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广东省汕头市金山中学2012-2013学年高一数学下学期期末试题新人教A版

时间:2014-04-22


汕头市金山中学 2012~2013 学年度第二学期期末考试 高 一 数 学 试 题
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分把答案填在答题卡相应位置上 1.等差数列 ?an ? 中, a1 ? a5 ? 8, a4 ? 7 ,则 a5 ? . A. 3 B. 7 C. 10 D. 11 2.某林场有树苗 30000 棵,其中松树苗 4000 棵.为调查树苗的生长情况,采用分层抽样的 方法抽取一个容量为 150 的样本,则样本中松树苗的数量为 A.15 B.20 C.25 D.30 3.要得到函数 y ?

2 cos x 的图象,只需将函数 y ? 2 sin( 2 x ?

?
4

) 的图象上所有的点

1 ? 倍(纵坐标不变),再向左平行移动 个单位长度 2 8 1 ? B.横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变),再向右平行移动 个单位长度 2 4
A.横坐标缩短到原来的

? 个单位长度 8 ? D.横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),再向左平行移动 个单位长度 4
C.横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),再向右平行移动 4.下列关系式中正确的是 A. sin11 ? cos10 ? sin168
0 0 0

B. sin168 ? sin11 ? cos10
0 0

0

C. sin11 ? sin168 ? cos10
0 0 0 0

0

D. sin168 ? cos10 ? sin11

0

5.为了了解我校今年准备报考飞行员的学生的体重情况,将所得的数据整理后,画出了频 率分布直方图(如图),已知图中从左到右的前 3 个小组的频率之比为 1:2:3,第 2 小组的 频数为 12,则抽取的学生人数是 A、 45 B、 46 C、 50 D、 48 6 已知 log 1 m ? log 1 n ? 0 ,则
2 2

A. n<m < 1

B. m<n< 1

C. 1< m<n

D. 1 <n<m

7. ?ABC 中,若 lg a ? lg c ? lg sin B ? ? lg 2 且 B ? (0, A.等边三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形

?
2

) ,则 ?ABC 的形状是

D.直角三角形

1 1 a b 8、设 a ? 0, b ? 0. 若 3是3 与3 的等比中项,则 ? 的最小值为 a b 1 A. 8 B. 4 C. 1 D. 4
1

9.在数列 {an } 中, a1 ? 2 , an ?1 ? an ? ln(1 ? ) ,则 an ? A. 2 ? ln n B. 2 ? (n ? 1) ln n C. 2 ? n ln n D. 1 ? n ? ln n

1 n

10.一个平面封闭区域内任意两点距离的最大值称为该区域的“直径” ,封闭区域边界曲线 的长度与区域直径之比称为区域的“周率” ,下面四个平面区域(阴影部分)的周率从左到 右依次记为 ?1 ,? 2 ,? 3 ,? 4 ,则下列关系中正确的为

?

A. ?1 ? ? 4 ? ? 3

B. ? 3 ? ?1 ? ? 2

?

C. ? 3 ? ? 4 ? ?1

D. ? 4 ? ? 2 ? ? 3

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分,把答案填在答题卡相应位置上 11.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,若 bcosC+ccosB= 3 acosB,则 cosB 的值为 ▲ . 开始 输入 p 125 124 121 123 127 (单位:克)

12.从一堆苹果中任取 5 只,称得它们的质量如下

n ? 1,S ? 0
则该样本标准差 s ? ▲ (克) (用数字作答) . 13.执行右边的程序框图,若 p ? 0.8 , 则输出的 n ? ▲ .

S? p?




输出 n ?x ? y ? 1 ? 14.若 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? ?1 ,目标函数 z ? ax ? 2 y 仅在点(1,0)处取得最小 结束 ?2 x ? y ? 2 n ? n ?1 ?

S?S?

1 2n

值,则 a 的取值范围是



.

15.设 ?an ? 是公比为 q 的等比数列, | q |? 1 ,令 bn ? an ? 1(n ? 1, 2,?) ,若数列 ?bn ? 有连 续四项在集合 ??53, ?23,19,37,82? 中,则 6q = 16、下列命题: ▲ .

AB ? a , BC ? b , B是 △ ABC 中最大角, ① 已知△ ABC中, 且 a? b ? 0 , 则△ ABC 为钝
角三角形 ② 若 sin A ?

?

?

?

?

? ?

4 5sinA ? 8 ,则 ? 6; 5 15 cos A ? 7

③ 若 sin ? ?

5 10 , sin ? ? 且 5 10
n

?、? 为锐角,则 ? ? ? ?

