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北京市丰台区2012-2013届高三上学期期末考试数学文试题(word版)

时间:2013-01-18


丰台区 2012~2013 学年度第一学期期末练习 高三数学(文科) 一、选择题:共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题 目要求的一项. 1.设全集 U={1,3,5,7},集合 M={1, a }, C U M ? {5,7},则实数 a 的值为 (A) 1 (B) 3 (C) 5 (D) 7

2.如图,某三棱锥的

三视图都是直角边为 2 的等腰直角三角形,则 该三棱锥的体积是 (A)
4 3

(B)
1 x

8 3

(C) 4

(D) 8

3.“ x ? 0 ”是“ x ?

? 2 ”的

(A) 充分但不必要条件 (C) 充分且必要条件

(B) 必要但不充分条件 (D) 既不充分也不必要条件

4.从装有 2 个红球和 2 个黑球的口袋内任取 2 个球,则恰有一个红球的概率是 (A)
1 3

(B)

1 2

(C)

2 3

(D)

5 6

5.函数 y ? 2 s in ( ? x ? ? ) 在一个周期内的图象如图所示,则此函数的解析式是 (A) (B) (C) (D)
y ? 2 s in ( 2 x ?

?
4

)

y ? 2 s in ( 2 x ? y ? 2 s in ( x ? y ? 2 s in ( x 2 3? 8 ?

?
4 )

)

7? 16

)
开 始 S=0, n=0

6.执行如图所示的程序框图,则输出的 S 值为. (A)3 (B)6 (C) 7 (D) 10

7.在平面直角坐标系 xOy 中,已知 A( 1, 0 ),B(0,1),点 C 在第一象限内,
?AOC ?

?
6

???? ??? ? ??? ? ,且|OC|=2,若 O C ? ? O A ? ? O B

S ? S ? n

n=n+1 否

,则 ? , ? 的值是
n>3? 是 输出 S 结 束

(A)

3 ,1

(B) 1, 3

第1页

(C)

3 3

,1

(D) 1,

3 3

8.已知函数 f(x)= a x ? b x ? c ,且 a ? b ? c , a ? b ? c ? 0 ,则
2

(A) ? x ? ? 0 ,1 ? , 都有 f(x)>0 (C) ? x 0 ? ? 0 ,1 ? , 使得 f(x0)=0

(B) ? x ? ? 0 ,1 ? , 都有 f(x)<0 (D) ? x 0 ? ? 0 ,1 ? , 使得 f(x0)>0

二、填空题:共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.某高中共有学生 900 人,其中高一年级 240 人,高二年级 260 人,为做某项调查,拟采 用分层抽样法抽取容量为 45 的样本,则在高三年级抽取的人数是
? x ? 2, ? 10.不等式组 ? y ? 0 , 表示的平面区域的面积是___________. ?y ? x ?1 ?
? 3 e , x< 2, ? 11.设 f ( x ) ? ? 则 f ( f ( 2 ))的 值 为 2 ? lo g 3 ( x ? 1), x ? 2 . ?
2 2
x ?1

______.

.

12.圆 ? x ? a ? ? y ? 1 与直线 y=x 相切于第三象限,则 a 的值是 13.已知 ? A B C 中,AB= 3 ,BC=1,tanC= 3 ,则 AC 等于______. 14.右表给出一个“三角形数阵”.已知每一列数成等差数列,从第三行起,每 一行数成等比数列,而且每一行的公比都相等,记第 i 行第 j 列的数为 a ij ( i ? j, i, j ? N ) ,则 a 5 3 等于
*



1 4 1 2 3

, ,

1 4 3 8

, a mn ? _ _ _ _ (m ? 3) .



3 16

4

… 三、解答题共 6 小题, 80 分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 共 15 . 本 题 共 13 分 (
g ( x ) ? x ? a (0 ? x ? 4)
2 ) 函 数 f ( x ) ? lg ( x ? 2 x ? 3 ) 的 定 义 域 为 集 合 A , 函 数

的值域为集合 B.

