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2011届高考数学最后一卷16

时间:2011-05-27


无锡市 2011 年普通高中高考模拟试卷(二)

数 学I
命题单位:无锡市区教研室 制卷单位:无锡市教研中心 2011.5.24

注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1. 本试卷共 4 页, 包含填空题 (第 1 题——第 14 题) 解答题 、 (第 15 题——第 20 题) 本 . 卷满分 160 分,考试时间为 120 分钟.考试结束后,请将答题卡交回. 2.答题前,请您务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试 卷及答题卡的规定位置. 3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答,在其他位置作答一律无效.作答必 须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔.请注意字体工整,笔迹清楚. 4. 如需作图,须用 2B 铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗. 5. 请保持答题卡卡面清洁,不要折叠、破损.一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗 的圆珠笔.

小题, 请把答案填写在答卷纸的相应位置上 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答卷纸的相应位置上. 填空题: ......... 1.已知集合 A = {1,sin θ } , B = {0, 2. 若复数

a + 3i (a∈R,i 为虚数单位)是纯虚数,则实数 a= 1 + 2i

1 ,1} ,若 A ? B ,则锐角 θ = 2

▲ ▲

. .

3.某校高三年级学生年龄分布在 17 岁、18 岁、19 岁的人数分别为 500、400、100,现通 过分层抽样从上述学生中抽取一个样本容量为 m 的样本,已知每位学生被抽到的概率都 为 0.2,则 m = ▲ . . 4.已知函数 f ( x ) = log 2 x, x ∈ [ , 2] ,在区间 [ , 2] 上任取一点 x0 ,使 f ( x0 ) ≥ 0 的概率为 5.已知 ▲ .

1 2

1 2

开始

i ← 1, p ← 1, s ← 0

1 1 4 ▲ . + = ,则 sin 2α = sin α cos α 3 6.给出 30 个数:1,2,4,7,…,其规律是: 第 1 个数是 1,第 2 个数比第 1 个数大 1, 第 3 个数比第 2 个数大 2,第 4 个数比第 3 个数大 3,依此类推.要计算这 30 个数的和, 现已给出了该问题算法的程序框图(如图所 示) ,则在图中判断框内(1)处和执行框中的(2) 处应填上的合适语句分别为 ▲ 和 ▲ . 7.已知命题 p: ?a, b ∈ (0, +∞) ,当 a + b = 1 时,

(1) 是 否 输出 s

s← s+ p
(2)

结束

1 1 + = 3 ;命题 q: ?x ∈ R, x 2 ? x + 1 ≥0 恒成立. a b ▲ 命题(填“真”或“假”) . 则命题 ?p 且 q 是

i ← i +1

8.已知直线 l1 : 4 x ? 3 y + 6 = 0 和直线 l2 : x = ?1 ,抛物线 y = 4 x 上一动点 P 到直线 l1 和
2

直线 l2 的距离之和的最小值





9.已知函数 f ( x ) = log a ( 2 x ? a ) 在区间 [ , ] 上恒有 f ( x ) > 0 ,则实数 a 的取值范围 是 ▲ .

1 2 2 3

10.已知 n 2 ( n ≥ 4且n ∈ N *) 个正数排成一个 n 行 n 列的数阵: 第1列 第1行 第2行 第3行 … 第n行 第2列 第3列

a1,1 a 2,1 a 3,1 a n ,1

a1, 2 a 2, 2 a 3, 2 a n,2

a1,3 a 2, 3 a 3, 3 a n ,3

… … … … …

第n列

a1,n a 2, n a 3, n a n ,n

其中 a i , k (i, k ∈ N *, 且1 ≤ i ≤ n,1 ≤ k ≤ n ) 表示该数阵中位于第 i 行第 k 列的数,已知 该数阵中各行的数依次成等差数列,各列的数依次成公比为 2 的等比数列,已知 a2, ▲ . 3=8,a3,4=20.则 a 2 , 2 = 11.自圆 x 2 + y 2 ? 2 x ? 4 y + 4 = 0 外一点 P (0, 4) 向圆引两条切线,切点分别为 A, B ,则

PA ? PB 等于





12.已知直线 l ⊥ 平面α, 直线m ? 平面β ,有下面四个命题 (1) α // β ? l ⊥ m(2) α ⊥ β ? l // m (3) l // m ? α ⊥ β (4) l ⊥ m ? α // β 其中正确命题是 ▲ .

