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求曲线轨迹方程专题


轨 迹 方 程 问 题
常见的有六种求轨迹方程的方法: ①待定系数法:由几何量确定轨迹方程; ②定义法:根据曲线的定义,求轨迹方程; ③直接法:给出某些条件(几何、三角或向量表达式等)求轨迹方程; ④“代入法”求轨迹方程; ⑥参数法(包括解决中点弦问题的点差法)求轨迹方程. ⑤“交轨法”求轨迹方程; 1.直接法求轨迹方程.给出某种条件:平面几何、三角函数、解析几何、向量

形式等.求 解程序:①设动点 P 的坐标为 P(x,y);②按题目的条件写出关系式;③整合关系式;④注 明范围. 例 1.设 m ? R ,在平面直角坐标系中,已知向量 a ? (mx, y ? 1) ,向量 b ? ( x, y ?1) , a ? b , 动点 M ( x, y ) 的轨迹为 E.求轨迹 E 的方程,并说明该方程所表示曲线的形状; 解:因为 a ? b , a ? (mx, y ? 1) , b ? ( x, y ?1) ,所以 a · b = mx ? y ? 1 ? 0 ,
2 2



mx2 ? y 2 ? 1 .
当 m=0 时,方程表示两条直线: y ? ?1 ; 当 m ? 1 时,方程表示的是圆: x ? y ? 1;
2 2

当 m>0 且 m ? 1 时,方程表示的是椭圆; 当 m<0 时,方程表示的是双曲线. 2.根据圆锥曲线的定义,求轨迹方程 例 2.如图,圆 O1 与圆 O2 的半径都是 1,O1O2=4,过动点 P 分别作圆 O1、圆 O2 的切线 PM、PN(M、 N 分别为切点) ,使得 PM ? 2PN 试建立适当的坐标系,并求动点 P 的轨迹方程. 解:如图,以直线 O1O2 为 x 轴,线段 O1O2 的垂直平分线为 y 轴,建立平面直角坐标系,则 y) 则 , 同 理 两 圆 心 分 别 为 O1 (?2,0), O2 (2,0) . 设 P( x, ,

PN 2 ? ( x ? 2)2 ? y 2 ? 1 . PM 2 ? O1P2 ? O1M 2 ? ( x ? 2)2 ? y 2 ? 1
∵ PM ? 2PN , ∴ ( x ? 2)2 ? y 2 ? 1 ? 2[( x ? 2)2 ? y 2 ? 1] , 即 x2 ? 12 x ? y 2 ? 3 ? 0 ,即 ( x ? 6)2 ? y 2 ? 33 . 这就是动点 P 的轨迹方程. 注:动圆圆心轨迹问题
M

P

N

①动圆与两外离定圆均外切(含相交); ②动圆过定点且定圆外切; ③动圆过定点且定直线 相切;④动圆与两定圆一个外切,一个内切;⑤动圆过定点且定圆相切. 3.参数法求轨迹方程:

1

例 3.动圆 P 过点 A (0,1)且与直线 y=-1 相切,O 是坐标原点,动圆 P 的圆心轨迹是曲线 C. (1)求曲线 C 的方程; (2)过 A 作直线 l 交曲线 C 于 D , E 两点,求弦 DE 的中点 M 的轨迹方程; (3)在(2)中求 ?ODE 的重心 G 的轨迹方程。 解:(1)点 P 到点 A 的距离等于点 P 到直线 y= -1 的距离,故点 P 的轨迹 C 是以点 A 为焦点, 2 直线 y=-1 为准线的抛物线,所以曲线 C 的方程 x =4y. (2)设M(x,y),D(x1 ,y1 ),E(x2 ,y2 ),依题意知过A的直线的斜率存在,设该直线l的方程为:y=kx+1, 1 与x 2 ? 4 y联立,消x整理得:x 2 -4kx -4 ? 0, 则x1 +x2 =4k , 则x ? ( x1 +x2 ) ? 2k , y ? kx+1=2k2 ? 1, 2 ? x ? 2k x 1 即? ,消去k 得:y ? 2 ? ( ) 2 ? 1,即y ? x 2 ? 1为所求的方程. 2 2 2 ? y ? 2k ? 1 另解: (2) 相减得 k l ?
2 A(0,1) ,设 D( x1 , y1 ) , E ( x2 , y2 ) , M ( x, y ) ,则由 x12 ? 4 y1 , x2 ? 4 y2 ,两式

