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2015届高考调研文科选修4-4-1

时间:2014-05-16


高考调研

新课标版 · 高三数学(文)

选修 4-4 坐 标 系 与 参 数 方 程 第 1 课时 坐 标 系

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2015?考纲下载<

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1.了解在平面直角坐标系下的伸缩变换. 2.理解极坐标的概念,能进行极坐标和直角坐标的互化. 3.能在极坐标系中给出简单图形(直线、过极点或圆心在极 点的圆)的方程.

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请注意!

从目前参加新课标高考的省份对本部分内容的考查来看, 主要 考 查 极 坐 标 方 程 和 直 角 坐 标 方 程 的 互 化 、 及 常 见 曲 线 的 极 坐 标 方 程与极坐标方程的简单应用,预测 2015 年高考在试题难度、知识 点考查等方面,不会有太大的变化.

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1.直角坐标系 在给定坐标系下, 任意一点都有确定的 坐标与 它 对 应 ; 反 之 , 依据一个点的 坐标 就能确定这个点的位置.

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2.极 坐 标 系 1 ( ) 基 本 概 念 在 平 面 上 取 一 个 定 点 O, 自 点

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O引 一 射 线

OX, 同 时 确 定 一 称 为 极 点 ,

个 长度单位 和 计算角度 的 正 方 向 向), 这 样 就 建 立 了 一 个 极 坐 标 系 , 其 中 ,

(通 常 取 逆 时 针 方 向 为 正 方

点O

射线OX

称 为 极 轴 . ρ表 示 OM的长度 ,θ 表 示 以 为 点 ρ 称 M的 极 径 ,

2 ( ) 极 径 与 极 角 设M是 平 面 上 任 一 点 ,

射线OX

为 始 边 ,

射线OM 为 终 边 所 成 的 角 , 那 么 , 有 序 数 θ 称

对(ρ,θ)称 为 点 为 点 M的 极 角 .

M的 极 坐 标 , 其 中 ,

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3.球坐标系与柱坐标系 1 ( ) 球坐标系 在空间任取一点 O 作 为 极 点 , 从 O 引两条 互相垂直 的射线 OX 绕 OZ 轴旋

OX 和 OZ 作为极轴 , 再 规 定 一 个 单 位 长 度 和 射 线

转所成的角的 正方向 ,这样就建立了一个球坐标系. 设 P 是空间一点,用 r 表示 OP 的长度,θ 表 示 以 边,OP 为 终 边 的 角 , φ 表示半平面 X O Z 到半平面 P O Z OZ 为始 的 角 . 那

么,有序数组 (r,θ,φ)

就称为点 P 的 球 坐 标 .

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2 ( ) 柱 坐 标 系 在 平 面 极 坐 标 系 的 基 础 上 , 增 加 垂 直 于 此 平 面 的 得 空 间 柱 坐 标 系 . 设P是 空 间 一 点 , P在 过 O且 垂 直 于 OZ 的 平 面 上 的 射 影 为 P的 柱 坐 标 为 有 序

OZ轴 ,可

Q,取 OQ=ρ,∠x O Q =θ,QP=z, 那 么 , 点 数 组 (ρ,θ,z) .

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4.求曲线的极坐标方程的基本步骤 第一步 建立适当的极坐标系 ; 第二步 在曲线上任取一点P(ρ,θ) ; ;

第三步 根据曲线上的点所满足的条件写出等式

第四步 用极坐标ρ,θ表示上述等式,并化简得极坐标方程 第五步 证明所得的方程是曲线的极坐标方程 .



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3π 1.将极坐标(2, )化为直角坐标为( 2 A.2 0 ( ) , C.0 2 ( ) ,
答案 B

)

B.(0,-2) D.(-0 2 ) ,

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2.化极坐标方程 ρ2c o s θ-ρ=0 为 直 角 坐 标 方 程 为 A.x2+y2=0 或 y=1 C.x2+y2=0 或 x=1
答案 C

(

)

B.x=1 D.y=1

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3. 极 坐 标 方 程 分 别 为 距为________.
答案 2

ρ=2 c o s

θ 与 ρ=n 2 i s

θ的 两 个 圆 的 圆 心

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4.2 ( 0 1 2 · ________.
答案

陕西)直线 2ρc o s θ=1 与圆 ρ=2 c o s

θ相 交 的 弦 长 为

3

解析 直线的方程为 2x=1, 圆 的 方 程 为 心为0 1 ( ) ,

x2+y2-2x=0,圆 |2-1|

1 ,半径 r=1,圆心到直线的距离为 d= 2 = ,设 2 +0 2
2

12 l 2 所求的弦长为 l,则 1 =(2) +(2) ,解得 l= 3.

