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数列及其应用(教师版)


四、数列(教师版)
广东省历年高考题

1、 (07 年)已知函数 f ( x) ? x2 ? x ?1, ?、? 是方程 f ( x) ? 0 的两个根 (? ? ? ) , f ?( x ) 是 f ( x) 的导数.设 a1 ? 1, an ?1 ? an ? (1)求 ?、? 的值; (2)已知对任意的正整数 n, 都有 an ? ? , 记

bn ?n l 的前 n 项和 Sn 。 .解:(1)解方程 x 2 ? x ? 1 ? 0 得 x ?
?1? 5 2 ?1? 5 ?1? 5 由 ? ?? 得 ? ? ,? ? 2 2 2 a ?1 (2)∵ a n ?1 ? n 2a n ? 1 an ? ? ( , 2 ,1) n? an ? ? f (an ) (n ? 1, 2, ) , f ?(an )

,求数列 {bn }

由于 ? 、 ? 方程 x 2 ? x ? 1 ? 0 的两个实根,所以 ? 2 ? ? ? 1 ? 0
2 an ?1 (an ? ? ) 2 ? (? 2 ? ? ? 1) (an ? ? ) 2 ∴ an?1 ? ? ? ?? ? ? 2an ? 1 2an ? 1 2an ? 1

(a n ? ? ) 2 同理可得: an?1 ? ? ? 2a n ? 1
a ?? a ?? a n?1 ? ? (a n ? ? ) 2 ∴ ,所以 ln n?1 ,即 bn?1 ? 2bn ? 2 ln n ? 2 an?1 ? ? an ? ? a n?1 ? ? (a n ? ? )
又∵ b1 ? ln

a1 ? ? 3? 5 1? 5 ? ln ? 4 ln a1 ? ? 2 3? 5
1? 5 ,公比 q ? 2 的等比数列 2

∴数列 {bn } 是一个首项 b1 ? 4 ln
b (1 ? q n ) ? ∴ Sn ? 1 1? q 4 ln

1? 5 (1 ? 2 n ) 1? 5 2 ? 4(2 n ? 1) ln 1? 2 2 1 2、(08 年)设数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 , a2 ? 2 , a n ? (a n ?1 ? 2a n ? 2 ) (n ? 3,4,?) ,数 3

列 ?bn ? 满足 b1 ? 1 , 且对任意的正整数 m 和自然数 k , bb (n ? 2,3,4,?) 是非零整数, 都有 ? 1 ? bm ? bm?1 ? ? ? bm?k ? 1

1

(1)求数列 ?an ? 和 ?bn ? 的通项公式; (2)记 cn ? nanbn (n ? 1,2,?) ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 S n .
1 2 解:(1)由 an ? (an ?1 ? 2an ? 2 ) 得 an ? an ?1 ? ? (an ?1 ? an ? 2 ) (n ? 3,4,?) 3 3 ∵ a2 ? a1 ? 1 2 ∴ 数列 {an?1 ? an } 是首项为 1,公比为 ? 的等比数列, 3 2 ∴ an ?1 ? an ? (? ) n ?1 3 ∴ an ? a1 ? (a2 ? a1 ) ? (a3 ? a2 ) ? (a4 ? a3 ) ? ? ? (an ? an ?1 ) 2 2 2 ? 1 ? 1 ? (? ) ? (? ) 2 ? ? ? (? ) n ? 2 3 3 3 2 1 ? (? ) n ?1 3 ?1? 2 1? 3 8 3 2 ? ? (? ) n ?1 5 5 3 ?? 1 ? b2 ? b3 ? 1 ?? 1 ? b1 ? b2 ? 1 ?? 1 ? b ? 1 ?? 1 ? b ? 1 ? ? 3 2 由 ? 得 b2 ? ?1;由 ? 得 b3 ? 1 ?b2 ? Z , b2 ? 0 ?b3 ? Z , b3 ? 0 ? ? ?b1 ? 1 ?b2 ? ?1 同理可得: b4 ? ?1, b5 ? 1,…… ∴当 n 为偶数时, bn ? ?1;当 n 为奇数时, bn ? 1