1 2 y2 ? y1 x2 ? x1 x x y ?1 y ?1 ? ? ,又 kl ? k AM ? ,? ? ,即 y ? x ? 1 . x2 ? x1 4 2 2 x 2 x

(3)设 G(x,y), 由(2)得 x1 +x2 =4k , y1 +y2 =k (x1 +x2 ) ? 2 ? 4k 2 ? 2 ,

4k 0 ? x1 +x2 ? ? x? x ? ? ? 3 2 2 ? ? 3 3 ,? ? ,消去 k 得: y ? x ? 为所求方程。 ? 2 4 3 ? y ? 0 ? y1 +y2 ? y ? 4k ? 2 ? ? 3 ? 3 3 ?
4. “代入法”求轨迹方程:设点 M 是已知曲线 F(x,y)=0 上的动点,点 P 因点 M 的运 动而运动(即点 P 是点 M 的相关点) ,求点 P 的轨迹方程. ①设点 M 的坐标为 M( x0 , y0 ) ,则 F( x0 , y0 )=0; ②设点 P 的坐标为 P(x,y) ; ③因为“点 P 随点 M 的运动而运动” ,可以求得: x0 =f(x,y) , y0 =g(x,y) ; ④把 x0 =f(x,y) , y0 =g(x,y)代入 F( x0 , y0 )=0,即得所求点 P 的轨迹方程. 例 4.已知点 P 1 ( x0 , y0 ) 为双曲线

x2 y2 ? ? 1 ( b 为正常数)上任一点, F2 为双曲线的右焦 8b 2 b 2
y

点 , 过 P1 作右准线的垂线 ,垂足为 A , 连接 F2 A 并延长

P 的轨迹 E 的方程. 交 y 轴于 P 2 .求线段 P 1 P 2 的中点

P

P 2
A

P1 F1
O

( 0),( A b,y0) 解: (1) 由已知得 F , 则直线 2 3b,

8 3

F2

x

F2 A 的方程为: y ? ?

3 y0 ( x ? 3b) , b
2

令 x ? 0 得 y ? 9 y0 ,即 P ,则 (x,y) 2 (0,9 y0 ) ,设 P

x ? x? 0 ? x0 ? 2 x ? ? ? 2 ,即 ? ? y y0 ? ? y ? y0 ? 9 y0 ? 5 y ? 5 ? 0 ? ? 2
即 P 的轨迹 E 的方程为

代入 ,

x0 2 y0 2 4 x2 y2 ? ? 1 ? ?1, 得 : 8b2 b2 8b2 25b2

x2 y2 ? ?1 2b2 25b2

5.“交轨法”求轨迹方程:设动曲线 F(x,y)=0 和动曲线 G(x,y)=0 相交于点 P,求 点 P 的轨迹方程.从理论上,其求解程序为: ①设动点 P 的坐标为: ( x P , y P ) ;②解方程组 ?

? F ( x, y ) ? 0 ,求交点即得到. ?G ( x, y ) ? 0

其中一般会含有参数,有一个消除参数的难点. 例 5.已知椭圆

x2 y2 3 + =1(a>b>0)的离心率为 .以原点为圆心,以椭圆短半 2 2 3 a b

轴长为半径的圆与直线 y=x+2 相切. (1)求 a 与 b 的值; (2)设该椭圆的左,右焦点分别为 F1 和 F2 ,直线 L1 过 F2 且与 x 轴垂直,动直线 L2 与 y 轴垂直, L2 交 L1 于点 P.求线段 PF1 的垂直平分线与直线 L2 的交点 M 的轨迹方程,并指明 曲线类型.