(Ⅰ)求集合 A,B; (Ⅱ)若集合 A,B 满足 A ? B ? B ,求实数 a 的取值范围. 16. (本题共 13 分 )如图,在平面直角坐标系 xOy 中,锐角 ? 和钝角
y B A

O
第2页

x

? 的终边分别与单位圆交于 A , B 两点.

(Ⅰ)若点 A 的横坐标是

3

,点 B 的纵坐标是

12 13

,求 s in (? ? ? ) 的值;

5 ??? ??? ? ? 3 (Ⅱ) 若∣AB∣= , 求 O A ? O B 的值. 2

17. (本题共 13 分 )
A1
AA 如图, 三棱柱 ABC — A 1 B 1 C 1 中, 1 ? 平面 ABC, ? BC , 点 AB

M B1

C1

M , N 分别为 A1C1 与 A1B 的中点. (Ⅰ)求证:MN // 平面 BCC1B1; (Ⅱ)求证:平面 A1BC ? 平面 A1ABB1. 18. (本题共 14 分 )
2 x

N A B C

已知函数 f ( x ) ? ( a x ? b x ? c ) e ( a ? 0 ) 的导函数 y ? f '( x ) 的两个零点为-3 和 0. (Ⅰ)求 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)若 f ( x ) 的极小值为-1,求 f ( x ) 的极大值. 19. (本题共 13 分 ) 曲线 C 1 , C 2 都是以原点 O 为对称中心、离心率相等的椭圆. 点 M 的坐标是(0,1) ,线段 MN 是 C 1 的短轴, C 2 的长轴. 是 直线 l : 与 C 2 交于 B,C 两点(B 在 C 的左侧) .
3 2
y ? m ( 0 ? m ? 1)

与 C 1 交于 A,D 两点 在 D 的左侧) (A ,

(Ⅰ)当 m= (Ⅱ)若 O C

, AC ?

5 4

时,求椭圆 C 1 , C 2 的方程;

? AN

,求 m 的值.

20. (本题共 14 分 ) 已知曲线 C
: y
2

? 2 x ( y ? 0 ) , A1 ( x1 , y 1 ), A 2 ( x 2 , y 2 ), ? ? ?, A n ( x n , y n ), ? ? ?

是曲线 C 上的点,且满足

0 ? x1 ? x 2 ? ? ? ? ? x n ? ? ? ?

,一列点 B i ( a i , 0 )( i

? 1, 2 , ? ? ?)

在 x 轴上,且 ? B i ? 1 Ai B i ( B 0 是坐标原点)

是以 A i 为直角顶点的等腰直角三角形.

第3页

(Ⅰ)求 A1 、 B 1 的坐标; (Ⅱ)求数列 { y n } 的通项公式; (Ⅲ) b i ? 令
4 ai , ci ?

?

2

?

? yi

n

n

,是否存在正整数 N, n≥N 时,都有 ? b i ? 当
i ?1

?
i ?1

c i ,若存在,

求出 N 的最小值;若不存在,说明理由.

丰台区 2012~2013 学年度第一学期期末练习 高三数学(文科)参考答案
一、选择题 题号 答案 二、填空题: 9.20; 13.2; 三.解答题
2 15. (本题共 13 分)设关于 x 的函数 f ( x ) ? l g ( x ? 2 x ? 3 ) 的定义域为集合 A,函数

1 B

2 A

3 C

4 C

5 B

6 D

7 A

8 B

10.

1 2


5 16 , 2 m
n ?1

11. 3;

12.- 2 (写 ? 2 给 3 分) ;

14.

(第一个空 2 分,第二个空 3 分)

g ( x ) ? x ? a , (0 ? x ? 4)

,的值域为集合 B.