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5.2 ( 0 1 3 ·

π 北京)在极坐标系中,点(2,6)到直线 ρn i s θ=2 的

距离等于________.
答案 1

解析

在 极 坐 标 系 中 , 点

π (2 , 6 ) 对 应 直 角 坐 标 系 中 坐 标 为

( 3,1),直线 ρn i s θ=2 对应直角坐标系中的方程为 y=2,所以 点到直线的距离为 1.

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例1

在平面直角坐标系中,求下列方程所对应的图形经过 后的图形.

?x′=2x, ? 伸缩变换? ? ?y′=3y

1 2 ( )

x+3y=0; 2 ( ) x2+y2=1.

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【 解 析 】

由 伸 缩 变 换

? 1 ?x′=2x, ?x=2x′, ? ? 得 到? ? ?y′=3y, ?y=1y′. ? 3

* ( )

1 ( ) 将* ( ) 代 入 2x+3y=0, 得 到 经 过 伸 缩 变 换 后 的 图 形 方 程 是 x′+y′=0. 因 此 , 经 过 伸 缩 变 换
?x′=2x, ? ? ? ?y′=3y

后 ,

直 线 2x+3y=0 变 成 直 线

x′+y′=0.

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2 ( ) 将* ( ) 代入 x2+y2=1,得到经过伸缩变换后的图形的方程 x′2 y′2 是 4 + 9 =1. 因 此 , 经 过 伸 缩 变 换 x′2 y′2 + =1. 4 9
?x′=2x, ? ? ? ?y′=3y

后 , 圆

x2+y2=1 变成椭圆

x2 y2 【答案】 1 ( ) x+y=0 2 ( ) 4 + 9 =1
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探究 1 1 ( ) 平移变换 在平面直角坐标系中,设图形 F 上任意一点 P 的 坐 标 为 y), 向 量 a=(h,k), 平 移 后 的 对 应 点 为 (x,

P′(x′,y′), 则 有 (x,

?x+h=x′, ? y)+(h,k)=(x′,y′),或表示为? ? ?y+k=y′.

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2 ( ) 伸缩变换 一 般 地 , 由
?kx=x′, ? ? ? ?y=y′

所 确 定 的 伸 缩 变 换 , 是 按 伸 缩 系 数 k<1 时,表 k

为 k 向着 x 轴的伸缩变换(当 k>1 时 , 表 示 伸 长 ; 当 示压缩) , 即 曲 线 上 所 有 点 的 纵 坐 标 不 变 , 横 坐 标 变 为 原 来 的

倍(这里,P(x,y)是变换前的点,P′(x′,y′) 是变换后的点).

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思考题 1 在同一平面直角坐标系中, 将直线 x-2y=2 变 成直线 2x′-y′=4,求满足图像变换的伸缩变换. ? x,λ>0, ?x′=λ· 【 解 析 】 设 变 换 为 ? 可 将 其 代 入 第 二 个 ? y,μ>0, ?y′=μ·
方程,得 2λx-μy=4,与 x-2y=2 比 较 , 将 其 变 成 比较系数得
?x′=x, ? λ=1,μ=4,? ? y, ?y′=4·

2x-4y=4,

直线 x-2y=2 图 像 上 所

有点的横坐标不变,纵坐标扩大到原来的 4 倍可得到直线 2x′ -y′=4.
【答案】
? ?x′=x, ? ? ?y′=4y
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例 2 直角坐标方程与极坐标方程互化. 1 ( ) y2=4x; π 3 ( ) θ=3(ρ∈R; 4 ) ( 5 ( ) ρc o 2 s
2

2 ( ) y2+x2-2x-1=0; ρc o s


2=1;

θ=4 ; 6 ( )

1 ρ= . 2-c o s θ

【解析】 1 ( ) 将 x=ρc o s θ,y=ρn i s θ 代入 y2=4x,得(ρn i s θ) 2 =4ρc o s θ.化简得 ρn i s
2