?
4



④ 已知数列 ?a n ?的前 n 项和 S n ? aq (a ? 0, q ? 1, q

为非零常数),则数列 ?a n ?为等比数列.
2

⑤函数 y ?

1 的图像与函数 y ? 2sin ? x(?1 ? x ? 3) 的图像所有交点的横坐标之和等于 x ?1

4 其中正确的命题序号___▲_____.(注:把你认为正确的序号都填上) 三、 解答题:本大题共 5 小题,共 70 分, 请将解答写在答题卡相应位置。 17. (14 分)已知函数 f ( x) ? 2 3 sin x cos x ? 2cos2 x ? 1 (Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期及单调递增区间; (Ⅱ)在 ?ABC 中,若 f ( ) ? 2 , b ? 1 , c ? 2 ,求 a 的值. 18.为了加强对 H7N9 的防控,某养鸭场要围成相同面积的长方形鸭笼四间(无盖) ,如图所 示,一面可利用原有的墙,其他各面用铁丝网围成. (Ⅰ)现有可围 72m 长的铁丝网,则每间鸭笼的长、宽各设计为多少时,可使每间鸭笼面积 最大? 2 (Ⅱ)若使每间鸭笼面积为 24 m ,则每间鸭笼的长、宽各设计为多少时,可使围成四间鸭 笼的铁丝网总长最小?(14 分) 19.已知 Sn 是等比数列 ?an ? 的前 n 项和,S3,S9,S6 成等差数列,求证 a2,a8,a5 成等差数 列. (12 分)

A 2

20. 下面一组数据是某生产车间 20 名工人某日加工零件的个数. 112 117 126 128 124 122 116 113 107 116 132 127 128 126 121 120 118 108 110 (1)求这组数据的中位数和平均数; (2) 请设计适当的茎叶图表示这组数据, 并根据图说明一下这个车间此日的生产情况. (14 分)

21 、 若 数 列

{an } 是 首 项 为 6 ? 12t , 公 差 为 6 的 等 差 数 列 ; 数 列 {bn } 的 前 n 项 和 为

Sn ? 3n ? t ,其中 t 为实常数.
(Ⅰ)求数列 (Ⅱ)若数列

{an } 和 {bn } 的通项公式; {bn } 是等比数列,试证明: 对于任意的 n(n ? N * ) , 均存在正整数 cn , 使得

bn?1 ? acn

, 并求数列

?cn ? 的前 n 项和 Tn ;

(Ⅲ)设数列 {d n } 满足 d n ? an ? bn , 若 {d n } 中不存在这样的项 d k , 使得“ d k ? d k ?1 ”
* 与“ d k ? d k ?1 ”同时成立(其中 k ? 2 , k ? N ) ,求实数 t 的取值范围. (16 分)

3

高一(期末)考试 数学 参考答案 1. C 2. B 3. D 4.C 5.D 11.

6.D 7.C

8.B

9.A 15. -9

10.D 16. ③⑤

3 3

12.2

13. 4

14.( ?4 ,2 )

10.答案:D 【解析】前三个区域的周率依次等于正方形、 圆、正三角形的周长和最远距离, 所以 ?1 ? 2 2 、 ? 2 ? ? 、 ? 3 ? 3 ,第四个区域的周率可以转化为一个正六边形的周长与它 的一对平行边之间的距离之比,所以 ? 4 ? 2 3 ,则 ? 4 ? ? 2 ? ? 3 ? ?1 17、解:(Ⅰ) f (x) ?

3 sin 2x ? cos 2x
2?

? 2 sin(2 x ?

?
6

) T ?

?

? ?

┅4 分

由 2k ? ?

?
2

? 2x ?

?
6

? 2k ? ?

?
2

得, k ? ?

?
6

? x ? k? ?

?
3

( k ? Z ).,

故 f ( x) 的单调递增区间为 ? k ? ?

? ?

?
6

,k ? ?

??
3? ?

(k ?Z )

┅8 分

(Ⅱ) f ( ) ? 2 ,则 2sin( A ?

A 2

?
6

) ? 2 ? sin( A ?

?
6

)?1

? A?

?
6

?

?
2

? 2k? , A ? 2? 3

2? ? 2k? , k ? Z 3

┅11 分

又 0 ? A ? ? ,? A ?

a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 7

?a ? 7

┅14 分

18、(1)设每间鸭笼长 x m,宽为 y m,则由条件得 4x+6y=72,即 2x+3y=36, 设每间鸭笼面积为 S,则 S=xy.由于 2x ? 3 y ? 2 2x ? 3 y ? 2 6xy ∴ 2 6xy ? 36, 得 xy ? 54, 即 S ? 54, ┅┅4 分
4

当且仅当 2x=3y 时,等号成立,由 ?