(Ⅰ)求集合 A,B; (Ⅱ)若集合 A,B 满足 A ? B ? B ,求实数 a 的取值范围. 解: (Ⅰ)A= { x | x ? 2 x ? 3 ? 0} ,
2

= { x | ( x ? 3)( x ? 1) ? 0} = { x | x ? ? 1, 或 x ? 3} , ….…………………..……4 分 B ? { y | ? a ? y ? 4 ? a} . ..……………………………………………….…...7 分

(Ⅱ)∵ A ? B ? B ,∴ B ? A ...….…………………………………………… 9 分

第4页

∴ 4 ? a ? ?1 或 ? a ? 3 , ∴实数 a 的取值范围是{a| a ? 5 或 a ? ? 3 }.….………………..…………………..13 分 16. (本题共 13 分)如图,在平面直角坐标系中,角 ? 和角 ? 的终边分别与单位圆交于 A ,
B 两点.

y
3 5

(Ⅰ)若点 A 的横坐标是
s i n ( ? ? )的值; ?

,点 B 的纵坐标是

12 13

,求

B

A

(Ⅱ) 若∣AB∣=

3 2

??? ??? ? ? , 求 O A ? O B 的值.

O

x

解: (Ⅰ)根据三角函数的定义得,
c o ? ? s 3 5



s in ? ?

12 13

,……………………………………………………2 分

∵ ? 的终边在第一象限,∴ s in ? ? ∵ ? 的终边在第二象限,∴

4 5


5 13

……………………………………3 分 . ………………………………4 分
4 5 ?(? 5 13 )+ 3 5 ? 12 13

c o s ? ? ?

∴ s in (? ? ? ) = s in ? c o s ? ? c o s ? s in ? =
??? ?
??? ? ??? ?

=

16 65

.………7 分

(Ⅱ)方法(1)∵∣AB∣=| A B |=| O B ? O A | ?
??? ? ??? ? ??? 2 ? ??? 2 ? ??? ??? ? ?

3 2

,……………………………9 分
??? ??? ? ?

又∵ | O B ? O A | 2 ? O B ? O A ? 2 O A ? O B ? 2 ? 2 O A ? O B , ∴ 2 ? 2O A ? O B ? ∴O A ?O B ? ?
??? ??? ? ? 1 8 ??? ??? ? ? 9 4

…………11 分



. ……………………………………………………………13 分
| OA | ? | OB | ? | AB |
2 2 2

方法(2)∵ c o s ? A O B ?
??? ??? ? ?

? ?

1 8

,………………10 分

2 | O A || O B |

∴ O A ? O B = | O A || O B | c o s ? A O B ? ?

??? ?

??? ?

1 8

.…………………………………13 分

17. (本题共 13 分)如图三棱柱 ABC — A 1 B 1 C 1 中, AA 1 ? 平面 ABC,AB ? BC , 点 M , N 分别为 A1C1 与 A1B 的中点.

第5页

(Ⅰ)求证:MN // 平面 BCC1B1; (Ⅱ)求证:平面 A1BC ? 平面 A1ABB1. 解:(Ⅰ)连结 BC1 ∵点 M , N 分别为 A1C1 与 A1B 的中点, ∴ M N ∥BC1.........................................................4 分 ∵ M N ? 平 面 B C C 1 B1 , B C 1 ? 平 面 B C C 1 B1 , ∴MN∥平面 BCC1B1..................................... ....6 分 (Ⅱ)∵ A A1 ? 平 面 A B C ,
B C ? 平面 A B C ,

∴ A A1 ? B C ....................................................................................................... 9 分 又∵AB ? BC,
A A1 ? A B ? A ,

∴ B C ? 平 面 A1 A B B 1 ........................................................................................ 12 分 ∵ B C ? 平 面 A1 B C , ∴平面 A1BC ? 平面 A1ABB1................................................................................ 13 分 18. (本题共 14 分)已知函数 f ( x ) ? ( a x ? b x ? c ) e ( a ? 0 ) 的导函数 y ? f '( x ) 的两个零
2 x