?1 (当n是奇数时) ∴ bn ? ? ?? 1 (当n是偶数时) 3 2 n ?1 ?8 (当n是奇数时) n ? n ( ? ) ?5 ? 5 3 (2)∵ cn ? nanbn ? ? ?? 8 n ? 3 n(? 2 ) n ?1 (当n是偶数时) ? 5 3 ? 5 ∴ 当 n 为奇数时 Sn ? c1 ? c2 ? ? ? cn 8 3 2 2 2 ? (1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n) ? [1 ? (? )0 ? 2 ? (? )1 ? ? ? n ? (? ) n ?1 ] 5 5 3 3 3 4(n ? 1) 3 2 2 2 2 ? ? [1 ? ( )0 ? 2 ? ( )1 ? 3 ? ( ) 2 ? ? n( ) n ?1 ] 5 5 3 3 3 3 ∴ 当 n 为偶数时 Sn ? c1 ? c2 ? ? ? cn 8 3 2 2 2 ? (1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n) ? [1 ? (? )0 ? 2 ? (? )1 ? ? ? n ? (? ) n ?1 ] 5 5 3 3 3
2

4n 3 2 2 2 2 ? [1 ? ( )0 ? 2 ? ( )1 ? 3 ? ( ) 2 ? ? n( ) n ?1 ] 5 5 3 3 3 3 2 2 2 2 令: Tn ? 1 ? ( )0 ? 2 ? ( )1 ? 3 ? ( ) 2 ? ? n( ) n ?1 3 3 3 3 2 2 2 2 2 Tn ? 1 ? ( )1 ? 2 ? ( ) 2 ? 3 ? ( )3 ? ? n( ) n 则 3 3 3 3 3 以上两式相减,得 1 2 2 2 2 2 Tn ? 1 ? ( )1 ? ( ) 2 ? ( )3 ? ? ( ) n ?1 ? n( ) n 3 3 3 3 3 3 2 n 1? ( ) 3 ? n( 2 ) n ? 2 3 1? 3 2 ? 3 ? (n ? 3)( ) n 3 2 ∴ Tn ? 9 ? (3n ? 9)( ) n 3 ? 4n ? 23 9(n ? 3) 2 n (当n是奇数时) ? ( ) ? ? 5 5 3 ∴ Sn ? ? ?? 4n ? 27 ? 9(n ? 3) ( 2 ) n (当n是偶数时) ? 5 5 3 ? 1 3、(09 年)已知点 (1, ) 是函数 f ( x) ? a x (a ? 0, 且a ? 1) 的图像上一点,等比数列 3 ?an ? 的前 n 项和为 f (n) ? c ,数列 ?bn ? (bn ? 0) 的首项为 c,且前 n 项和 S n 满足 ??

S n ? S n?1 ? S n ? S n?1 (n ? 2) 。

(1)求数列 ?an ? 和 ?bn ? 的通项公式;

? 1 ? 1000 (2)若数列 ? 问满足 Tn ? 的最小正整数 n 是多少? ? 的前 n 项和为 Tn , 2009 ? bnbn ?1 ? 1 .解:(1) ∵点 (1, ) 是函数 f ( x) ? a x (a ? 0, 且a ? 1) 的图像上一点 3
1 ?1? ∴ f (1) ? a ? , 即 f ( x) ? ? ? 3 ? 3?
x

?1? 设等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 An ,依题意,得 An = f (n) ? c = ? ? ? c ? 3? 1 ∴ 当 n=1 时, a1 ? ? c 3

n

2?1? ?1? ?1? 当 n≥2 时, an ? An ? An?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 ? 3? ? 3? ? 3? 1?1 1 2?1? 由数列 ?an ? 为等比数列,可知 a1 ? ? c = ? ? ? ,解得 c=1 3 3 ? 3?

n

n ?1

n ?1

3

2 1 1 ∴ 数列 ?an ? 的通项公式为 a n ? ? ( ) n ?1 ? ?2( ) n 3 3 3 又 数列 ?bn ? (bn ? 0) 的首项为 b1 ? c ? 1

(n ? N * )

数列 ?bn ? (bn ? 0) 前 n 项和 s n 满足 S n ? S n?1 ? S n ? S n?1 (n ? 2) 整理,得 ( S n ? S n?1 )( S n ? S n?1 ? 1) ? 0 由 bn ? 0 可知 S n ? 0 ,所以 S n ? S n?1 ? 0 , S n ? S n?1 ? 1 ? 0 所以

S n ? S n?1 ? 1 ,

又 S1 ? b1 ? 1 ,即 S1 ? 1

∴ 数列 { S n } 是首项为 1,公差为 1 的等差数列 ∴

S n ? 1 ? (n ? 1) ? 1 ? n


当 n≥2 时, bn ? S n ? S n?1 ? n 2 ? ?n ? 1? ? 2n ? 1 又当 n=1 时,2n-1=1= b1 ,符合以上公式,
2

Sn ? n2

∴ 数列 ?bn ? 的通项公式为 bn ? 2n ? 1( n ? N * )

(2)由(1)知

1 1 1? 1 1 ? ? ? ? ? ? bn bn?1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ?

