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数列习题(答案详解)

时间:2017-07-06


数列复习题
一、选择题 1.如果一个数列既是等差数列,又是等比数列,则此数列( ) (A)为常数数列 (B)为非零的常数数列 (C)存在且唯一 (D)不存在 2. 在等差数列{an}中,a1=4,且 a1,a5,a13 成等比数列,则(an)的通项公式为( (A)an=3n+1 (B)an=n+3 (C)an=3n+1 或 an=4 (D)an=n+3 或 an=4 3

.已知 a,b,c 成等比数列,且 x,y 分别为 a 与 b、b 与 c 的等差中项,则



a c + 的值为( x y



(A)

1 2

(B)-2

(C)2

(D) 不确定

4.互不相等的三个正数 a,b,c 成等差数列,x 是 a,b 的等比中项,y 是 b,c 的等比中项,那么 x2,b2,y2 三个 数( ) (A)成等差数列不成等比数列 (B)成等比数列不成等差数列 (C)既成等差数列又成等比数列 (D)既不成等差数列,又不成等比数列 2 5.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,S2n+1=4n +2n,则此数列的通项公式为( ) (A)an=2n-2 (B)an=8n-2 (C)an=2n-1 (D)an=n2-n 6.已知(z-x)2=4(x-y)(y-z),则( ) (A)x,y,z 成等差数列 (B)x,y,z 成等比数列 (C)

1 1 1 , , 成等差数列 x y z

(D)

1 1 1 , , 成等比数列 x y z

7.数列{an}的前 n 项和 Sn=an-1,则关于数列{an}的下列说法中,正确的个数有( ) ①一定是等比数列,但不可能是等差数列 ②一定是等差数列,但不可能是等比数列 ③可能是等比数列, 也可能是等差数列 ④可能既不是等差数列,又不是等比数列 ⑤可能既是等差数列,又是等比数列 (A)4 (B)3 (C)2 (D)1

1 1 1 1 ,3 ,5 ,7 , … ,前 n 项和为( ) 2 4 8 16 1 1 1 (A)n2- n + 1 (B)n2- n +1 + 2 2 2 1 1 1 (C)n2-n- n + 1 (D)n2-n- n +1 + 2 2 2
8.数列 1 9. 若两个等差数列{an}、 n}的前 n 项和分别为 An 、 n, {b B 且满足

An 4n + 2 a + a13 = , 则 5 的值为 ( Bn 5n ? 5 b5 + b13



(A)

7 9

(B)

8 7

(C)

19 20

(D)

7 8


10.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn=n2-5n+2,则数列{ a n }的前 10 项和为(

(A)56 (B)58 (C)62 (D)60 11.已知数列{an}的通项公式为 an=n+5, 从{an}中依次取出第 3,9,27,…3n, …项,按原来的顺序排成

一个新的数列,则此数列的前 n 项和为( (A)



n(3 n + 13) 2

(B)3n+5

(C)

3 n + 10n ? 3 2

(D)

3 n +1 + 10n ? 3 2

12.下列命题中是真命题的是( ) A.数列{an}是等差数列的充要条件是 an=pn+q(p ≠ 0 ) B.已知一个数列{an}的前 n 项和为 Sn=an2+bn+a,如果此数列是等差数列,那么此数列也是等比数列 C.数列{an}是等比数列的充要条件 an=abn-1 D.如果一个数列{an}的前 n 项和 Sn=abn+c(a ≠ 0,b ≠ 0,b ≠ 1),则此数列是等比数列的充要条件是 a+c=0 二、填空题 13.各项都是正数的等比数列{an},公比 q ≠ 1,a5,a7,a8 成等差数列,则公比 q= 14.已知等差数列{an},公差 d ≠ 0,a1,a5,a17 成等比数列,则

a1 + a5 + a17 = a 2 + a6 + a18

15.已知数列{an}满足 Sn=1+

1 a n ,则 an= 4

16.在 2 和 30 之间插入两个正数,使前三个数成等比数列,后三个数成等差数列,则插入的这两个数的等 比中项为 二、解答题 解答题 17.已知数列{an}是公差 d 不为零的等差数列,数列{abn}是公比为 q 的等比数列, b1=1,b2=10,b3=46,,求 公比 q 及 bn。

18.已知等差数列{an}的公差与等比数列{bn}的公比相等,且都等于 d(d>0,d ≠ 1),a1=b1 ,a3=3b3,a5=5b5, 求 an , b n。

19.有四个数,其中前三个数成等比数列,其积为 216,后三个数成等差数列,其和为 36,求这四个数。

20.已知 {an } 为等比数列, a3 = 2, a2 + a4 =

20 ,求 {an } 的通项式。 3

21.数列 {an } 的前 n 项和记为 Sn , a1 = 1, an +1 = 2S n + 1( n ≥ 1) (Ⅰ)求 {an } 的通项公式; (Ⅱ)等差数列 {bn } 的各项为正,其前 n 项和为 Tn ,且 T3 = 15 ,又 a1 + b1 , a2 + b2 , a3 + b3 成等比数列, 求 Tn

