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数学:2.3.1《双曲线的标准方程》课件(苏教版选修2-1)


2.3.1

双曲线的标准方程

一、回顾
1、椭圆的定义是什么? 2、椭圆的标准方程、焦点坐标是什么?

定义

|MF1|+|MF2|=2a(2a>|F1F2|)
y

图象

F1 o F2
2 2

/>· ··
F ( ±c,0)

F2
F1

方程

x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

· ·
o

y

x

焦点 a.b.c的 关系

·

F(0, ± c)

a2=b2+c2

1. 椭圆的定义
平面内与两定点F1、F2的距离的 和 等于常数

2a ( 2a>|F1F2|>0) 的点的轨迹.

Y

M ? x, y ?

F1 ?? c, 0 ?

O

2. 引入问题:

F2? c, 0 ? X

平面内与两定点F1、F2的距离的 差 等于常数 的点的轨迹是什么呢?

①如图(A), |MF1|-|MF2|=|F2F|=2a ②如图(B), |MF2|-|MF1|=2a 由①②可得: | |MF1|-|MF2| | = 2a (差的绝对值)
上面 两条合起来叫做双曲线

想一想?

|MF1| - |MF2|= ? 2a 双曲线
两条射线 无轨迹

1、 2a < |F1F2 |

2 、2a= |F1F2 |
3、2a> |F1F2 |

定义:
平面内与两个定点F1,F2的距离的差 的绝对值
动 画

等于常数(小于︱F1F2︱) 的点的轨迹叫做双曲线.

① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点; ② |F1F2|=2c ——焦距.

M

注意

F

? | |MF1| - |MF2| | = 2a

1

o

F

2

方程的推导
求曲线方程的步骤:

y
M

1. 建系设点.
2. 写出适合条件的点M的集合; 3. 用坐标表示条件,列出方程; 4. 化简.

F

O
1

F

2

x

1. 建系. 以F1,F2所在的直线为X轴, 线段F1F2的中点为原点建立直角 如何求这优美的曲线的方程? 坐标系 2.设点. 设M(x , y),双曲线的焦 距为2c(c>0),F1(-c,0),F2(c,0)
F1

y
M

o

常数=2a
3.列式. |MF1|

F2

x

- |MF2|= ? 2a ,, _ (x-c)2 + y2 = + 2a



(x+c)2 + y2 -

4.化简.

y
( x ? c) 2 ? y 2 ? ( x ? c) 2 ? y 2 ? ?2a

M F1

? ( x ? c)

2

? y2

? ? ?? 2a ?
2

( x ? c) 2 ? y 2

?

o

2

F2

x

cx ? a ? ? a ( x ? c) ? y
2 2
2 2 2 2 2 2 2 2

2

(c ? a ) x ? a y ? a (c ? a )

c2 ? a2 ? b2

x2 a2

? b2 ? 1(a ? 0, b ? 0)

y2

? 想一想
焦点在y轴上的双曲线 的标准方程 2 y

2 a

-

2 x 2 b

y F2 o F1

= 1
x

双曲线的标准方程
y

y
M

M F2 x

F

O
1

F

2

x

O

F1

x y ? 2 ?1 2 a b

2

2

y x ? 2 ?1 2 a b

2

2

(a ? 0,b ? 0)

x y ? 2 ?1 2 a b

2

2

y
M

y
M F2

F ( ±c, 0)

F1

o

F2

x
F1

x

y2 x2 ? 2 ?1 2 a b

F(0, ± c)

问题:如何判断双曲线的焦点在哪个轴上? 练习:写出以下双曲线的焦点坐标

x2 1. ? 16 y2 3. ? 16

y2 ?1 9 x2 ?1 9

x2 y2 2. ? ? 1 F(±5,0) 9 16 2 2 y x 4. ? ? 1 F(0,±5) 9 16

? 想一想
焦点在y轴上的双曲线 的标准方程

y
F2

o
F1

x

F1(0,-c),
2 2

F2(0,c)
2

c ? a ?b

确定焦 点 位置: 椭圆看分母大小 , 双曲看系数正负

例1 已知双曲线的焦点为F1(-5,0),F2(5,0),双曲线上 一点P到F1、F2的距离的差的绝对值等于8,求双曲线 的标准方程.