2 b2 3 2 解: (1) e= 又圆心 ( 0, 0) 到直线 y=x+2 的距离 d=半径 b= , ? 2= . 2 3 3 a 1 ? 12
∴ b =2, a =3 . (2) F1 (-1,0) 、 F2 (1,0) ,由题意可设 P(1,t) (t≠0).那么线段 PF1 的中点
2 2

t ) . L2 的方程为:y=t,设 M( x M , y M )是所求轨迹上的任意点. 2 t 2 直线 PF1 的斜率 k= ,∴线段 PF1 的中垂线 MN 的斜率=- . 2 t t 2 所以:直线 MN 的方程为:y- =- x. 2 t
为 N(0,

? ?y ? t t2 ? ? xM ? ? 由? 4, 2 t ?? y ? ? x ? ? ?y ? t t 2 ? ? M

3

2 消去参数 t 得: y M ? ?4 xM ,即:

. y 2 ? ?4x ,其轨迹为抛物线(除原点) 又解:由于 MN =(-x,

t t -y) , PF1 =(-x, -y) .∵ MN · PF1 =0, 2 2

t t ? (? x, ? y) ? 0 ?(? x, )· ∴? ,消参数 t 得: y 2 ? ?4 x (x≠0) ,其轨迹为抛物线(除原点) . 2 2 ? ?y ? t
注:本题的第一问是由几何量确定轨迹方程;第二问是“交轨法”求轨迹方程. 例 6. 已知曲线 C1 :

|x| | y| ? ? 1(a ? b ? 0) 所围成的封闭图形的面积为 4 5 , 曲线 C1 a b

的内切圆半径为

2 5 , 记 C 2 为以曲线 C1 与坐标轴 3

的交点为顶点的椭圆. (1)求椭圆 C 2 的标准方程; (2)设 AB 是过椭圆 C 2 中心的任意弦, L 是线段

AB 的垂直平分线, M 是 L 上异于椭圆中心的
点. 若 | MO | =λ | OA | ( O 为坐标原点), 当点 A 在椭圆 C 2 上运动时, 求点 M 的轨迹方程.

? 2ab ? 4 5 x2 y2 ? 2 2 解:(1)由题意得 ? =1. ab 2 5 ? a ? 5,b ? 4 ? 椭圆方程: ? 5 4 ? ? 2 2 3 ? a ?b
(2)若 AB 所在的斜率存在且不为零,设 AB 所在直线方程为 y=kx(k≠0),A( x A,y A ).

? x2 y2 ?1 20 20k 2 20(1 ? k 2 ) ? ? 2 2 2 2 2 ? , y ? | OA | ? x ? y ? 由? 5 . ? xA ? 4 A A A 4 ? 5k 2 4 ? 5k 2 4 ? 5k 2 ? ? y ? kx,
2 2 2 2 2 2 20(1 ? k ) 设 M(x,y),由|MO|=λ |OA|(λ ≠0) ? |MO| =λ |OA| ? x ? y ? ? . 2

2

4 ? 5k

因为 L 是 AB 的垂直平分线,所以直线 L 的方程为 y= ?

x 1 x ? k= ? ,代入上式有: y k

x2 ) 2 2 y2 2 2 2 2 20( x ? y ) 2 2 2 2 2 ,由 x ? y ? 0 ? 5x ? 4 y ? 20? , x ?y ?? ? ? x2 4 y 2 ? 5x2 4 ? 5? 2 y 20(1 ?
4

当 k=0 或不存时,上式仍然成立.,综上所述,M 的轨迹方程为

x2 y 2 ? ? ?2 , (λ ? 0) . 4 5

例 7.已知椭圆 C 的中心为直角坐标系 xOy 的原点,焦点在 x 轴上,它的一个顶点到两 个焦点的距离分别是 7 和 1. (1)求椭圆 C 的方程; (2)若 P 为椭圆 C 上的动点, M 为过 P 且垂直于

x 轴的直线上的点,

OP OM

=λ ,求点 M 的轨迹方程,

并说明轨迹是什么曲线. 解: (1)设椭圆长半轴长及分别为 a,c.由已知得 ?

?a ? c ? 1 ? a=4,c=3. ?a ? c ? 7

? 椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1. 16 7

(2)设 M ( x, y ) ,其中 x ?? ?4, 4? 。由已知

OP OM

2 2

? ? 2 及点 P 在椭圆 C 上可得

9 x 2 ? 112 ? ? 2 ,整理得 (16? 2 ? 9) x2 ? 16? 2 y 2 ? 112 ,其中 x ?? ?4, 4? 。 16( x 2 ? y 2 )
(i) ? ?

