+2y-1=0 (B)2x+3y-1=0 (D)3x-2y-1=0
2 2 2 2 2 2

2

2

解析:以 PO 为直径的圆(x-1) +(y- ) = 与圆 x +y =1 的公共弦即为所求,直线方程为 2x+3y-1=0. 4.(2013 高考安徽卷)直线 x+2y-5+ (A)1 (B)2 (C)4 (D)4 =0 被圆 x +y -2x-4y=0 截得的弦长为( C )
2 2

解析:直线与圆相交问题必考虑圆心到直线的距离,圆半径及半弦长组成的直角三角形.由 x +y -2x-4y=0 得(x-1) +(y-2) =5,所以圆心为(1,2),半径为
2 2 2 2

,又圆心到直线的距离为

=1,所以半弦长为 2,弦长为 4.故选 C. 5.(2014 银川模拟)过圆 x +y =1 上一点作圆的切线与 x 轴,y 轴的正半轴交于 A,B 两点,则|AB| 的最小值为( (A) (B) C ) (C)2 (D)3
2 2

解析:设圆上的点为(x0,y0),其中 x0>0,y0>0,则切线方程为 x0x+y0y=1.分别令 x=0,y=0 得

A( ,0),B(0, ),则|AB|=

=



=2.当且仅当 x0=y0 时,等号成立.

6.(2013 高考山东卷)过点(3,1)作圆(x-1) +y =1 的两条切线,切点分别为 A、 B,则直线 AB 的 方程为( A )

2

2

(A)2x+y-3=0 (B)2x-y-3=0 (C)4x-y-3=0 (D)4x+y-3=0 解析:由图知切点 A(1,1),圆心坐标

2

C(1,0), 所以 kCM= = .

易证 CM⊥AB, 所以 kAB=-2. 直线 AB 的方程为 y-1=-2(x-1), 即 2x+y-3=0. 7.(2014 高考北京卷)已知圆 C:(x-3) +(y-4) =1 和两点 A(-m,0),B(m,0)(m>0).若圆 C 上存在 点 P,使得∠APB=90°,则 m 的最大值为( B ) (A)7 (B)6 (C)5 (D)4
2 2

解析:由题意知以 AB 为直径的圆与圆 C 有公共点,且|OC|=5,于是 m-1≤5≤1+m 即 4≤m≤6. 故选 B. 8.在圆 x +y -2x-6y=0 内,过点 E(0,1)的最长弦和最短弦分别为 AC 和 BD,则四边形 ABCD 的面 积为( B ) (A)5 (B)10 (C)15 (D)20
2 2 2 2

解析:圆的方程化为标准形式为(x-1) +(y-3) =10,由圆的性质可知最长弦 AC=2 BD 恰以 E(0,1)为中点,设点 F 为其圆心,坐标为(1,3). 故 EF= ,

,最短弦

∴BD=2

=2

,

∴S 四边形 ABCD= AC?BD=10

.

9.(2014 高考福建卷)已知圆 C:(x-a) +(y-b) =1,平面区域Ω : 圆 C 与 x 轴相切,则 a +b 的最大值为(
2 2

2

2

若圆心 C∈Ω ,且

C )
3

(A)5

(B)29

(C)37

(D)49 表示的平面区域Ω (如图阴影部分所示,含边界),圆

解析:作出不等式组
2 2

C:(x-a) +(y-b) =1 的圆心坐标为(a,b),半径为 1.由圆 C 与 x 轴相切,得 b=1.解方程组 得 即直线 x+y-7=0 与直线 y=1 的交点坐标为(6,1),设此点为 P.

又点 C∈Ω ,则当点 C 与 P 重合时,a 取得最大值, 所以,a +b 的最大值为 6 +1 =37. 二、填空题 10.(2014 高考江苏卷)在平面直角坐标系 xOy 中,直线 x+2y-3=0 被圆(x-2) +(y+1) =4 截得的 弦长为 . = ,
2 2 2 2 2 2

解析:由题意可得,圆心为(2,-1),r=2,圆心到直线的距离 d=

所以弦长为 2

=2

=

.