解:根据双曲线的焦点在 x 轴上,设它的标准方程为:
x y ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) 2 a b
∵ 2a = 8, c=5
2 2




a = 4, c = 5
b2 = 52-42 =9
2 2

x y ? ?1 所以所求双曲线的标准方程为: 16 9

例2:求适合下列条件的双曲线的标准方程。 1、a ? 4, c ? 5 焦点在 y 轴上

y x ? ?1 16 9
2、焦点为 (?5, 0), (5, 0) 且 b ? 3

2

2

思考:

4 10 ) 3、a ? 4 经过点 A(1, 3

x y ? ?1 16 9

2

2

要求双曲 线的标准 方程需要 几个条件

变式一:
x2 y2 ? ? 1 表示双曲线时,则m的取值 方程 2?m m?1

m ? ?1 或 m ? 2 范围_________________.

变式二:
上述方程表示焦点在y轴的双曲线时,求m 的范围和焦点坐标。

分析:

?m ? 1 ? 0 ?m?2 ? ?2 ? m ? 0

c 2 ? (m ? 1) ? (m ? 2) ? 2m ? 1
?? ( 0,? (0 ,2? ? 3 ) ? 1 ) 焦点为 ? m 2m

x2 y2 练习1:如果方程 2 ? m ? m ? 1 ? 1 表示双曲线,

求m的取值范围.

分析: 由 (2 ? m)(m ? 1) ? 0
得?1? m ? 2

变式一:
x2 y2 ? ? 1 表示双曲线时,则m的取值 方程 2?m m?1

m ? ?1 或 m ? 2 范围_________________.

例2 已知双曲线的焦点在y轴上,并且双曲线 上两点P1 、P2 的坐标分别为(3,? 4 2 )、 (9/4,5),求双曲线的标准方程. 解:因为双曲线的焦点在y轴上,所以设所 求双曲线的标准方程为:

y x ? 2 ?1 2 a b
因为点P1 、P2 在双曲线上,所以点P1 、P2 的 坐标适合方程①.将(3,)、()分别代入 方程①中,得方程组

2

2

? ( ?4 2 ) 2 3 2 ? 2 ?1 ? 2 b ? a ? 9 2 ? 25 ( ) 4 ?1 ? 2 ? 2 b ?a
解得:a2=16,b2=9.故所求双曲线的标准方程 2 2 为: y x

16

?

9

? 1.

例3 一炮弹在某处爆炸,在A处听到爆炸声 的时间比在B处晚2 s. (1)爆炸点应在什么样的曲线上? (2)已知A、B两地相距800 m,并且此时 声速为340 m/s,求曲线的方程.

解(1)由声速及A、B两处听到爆炸声的时 间差,可知A、B两处与爆炸点的距离的差, 因此爆炸点应位于以A、B为焦点的双曲线上.

(2)如图8—14,建立直角坐标系xOy,使 A、B两点在x轴上,并且点O与线段AB的中 点重合. 设爆炸点P的坐标为(x,y),则
PA ? PB ? 680? 0,

即2a=680,a=340.2c=800,c=400 b2=c2-a2=44400 所求双曲线的方程为:

x y ? ?1 115600 44400

2

2

(x>0).

定义

| |MF1|-|MF2| | =2a(0 < 2a<|F1F2|)
y
M
M F2

y

图象
F1 o F2

x
F1

x

方程

x y ? 2 ?1 2 a b
F ( ±c, 0)

2

2

y x ? 2 ?1 2 a b
F(0, ± c)
2 2

2

2

焦点
a.b.c 的关 系

c ?a ?b
2

双曲线与椭圆之间的区别与联系: 椭 定义 圆 双曲线
||MF1|-|MF2||=2a
2 x2 - y = 1 2 2 a b y2 x2 = 1 2 a b2

|MF1|+|MF2|=2a
2 x2 + y = 1 2 2 a b

方程

y2 x2 =1 2 + 2 a b 焦点
F(±c,0)

F(±c,0)

F(0,±c)

F(0,±c)
a>0,b>0,但a不一 定大于b,c2=a2+b2

a.b.c 的关系 a>b>0,a2=b2+c2

课后思考题:
( x ? c) 2 ? y 2 ? ( x ? c) 2 ? y 2 ? ?2a

---(1)

cx ? a ? ?a ( x ? c) ? y ---(2)
2 2 2
x2 a2

? b2 ? 1(a ? 0, b ? 0) ---(3)

y2

(1)(2)(3)有什么内在 联系?

平面内到两个定点的距离之积为定值的点的轨迹 建议:(1)可以进行理论研究; (2)可以利用电脑研究; (3)可以利用文曲星自编BASIC语言进行研究; (4)合作探究、相互学习、相互交流。


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