θ=4 c o s

θ.
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2 ( ) 将 x=ρc o s θ,y=ρn i s θ 代入 y2+x2-2x-1=0,得(ρn i s θ)2 +(ρc o s θ)2-2ρc o s θ-1=0,化简得 ρ2-2ρc o s θ- 1=0. (3)当 x≠0 时 , 由 于 x(x≠0); 当 x=0 时,y=0.显然0 ( ) , 直角坐标方程为 y= 3x. 4 ( ) 因为 ρc o s


y π y a n t θ= , 故a n t = = 3, 化 简 得 3 x x

y= 3

π 在 y= 3x 上,故 θ=3(ρ∈R)的

所 以 2=1,

1+c o s θ ρ· 2 =1,而 ρ+ρc o s θ=2,所

以 x2+y2+x=2.代简得 y2=-4(x-1).
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5 ( ) 因为 ρ2c o 2 s 4.

θ=4,所以 ρ2c o s

2

θ-ρ2n i s

2

θ=4,即 x2-y2=

1 6 ( ) 因为 ρ= , 所 以 2-c o s θ

2ρ-ρc o s θ=1, 因 此

2 x2+y2-x

=1,化简得 3x2+4y2-2x-1=0.

【 答 案 】

1 ( ) ρn i s

2

θ =4 c o s

θ

2 ( ) ρ2 -2ρc o s θ -1=0 3 ( ) y= x2+4y2-2x-1=0

3x 4 ( ) y2=-4(x-1) 5 ( ) x2-y2=4 6 3 ( )

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探究 2 ?ρ2=x2+y2, ? ? y a n t θ= ?x≠0? ? x ?

极 坐 标 和 直 角 坐 标 互 化 关 系 式

? o s ?x=ρc ? ? i s ?y=ρn

θ, θ



是解决本例的突破口.

思考题 2 1 ( ) 点 P 的直角坐标为(1,- 3),则点 P 的极 坐标为________. π 2 ( ) 点 P 的极坐标为(3, -4), 则 点 P 的直角坐标为_ _ _ _ _ _ _ _ .

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【解析】 由极坐标与直角坐标表示同一点的坐 标 , 那 么 它
2 2 ? ρ = x + y , ? ? o s θ, ?x=ρc 们之间可以互化,则? 或? y ? i s θ a n t θ= . ?y=ρn ? x ?

5π 1 ( ) x=1,y=- 3,∴ρ=2,a n t θ=- 3,θ= 3 .故 极 坐 标 5π 为(2, ). 3

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π 3 2 3 2 2 ( ) ρ=3,θ=-4,故 x=ρc o s θ= 2 ,y=- 2 , 3 2 3 2 从而点的直角坐标为( ,- ). 2 2 5π 3 2 3 2 【答案】 2 1 ( ) ,3) 2 ( ) 2 ,- 2 )

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例3

π 圆心 C 的极坐标为(2,4),且圆 C 经过极点.

1 ( ) 求圆 C 的极坐标方程; (2)求过圆心 C 和 圆 与 极 轴 交 点 方程. (不 是 极 点 )的 直 线 的 极 坐 标

【解析】 1 ( ) 圆心 C 的直角坐标为( 2, 2),则设圆 C 的 直角坐标方程为(x- 2)2 +(y- 2)2 =r2 , 依 题 意 可 知 r2 =(0 -

2)2+(0- 2)2=4, 故 圆 C 的直角坐标方程为(x- 2)2+(y- 2)2 =4, 而 x2+y2-2 2(x+y)=0, 化 为 极 坐 标 方 程 为 +c o s θ)=0,即 ρ=2 2( n i s θ+c o s θ) .
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ρ2-2 2ρ(s n i θ
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2 ( ) 在 圆 C的 直 角 坐 标 方 程 0, 得 x2-2 2x=0, 解 得 交 点 坐 标 0 ( ) ,

x2+y2-2 2(x+y)=0 中 , 令 x=0 或 2 2, 于 是 得 到 圆

y=

C与x轴 的

,(2 2,0), 由 于 直 线 过 圆 心

C( 2, 2)和 点 (2 2,

0), 则 该 直 线 的 直 角 坐 标 方 程 为 +y-2 2=0. 化 为 极 坐 标 方 程 得

2-0 y-0= (x-2 2), 即 x 2-2 2

ρc o s θ+ρn i s θ-2 2=0.

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【评析】 欲求极坐标方程,一般先求直角坐标方程,再利 用 x=ρc o s θ,y=ρn i s θ 转化为极坐标方程即可.

