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浙江省诸暨市牌头中学高中数学竞赛训练题(201410)(无答案)

时间:2015-11-20


数学竞赛训练题(中等数学 201410)
2 1? x 2 1、已知 A ? {x x ? 4 x ? 3 ? 0} , B ? x 2 ? a ? 0, x ? 2?a ? 7 ?x ? 5 ? 0 ,若 A ? B ,

?

?

则实数 a 的取值范围是__[4,-1]_______。 2、已知 双曲线

的中心在原点,焦点在坐标轴上,点 P(-2, 0)到其渐近线的距离为

2 6 , 3

过点 P 作斜率为

2 的直线与双曲线交于 A、 B 两点, 与 y 轴交于点 M, 若 PM 是 PA 与 PB 2

的等比中项,则双曲线的半焦距为___ 3 _____ 。 3、 在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D 1 中, 已知 O1 是底面 A1B1C1D1 的中心, M 是棱 BB1 上的点,且 S?DBM : S?O1B1M ? 2 : 3 ,则四面体 O1ADM 的体积是____ 4 、 已 知 f ?x ? 满 足 f ?x ? ? f ? _ _ ?? ?,?4? ? ?0,??? ____。 5 、 正 数 a 、 b 、 c 满 足 a ? b ? c ? 3a , 3b ? a?a ? c ? ? 5b , 则
2 2

1 ____。 12

[来源:学科网 ZXXK]

? x ?1? ? ? 1 ? x?x ? 0,1? , 则 g ?x? ? x ? 2 f ?x? 的 值 域 是 ? x ?

b ? 2c 的最小值是 a

__ ?

18 ___。 5

6、已知 D 是边长为 1 的正△ABC 边 BC 上的点,△ABD、△ACD 的内切圆半径分别为 r1 、

r2 ,若满足 r1 + r2 =

3 6 的点 D 有两个(设为 D1、D2) ,则 D1D2=__ _____。 5 5

7、在任何 n 个连续的正整数中,使得必有一数其各位数字之和是 7 的倍数成立的最小的正 整数 n 是___13_____。 8、已知正整 数数列 ?an ? 首项为 2013,末项为 1,且对任 意的 k ? 2 均有 ak ? 足条件的数列 ?an ? 共有___201_____个。 9、在(2n+1)×(2n+1)数表中,每行均是等差数列,每列各数平方后为等差数列。 证明:左上×右下=左下×右上。 提示:用 3×3 的数表证明,再在数表中取出一个 3× 3 子表 。
[来源:学,科,网]

ak ?1 ,则满

[来源:学科网]

10、已知圆 C:?x ? 4? ? ? y ? 3? ? 36 ,定点 P(1,0) ,定直线 l 和圆 C 上的动点 Q 满足:
2 2

P、Q 在直线 l 的同侧,点 C 在 直线 l 的另一侧,以 P、Q 为焦点作与直线 l 相切的椭圆 E, 且当 Q 在圆 C 上运动时,椭圆 E 的长轴长为定值。 (1)求直线 l 的方程; (2)对于第一象限内任意 2012 个在椭圆上的点,是否一定可以将它们分成两组,使 得其 中一组点的横坐标之和不大于 2013, 另一组点的纵坐标之和不大于 2013?请证明你的结论。
[来源:Z。xx。k.Com]

(1) x ? y ? 4 ,提示:切线与对称问题,所以 P 关于直线的对称点为圆心。 (2)利用 x ? y ? 4 ,

[来源:学|科|网]

11、已知△ABC 三个内角分别为 A、B、C,求 2 2 sin A ? 2 2 sin B ? sin C 的最大值。 注意到 A 与 B 的系数一样,因此先固定 C,可知 A=B 时最大;然后变为一个变量,用求导 的方法即可。最大值为 3 ?

?

2

?

2 2 ?1 。

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