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数学模型复习题


数学模型复习题
1、 x(t ) 为连续函数,初值条件 x(0) ? x0 ,假设其增长率为常数 r ,显然有
x(t ? ?t ) ? x(t ) ? rx(t )?t ,则其满足微分方程

;微分方程满足 ;这个模型称

初值条件的解为 为 。

2、叙述数学建模的一般步骤 模型准备、模型假设、模

型构成、模型求解、模型分析、模型检验、模型 应用 3、简述数学模型按以下方面的分类: 按应用领域可分为:人口、交通、能源、环境、经济、规划等等; 按建立模型的数学方法可分为:初等数学模型、几何模型、微分方程模型、 统计回归模型、数学规划模型等等; 按模型的表现特征可以分为:确定性和随机性、线性和非线性、静态和动 态、连续与离散等等 4、 在超市购物时你可能注意到大包装商品比小包装商品便宜, 比如中华牙 膏 65g 每支 2.5 元,120g 每支 3.8 元,二者单位重量的价格比约为 1.21:1。 (1)分析商品单位重量价格 C 与商品重量 w 的关系。价格由生产成本、包 装成本和其他成本所决定,这些成本中有的与体积成正比、有的与表面积成正 比、有的与体积(重量 w)无关。 (2)给出单位重量价格 C 与 w 的关系,画出它们的简图。说明 w 越大 C 越小,但是随着 w 的增加 C 减小的速度变慢,解释其意义是什么? 5、2005 级新生入学后,统计与应用数学学院共有在校学生 1050 人,其中 统计学专业 600 人,信息与计算科学专业 400 人,数学与应用数学专业 50 人。 要在全院推选 23 名学生组成学生代表团, 试用下面的方法分配各专业的学生代 表:

(1)按比例分配取整的方法,剩下的名额按惯例分配给小数部分较大者; (2)用 Q 值方法进行分配 6、工厂定期订购原料,存入仓库供生产之用。设在一个生产周期 T 内,原 料每天的需求量为常数 r ,每次的定货费用为 c1 ,每天每单位原料的存储费为

c2 ,订货后可立即到货,每次订货量为 Q 。
(1)建立一周期的总费用函数(包括订货费与库存费,购货费是常数可不 予考虑) ; (2)为使每天的平均费用最小,求最佳订货批量 Q 、订货周期 T 和最小成 本C 。 7、一饲养场每天投入 4 元资金用于饲料、设备、人力,估计可使一头 80 公斤重的生猪每天体重增加 2 公斤。目前生猪的出售价格为每公斤 8 元,但是 预测价格每天降低 0.1 元。 (1)问该饲养场应该在什么时候出售这样的生猪最划算? (2)在最佳出售时机的价格之下,作体重增加关于时间的弹性分析,并对 弹性分析作出相应的解释; (3)在最佳出售时机的价格之下,作价格的降低关于时间的弹性分析,并 对弹性分析作出相应的解释; 8、 利润 U ( p ) 是销售收入 I ( p) 与生产支出 C ( p ) 之差, p 为每单位商品的售 价,即 U ( p) ? I ( p) ? C ( p) 。 为
dI 称为 dp



dC 称为 dp



dU 称 dp

;利润最大化的条件是



给定 I ( p) ? px , C ( p) ? qx ,需求函数 x( p) ? a ? bp , a, b, q ? 0 已知 (1)建立利润函数的表达式; (2)利用上述条件求利润最大化时的价格。 9、消费者对甲、乙两种商品的效用曲线(无差异曲线)U (q1 , q2 ) ,问他如 何利用手中的钱 s 购买两种单价分别为 p1 和 p2 的商品以达到效用最大。