13.有三根针和套在一根针上的若干金属片,按下列规则,把金属片从一根针上全部移到另 一根针上: (1)每次只能移动一个金属片; (2)较大金属片不能放在较小金属片上面.则 把 n 个金属片从 1 号针移到 3 号针,最少需要移动 ▲ 次.

2

1
' ' x

3

14.已知定义在 R 上的函数 f ( x ) 和 g ( x ) 满足 g(x) ≠ 0, f (x) ? g(x) < f (x) ? g (x) f (x) = a ? g(x) ,

f (1) f (?1) 5 f ( n) 15 + = .令 an = ,则使数列 {an } 的前 n 项和 Sn 不超过 的最大自 g (1) g (?1) 2 g ( n) 16 ▲ . 然数 n 的值为

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请把答案写在答题卡相应的位置上.解答时应写出文 字说明,证明过程或演算步骤. 15.(本题满分 14 分) 在直角坐标系 xOy 中,若角 α 的始边为 x 轴的非负半轴,终边为射线 l: y = 2 2x ( x ≥0). (1)求 sin(α +

π
6

) 的值;

(2)若点 P,Q 分别是角 α 始边、终边上的动点,且 PQ=4,求△POQ 面积最大时,点 P, Q 的坐标.

16.(本题满分 14 分) 如图,在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, ∠ACB = 90 , AC = BC = 1 ,

AA1 = 2 , D 、 M 、 N 分别是 AB 、 AA1 、 BC1 的中点. (1)求证: MN ∥平面 ABC ; (2)求证: CD ⊥ 平面 AA1 B1 B ; (3)试在 BB1 上求一点 F ,使 A1 B ⊥ 平面 C1 DF ,证明你的结论.

A1
M F A D B

C1 B1
N

C

17.(本题满分 14 分) 某公园准备建一个摩天轮,摩天轮的外围是一个周长为 k 米的圆.在这个圆上安装座位,且 每个座位和圆心处的支点都有一根直的钢管相连.经预算,摩天轮上的每个座位与支点相连的钢 管的费用为 8k 元/根,且当两相邻的座位之间的圆弧长为 x 米时,相邻两座位之间的钢管和其中 一个座位的总费用为 ?

? (1024 x + 20) x ? + 2 ? k 元.假设座位等距离分布,且至少有两个座位,所 100 ? ?

有座位都视为点,且不考虑其他因素,记摩天轮的总造价为 y 元. (1)试写出 y 关于 x 的函数关系式,并写出定义域; (2)当 k = 100 米时,试确定座位的个数,使得总造价最低.

18.(本题满分 16 分) 设椭圆

x2 y2 + = 1(a > b > 0) 的左焦点为 F ,上顶点为 A ,过点 A 与 AF 垂直的直线分 a 2 b2

别交椭圆和 x 轴正半轴于 P , Q 两点,且 AP : PQ = 8 : 5 . (1)求椭圆的离心率; (2)已知直线 l 过点 M ( ?3, 0) ,倾斜角为 求椭圆方程.

π
6

,圆 C 过 A, Q, F 三点,若直线 l 恰好与圆 C 相切,

19.(本题满分 16 分) 都是正整数.

已知 {an } 是公差为 d 的等差数列, {bn } 是公比为 q 的等比数列,设 m , n , p , k

2 (1)求证:若 m + n = 2 p ,则 am + an = 2a p , bm bn = (bp ) ;

(2)若 an = 3n + 1 ,是否存在 m, k ,使得 am + am +1 = ak ?请说明理由; 成立的充要条件.