? 1 ? ∴ 数列 ? ? 的前 n 项和为 ? bnbn ?1 ? 1 ?? 1 1 ? ? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 ? ? 1 1 ?? ? 1 Tn = ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ?? 2 ?? 1 3 ? ? 3 5 ? ? 5 7 ? ? 2n ? 3 2n ? 1 ? ? 2n ? 1 2n ? 1 ?? 1? 1 ? n = ?1 ? ?? 2 ? 2 n ? 1 ? 2n ? 1 n 1000 1000 1 ? ? 111 令 Tn = ,解得 n ? 2n ? 1 2009 9 9 1000 ∴ 满足 Tn ? 的最小正整数 n 是 112 2009
2009 年广州质检、一模、二模 GZ-T 20. (本小题满分 14 分) 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn ? n2 ? 4n ? 4 . (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设 bn ?

an 1 ,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,求证: ? Tn ? 1 . n 2 4
2 n
*

GZ-1 21. (本小题满分 14 分) 已知数列 ?an ? 的相邻两项 a n , a n ?1 是关于 x 的方程 x ? 2 x ? bn ? 0 (n ? N ) 的两根,

4

且 a1 ? 1 . (1) 求证: 数列 ?a n ?

? ?

1 n? ? 2 ? 是等比数列; 3 ?

(2) 设 S n 是数列 ?an ? 的前 n 项和, 问是否存在常数 ? ,使得 bn ? ?S n ? 0 对任意 n ?N 都成立,
*

若存在, 求出 ? 的取值范围; 若不存在, 请说明理由. GZ-2(本小题满分14分) 断 Sm , Sm? 2 , Sm?1 是否成等差数列,并证明你的结论.

* 已知等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 am , am?2 , am?1 m ? N 成等差数列,试判

?

?

解:设等比数列 ?an ? 的首项为 a1 ,公比为 q ? a1 ? 0, q ? 0? , 若 am , am?2 , am?1 成等差数列, 则 2am?2 ? am ? am?1 . ∴ 2a1qm?1 ? a1qm?1 ? a1qm . ∵ a1 ? 0 , q ? 0 ,∴ 2q 2 ? q ? 1 ? 0 . 解得 q ? 1 或 q ? ?

1 . 2

当 q ? 1 时,∵ Sm ? ma1 , Sm?1 ? ? m ? 1? a1 , Sm?2 ? ? m ? 2? a1 , ∴ 2Sm?2 ? Sm ? Sm?1 . ∴当 q ? 1 时, Sm , Sm? 2 , Sm?1 不成等差数列. 当q ? ?

1 时, Sm , Sm+ 2 , Sm+ 1 成等差数列.下面给出两种证明方法. 2

证法1:∵ ? Sm ? Sm?1 ? ? 2Sm?2 ? ? Sm ? Sm ? am?1 ? ? 2 ? Sm ? am?1 ? am?2 ?

? ?am?1 ? 2am?2
? ?am?1 ? 2am?1q
? 1? ? ?am?1 ? 2am?1 ? ? ? ? 2?
? 0,

5

∴ 2Sm?2 ? Sm ? Sm?1 . ∴当 q ? ?

1 时, Sm , Sm? 2 , Sm?1 成等差数列. 2

证法2:∵ 2Sm? 2

? ? 1 ?m? 2 ? 2a1 ?1 ? ? ? ? ? m? 2 ? 2? ? 4 ? ? 1? ? ? ? ? ? ? a1 ?1 ? ? ? ? ? , 1 3 ? ? ? 2? ? ? 1? 2

? ? 1 ?m ? ? ? 1 ?m?1 ? a1 ?1 ? ? ? ? ? a1 ?1 ? ? ? ? ? m m ?1 ? ? 2? ? ?? ? ? ? 2? ? ? ? 2 a ?2 ? ? ? 1 ? ? ? ? 1 ? ? 又 Sm ? Sm?1 ? ? 1? ? ? ? ? ? 1 1 3 ? ? ? 2? ? 2? ? ? 1? 1? 2 2
m?2 m?2 m? 2 2 ? ? 1? ? 1? ? 4 ? ? 1? ? ? a1 ? 2 ? 4 ? ? ? ? 2 ? ? ? ? ? a1 ?1 ? ? ? ? ? , 3 ? ? 2? ? 2? ? ? ? 3 ? ? ? 2? ? ?