答案: 11.(2014 浙江省瑞安十校联考)点 P(4,-2)与圆 x +y =4 上任一点连线的中点的轨迹方程 是 . 解得
2 2

解析:设圆上任一点为 Q(x0,y0),PQ 的中点为 M(x,y),则 又因为点 Q 在圆 x +y =4 上, 所以 +
2 2 2

=4,
2

即(2x-4) +(2y+2) =4, 即(x-2) +(y+1) =1.
4
2 2

答案:(x-2) +(y+1) =1 12.已知 x,y 满足 x +y =1,则
2 2

2

2

的最小值为

.

解析:

表示圆上的点 P(x,y)与点 Q(1,2)连线的斜率,

所以

的最小值是当直线 PQ 与圆相切时的斜率.

设直线 PQ 的方程为 y-2=k(x-1), 即 kx-y+2-k=0, 由 =1 得 k= ,

结合图形可知

≥ ,

∴最小值为 .

答案:

13.已知直线 x+y=a 与圆 x +y =4 交于 A、 B 两点,且| 则实数 a 的值为 .

2

2

+

|=|

-

|,其中 O 为坐标原点,

解析:如图,作平行四边形 OADB,则

+

=

,

-

=

,

∴|

|=|

|.

又|

|=|

|,
5

∴四边形 OADB 为正方形. ∴a=±2. 答案:±2 14.在平面内,与点 A(1,2)距离为 1,与点 B(3,1)距离为 2 的直线共有 条. 解析:与点 A 距离为 1 的直线是以 A 为圆心,1 为半径的圆的切线,同理与点 B 距离为 2 的直 线是以 B 为圆心,2 为半径的圆的切线,即所求直线为两圆的公切线,由于|AB|= 相交,公切线有 2 条. 答案:2 三、解答题 15.已知圆 C:x +(y-2) =5,直线 l:mx-y+1=0. (1)求证:对 m∈R,直线 l 与圆 C 总有两个不同交点; (2)若圆 C 与直线相交于点 A 和点 B,求弦 AB 的中点 M 的轨迹方程. (1)证明:法一 直线方程与圆的方程联立,消去 y 得(m +1)x -2mx-4=0, ∵Δ =4m +16(m +1)=20m +16>0, ∴对 m∈R,直线 l 与圆 C 总有两个不同交点. 法二 直线 l:mx-y+1=0 恒过定点(0,1),且点(0,1)在圆 C:x +(y-2) =5 内部, ∴对 m∈R,直线 l 与圆 C 总有两个不同交点. (2)解:设 A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y), 由方程(m +1)x -2mx-4=0, 得 x1+x2= ,∴x= .
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

,所以两圆

当 x=0 时 m=0,点 M(0,1), 当 x≠0 时,由 mx-y+1=0, 得 m= ,

代入 x=

,得 x[(

) +1]=

2

,

6

化简得 x +(y- ) = . 经验证(0,1)也符合, ∴弦 AB 的中点 M 的轨迹方程为 x +(y- ) = . 16.已知直线 l:mx-(m +1)y=4m(m∈R)和圆 C:x +y -8x+4y+16=0,是否存在实数 m,使得直线 l 将圆 C 分割成弧长的比值为 的两段圆弧,若存在,求出 m 的值;若不存在,说明理由.
2 2 2 2 2

2

2

解:直线 l 的方程可化为 y=

x-

,此时 l 的斜率 k=

,因为|m|≤ (m +1),

2

所以|k|=

≤ ,当且仅当|m|=1 时等号成立,所以斜率 k 的取值范围是[- , ].

又 y=

(x-4),

即 l 的方程为 y=k(x-4), 其中|k|≤ ,圆 C 的圆心为 C(4,-2),半径 r=2;

圆心 C 到直线 l 的距离 d=

,

由|k|≤ ,得 2>d≥ >1,

即 r>d> ,

从而 l 与圆 C 相交,且直线 l 截圆 C 所得的弦所对的圆心角小于 ,

所以 l 不能将圆 C 分割成弧长的比值为 的两段弧.

7


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