(1)建立效用最大化的数学规划模型; (2)利用 Lagrange 乘数法求出利润最大化的条件,并对结果进行解释。 10、某公司用木头雕刻士兵模型出售。公司的两大主要产品分别是“盟军” 和“联军”士兵,每件利润分别是 28 美元和 30 美元。制作一个“盟军”士兵 需要使用 2 张木版,花费 4 小时的木工,再经过 2 小时的整修;制作一个“联 军”士兵需要使用 3 张木版,花费 3.5 小时的木工,再经过 3 小时的整修。该 公司每周能得到 100 张木版,可供使用的木工(机器时间)为 120 小时,整修 时间为 90 小时。 (1)确定每种士兵的生产数量,使得每周的利润最大,建立线性规划问题 的数学模型。 (2)对于你建立的线性规划模型,利用 LINDO6.0 求解结果如下: 请你进行对偶价格分析和进行全面的灵敏度分析(目标函数的系数和约束 条件右断的常数项) ,并作出解释。 LP OPTIMUM FOUND AT STEP 1 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 972.0000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 9.000000 0.000000 X2 24.000000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 10.000000 0.000000 3) 0.000000 4.800000 4) 0.000000 4.400000 NO. ITERATIONS= 1 RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE COEF INCREASE X1 28.000000 6.285715 X2 30.000000 12.000000 RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE RHS INCREASE

ALLOWABLE DECREASE 8.000000 5.500000 ALLOWABLE DECREASE

2 100.000000 INFINITY 10.000000 3 120.000000 60.000000 14.999999 4 90.000000 10.000000 30.000000 11、牧场主知道,对于一匹体型中等的马来说,最低的营养需求为:40 磅 蛋白质、20 磅碳水化合物、45 磅粗饲料,这些营养成分是从不同的饲料中得到 的,饲料及其价格如下表:
饲料 营养成分 蛋白质(磅) 碳水化合物(磅) 粗饲料(磅) 价格(美元) 干草 (每捆) 0.5 2.0 5.0 1.80 燕麦片 (每袋) 1.0 4.0 2.0 3.50 饲料块 (每块) 2.0 0.5 1.0 0.40 高蛋白浓缩料 (每袋) 6.0 1.0 2.5 1.00 每批马的需求 (每天) 40.0 20.0 45.0

(1)建立数学模型,确定如何以最少的成本满足最低的营养需求。 对于你建立的线性规划模型,利用 LINDO6.0 求解结果如下: 请你进行对偶价格分析和进行全面的灵敏度分析(目标函数的系数和约束 条件右断的常数项) ,并作出解释。 LP OPTIMUM FOUND AT STEP 3 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 17.00000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 5.000000 0.000000 X2 0.000000 1.500000 X3 20.000000 0.000000 X4 0.000000 0.100000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 2.500000 0.000000 3) 0.000000 -0.400000 4) 0.000000 -0.200000 NO. ITERATIONS= 3 RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE COEF INCREASE X1 1.800000 0.200000 X2 3.500000 INFINITY X3 0.400000 0.046875 X4 1.000000 INFINITY RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE

ALLOWABLE DECREASE 0.200000 1.500000 0.040000 0.100000 ALLOWABLE

RHS INCREASE DECREASE 2 40.000000 2.500000 INFINITY 3 20.000000 2.500000 0.131579 4 45.000000 0.333333 5.000000 12、用 x(t ) 和 y(t ) 分别表示甲乙交战双方时刻 t 的兵力(人数) ,每一方的 战斗减员率取决于双方的兵力和战斗力,分别为 f ( x, y), g ( x, y) ;每一方的非战 斗减员率(由疾病、逃跑等因素引起)只与本方的兵力成正比;甲乙双方的增 援率是给定的时间的函数,分别为 u (t ), v(t ) 。则兵力变化的微分方程为:

? dx ? dt ? ? f ( x, y ) ? ? x ? u (t ) ? dy ? ? ? g ( x, y ) ? ? y ? v(t ) ? dt
根据以下条件,求出甲乙兵力的函数,分析甲、乙方获胜的条件。
? dx ? dt ? ? ay ? ? dy ? ?bx 正规战争: ? dt ? ? x(0) ? x0 , y (0) ? y 0 ? ? ? dx ? dt ? ? cxy ? ? dy 游击战争: ? ? ? dxy ? dt ? x(0) ? x0 , y (0) ? y 0 ? ? ? dx ? dt ? ? cxy ? ? dy ? ?bx 混合战争: ? ? dt ? x(0) ? x0 , y (0) ? y 0 ? ?