∴ 2Sm?2 ? Sm ? Sm?1 . ∴当 q ? ?

1 时, Sm , Sm? 2 , Sm?1 成等差数列. 2

6

2009 年广东省各市模拟题 1、 (2009 深圳福田)已知数列

?an ? 是等差数列,

a2 ? 6, a5 ? 18 ;数列 ?bn ? 的前 n 项和是

Tn ,且

1 Tn ? bn ? 1 2 .

(Ⅰ) 求数列 (Ⅲ) 记

?an ? 的通项公式;

(Ⅱ) 求证:数列

?bn ? 是等比数列;

cn ? an ? bn ,求 ?cn ? 的前 n 项和 Sn

解:(Ⅰ)设

?an ? 的公差为 d ,则: a2 ? a1 ? d , a5 ? a1 ? 4d ,

? a1 ? d ? 6 ? a ? 4d ? 18 a ? 18 a ? 6 a ? 2, d ? 4 . ………………………2 分 5 2 ∵ , ,∴ ? 1 ,∴ 1


an ? 2 ? 4(n ?1) ? 4n ? 2 . …………………………………………4 分

1 2 T1 ? b1 ? 1 b1 ? b ? T1 ,由 2 3. (Ⅱ)当 n ? 1 时, 1 ,得 1 1 Tn ? 1 ? bn Tn ?1 ? 1 ? bn ?1 2 , 2 当 n ? 2 时, , 1 1 Tn ? Tn ?1 = (bn ?1 ? bn ) bn ? (bn ?1 ? bn ) 2 2 ∴ ,即 . 1 bn = bn ?1 3 ∴ . 2

…………………5 分

…………………………7 分

……………………………………………………………8 分

?b ? ∴ n 是以 3 为首项, 3 为公比的等比数列.
(Ⅲ)由(2)可知:

1

…………………………………9 分

bn ?

2 1 n ?1 1 ? ( ) ? 2 ? ( )n 3 3 3 .

……………………………10 分

1 1 cn ? an ? bn ? (4n ? 2) ? 2 ? ( ) n ? (8n ? 4) ? ( ) n 3 3 . …………………………………11 分 ∴


Sn ? c1 ? c2 ?

1 1 ? cn ?1 ? cn ? 4 ? ( ) ? 12 ? ( ) 2 ? 3 3

1 1 ? (8n ? 12) ? ( ) n ?1 ? (8n ? 4) ? ( ) n 3 3 .

1 1 1 Sn ? 4 ? ( ) 2 ? 12 ? ( )3 ? 3 3 ∴3

1 1 ? (8n ? 12) ? ( ) n ? (8n ? 4) ? ( ) n ?1 3 3 .
7

1 2 1 1 1 S n ? S n ? S n ? 4 ? ? 8 ? ( ) 2 ? 8 ? ( )3 ? 3 3 3 3 3 ∴

1 1 ? 8 ? ( ) n ? (8n ? 4) ? ( ) n ?1 3 3

1 1 ( )2 ? [1 ? ( ) n ?1 ] 4 1 3 ? ? 8? 3 ? (8n ? 4) ? ( ) n ?1 1 3 3 1? 3
? 8 1 1 ? 4 ? ( ) n ?1 ? (8n ? 4) ? ( ) n ?1 3 3 3 .
………………………………………13 分

1 S n ? 4 ? 4( n ? 1) ? ( ) n 3 . ∴

…………………………………………………14 分

2、 (2009 湛江师院附中)已知数列

{an } 是等差数列,且 a3 ? 5, a5 ? 9 ,

Sn 是数列 {an } 的前 n 项和.
(Ⅰ)求数列

{an } 的通项公式 an 及前 n 项和 Sn ;

(Ⅱ) 若数列

{bn } 满足

bn ?