【答案】 1 ( ) ρ=2 2( n i s 0

θ+c o s θ) 2 ( ) ρc o s θ+ρn i s θ -2 2=

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思考题 3 1 ( ) 在极坐标系中,已知圆 C 的圆心坐标为(2, π ),半径 R= 5,求圆 C 的极坐标方程. 3 π 【解析】 将圆心 C(2, )化成直角坐标为(1, 3), 半 径 3

R

= 5,故圆 C 的方程为(x-1)2+(y- 3)2=5. 再将 C 化成极坐标方程,得(ρc o s θ-1)2+(ρn i s θ - 3)2=5, 化简得 ρ -4ρc o ( s
2

π θ-3)-1=0.

即为所求的圆 C 的极坐标方程. π 2 【答案】 ρ -4ρc o ( s θ-3)-1=0
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2 ( ) 已知⊙M 和⊙N 的极坐标方程分别为 ρ=2 2c o ( s π θ+4 ),ρ=2 2s n ( i π θ+4 ).

①求⊙M 和⊙N 的圆心的极坐标; ②若⊙M,⊙N 的交点为 A,B,求直线 AB 的极坐标方程.

【解析】 ①⊙M:x2-2x+y2+2y=0,即(x-1)2+(y+1)2 =2,圆心 M 的直角坐标为(1,-1). ⊙N:x2 -2x+y2-2y=0,即(x-1)2+(y-1)2 =2,圆心 N 的直角坐标为1 ( ) , . 7π π 分别化为极坐标为( 2, 4 ),( 2,4).
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将 M(1,-1),N1 ) ( ,

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2 2 ? ?x -2x+y +2y=0, ②联立? 2 2 ? x - 2 x + y -2y=0, ?

?ⅰ? ?ⅱ?

(ⅰ)-(ⅱ)可得 y=0. 则直线 AB 的直角坐标方程为 y=0, 化 为 极 坐 标 方 程 得 0(ρ∈R)或 θ=π(ρ∈R).
7π π 【答案】 ①M( 2,4 ), N( 2, 4) ∈R) ②θ=0(ρ∈R)或 θ=π(ρ

θ=

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π 例4 1 ( ) 已知在极坐标系中,圆 C 的圆心为(6, ), 半 径 2 π 为 5,直线 θ=α( ≤α≤π,ρ∈R)被 圆 截 得 的 弦 长 为 2 ________. 【解析】 通 过 数 形 结 合 , 利 用 直 线 被 圆 所 截 得 的 线 段 的 长 8,则 α=

π π 度、弦心距、圆的半径之间的关系,通过三角函数得 α-2=6, 2π 则 α= 3 .本题求直线的倾斜 角 , 但 不 如 上 面 使 用 数 形 结 合 的 方 法
2π 简单. 【答案】 3
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2 ( ) 在 极 坐 标 系 中 , 已 知 圆

π C 的圆心 C(3,6),半径 r=1,Q ;若 P 点在射 ________.

点在圆 C 上运动,圆 C 的极坐标方程是_ _ _ _ _ _ _ _ 线 OQ 上 , 且 |OQ|∶|PQ|=2∶3, 则 点 P的 轨 迹 方 程 是

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π 【解析】 设 Q(ρ, θ) , 则|OQ|=ρ, ∠QOC= |θ- |. 在△QOC 6 中 , 由 余 弦 定 理 , 得 即 ρ -6ρc o ( s
2

|QC|2=|OQ|2+|OC|2-2|OQ||OC c o · s | C的 极 坐 标 方 程 . 设

∠QOC, P(ρ,

π θ- )+8=0, 为 所 求 的 圆 6

θ),Q(ρ0,θ0),由 P 在射线 OQ 上,且|OQ|∶ |PQ|=2∶3,知 ρ0 2 2 = ρ,θ0=θ,而 ρ0 -6ρ0c o ( s 5 π θ0- )+8=0, 代 入 并 整 理 得 6 ρ2-

π 15ρc o ( s θ-6 )+50=0,即为点 P 的轨迹方程. π 2 【答案】 ρ -6ρc o ( s θ -6) +8=0,ρ2 -15ρc o ( s

π θ -6) +50
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=0
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探究 3 用极坐标法可使几何中的一些问题得出很直接、简 单 的 解 法 , 但 在 解 题 时 关 键 是 极 坐 标 要 选 取 适 当 , 这 样 可 以 简 化 运算过程,转化为直角坐标时也容易一些.
思考题 4 2 ( 0 1 2 · 上海)如图,在极坐标系中,过点 M0 2 ( ) , π 的直线 l 与极轴的夹角 α=6.若将 l 的极坐标方程写成 ρ=f(θ)的 形式,则 f(θ)=________.