13、在经济增长模型中,为了适用于不同的对象,可将产量函数折算成现 金,考虑到物价上涨因素,我们记物价上升指数为 p(t )( p(0) ? 1) ,则产品的表 面价值 y(t ) 、实际价值 Q(t ) 和物价指数 p(t ) 之间有关系 y(t ) ? Q(t ) p(t ) 。

(1)导出 y(t ), Q(t ), p(t ) 的相对增长率之间的关系,并作出解释; (2)设雇佣工人数为 L(t ) ,每个工人的工资 w(t ) ,其他成本 C (t ) 企业的利 润函数为
R(t ) ? y(t ) ? L(t )w(t ) ? C (t ) ? Q(t ) p(t ) ? L(t )w(t ) ? C (t )

根据Cobb—Douglas生产函数 Q(t ) ? aLr (t )k 1?r (t ) 讨论,企业应雇佣多少工 人可使利润最大? 14 、记时刻 t 渔场中的鱼量为 x(t ) ,在无捕捞的条件下 x(t ) 的增长服从 Logistic规律

dx x? ? ? rx? 1 ? ? 其中 r 是固有增长率, N 是环境容许的最大鱼量。 dx N? ?

解这个微分方程满足初值条件 x(0) ? x0 ,并解释何时鱼量达到最大? 15、Volterra食饵—捕食者模型

? dx ? dt ? x(r ? ay) ? dy ? ? y(? d ? bx) ? dt
(1)消去 dt 后,化为关于 x , y 的微分方程; (2)分离变量,求解上述微分方程并进行化简; (3)解释食饵—捕食者两类生物数量变化的规律。 16、叙述层次分析法的基本步骤 17、用层次分析法解决一个实际问题,建立合理的层次结构,并给出层次 结构中所有关系的判别矩阵。(不必求解) 18、试用和法求下列正互反矩阵的最大特征值与对应的权重。计算一致性 指标 CI , 根据3阶判断矩阵的随机性一致指标为 RI ? 0.58 , 计算一致性比率 CR 并作一致性检验。

2 5? 3 4? ? 1 1/ 3 1/ 8? ? 1 ? 1 ? ? ? ? ? ? A ? ?1 / 2 1 2 ? , A ? ? 3 1 1 / 3 ? , A ? ? 1 / 3 1 2 ? ?8 3 ?1/ 5 1/ 2 1 ? ?1 / 4 1 / 2 1 ? 1 ? ? ? ? ? ? ?
19、已知6支球队循环比赛的邻接矩阵

?0 ? ?0 ?1 A?? ?0 ?0 ? ?0 ?

1 0 1 0 0 0

0 0 0 0 1 1

1 1 1 0 0 0

1 1 0 1 0 0

1? ? 1? 0? ? (1)画图用箭头表示的这6个球队的胜负关系; 1? 1? ? 0? ?

(2)根据矩阵的乘法,算出各级得分向量,并按名次高低排除顺序 已知4支球队循环比赛的邻接矩阵
?0 ? ?0 A?? 0 ? ?1 ? 1 0 0 0 1 1 0 0 0? ? 1? (1)画图用箭头表示的这6个球队的胜负关系; 1? ? 0? ?

(2)根据矩阵的乘法,算出各级得分向量,并按名次高低排除顺序 已知5支球队循环比赛的邻接矩阵
?0 ? ?1 A ? ?0 ? ?1 ?0 ? 0 1 0 1? ? 0 0 0 1? 1 0 1 1 ? (1)画图用箭头表示的这6个球队的胜负关系; ? 1 0 0 0? 0 0 1 0? ?

(2)根据矩阵的乘法,算出各级得分向量,并按名次高低排除顺序 20、有 n 个工人,他们的生产是相互独立的,生产周期是常数, n 个工作 台均匀排列;每个工人生产出一件产品的时刻在一个周期内是等可能的;在一 个周期内有 m 个钩子通过每一个工作台上方,钩子均匀排列,到达第一个工作 台上方的钩子都是空的;每个工人在任何时候都能触到一只钩子,也只能触到 一只钩子, 于是他在生产出一件产品的瞬间, 如果他能触到的那只钩子是空的, 则可将产品挂上带走;如果那只钩子非空,则他只能将这件产品放在地上,永