(3 ) 求使命题 P : 若 bn = aq n a 、 为常数, aq ≠ 0 ) “ ( q 且 对任意 m , 都存在 k , bm bm +1 = bk ” 有

20.(本题满分 16 分)

1 2 2 (1)当 a = 0 时,求函数 f ( x ) 的单调递增区间;
已知函数 f ( x ) = ( a ? ) x + ln x ( a ∈ R ) .

(2)若 ?x ∈ [1,3] ,使 f ( x ) < ( x + 1) ln x 成立,求实数 a 的取值范围;

(3)若函数 f ( x ) 的图象在区间 (1, +∞ ) 内恒在直线 y = 2ax 下方,求实数 a 的取值范围.

数学Ⅱ 附加题) 数学Ⅱ(附加题)
分钟. 道解答题,前四道是选做题, 附加题总分 40 分,时间用时 30 分钟.本大题共 6 道解答题,前四道是选做题,后两道是必 做题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 做题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 21. 选做题】在 A,B,C,D 四小题中只能选做 2 题,每小题 10 分,共计 20 分.解答时 . 选做题】 【 , , , 应写出文字说明、 明过程或演算步骤. 应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.选修 4-1:几何证明选讲 . - : A 如图, AB 是⊙ O 的直径, C 是⊙ O 外一点, 且 AC = AB , BC 交⊙ O 于点 D .已知 BC =4, O

AD =6, AC 交⊙ O 于点 E ,求四边形 ABDE 的周长.
B B.选修 4-2:矩阵与变换 . - : 设 T 是矩阵 ?

E

D

C

?a c? ? 所对应的变换,已知 A(1, 0) ,且 T ( A) = P .设 b > 0 ,当△ POA 的面积 ?b 0 ?

为 3 , ∠POA =

π
3

,求 a , b 的值;

C.选修 4-4:参数方程与极坐标 . - :

? 2 t ?x = ?1 + ? 2 (t 为参数)与曲 C: ? x = ?1 + 2 cos θ ( θ 为参数)的位置关系. 试判断直线 l : ? ? ? y = 2 + 2sin θ ?y = 2 t ? ? 2

D.选修 4-5:不等式选讲 . - : 已知实数 x, y , z 满足 x + y + z = 2 ,求 2 x 2 + 3 y 2 + z 2 的最小值.

解答时应写出文字说明、 【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演 必做题】 解答时应写出文字说明 算步骤. 算步骤 22.某地区试行高考考试改革:在高三学年中举行 5 次统一测试,学生如果通过其中 2 次测 试即可获得足够学分升上大学继续学习,不用参加其余的测试,而每个学生最多也只能参加 5 次 测试.假设某学生每次通过测试的概率都是 独立. (1)求该学生考上大学的概率. (2)如果考上大学或参加完 5 次测试就结束,记该生参加测试的次数为 X ,求 X 的分布列 及 X 的数学期望.

1 ,每次测试时间间隔恰当,每次测试通过与否互相 3

23.已知数集序列 { }, {3,5}, {7,9,11}, { ,15,17,19}, ? ,其中第 n 个集合有 n 个元素,每一个 1 13 集合都由连续正奇数组成,并且每一个集合中的最大数与后一个集合中的最小数是连续奇数. ⑴求第 n 个集合中各数之和 S n 的表达式; ⑵设 n 是不小于 2 的正整数, f ( n) =


i =1

n

1
3

Si

,求证: n +

∑ f (i) = nf (n) .
i =1

n ?1

参考答案( 参考答案(二)
小题, 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 填空题: 1. θ = 30 2. a=-6 3. 200 7.真 13. 2 n ? 1 8.2 4.

2 3
9. ( ,1)

5. ?

3 4

6. (1) i ≤ 30 ; (2) p = p + i

1 3

10.6

11.

