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2012新课标全国卷(数学)评分细则(官方)-24题评分细则

时间:2013-03-27


2012 年高考数学 24 题评分细则:

第一问:
(Ⅰ)方法一:
?? 2 x ? 5,.x ? 2 ? a ? ?3时, f ( x) ?| x ? 3 | ? | x ? 2 |? ? 1.,2 ? x ? 3 ? 2 x ? 5,.x ? 3 ?

------1 分

当x ? 2时,由f

( x) ? 3得 ? 2 x ? 5 ? 3,解得x ? 1 当2 ? x ? 3时,由f ( x) ? 3得1 ? 3,无解 当x ? 3时,由f ( x) ? 3得2x - 5 ? 3,解得x ? 4
所以 f ( x) ? 3 的解为 {x | x ? 1或x ? 4} 方法二: 当 a ? ?3时, f ( x) ?| x ? 3 | ? | x ? 2 | 由 f ( x) ? 3得 | x ? 3 | ? | x ? 2 |? 3 此不等式等价于

------2 分 ------3 分 -------4 分 -------5 分

x?2 ? ? ?3 ? x ? 2 ? x ? 3
解得 x ? 1

? 2? x?3 或? ?3 ? x ? x ? 2 ? 3

x?3 ? 或? ?x ? 3 ? x ? 2 ? 3

------3 分

或无解

或x ? 4 -----4 分 (注:求对 2 个得 1 分,下步不得分) ------5 分

所以 f ( x) ? 3 的解为 {x | x ? 1或x ? 4} 方法三:

?? 2 x ? 5,.x ? 2 ? 当 a ? ?3时, f ( x) ?| x ? 3 | ? | x ? 2 |? ? 1.,2 ? x ? 3 ------1 分 ? 2 x ? 5,.x ? 3 ?

作图如右,

----3 分

由图像可得, f ( x) ? 3 的解集是 {x | x ? 1或x ? 4}

-----5 分

1

方法四: 当 a ? ?3时, f ( x) ?| x ? 3 | ? | x ? 2 | 由 f ( x) ? 3得 | x ? 3 | ? | x ? 2 |? 3 根据绝对值的几何意义,2 与 3 的距离为 1,故 x 对应的点在 2 的左边或 3 的 右边, ------2 分 当 x =1 或 x =4 时,其到 2 和到 3 的距离之和为 3 -----4 分 ∴ f ( x) ? 3 的解集是 {x | x ? 1或x ? 4} 注:1、若用特殊值求得答案完全正确给 4 分; 2、若只给出 f ( x) ?| x ? 3 | ? | x ? 2 |? 3 ,后面不做或全错,给 1 分; ------5 分

第二问:
(Ⅱ)方法一:由 f ( x) ?| x ? 4 | 得 | x ? a |?| x ? 4 | ? | x ? 2 | 当 x ? [1,2] 时, | x ? a |?| x ? 4 | ? | x ? 2 | 等价于
| x ? a |? 4 ? x ? (2 ? x) ? 2
? ?2 ? x ? a ? 2 ? ?2 ? a ? x ? 2 ? a

-----1 分

------2 分 -------3 分 -------4 分 -------5 分

?? 2 ? a ? 1 依题意得 ? ? 2?a ? 2

即?3? a ? 0

故满足条件的 a 的取值范围是 [?3,0] 。 (注:若没最后一步,不扣分)

2

方法二:若用下面方法解答,因解答不严谨,扣 1 分,得 4 分 由 f ( x) ?| x ? 4 | 得 | x ? a |?| x ? 4 | ? | x ? 2 |
? f ( x) ?| x ? 4 | 的解集包含 [1,2]

-------1 分

把 x ? 1 代人得

| 1 ? a |? 2 解得 ? 3 ? a ? 1

--------2 分 --------3 分 ---------4 分 ------1 分

把 x ? 2 代人得 | 2 ? a |? 2 解得 ? 4 ? a ? 0 ∴ ?3? a ? 0 方法三:由 f ( x) ?| x ? 4 | 得 | x ? a |?| x ? 4 | ? | x ? 2 | 令 g ( x) ?| x ? 4 | ? | x ? 2 | 作出图像如下:

-------2 分

y ?| x ? a | 的图像是 y ?| x | 的图像沿着 x 轴平移 | a | 个长度单位所得,---3 分

当 a ? ?3 和 a ? 0 时,不等式 | x ? a |?| x ? 4 | ? | x ? 2 | 的解集为 [1,2] 故满足条件的 a 的取值范围是 [?3,0] 方法四:由 f ( x) ?| x ? 4 | 得 | x ? a |?| x ? 4 | ? | x ? 2 | 令 b ?| x ? 4 | ? | x ? 2 | ,则 b ? [?2,2]
?| x ? a |? b ?b ? [0,2]

----4 分 -----5 分

------1 分

------2 分

由 | x ? a |? b ? ?a ? b ? x ? ?a ? b
? f ( x) ?| x ? 4 | 的解集包含 [1,2]

?? a ? b ? 1 ? ?1 ? b ? a ? b ? 2 ? ?? a ? b ? 2
?0 ? b ? 2 ? 3 ? ?1 ? b ? ?1. ? 2 ? b ? 2 ? 0.

------3 分

------4 分 -------5 分
3

故满足条件的 a 的取值范围是 [?3,0]

4


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