1 Sn ? Sn?1

,且

Tn 是数列 {bn } 的前 n 项和,求 bn 与 Tn .
?a3 ? a1 ? 2d ? 5

? {a } 解:(Ⅰ)设数列 n 的公差为 d ,由题意可知: ?a5 ? a1 ? 4d ? 9 ,解得: a1 ? 1, d ? 2

…3 分



an ? a1 ? (n ?1)d ? 1 ? 2(n ?1) ? 2n ?1
(a1 ? an )n (1 ? 2n ? 1)n ? ? n2 . 2 2

…………………………………5 分 ……………………………6 分

Sn ?

(Ⅱ)

bn ?

1 1 1 1 ? ? ? Sn ? Sn?1 n(n ? 1) n n ? 1

…………………………8 分

?Tn ? b1 ? b2 ? b3 ? ??? ? bn
1 1 1 1 1 1 1 1 1 n ? ( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ??? ? ( ? ) ? 1? ? . 1 2 2 3 3 4 n n ?1 n ?1 n ?1
3、 (2009 广州海珠区)数列 (Ⅰ)求数列 (Ⅱ)若 ……………13 分

?bn ? ?n ? N ? ? 是递增的等比数列,且 b1 ? b3 ? 5, b1b3 ? 4 .

?bn ?的通项公式;

an ? log2 bn ? 3 ,求证数列 ?an ? 是等差数列;

8

(Ⅲ)若

a1 ? a2 ? a3 ? …… ? am ? a46 ,求 m 的最大值.
?b1b3 ? 4 ? ?b1 ? b3 ? 5

2

解 :( Ⅰ ) 由



b1 , b3 是 方 程 x 2 ? 5x ? 4 ? 0 的 两 根 , 注 意 到 bn?1 ? bn 得

b1 ? 1, b3 ? 4 .……2 分
? b2 ? b1b3 ? 4 得 b2 ? 2 . ? b1 ? 1, b2 ? 2, b3 ? 4
2

b2 ?2 ?bn ? b1q n?1 ? 2 n?1 ……4 分 ? 等比数列. ?bn ? 的公比为 b1 ,
(Ⅱ) ∵

an ? log2 bn ? 3 ? log2 2n?1 ? 3 ? n ? 1 ? 3 ? n ? 2. ……6 分

an?1 ? an ? ??n ? 1? ? 2? ? ?n ? 2? ? 1 ……8 分

? 数列 ?an ? 是首相为 3,公差为 1 的等差数列. ……9 分
(Ⅲ) 由(Ⅱ)知数列
2

?an ?是首相为 3,公差为 1 的等差数列,有
2

a1 ? a2 ? a3 ? …… ? am = a1 ? a1 ? a2 ? a3 ? …… ? am ? a1
m?m ? 1? m2 ? m 3 ? m?3? ? 1 ? 3 ? 6 ? 3m ? 2 2 ……11 分 =
2

a46 ? 48
6 ? 3m ? m2 ? m ? 48 2 2 ,整理得 m ? 5m ? 84 ? 0 ,

?

解得 ? 12 ? m ? 7 . ……13 分

?m 的最大值是 7. ……14 分
4、 (2009 湛江 21 中)已知数列 (1)求数列

?an ? ? n ? N ? ? 是等比数列,且 an ? 0, a1 ? 2, a3 ? 8.

?an ? 的通项公式;

1 1 1 1 ? ? ??? ?1 a a 2 a3 an (2)求证: 1 ;
(3)设

bn ? 2 log2 an ? 1 ,求数列 ?bn ? 的前 100 项和.
9

.解:(1)设等比数列

?an ? 的公比为 q .

8 2 ? 4, 3?1 ? q ? n ?1 a ? a q a ? a q 2 1 1 则由等比数列的通项公式 n 得 3 ,


an ? 0,?q ? 2L L ? 2分?

n?1 n ? 数列 ?an ? 的通项公式是 an ? 2 ? 2 ? 2 L L ?3分? .

? 2?

1 1 1 1 ? ? ?L ? a1 a2 a3 an

1 1 1 ? n? 1 1 1 1 ? ? 2 ? 3 ?L ? n ? 2 2 2 1 2 2 2 2 1? 2
1 L L ? 6分 ? , 2n 1 Q n ? 1,?1 ? n ? 1L L ? 7分 ? , 2 ? 1?

?

1 1 1 1 ? ? ? L ? ? 1L L ?8分? . a1 a2 a3 an

? 3?由bn ? 2log 2 2n ? 1 ? 2n ? 1L L ?9分? , 又 Q bn ? bn?1 ? 2n ? 1 ? ? ?2 ? n ? 1? ? 1? ? ? 2 ?常数? , ? 数列?bn ? 是首项为3,公差为2的等差数列L L ?11分? ,
? 数列

?bn ?