12 5

12. 、 (1)(3)

14. 4

小题, 二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分. 解答题: 15. (1)由射线 l 的方程为 y = 2 2 x ,可得 sin α = 故 sin(α +

2 2 1 , cos α = ,………………2 分 3 3

π
6

)=

2 2 3 1 1 1+ 2 6 × + × = . 3 2 3 2 6

……………………………………………4 分

(2)设 P (a,0 ), Q b,2 2b (a > 0, b > 0 ) . 在 ?POQ 中,因为 PQ 2 = (a ? b ) + 8b 2 = 16 , …………………………………………6 分
2

(

)

即 16 = a + 9b ? 2ab ≥ 6ab ? 2ab = 4ab ,所以 ab ≤4
2 2

…………………………8 分

所以 S?POQ = 2ab ≤ 4 2 .当且仅当 a = 3b ,即 a = 2 3 , b =

2 3 取得等号.…10 分 3

所以 ?POQ 面积最大时,点 P, Q 的坐标分别为 P 2 3 ,0 , Q?

(

)

?2 3 4 6? ? ? 3 , 3 ? .…………14 分 ? ?
A1
M F A E D B

16. (1)取 BC 中点 G ,连 NG 、 AG ,∵ N 是 BC1 的中点,

C1 B1

1 G 是 BC 的中点,∴ NG ∥ CC1 ,且 NG = CC1 ;又 M 是 AA1 2
的中点,三棱柱 ABC ? A1 B1 C 1 是直三棱柱,

N C G

1 ∴ MA ∥ CC1 ,且 MA = CC1 . 2
∴ MA ∥ NG 且 MA = NG ,

∴ MAGN 是平行四边形,∴ MN ∥ AG .…………………………………………………………3 分 又 AG ? 平面ABC , MN ? 平面ABC ,∴ MN ∥平面 ABC. ………………………5 分
(2) ∵ AC = BC = 1 , D 是的中点,∴ CD ⊥ AB .又 ABC ? A1 B1C1 是直三棱柱,

∴平面 AA1 B1 B ⊥ 平面 ABC , ∵ CD ? 平面 ABC ,平面 AA1 B1 B ∩ 平面 ABC = AB ,∴ CD ⊥ 平面 AA1 B1 B .…9 分 (3)作 DE ⊥ A1 B 交 A1 B 于 E ,延长 DE 交 B1 B 于 F ,连结 CF ,不难证明 A1 B ⊥ 平面

C1 DF ,点 F 即为所求.……………………………………………………………………12 分
事实上,∵ CD ⊥ 平面 AA1 B1 B , A1 B ? 平面 AA1 B1 B ,∴ A1 B ⊥ CD , 又 A1 B ⊥ DF , CD ∩ DF = D , ∴ A1 B ⊥ 平面 C1 DF .……………………………………………………………………14 分 17. (1)设摩天轮上总共有 n 个座位,则 x =

k k ,即 n = , n x

………………………2 分

y = 8k

? ? 10 1024 x + 20 ? k k ? (1024 x + 20) x + ? + 2? k = k 2 ? + ?, ? x ? x x? 100 100 ? ? ?

……………4 分

定义域 ? x 0 < x ≤

? ?

k k ? , ∈Z?. 2 x ?

…………………………………………………6 分

(2)当 k = 100 时,令 y = 100 ?

? 1000 ? + 1024 x + 20 ? ,……………………………8 分 ? x ?
3 2

f ( x) =
3 2

1000 1000 1 ?1000 + 512 x + 1024 x ,则 f ′( x) = ? 2 + 512 = = 0 …10 分 x x x2 x
2

125 ? 125 ? 3 25 ∴x = ? x=? ? = , ………………………………………………12 分 64 16 ? 64 ?
25 25 ) 时, f ′( x) < 0 ,即 f ( x) 在 x ∈ (0, ) 上单调减, 16 16 25 25 当 x ∈ ( ,50) 时, f ′( x ) > 0 ,即 f ( x ) 在 x ∈ ( ,50) 上单调增, 16 16 25 100 ymin 在 x = 时取到,此时座位个数为 = 64 个.……………………………14 分 25 16 16
当 x ∈ (0, 18. (1)设点 Q ( x0 , 0) , F ( ?c, 0) , P ( x, y ) ,其中 c = 由 AP : PQ = 8 : 5 ,得 AP =

a 2 ? b 2 , A(0, b) .

