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第七章 第一节 空间几何体的结构特征及三视图和直观图1

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第 七 章
立 体 几 何

第一 节 空间 几何 体的 结构 特征 及三 视图 和直 观图

抓 基 础

明 考 向
教 你 一 招 我 来 演 练

提 能 力

[备考方向要明了] 考 什 么 1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,并能 运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.

2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱
等简易组合)的三视图,能识别上述三视图所表示的立 体模型,会用斜二测画法画出它们的直观图.

3.会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的
三视图与直观图,了解空间图形的不同表示形式. 4.会画某些建筑物的三视图与直观图(在不影响图形特征

的基础上,尺寸、线条等不作严格要求).
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怎 么 考 1.三视图是新增加的内容,是高考的热点和重点,几乎

年年考.
2.柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征及性质是本 节内容的重点,也是难点. 3.以选择、填空题的形式考查,有时也会在解答题中 出现.

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一、多面体的结构特征 多面体 棱柱 结构特征 有两个面 互相平行 ,每相邻两个面的交线都 平行且相等 . 有一个面是 多边形 ,而其余各面都是有一个 公共顶点 的三角形. 棱锥被平行于 底面 的平面所截, 截面 和 底面 之间的部分. 返回

棱锥

棱台

二、旋转体的形成

几何体
圆柱 圆锥

旋转图形
矩形 直角三角形

旋转轴 任一边 所在的直线 一条直角边 所在的直线
垂直于底边的腰 所在的直线 直径 所在的直线

圆台


直角梯形
半圆

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三、简单组合体

简单组合体的构成有两种基本形式:一种是由简单
几何体拼接而成;一种是由简单几何体截去或挖去 一部分而成,有多面体与多面体、多面体与旋转体、 旋转体与旋转体的组合体.

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四、平行投影与直观图 空间几何体的直观图常用 斜二测 画法来画,其规则是: (1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直,直观图中,x′轴、

y′轴的夹角为 45°(或135°) ,z′轴与x′轴和y′轴所
在平面 垂直 . (2)原图形中平行于坐标轴的线段,直观图中仍分别 平行于

坐标轴 .平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度 不变 ,平行于y轴的线段长度在直观图中 变为原来的一
半. 返回

五、三视图 几何体的三视图包括 正(主)视图 、 侧(左)视图 、 俯视图 ,分别是从几何体的 正前方 、正左方 、 正上方 观察几何体画出的轮廓线.

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1.(教材习题改编)无论怎么放置,其三视图完全相同
的几何体是 A.正方体 C.圆锥 解析:球的三视图完全相同. B.长方体 D.球 ( )

答案: D

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2.一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示,则其 俯视图不可能为:①长方形;②正方形;③圆;④ 椭圆.

其中正确的是

(

)

A.①②

B.②③

C.③④

D.①④
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解析:由正视图和侧视图知,其俯视图不可能为圆 或正方形.

答案: B

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3.若一个底面是正三角形的直三棱柱的正视图如图所示, 则其侧面积等于 A. 3 C.2 3 B.2 D.6 ( )

解析:由题意可知,该直三棱柱的底面边长为2,高为1,
故S侧面=3×2×1=6. 答案: D

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4.如果圆锥的侧面展开图是半圆,那么这个圆锥的顶角
(圆锥轴截面中两条母线的夹角)是________. 解析:由题意知l=2r,∴夹角为60°. 答案:60°

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5.(2011· 山东高考改编)如图是长和宽 分别相等的两个矩形.给定下列三 个命题:①存在三棱柱,其正视图、 俯视图如图;②存在四棱柱,其正视图、俯视图如图; ③存在圆柱,其正视图、俯视图如图.其中真命题的 序号是________.

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解析:如图①②③所示几何体的正视图和俯视图

都与题图相同,故①②③均为真命题.
答案:①②③

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1.对三视图的认识及三视图画法
(1)空间几何体的三视图是该几何体在三个两两垂直的平 面上的正投影,并不是从三个方向看到的该几何体的 侧面表示的图形. (2)在画三视图时,重叠的线只画一条,能看见的轮廓线

和棱用实线表示,挡住的线要画成虚线.
(3)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的 正前方、正左方、正上方观察几何体用平行投影画出的 轮廓线. 返回

2.对斜二测画法的认识及直观图的画法 (1)在斜二测画法中,要确定关键点及关键线段.“平行于x轴的线段平 行性不变,长度不变;平行于y轴的线段平行性不变,长度减半.” (2)按照斜二测画法得到的平面图形的直观图,其面积与原图形的面积 有以下关系: 2 S直观图= 4 S原图形,S原图形=2 2S直观图.