的前 100 项和是

S100 ? 100 ? 3 ?

100 ? 99 ? 2 ? 10200 L L ?12分 ? 2

5、 (2009 深圳九校)等差数列 为等比数列,其中

{an } 的公差 d ? 0 ,它的一部分组成数列 ak1 , ak2 , ak3 , ?, akn

k1 ? 1 , k2 ? 5 , k3 ? 17 .

(Ⅰ)求等比数列 (Ⅱ)记

ak1 , ak2 , ak3 , ?, akn

的公比 q ;

f (n) ? kn ,求 f (n) 的解析式; k1 ? k2 ? ? ? kn 的值;
2 a5 ? a1 ? a17

(Ⅲ)求

解: (Ⅰ)依题意有:

………………………1 分

? (a1 ? 4d ) 2 ? a1 (a1 ? 16d )
10

解得: a1 ? 2d .

………………………3 分

?q ?

a5 a1 ? 4d 2d ? 4d ? ? ?3 a1 a1 2d

………………………5 分

a kn
(Ⅱ)解法 1:

a kn ?1

?3
………………………6 分

?

a1 ? (k n ? 1)d ?3 a1 ? (k n?1 ? 1)d ,又 a1 ? 2d ,
………………………8 分

? kn ? 3kn?1 ? 2 ? kn ? 1 ? 3(kn?1 ? 1)

?{kn ? 1} 是等比数列,

……………………9 分

? kn ? 1 ? (k1 ? 1)3n?1 ? 2 ? 3n?1 ? kn ? 2 ? 3n?1 ? 1
? f (n) ? 2 ? 3n?1 ? 1
解法 2: ∵ ∴ ………………………10 分

akn

是等比数列的第 n 项,又是等差数列的第

kn 项

akn ? a1 ? 3n?1

………………………7 分

akn ? a1 ? (kn ? 1)d


a1 ? 3n?1 ? a1 ? (kn ? 1)d

………………………9 分

由(Ⅰ)知 a1 ? 2d

? kn ? 2 ? 3n?1 ? 1
? f (n) ? 2 ? 3n?1 ? 1 .
………………………10 分

(Ⅲ)

k1 ? k 2 ? ? ? k n ? 2(1 ? 3 ? ? ? 3n?1 ) ? n ? 2 ?

1 ? 3n ? n ? 3n ? n ? 1 1? 3 ……14 分
1

? 2 ? n ?1 b ?a ? S 且 Sn a ? b1 , 2 ,? n ? 为等差数列, 6、 (2009 普宁) 设数列 n 的前项和为 n , 且 1

a2 (b2 ? b1 ) ? a1 .
11

(1)求数列

?an ? 和 ?bn ? 通项公式;

cn ?
(2)设

bn an ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn

(1)当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 1.…………1 分

当 n ? 2 时,

a n ? S n ? S n ?1 ? (2 ?

1 2
n ?1

) ? (2 ?

1 2
n?2

)?

1 2 n ?1 ,此式对 n ? 1 也成立.

? an ?

* 2 n ?1 (n ? N ) .…………3 分

1

b2 ? b1 ?
从而 b1 ? a1 ? 1 , 又因为

a1 1 ? ?2 a2 1 2 .

?bn ? 为等差数列,

? 公差 d ? 2 ,…………5 分

?bn ? 1 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 1 .…………6 分
cn ?
(2)由(1)可知 所以

2n ? 1 ? (2n ? 1) ? 2 n ?1 1 2 n ?1 ,…………7 分

Tn ? 1?1 ? 3 ? 2 ? 5 ? 22 ? ? ? (2n ? 1) ? 2n?1 .
①2 得

①…………8 分

2Tn ? 1? 2 ? 3 ? 22 ? 5 ? 23 ? ? ? (2n ? 3) ? 2n?1 ? (2n ? 1) ? 2n .
①-②得:

②…………9 分

? Tn ? 1 ? 2(2 ? 22 ? ? ? 2n?1 ) ? (2n ? 1) ? 2n …………11 分
? 1? 2 2(1 ? 2 n?1 ) ? (2n ? 1) ? 2 n 1? 2

? 1 ? 2 n?1 ? 4 ? (2n ? 1) ? 2 n ? ?3 ? (2n ? 3) ? 2 n .…………13 分

?Tn ? 3 ? (2n ? 3) ? 2n .…………14 分
12

2 a1 ? ?a ? 2 ,前 n 项和 Sn ? n an ? n ? 1? . 7、 (2009 广东六校一)已知数列 n 的首项

1

(Ⅰ)求数列

?an ? 的通项公式;
bn ? Sn ?1 n2 ? n ? 2? Tn ? ?b ? T Sn n ?1 . , n 为数列 n 的前 n 项和,求证:

(Ⅱ)设

b1 ? 0 ,
a1 ?