8 AQ , 13

即 ( x, y ? b) =

8 8 5 ( x0 , ?b) ,得 P ( x0 , b) ,………2 分 13 13 13

点P在椭圆上,∴ (

8 2 x0 5 3 ) 2 + ( ) 2 = 1 ? x0 = a .① 13 a 13 2

2

……………………4 分

而 FA = (c, b), AQ = ( x0 ,?b), FA ⊥ AQ ,∴ FA ? AQ = 0 . ∴ cx0 ? b = 0, x0 =
2
2

b2 .② c
2

……………………………………………………6 分

由①②知 2b = 3ac ,∴ 2c + 3ac ? 2a = 0 .
2

∴ 2e + 3e ? 2 = 0 ,∴ e =
2

1 . ………………………………………………………8 分 2 3 ( x + 3) ,即 x ? 3 y + 3 = 0 , 3

(2)由题意,得直线 l 的方程 y =

b2 ? c 2 满足条件的圆心为 O′( ,0 ) , 2c
又 a = 2c ,∴

b2 ? c2 a 2 ? c2 ? c2 = = c ,∴ O′(c, 0) . 2c 2c

……………………………10 分

b2 +2 a2 c 圆半径 r = = =a. 2 2c
由圆与直线 l : x ? 3 y + 3 = 0 相切得,

…………………………………12 分

|c +3| = a ,…………………………14 分 2

x2 y2 又 a = 2c ,∴ c = 1, a = 2, b = 3 .∴椭圆方程为 + = 1 . ………………16 分 4 3

a 19. (1)∵ {an} 是公差为 d 的等差数列,∴ am = a1 +(m?1)d , an = a1 +(n ?1)d , a +a =2 1 +(m+n?2)d, m n
又 m + n = 2 p ,∴ am + an = 2a1 + 2( p ? 1) d , ∵ a1 + ( p ? 1) d = a p ,∴ am + an = 2a p . ………3 分 ∵ {b } 是公比为 q 的等比数列,∴ bm = bq 1 n
m?1

, bn = bq , bmbn = b q 1 1

n?1

2 m+n?2



∵ m + n = 2 p ,∴ bm bn = b12 q 2 p ? 2 = b1q p ?1 ? b1q p ?1 = bp ? bp = bp 2 . (2)假设存在 m, k ,使得 am + am +1 = ak ,

…………………6 分

由 am + am +1 = ak , 得 6m + 6 + 3k + 1 ,

即 k ? 2m =

4 , 3

∵ m 、 k ∈ N * ,∴ k ? 2m 为整数,矛盾.∴不存在 m 、 k ∈ N ? ,使等式成立.10 分
(3) “若 bn = aqn( a 、 q 为常数,且 aq ≠ 0 )对任意 m ,都存在 k ,有 b b +1 =b ”成立,取 m = 1 , mm k 得 b1b2 = bk ,∴ a q = aq
2 3 c k



∴a = q

k ?3

,即 a = q ,其中 c 是大于等于 ?2 的整数.13 分
c

反之,当 a = q ( c 是大于等于 ?2 的整数)时,有 bn = qn+c , 显然 bm ? bm+1 = qm+c ? qm+1+c = q2m+1+2c = bk ,其中 k = 2m + 1 + c . ∴所求的充要条件是 a = q c ,其中 c 是大于等于 ?2 的整数.……………………………16 分
20. 1) f ( x ) = ( a ? ) x + ln x ( a ∈ R ) 的定义域为 (0, +∞ ) . (
2

1 2

……………1 分

当 a = 0 时, f ( x) = ?