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[精析考题] [例1] (2011· 广东高考)正五棱柱中,不同在任何侧面且 不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线,那么 一个正五棱柱对角线的条数共有 ( )

A.20
C.12

B.15
D.10

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[自主解答]

如图,在正五棱柱ABCDE-

A1B1C1D1E1中,从顶点A出发的对角线有
两条:AC1、AD1,同理从B、C、D、E点 出发的对角线也有两条,共2×5=10条.

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[巧练模拟]——————(课堂突破保分题,分分必保!)
1.(2012· 南昌模拟)如图:在透明塑料 制成的长方体ABCD-A1B1C1D1容 器内灌进一些水,将容器底面一边 BC固定于地面上,再将容器倾斜,随着倾斜度的不

同,有下列四个说法:

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①水的部分始终呈棱柱状;
②水面四边形BFGH的面积不改变; ③棱A1D1始终与水面EFGH平行; ④当E∈AA1时,AE+BF是定值. 其中正确说法是 ( )

A.①②③
C.①②③④

B.①③
D.①③④

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解析:对于命题①,由于BC固定,所以在倾斜的过程中, 始终有AD∥EH∥FG∥BC,且平面AEFB∥平面DHGC, 故水的部分始终呈棱柱状(四棱柱或三棱柱、五棱柱),且

BC为棱柱的一条侧棱,命题①正确.对于命题②,水面
面积可能变大,也可能变小,故②不正确.③是正确 的.④是正确的,由水的体积的不变性可证得.综上所 述,正确命题的序号是①③④. 答案:D

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2.(2012· 温州五校第二次联考)下图是一个正方体的展

开图,将其折叠起来,变成正方体后的图形可能是
( )

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解析:∵在这个正方体的展开图中与有圆的面相邻的三
个面中都有一条直线,当变成正方体后,这三条直线应 该互相平行. 答案:B

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[冲关锦囊] 几种常见的多面体的结构特征 (1)直棱柱:侧棱垂直于底面的棱柱.特别地,当底面是 正多边形时,叫正棱柱(如正三棱柱,正四棱柱).

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(2)正棱锥:底面是正多边形,且顶点在底面的射影是 底面中心的棱锥.特别地,各条棱均相等的正三棱 锥又叫正四面体.

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[精析考题]

[例2] (2011· 新课标全国卷)在一个几何体的三视图中,
正视图和俯视图如图所示,则相应的侧视图可以为( )

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[自主解答]

由几何体的正视图和俯视图可知,该几何

体的底面为半圆和等腰三角形,其侧视图可以是一个由 等腰三角形及底边上的高构成的平面图形.

答案:D

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[巧练模拟]———————(课堂突破保分题,分分必保!)
3.(2012· 西安模拟)如图,某几何体的正视图与侧视图都是边长为1 1 的正方形,且体积为2,则该几何体的俯视图可以是 ( )

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解析:若该几何体的俯视图是选项A,则该几何体的体积为1,不满 π 足题意;若该几何体的俯视图是选项B,则该几何体的体积为 4 ,不 1 满足题意;若该几何体的俯视图是选项C,则该几何体的体积为2, 满足题意;若该几何体的俯视图是选项D,则该几何体的体积为 π 4,不满足题意.

答案:C

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4.(2011· 衡阳期末)已知一个几何体的三视图如图所示, 则此几何体的组成为 ( )

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A.上面为棱台,下面为棱柱 B.上面为圆台,下面为棱柱 C.上面为圆台,下面为圆柱 D.上面为棱台,下面为圆柱 解析:结合图形分析知上面为圆台,下面为圆柱. 答案:C

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[冲关锦囊]
三视图的长度特征 三视图中,正视图和侧视图一样高,正视图和俯视图一 样长,侧视图和俯视图一样宽.即“长对正,宽相等,高 平齐”.

[注意] 画三视图时,要注意虚、实线的区别.

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易错矫正(十六)因三视图识图不准 致误

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[考题范例] (2011· 江西高考)将长方体截去一个四棱锥,

得到的几何体如图所示,则该几何体的侧
视图为 ( )

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[失误展板] 错解:学生甲:由几何体知,截去一个四棱锥后有两条

侧棱投影到长方体的侧面上.故选B.
学生乙:由几何体知四棱锥中仅一条侧棱投影到长方体 的侧面上,故选C.

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错因:根据提示观测位置确定三视图时其实质是正投影,

将几何体中的可见轮廓线在三视图中为实线,不可见轮
廓线为虚线.投影过程实质上利用了垂直关系.学生甲

或乙出现错选B或C都是没有抓住看到的轮廓线在面上
的投影的位置,从而导致失误.

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[正确解答] 由几何体可以看出,四棱锥中剩余的三条侧棱有两

条投影后为长方体的棱,中间一条为对角线,故D正确.
答案:D

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