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一道立体几何高考题评卷引发的思考

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数 攀蒋 数  一 道 立体几何 高考题评卷 引发 的思考  ■黄莹 山  笔者参加 了 2 0 1 3 年高考广东理科数学第 l 8 题阅  思 路 一 :利 用 线 面 垂 直 的判 定 定 理 .即证 明直 线  卷工作 ,下面结合试题解答 、评分标准和考生 的答题  失误谈谈给我 的启示.   题 目:如图 1 ,在等腰直角三角形 AB C中,   A   = O A   与平面 B C D E中二条相交直线垂直.   解法 1 :取 D E中点 F ,连 A   在 AAB C中 ,计  算得 A D = AE = 2 、 /   ,B C边上的高 O A = 3 . 对照图 1 可  知 :翻折 后 △A   D E为 等腰 三角形 ,则 A   F上D E且  A   F = 2 .以及 O F上D E且 O F = 1 . 又A   FnD E = F . 故  9 0 。 ,B C = 6 ,D、E分别 是 AC 、A B上 的 点 ,C D=   B E = 、 /   .0为 B C的中点. 将 AA D E沿 D E折起 , 得  到如图 6 所示 的四棱椎 A  B C D E, 其 中A   O = 、 / 丁.   C   D E上平 面 A   O F .所 以 A   0上加 . 已知 A   D= x / 3,   则A   0   + 0  = A   P,所 以 △A   O F为 R l △ ,A   0上O K  _ ‘ . D E、O Fc平 面 B C D E,D EnO F = F,. ’   0上平 面  BCDE.   图 1   图2   ( 1 )证 明 :A   0   J _ 平面 B C D E;   ( 2 )求二 面 角  A   一 C D — B的平 面角 的余弦值.   试题分析 本题借助平 面图形 的 “ 翻折 ” ,考查  图 3   C  空 间直线与平面的位置关系 ( 重点是垂直 )和度量关  系 ( 求 二面角) ,考查考 生空间想象能力和推理论证  能力 ,以及利用空间向量处理和解决立体几何问题 的  思想方法和能力.   一 解法 2 : 连接 O D、 O E . 经计算得 A D   = A E   = 2 、 /   ,   C D= B E = 、 /   ,O C = O B = 3 . 在 AO C D 中 ,O D 2 = C O Z +   C D 2 — 2 C 0? C D? 0 0 8  O C D= 5 ,. ? . O D= V丐一 ( 或在 R t   、 典型 思路及 解法  AO F D 中求 O D). 又A   0 = 、 /   ,。 .   0 z + O D   = A   D 。 =   8 .. ‘   0上O F .同理 A   0上O E .   第( 1 ) 间 证明 : A   0上平 面 B C D E   8 . ( 1 )   为 函数 - /  ) = 一一 ( 1 + Ⅱ 2   的 零 点 分 别 为  = 0 ,  =   l+旷   , 又a > 0 , 故, (   ) > 0的解 集 为 区间 ,=   。   最 小 值 必 在 n = 1 - k 或 n = 1 + k 处 取 得 , 而  筹 =   二  =   ( 0 ,   ) , 即 , 的 长 度 为 —   .   2 _ 丽 k 2 . . k 3 < 1 ,

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