1 2 1 1 ? x2 x + ln x , f / ( x) = ? x + = . 2 x x

………………3 分

由 f / ( x) > 0 ,结合定义域,解得 0 < x < 1 ,故得函数 f ( x ) 的单调递增区间为 (0,1) .5 分 (2) f ( x) < ( x + 1) ln x ,即 ( a ? ) x < x ln x( a ∈ R ) ,
2

1 2

∵ x ∈ [1,3] ,∴ a <

ln x 1 ln x 1 + .令 g(x) = + , x 2 x 2

则 ?x ∈ [1,3] ,使 f ( x ) < ( x + 1) ln x 成立,等价于 a < g ( x ) max .………………………7 分 ∵ g ( x) =
/

1 ? ln x .由 g / ( x) = 0 ,结合 x ∈ [1,3] ,解得: x = e . 2 x 1 1 e 2

当 1 ≤ x < e 时, g / ( x) > 0 ;当 e < x ≤ 3 时, g / ( x ) < 0 .故得 g(x)max = g(e) = + .

1 1 + ) .……………9 分 e 2 1 (3)令 h( x) = f ( x) ? 2ax = (a ? ) x2 ? 2ax + ln x , h( x ) 的定义域为 (0, +∞ ) .函数 f ( x ) 的图象 2
∴实数 a 的取值范围是 ( ?∞, 在 区 间 (1, +∞ ) 内 恒 在 直 线 y = 2ax 下 方 , 等 价 于 h(x) < 0 在 (1, +∞) 上 恒 成 立 , 即

h( x ) max < 0 .………10 分 1 ( x ? 1)[(2a ? 1) x ? 1] = . x x 1 1 ① 若 a > ,令 h / ( x) = 0 ,得 x1 = 1, x2 = . 2 2a ? 1 h / ( x) = (2a ? 1) x ? 2a +
…………………11 分

当 x2 > x1 = 1 ,即

1 < a < 1 时,在 (1, x2 ) 上, h / ( x) < 0 , h( x) 为减函数,在 (1, +∞) 上, 2

h / ( x) > 0 , h( x) 为增函数,故 h( x) 的值域为 ( g ( x2 ), +∞) ,不合题意.
当 x2 ≤ x1 = 1 ,即 a ≥ 1 时,同理可得在 (1, +∞) 上, h ( x) > 0 , h( x ) 为增函数,故 h( x ) 的值域
/

为 ( g ( x1 ), +∞) ,也不合题意.………………………………………13 分 ②若 a≤ ,则有 2a ? 1 ≤ 0 ,此时,在区间 (1, +∞) 上,恒有 h / ( x) < 0 ,从而 h( x ) 为减函数,

1 2

1 1 1 1 ≤ 0 ,结合 a ≤ ,解得 ? ≤ a ≤ .……………………15 分 2 2 2 2 1 1 综合①②可得:实数 a 的取值范围 ? ≤ a ≤ .………………………………………12 分 2 2 h( x) max = h(1) = ? a ?
21. 选做题】 . 选做题】 【 A.选修 4-1:几何证明选讲 . - : 因为 AB 是⊙ O 的直径,所以 AD ⊥ BC ,所以 AD 是△ ABC 的中线,所以 AB = AC = 2 10 , O E A

BD = DC = 2 .

…………………………………4 分

B

D

C

由 ∠DEC = ∠B = ∠C ,所以 DE = DC = 2 .………………6 分 由 CE ? CA = CD ? CB ,得 CE =

2 10 2 10 8 ,所以 AE = 2 10 ? = 10 .…8 分 5 5 5
8 10 18 10 . …10 分 = 4+ 5 5

所以四边形 ABDE 的周长为 AB + BD + DE + EA = 2 10 + 4 + B.选修 4-2:矩阵与变换 . - : (1)∵ ?

? a c ? ?1 ? ? a ? ? ? ? = ? ? ,∴ P (a, b) . ? b 0 ? ? 0 ? ?b ?

………………………………5 分

∵ b > 0 , S ?POA = 3 , ∠POA = ∴ a = 2 ,b = 2 3 . C.选修 4-4:参数方程与极坐标 . - :

π
3

, P ( a, b) , A(1, 0) , ……………………………………10 分

直线方程 l 的方程可化为 x ? y + 1 = 0 , …………………………………………3 分

曲线方程 C 可化为 ( x + 1) 2 + ( y ? 2) 2 = 4 ,是一个圆,其圆心为 C (?1, 2) ,半径为 2.…6 分 因为圆 C 的圆心到直线的距离 d =

2 < 2 = r ,所以直线 l 与曲线 C 有两个相交. 10 分

D.选修 4-5:不等式选讲 . - :
2 2 2 2 由柯西不等式可知: ( x + y + z) ≤ ?( 2x) + ( 3y) + z ? ? ?( ? ?