点为-3 和 0. (Ⅰ)求 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)若 f ( x ) 的极小值为-1,求 f ( x ) 的极大值.
x 2 x 2 x 解: (Ⅰ) f ? ( x ) ? ( 2 a x ? b ) e ? ( a x ? b x ? c ) e ? [ a x ? ( 2 a ? b ) x ? b ? c ] e .…2 分

令 g ( x) ? ax ? (2a ? b) x ? b ? c ,
2

∵e ? 0 ,
x

第6页

2 ∴ y ? f '( x ) 的零点就是 g ( x ) ? a x ? ( 2 a ? b ) x ? b ? c 的零点,且 f ? ( x ) 与 g ( x ) 符号

相同. 又∵ a ? 0 , ∴当 x ? ? 3, 或 x ? 0 时, g ( x ) >0,即 f ? ( x ) ? 0 , 当 ? 3 ? x ? 0 时, g ( x ) <0,即 f ? ( x ) ? 0 , ………………………………………6 分 ∴ f ( x ) 的单调增区间是(-∞,-3)(0,+∞) , ,单调减区间是(-3,0) .……7 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知, x =0 是 f ( x ) 的极小值点,所以有
? c ? ? 1, ? ?b ? c ? 0, ?9 a ? 3(2 a ? b ) ? b ? c ? 0, ?

解得 a ? 1, b ? 1, c ? ? 1 .

………………………………………………………11 分
2 x

所以函数的解析式为 f ( x ) ? ( x ? x ? 1) e . 又由(Ⅰ)知, f ( x ) 的单调增区间是(-∞,-3),(0,+∞) ,单调减区间是(-3,0). 所以,函数 f ( x ) 的极大值为 f ( ? 3 ) ? (9 ? 3 ? 1) e
?3

?

5 e
3

. ……………….…14 分

19. (本题共 13 分)曲线 C 1 , C 2 都是以原点 O 为对称中心、离心率相等的椭圆 . 点 M 的坐 标是(0,1),线段 MN 是 C 1 的短轴,是 C 2 的长轴 . 直线 l :
y ? m ( 0 ? m ? 1)

与 C 1 交于 A,D 两

点(A 在 D 的左侧) ,与 C 2 交于 B,C 两点(B 在 C 的左侧) .
3 2

(Ⅰ)当 m= (Ⅱ)若 O C

, AC ?

5 4

时,求椭圆 C 1 , C 2 的方程;

? AN

,求 m 的值.
? y
2

解:设 C1 的方程为

x a

2 2

? 1 ,C2 的方程为

x b

2 2

? y

2

? 1 ( a ? 1, 0 ? b ? 1 ) .

…..2 分

∵C1 ,C2 的离心率相同,

第7页



a ?1
2

a

2

? 1 ? b ,∴ a b ? 1 ,………………………………..……………………3 分
2

∴C2 的方程为 a x ? y ? 1 .
2 2 2

当 m=

3 2

时,A ( ?
5 4

a 2

,

3 2

) ,C (

1 2a

,

3 2

) .………………………………….……5 分

又∵ A C ? ∴
1 2a ? a 2 ?

, ,解得 a=2 或 a=
x
2

5 4

1 2

(舍), ……………………………...………..6 分

∴C1 ,C2 的方程分别为

? y

2

? 1,4x ? y
2

2

? 1 . …………………………..7 分

4

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 A(- a 1 ? m 2 ,m),C( ∵OC⊥AN,

1 a

1? m

2

,m) .……………….……………9 分

???? ???? O C ? A N ? 0 ( ? ) ……………………………............................................…10 分 .

∵ O C =(

????

1 a

1? m

2

,m) A N =( a 1 ? m 2 ,-1-m), ,

????