解: (Ⅰ)由 ∴ ①-②得:

1 2 2 , Sn ? n an ,

① ②

Sn?1 ? (n ?1)2 an?1 , an ? Sn ? Sn?1 ? n2an ? (n ?1)2 an?1 ,即

an n ?1 ? ? n ? 2? an?1 n ? 1 , an a a ? n ? n ?1 a an?1 an?2 ∵ 1 a3 a2 ? a2 a1

4分

?

n ?1 n ? 2 ? n ?1 n

2 1 2 ? ? 4 3 nn (? 1 ) ,

an ?


1 n(n ? 1) 。
Sn ?

8分

(Ⅱ)∵ ∴

S 1 n bn ? n ?1 ? 1 ? 2 ? n ? 2 ? Sn n n ? 1 ,∴ ,

10 分

Tn ? b1 ? b2 ?

? bn
? 1 ? ? n2 ?
? ? 1 ? n ? ? n ? 1? ? ?

?1 1 ? n?? 2 ? 2 ? ?1 2

? 1 1 ? n?? ? 1? 2 ? 2 ? 3 ? ?

1 ? n2 ? ? n ? ?1 ? ?? ? n ?1 ? n ?1 .
Tn ? n2 n ?1 .



14 分

13

8. 【潮州· 文科】已知数列 { a n } 、 { bn } 满足 a1 ? 1 , a2 ? 3 ,

bn ?1 ? 2 (n ? N * ) , bn ? an?1 ? an 。 bn
(1)求数列 { bn } 的通项公式; (2)求数列 ?an ? 的通项公式; (3)数列 { cn } 满足 cn ? log2 (an ? 1) (n ? N * ) ,求 Sn ?

1 1 ? ? c1c3 c3c5

?

1 。 c2 n?1c2 n?1

【解】 (1)

bn ?1 ? 2 (n ? N * ) ,又 b1 ? a2 ? a1 ? 3 ? 1 ? 2 。 bn

所以数列 { bn } 是首项 b1 ? 2 ,公比 q ? 2 的等比数列。故 bn ? b1qn?1 ? 2n 。…… 4 分 (2) an?1 ? an ? 2n (n ? N * )

?an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? ... ? (a2 ? a1 ) ? a1
? 2 n?1 ? 2 n?2 ? ? ? 2 ? 1 ? 1 ? 2n ? 2 n ? 1 。………… 8 分 1? 2
*

(3) cn ? log2 (an ? 1) ? log2 (2n ? 1 ? 1) ? log2 2n ? n , (n ? N ) ,

?

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) c2 n?1c2 n?1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1 1 1 ? ? c1c3 c3c5 ? 1 c2 n?1c2 n?1

? Sn ?

1 1 1 1 1 1 (1 ? ? ? ? ? ? ) 2 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 1 1 n ? (1 ? )? 2 2n ? 1 2n ? 1 ?
9. 【汕头澄海区· 文】已知数列 {a n } 中, a1 ? 3, an?1 ? 2 an ? 0 , 数列 {bn } 中, bn ? an ? ??1?n (n ? N *) . (Ⅰ )求数列 {a n } 通项公式; (Ⅱ )求数列 {bn } 通项公式以及前 n 项的和.
14

【解】 (1)∵a n?1 ? 2a n ? 0 ∴

a n ?1 ? 2(n ? 1) an

-----------2 分

又 a1 ? 3 ∴?an ? 是首项为 3,公比为 2 的等比数列 ∴an ? 3 ? 2 n?1 (n ? N*) (2)∵bn ? an ? ??1?n (n ? N *) ∴bn ? (?1) n ? = ( ?1) n ? -----------4 分 -----------6 分

1 an
-----------8 分

1 3 ? 2 n ?1

∴S n ? b1 ? b2 ? ? ? ? ? bn

1 1 1 ?? ? ? ? ? ? ? (?1) n ? 3 3? 2 3 ? 2 n ?1

-----------10 分

1? 1 ? ? ?1 ? (? ) n ? 3? 2 ? = 1 1? 2

=- ?1 ? (? ) n ? 9? 2 ? = ?(? ) n ? 1? 9? 2 ?
10. 【汕头澄海区· 文】 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n , 若 a1 ? (Ⅰ )求证 {

2?