1? ? 远退出这个系统。(1)证明:任一个钩子非空的概率为 p ? 1 ? ?1 ? ? ; ? m?
(2)计算这个传送系统的传送率

n

21、报童每天清晨从报社购进报纸零售,晚上将没有卖掉的报纸退回。设 每份报纸的购进价为 b ,零售价为 a ,退回价为 c ,满足 a ? b ? c 。如果每天报 纸的需求量是随机的,需求 r 份的概率 f (r )(r ? 0,1,2,3,.....),或者可以把 r 看作 连续变化的,其密度函数为 f (r )(r ? 0,1,2,3,.....)。如果报童每天从报社购进 n 份 报纸, L 是报童每天所得利润,则 L 是 r 与 n 的函数 L ? g (r ) (1)建立利润函数 L ? g (r ) ; (2)确定每天的购进量 n ,使报童每天的期望利润最大。 22、某商店每天要订购一批牛奶零售,设购进价 c1 ,售出价 c2 (c2 ? c1 ) , 当天销售不出去则削价处理,处理价 c3 (c3 ? c1 ) 并能处理完所有剩余的牛奶。 如果该商店每天销售牛奶的数量 r 是随机变量,其概率密度函数为 f (r ) 。如果 商店每天订购牛奶的数量为 n , L 该商店销售牛奶每天所得利润,则 L 是 r 与 n 的函数 L ? g (r ) (1)建立利润函数 L ? g (r ) ; (2)确定每天的购进量 n ,使报童每天的期望利润最大。 23、水泥凝固时放出的热量 Y 与其四种成分的记录
x1 :3 C a O Al2 O3 (%) ; x2 :3 C a O SiO2 (%) ;

; x4 :2 C a O SiO2 (%) x 3 :4 C a O Al2 O3 Fe2 O3 (%) 2 3 4 5 6 7 8 9 序号 1 7 1 11 11 7 11 3 1 2 x1
x2 x3

10 21 47 4 26

11 1 40 23 34

12 11 66 9 12

13 10 68 8 12

26 6 60

29 15 52

56 8 20

31 8 47

52 6 33

55 9 22

71 17 6

31 22 44

54 18 22

x4
Y

78.5 74.3 104.3 87.6 95.9 109.2 102.7 72.5 93.1 115.9 83.8 113.3 109.4

假如 Y 与 x1 、 x2 、 x3 、 x4 呈线性关系 Y ? 用 EXCEL 进行回归,计算结果如下: SUMMARY OUTPUT 回归统计 Multiple R 0.991149 R Square 0.982376 Adjusted R Square 0.973563 标准误差 2.446008 观测值 13 方差分析

? 0 ? ?1 x1 ? ? 2 x2 ? ? 3 x3 ? ? 4 x4 ? ? ,利

df SS MS F Significance F 回归分析 4 2667.899666.9749111.4792 4.76E-07 残差 8 47.863645.982955 总计 122715.763

Coefficients 标准误差 t Stat P-value Lower 95% Upper 95% 回归常数 62.40537 70.07096 0.890602 0.399134 -99.1787 223.9894

x1 x2 x3 x4

1.551103 0.510168 0.101909 -0.14406

0.74477

2.08266 0.070822

-0.16634 -1.15889 -1.63845 -1.77914

3.268546 2.179227 1.842273 1.491017

0.723788 0.704858 0.500901 0.754709 0.135031 0.895923 0.709052 -0.20317 0.844071

(1)求 Y 对 x1 、 x2 、 x3 、 x4 的线性回归方程; (2)对输出结果进行分析,并对回归效果进行显著性检验;

通过计算 x1 、 x2 、 x3 、 x4 的相关系数矩阵如下:
1 0.2286 ? 0.8241 ? 0.2455? ? ? ? 1 ? 0.1392 ? 0.9730? ? 0.2286 R?? ? 0.8241 ? 0.1392 1 0.0295 ? ? ? ? ? 0.2455 ? 0.9730 0.0295 ? 1 ? ? 对该模型作何诊断?应该如何处理? 删除变量 x3 与 x4 重新计算如下:
SUMMARY OUTPUT 回归统计 Multiple R 0.989282 R Square 0.978678 Adjusted R Square 0.974414 标准误差 2.406335 观测值 13 方差分析 df SS MS F Significance F 回归分析 22657.8591328.929229.5037 4.41E-09 残差 1057.904485.790448 总计 122715.763 Coefficients标准误差 t Stat P-value Lower 95%Upper 95% 回归常数 52.57735 2.28617422.997965.46E-10 47.48343 57.67126

x1 x2

1.468306 0.12130112.104652.69E-07 0.66225 0.04585514.442365.03E-08

1.19803 1.738581 0.56008 0.764421

重新建立回归方程,并进行相关性检验。


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