代入( ? )并整理得 2m2+m-1=0, ………………………………………………12 分 ∴m= ∴m=
1 2 1 2

或 m=-1(舍负) , . ……………………………………………………………………13 分
: y
2

20. (本题共 14 分)已知曲线 C C 上的点, 且满足 0

? 2 x( y ? 0)

, A1 ( x1 , y 1 ), A 2 ( x 2 , y 2 ), ? ? ?, A n ( x n , y n ), ? ? ? 是曲线
? 1, 2 , ? ? ?)

? x1 ? x 2 ? ? ? ? ? x n ? ? ? ?

, 一列点 B i ( a i , 0 )( i

在 x 轴上, ? B i ? 1 Ai B i ( B 0 且

是坐标原点)是以 A i 为直角顶点的等腰直角三角形. (Ⅰ)求 A1 、 B 1 的坐标; (Ⅱ)求数列 { y n } 的通项公式; (Ⅲ)令 b i ?
4 ai , ci ?

?

2

?

? yi

n

n

,是否存在正整数 N,当 n≥N 时,都有 ? b i ?
i ?1

?
i ?1

c i ,若

第8页

存在,求出 N 的最小值;若不存在,说明理由. 解: (Ⅰ)∵?B0A1B1 是以 A1 为直角顶点的等腰直角三角形, ∴直线 B0A1 的方程为 y=x.
?y ? x ? 2 , ) ( 由 ? y ? 2 x 得, x 1 ? y 1 ? 2 ,得 A1(2,2) B 1 0 , 4 ?y ? 0 ?

. ….…….…….…......3 分

(Ⅱ)根据 ? B n ? 1 A n B n 和 ? B n A n ? 1 B n ? 1 分别是以 A n 和 A n ? 1 为直角顶点的等腰直角三角形可 得, ?
? an ? xn ? yn ? a n ? x n ?1 ? y n ?1

,即 x n ? y n ? x n ? 1 ? y n ? 1 . (*)…….………………………..5 分 上,

∵ A n 和 A n ? 1 均在曲线 C ∴ y n2 ∴ xn
2

: y

2

? 2 x( y ? 0)

? 2 x n , y n ?1 ? 2 x n ?1 ,

?

yn 2

2

, x n ?1 ?

y n ?1 2

2

,代入(*)式得 y n2 ? 1
*

? y n ? 2 ( y n ?1 ? y n )
2



∴ y n ?1

? yn ? 2

( n ? N ).…………………

…………………………..…..….…..7 分

∴数列 { y n } 是以 y 1 ? 2 为首项,2 为公差的等差数列, 故其通项公式为 y n
? 2n (n ? N
*

) . …………....…………………………...……..8 分

(Ⅲ)由(Ⅱ)可知, x n ?

yn 2

2

? 2 n , ….……………………………………………9 分
2

∴ a n ? x n ? y n ? 2 n ( n ? 1) ,……………………..……………………………….…10 分 ∴ bi ?
4 2 i ( i ? 1) ? 2 i ( i ? 1)

, ci ?

?

2

?

? yi

?

1 2
i



n

∴ ? bi ?
i ?1

2 1? 2

?

2 2?3

?? ?

2 n ( n ? 1)

= 2 (1 ?

1 2

?

1 2

?

1 3

?? ?

1 n

?

1 n ?1

) = 2 (1 ?

1 n ?1

) ,…………….……..11 分

第9页

1
n

?
i ?1

ci ?

1 2

?

1 2
2

?? ?

1 2
n

(1 ? 1?

1 2 1 2
n

) ? 1?

? 2

1 2
n



…………………….……12 分

n

n

欲使 ? b i ?
i ?1

?
i ?1

c i ,只需 2 (1 ?

1 n ?1

) <1 ?

1 2
n



只需
?

n ?1 n ?1

? ?

1 2
n

, ………………………………………………….…………13 分
*

n ?1 n ?1

? 0 ( n ? N ), ?

1 2
n

? 0 ,
n n

∴不存在正整数 N,使 n≥N 时,

?
i ?1

bi ?

?
i ?1

c i 成立.…………………….14 分

第 10 页


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