1

?

2?

1

?

-----------13 分

1 且 an ? 2S n ? S n?1 ? 0(n ? 2) . 2

1 } 是等差数列,并求出 an 的表达式; Sn

2 2 2 (Ⅱ ) 若 bn ? 2(1 ? n)a n (n ? 2) ,求证 b2 ? b3 ? ? ? bn ? 1.

【解】 (I)证明:∵S n ? a1 ? a 2 ? ? ? ? ? a n ∴ 当 n≥2 时,an = Sn – Sn – 1 又 a n ? 2S n S n?1 ? 0 -----------1 分

15

∴S n ? S n?1 ? 2S n S n?1 ? 0(n ? 2) , 若 Sn = 0,则 an = 0,

-----------3 分

1 矛盾! 2 ∴ Sn≠0,Sn – 1≠0. 1 1 1 1 ? ? 2 ? 0即 ? ?2 ∴ S n ?1 S n S n S n ?1
∴ a1 = 0 与 a1 = 又
1 1 ? ? 2. S 2 S1

-----------5 分

∴ {

1 }是首项为 2,公差为 2 的等差数列 Sn 1 }是等差数列. Sn

-----------6 分

解:由(I)知数列{ ∴

1 1 ? 2 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n 即 Sn ? Sn 2n 1 1 1 ? ?? ∴ 当 n ? 2时, a n ? S n ? S n ?1 ? 2n 2(n ? 1) 2n(n ? 1)

-----------7 分 -----------8 分

又当 n ? 1时, S1 ? a1 ?

1 2

?1 (n ? 1) ? ?2 ∴a n ? ? 1 ?? (n ? 2) ? ? 2n(n ? 1)
(III)证明:由(II)知 bn ? 2(1 ? n) ?

-----------9 分

1 1 ? (n ? 2) 2n(1 ? n) n 1 1 1 2 2 2 ? b3 ? ? ? bn ? 2 ? 2 ??? 2 ∴b2 2 3 n 1 1 1 ? ? ??? 1? 2 2 ? 3 (n ? 1)n

-----------10 分

-----------12 分

1 1 1 1 1 1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) ? 1 ? ? 1 -----------14 分 2 2 3 n ?1 n n 1 1 11 . 【中山· 理 】 已 知 数 列 {an } 是 首 项 为 a1 ? , 公 比 q ? 的 等 比 数 列 , 设 4 4

bn ? 2 ? 3 log1 an (n ? N *) ,数列 {cn }满足cn ? an ? bn .
4

(1)求数列 {bn } 的通项公式; (2)求数列 {cn } 的前 n 项和 Sn. 【解】 (1)由题意知, a n ? ( ) (n ? N *) ,……………2 分
n

1 4

又 bn ? 3log 1 an ? 2 ,
4

故 bn ? 3n ? 2(n ? N *) ……………4 分

16

(2)由(1)知, a n ? ( ) , bn ? 3n ? 2(n ? N *)
n

1 4

1 ? c n ? (3n ? 2) ? ( ) n , (n ? N *) ……………6 分 4 1 1 1 1 1 ? S n ? 1 ? ? 4 ? ( ) 2 ? 7 ? ( ) 3 ? ? ? (3n ? 5) ? ? ) n ?1 ? (3n ? 2) ? ( ) n , ……7 分 4 4 4 4 4 1 1 2 1 3 1 4 1 n 1 n ?1 于是 S n ? 1 ? ( ) ? 4 ? ( ) ? 7 ? ( ) ? ? ? (3n ? 5) ? ? ) ? (3n ? 2) ? ( ) 4 4 4 4 4 4
…………………………9 分 两式相减,得

3 1 1 1 1 1 1 1 S n ? ? 3[( ) 2 ? ( ) 3 ? ? ? ( ) n ] ? (3n ? 2) ? ( ) n ?1 ? ? (3n ? 2) ? ( ) n ?1 . 4 4 4 4 4 4 2 4
…………………………12 分

? Sn ?

2 3n ? 2 1 n ? ? ( ) (n ? N *) ……………12 分 3 3 4

17


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