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【解析】 在直线 l 上任取点 P(ρ,θ),在△O P M

中,由正

OM OP 2 ρ 弦定理得 = ,即 π = 5π,化简得 ρ n i s ∠O P M n i s ∠O M P n i s ? 6-θ? n i s 6 1 1 = π ,故 f(θ)= π . n i s ? 6-θ? n i s ?6-θ? 1 【答案】 π n i s ? -θ? 6

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例 5 已知正方体 A B C D

—A1B1C1D1 的棱长为 1,如图建立 C1 的 直 角 坐 标 、 柱 坐

空间直角坐标系 A-xyz,Ax 为 极 轴 , 求 点 标以及球坐标.

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【 解 析 】 点 C1 的 直 角 坐 标 为 1 ) ( ,

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, (r,φ,θ),

设 点 C1 的 柱 坐 标 为

(ρ,θ,z), 球 坐 标 为

其 中 ρ≥0,r≥0,0≤φ≤π,0≤θ< 2 π , ?x=ρc o s θ, ? i s θ, 由 公 式 ?y=ρn ?z=z ? ?ρ= x2+y2, ? 得? y a n t θ= ?x≠0? ? x ? ?x=rn i s φc o s θ, ? i s φn i s θ, 及?y=rn ?z=rc o s φ, ? ?r= x2+y2+z2, ? 及? z c o s φ= , ? r ?

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?ρ= 2, ? 得? ? n t θ =1 ?a

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?r= 3, ? 及? 3 c o s φ= , ? 3 ? π 3 θ=4, 由 c o s φ= 3 , 得 a n t φ= 2. 1 ) ( , , 柱 坐 标 为 π ( 2, ,1), 球 坐 标 4

结 合 图 形 得

∴点 C1 的 直 角 坐 标 为

π 为( 3,φ, ), 其 中 a n t φ= 2,0≤φ≤π. 4 π π 【答案】 C11 ( , ,),( 2,4,1),( 3,φ,4), 其 中 a n t φ

= 2,0≤φ≤π
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探 究 4 化 点 M的 直 角 坐 标

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(x,y,z)为 柱 坐 标

(ρ,θ,z)或 球

坐 标 (r, φ, θ), 需 要 对 公 式

?x=ρc o s θ, ? i s θ, ?y=ρn ?z=z ?

?x=rn i s φc o s θ, ? i s φn i s θ, 以 及 ?y=rn ?z=rc o s φ ?

进行逆向变换,得到

2 2 ? ρ = x + y , ? ? y ?a n t θ= ?x≠0?, x ? ? ?z=z

以 及

?r= x2+y2+z2, ? ? z c o s φ= . ? r ?
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在由三角函数值求角时,要结合图形确定角的范围再求值, 若 不 是 特 殊 角 , 可 以 设 定 角 , 然 后 明 确 其 余 弦 值 或 正 切 值 , 并 标 注角的范围即可.
思考题 5 若本例中条件不变,点 C 的柱坐标与球坐标分 别如何表示?点 D 呢?

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【解析】 由图知 C0 1 ) ( , π π ( 2,2,4), 同 样 点

π ,柱坐标( 2, ,0),球坐标为 4 , 柱 坐 标 为 π (1,2,0),

D 的直角坐标为0 1 ) ( ,

π π 球坐标为(1, , ). 2 2
【答案】 π ).D0 1 ) ( , 4 C0 1 ) ( , , 柱 坐 标

π ( 2, ,0) , 球 坐 标 4

π ( 2, , 2

π π π ,柱坐标(1, ,0),球坐标(1, , ) 2 2 2

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关于极坐标系 1 ( ) 极 坐 标 系 的 四 要 素 : ①极 点 ; ②极 轴 ; ③长 度 单 位 ; ④

角度单位和它的正方向,四者缺一不可. 2 ( ) 由极径的意义知 ρ≥0,当极角 θ 的取值范围是2 0 [ π ,] 平面上的点(除去极点)与极坐标(ρ,θ)(ρ≠0)建 立 一 一 对 应 关 系 , 约定极点的极坐标是极径 ρ=0,极角可取任意角. 3 ( ) 极坐标与直角坐标的重要区别:多值性.
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时,

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