22.已知数列 {an } 满足 a1 = 1, an +1 = 2 an + 1( n ∈ N * ). (I)求数列 {an } 的通项公式; (II)若数列 {bn } 满足 4b1 ?1.4 b2 ?1...4
bn ?1

= ( an + 1) bn ( n ∈ N ? ) ,证明: {bn } 是等差数列;

第九单元
一、选择题 题号 答案 二、填空题 13. 1 B 2 D 3 C 4 A 5 A 6 A

数列综合题
7 C 8 A 9 D 10 D 11 D 12 D

1+ 5 2

14.

26 29

15.

4 1 n (? ) 3 3

16. ± 6 3

三、解答题 17.a b1 =a1,a b2 =a10=a1+9d,a b3 =a46=a1+45d 由{abn}为等比数例,得(a1+9d)2=a1(a1+45d)得 a1=3d,即 ab1=3d,ab2=12d,ab3=48d. ∴q=4 又由{abn}是{an}中的第 bna 项,及 abn=ab1·4n-1=3d·4n-1,a1+(bn-1)d=3d·4n-1

∴bn=3·4n-1-2 18.∴ a3=3b3 , ∴ a1+2d=3a1d2 , ∴ a1(1-3d2)=-2d Q a5=5b5, ∴ a1+4d=5a1d4 , ∴a1(1-5d4)=-4d
4

① ②

② 1 ? 5d 1 5 ,得 =2 , ∴ d2=1 或 d2= , 由 题 意 , d= ,a1=2 ① 5 5 1 ? 3d bn=a1dn-1=- 5 ·(

5 。 ∴ an=a1+(n-1)d=

5 (n-6) 5

5 n-1 ) 5 a , a, aq,2aq ? a q

由①,得 a3=216,a=6 ③

19.设这四个数为

?a ? · a ? aq = 216 则 ?q ?a + aq + (3aq ? a ) = 36 ?
③代入②,得 3aq=36,q=2


∴这四个数为 3,6,12,18

a3 2 20.解: 设等比数列{an}的公比为 q, 则 q≠0, a2= = , a4=a3q=2q q q 所以 2 20 1 + 2q= , 解得 q1= , q2= 3, q 3 3

1 1 - 18 - 当 q1= , a1=18.所以 an=18×( )n 1= n-1 = 2×33 n. 3 3 3 当 q=3 时, a1= 2 2 - , 所以 an= ×3n-1=2×3n 3. 9 9

21.解:(I)由 an +1 = 2 S n + 1 可得 an = 2Sn ?1 + 1( n ≥ 2 ) ,两式相减得

an+1 ? an = 2an , an +1 = 3an ( n ≥ 2 )
又 a2 = 2 S1 + 1 = 3 ∴ a2 = 3a1 故 {an } 是首项为 1 ,公比为 3 得等比数列 ∴ an = 3n ?1 (Ⅱ)设 {bn } 的公差为 d 由 T3 = 15 得,可得 b1 + b2 + b3 = 15 ,可得 b2 = 5 故可设 b1 = 5 ? d , b3 = 5 + d 又 a1 = 1, a2 = 3, a3 = 9 由题意可得 ( 5 ? d + 1)( 5 + d + 9 ) = ( 5 + 3 ) 解得 d1 = 2, d 2 = 10 ∵等差数列 {bn } 的各项为正,∴ d > 0 ∴d = 2 ∴ Tn = 3n +
2

n ( n ? 1) 2

× 2 = n 2 + 2n

22(I) Q an +1 = 2an + 1( n ∈ N * ), :

∴ an +1 + 1 = 2(an + 1),

∴{an + 1} 是以 a1 + 1 = 2 为首项,2 为公比的等比数列。
∴ an + 1 = 2 n.


an = 22 ? 1( n ∈ N * ).
bn ?1

(II)证法一:Q 4b1 ?14b2 ?1...4

= ( an + 1)bn .

∴ 4( b1 +b2 +...+bn ) ? n = 2nbn .

∴ 2[(b1 + b2 + ... + bn ) ? n] = nbn , 2[(b1 + b2 + ... + bn + bn +1 ) ? (n + 1)] = (n + 1)bn +1.

① ②

②-①,得 2(bn +1 ? 1) = ( n + 1)bn +1 ? nbn , 即 ( n ? 1)bn +1 ? nbn + 2 = 0, ③ ④

nbn + 2 ? (n + 1)bn +1 + 2 = 0.
④-③,得 即

nbn + 2 ? 2nbn +1 + nbn = 0,

bn + 2 ? 2bn +1 + bn = 0,

∴ bn + 2 ? bn +1 = bn +1 ? bn ( n ∈ N * ),

∴{bn } 是等差数列。


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