3 4 7 2 (?4 ? x ? 4) , 时。化简得 9 y ? 112 ,所以点 M 的轨迹方程为 y ? ? 4 3

轨迹是两条平行于 x 轴的线段。

3 (ii) ? ? 时,方程变形为 4
当0 ? ? ? 部分。 当

x2 y2 ? ? 1 ,其中 x ?? ?4, 4? , 112 112 2 2 16? ? 9 16?

3 时, 点 M 的轨迹为中心在原点、 实轴在 y 轴上的双曲线满足 ?4 ? x ? 4 的 4

3 ? ? ? 1 时, 点 M 轨迹为中心在原点、 长轴在 x 轴上的椭圆满足 ?4 ? x ? 4 的部分. 4
2 2

例 8.已知双曲线 x ? y ? 2 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,过点 F2 的动直线与双曲线相 交于 A, B 两点. 若动点 M 满足 F , 求点 M 的 1M ? F 1A ? F 1B ? FO 1 (其中 O 为坐标原点) 轨迹方程.
5

解:由条件知 F1 (?2, 0) , F2 (2, 0) ,设 A( x1,y1 ) , B( x2,y2 ) .设 M ( x,y ) ,则

F1M ? ( x ? 2,y) , F1 A ? ( x1 ? 2,y1 ) , F1B ? ( x2 ? 2,y2 ), FO ? (2, 0) , 1
由F ?? 1M ? F 1A ? F 1B ? FO 1

? x ? 2 ? x1 ? x2 ? 6 ?x ? x ? x ? 4 ?? 1 2 ? y ? y1 ? y2 ? y1 ? y2 ? y

? x?4 y? , ?. ? AB 的中点坐标为 ? ? 2 2? 当 AB 不 与 x 轴 垂 直 时 , y ?0 y1 ? y2 y 2 , ? ? x1 ? x2 x ? 4 ? 2 x ? 8 2 y ( x1 ? x2 ) . 即 y1 ? y2 ? x ?8
又 因 为 A, B 两 点 在 双 曲 线 上 , 所 以
2 2 x12 ? y12 ? 2 , x2 ? y2 ? 2 ,两式相减得 ( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) , 即 . ( x1 ? x2 )( x ? 4)? (y1 ? y2 )y y ( x1 ? x2 ) 代入上式,化简得 ( x ? 6)2 ? y 2 ? 4 . 将 y1 ? y2 ? x ?8 0) ,也满足上述方程. 当 AB 与 x 轴垂直时, x1 ? x2 ? 2 ,求得 M (8,

所以点 M 的轨迹方程是 ( x ? 6)2 ? y 2 ? 4 . 练习: 1.分别过 A1 (?1,0), A2 (1,0) 作两条互相垂直的直线, 则它们的交点 M 的轨迹方程是_______. 2. 已知点 F 为抛物线 y 2 ? 2 x 的焦点, P 在抛物线上运动,则线段 PF 的中点轨迹方程 是 .

3. 已 知 椭 圆 的 焦点 是 F1 、 F2 , P 是 椭 圆 上 的 一个 动 点. 如 果 延 长 F1 P 到 Q , 使 得 ) ,如果 M 是线段 F1 P 的中点,则动点 M 的轨迹 | PQ |?| PF2 | ,那么动点 Q 的轨迹是 ( 是( ). (A)圆 (B)椭圆 (C)双曲线的一支 (D)抛物线

2 5 2 5 上的两个动点,并且 | AB |? 20 ,动点 P 满 x和 y ? ? x 5 5 足 OP ? OA ? OB .记动点 P 的轨迹为 C,求轨迹 C 的方程.
4.设 A,B 分别是直线 y ? 5.已知椭圆 C1 的中心在坐标原点,一个焦点为 F(0, 3),过点 F 且垂直长轴的弦长为 1 , (1) 求椭圆 C1 的方程; (2) 过椭圆 C1 上一动点 M 作平行于 y 轴的直线 m ,设 m 与 x 轴的交点为 N ,若向量
OQ ? OM ? ON ,求动点 Q 的轨迹方程,并说明此轨迹是什么曲线.

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