1 ? 1 2 ? ) + ( )2 +12 ? ,……3分 3 ? 2 ?

∵ x + y + z = 2 ,∴ 2 x + 3 y + z ≥
2 2 2

24 .………………………………………5 分 11

当且仅当

2x 3y z 6 4 12 = = ,即: x = , y = , z = 时取“=” ……………8 分 . 1 1 1 11 11 11 2 3 24 . 11
……………………………10 分

此时, 2 x 2 + 3 y 2 + z 2 取得最小值为 【必做题】 必做题】

22. (1)记“该生考上大学”的事件为事件 A,其对立事件为 A ,则

2 1 1 2 P ( A) = C 5 ( )( ) 4 + ( ) 5 , ……………………………2 分 3 3 3 1 2 4 2 5 131 1 ∴ P ( A) = 1 ? [C5 ? ( )( ) + ( ) ] = . …………………4 分 3 3 3 243
(2)参加测试次数 X 的可能取值为 2,3,4,5, …………………………5 分

1 1 P ( X = 2) = ( ) 2 = , 3 9 1 2 1 4 1 P ( X = 3) = C2 ? ? ? = , 3 3 3 27 2 1 4 1 1 P ( X = 4) = C3 ? ? ( ) 2 ? = , 3 3 3 27 2 2 16 1 1 P ( X = 5) = C4 ? ? ( )3 + ( ) 4 + . 3 3 3 27
故 X 的分布列为:

………………………………8 分

X
P

2

3

4

5

1 9

4 27

4 27

16 27

1 4 4 16 38 E( X ) = 2 × + 3× + 4 × + 5 × = . ………………………9 分 9 27 27 27 9

答:该生考上大学的概率为

131 38 ;所求数学期望是 . ……………10 分 243 9
n(n ? 1) 个奇数, 2

23. ⑴设第 n 个集合中的最小数为 a n ,则 a n 前共有 1 + 2 + 3 + ? + (n ? 1) = ∴ an = 2 × [

n(n ? 1) + 1] ? 1 = n 2 ? n + 1 . ……………………………3 分 2 n(n ? 1) 2 从而 S n = n( n ? n + 1) + × 2 = n 3 . ………………………5 分 2
⑵由(1)得, 3 Si = i (i = 1, 2, 3,? , n) ,∴ f ( n) =
n ?1


i =1

n

1
3

Si

= 1+

1 1 1 + + ? + .下面用 2 3 n

数学归纳法证明 n +

∑ f (i) = nf (n) . …………………………………………7 分
i =1

当 n = 2 时,左边 = 2 + f (1) = 3, 右边 = 2 f ( 2) = 2(1 +

1 ) = 3 ,等式成立; 2

假设 n = k ( k ≥ 2) 时,等式成立,即 k + f (1) + f ( 2) + ? + f ( k ? 1) = kf ( k ) 成立, 那么,当 n = k + 1 时, 左边 = (k +1) + f (1) + f (2) +?+ f (k ?1) + f (k) = kf (k) +1+ f (k) = (k +1) f (k) +1 = (k + 1)

∑1i + 1.
i =1

k

右边 = ( k + 1) f ( k + 1) = ( k + 1)


i =1

k +1

? 1 = ( k + 1) ? i ? ?


i =1 n ?1

k

1 1 ? + ? = (k + 1) i k + 1? ?

∑ 1i + 1,即左边
i =1

k

=右边,∴等式也成立.………………………………………………………9 分 综上可知,对一切不小于 2 的正整数 n ,等式 n +
www.zxsx.co m

∑ f (i) = nf (n) 都成立.…10 分
i =1


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