?2x ? 3y ? 36 ?x ? 9 , ┅┅6 分 , 解得 ? ?y ? 6 ?2x ? 3y

故每间鸭笼长为 9 m,宽为 6 m 时,可使面积最大. ┅┅7 分 (2)由条件知 S=xy=24,设铁丝网总长为 l,则 l=4x+6y. 由(1)知 2x ? 3 y ? 2 2x ? 3 y ? 2 6xy =24 ∴l=4x+6y=2(2x+3y)≥48 当且仅当 2x=3y 时,等号成立,由 ? ┅┅11 分

?2x ? 3y ?x ? 6 解得 ? , , ? xy ? 24 ?y ? 4

┅┅13 分

故每间鸭笼长 6 m,宽 4 m 时,可使铁丝网总长最小. ┅┅14 分 19.解:设等比数列 ?an ? 的公比为 q,因为 S3,S9,S6 成等差数列, 所以公比 q ? 1 ,且 2S 9 ? S 3 ? S 6 , (3 分)

a1 (1 ? q 9 ) a1 (1 ? q 3 ) a1 (1 ? q 6 ) 即 2? . ? ? 1? q 1? q 1? q
于是 2q 9 ? q 3 ? q 6 , 即 2q 6 ? 1 ? q 3 .

(6 分)

(8 分)

以上两边同乘以 a1 q ,得 2a1q 7 ? a1q ? a1q 4 , (10 分) 即 2a8 ? a2 ? a5 , 所以 a2,a8,a5 成等差数列. (12 分)

20.解: (1)将这组数据从小到大排列如下: 107 108 110 112 113 116 116 117 121 122 124 126 126 127 128 128 由上可知这组数据的中位数为

118 132

120 134 ? 4分

120 ? 121 ? 120 .5 2

这组数据的平均数为 120+(-13-12-10-8-7-4-4-3-2+0+1+2+4+6+6+7+8+8+12+14)÷20=120.25 8 分(2)这组数 据的茎叶图如下: ? 12 分 茎 10 11 12 13 叶 7 0 0 2 8 2 3 1 2 4 ? 14 分 2分 6 6 7 8 4 6 6 7 8 8

由该图可以看出 20 名工人的日加工零件个数稳定在 120 件左右. 21、解: (1)因为 而数列

?an ? 是等差数列,所以 an ? (6 ?12t) ? 6(n ?1) ? 6n ?12t

?bn ? 的前 n 项和为 Sn ? 3n ? t ,
5

所 以 当 n?2 时 ,

bn ? (3n ? 1) ? (3n?1 ? 1) ? 2 ? 3n?1 , 又 b1 ? S1 ? 3 ? t , 所 以

? 3?t , n ? 1 bn ? ? n?1 2 ?2 ? 3 , n ? ?????? 4分
(2)证明:因为 所以 an

?bn ? 是等比数列,所以 3 ? t ? 2 ? 31?1 ? 2 ,即 t ? 1 ,

? 6n ?12 ??????5 分
bn?1 ? 2 ? 3n ? 6 ? 3n?1 ? 6 ? (3n?1 ? 2) ? 12 ,

对任意的 n(n ? N , n ? 1) ,由于

n ?1 * acn ? 6(2 ? 3n?1 ) ? 12 ? bn?1 c ? 3 ? 2 ? N n 令 ,则 ,所以命题成立 ??7 分

1 ? 3n 1 n 1 Tn ? 2n ? ? ? 3 ? 2n ? cn ? ? 1? 3 2 2 ???????9 分 数列 的前 n 项和

?6(3 ? t )(1 ? 2t), n ? 1 dn ? ? n n ?2, ? 4(n ? 2t )3 , (3)易得
由于当 n ? 2 时,

d n?1 ? d n ? 4(n ? 1 ? 2t )3

n ?1

3 ? 8[ n ? (2 t ? )] ? 3n ? 4(n ? 2t )3 2 ,所以
n

3 7 2t ? ? 2 t ? 4 ,则 dn?1 ? dn ,所以当 n ? 2 时,?d n ? 是递增数列,故由题意得 2 ①若 ,即

d1 ? d2
?5 4 ? 9 ?t

,



6(3 ? t )(1 ? 2t ) ? 36(2 ? 2t )
? 4 5? ? 9 7 7

,





7 ?

4 ,??????? 13 分

3 7 9 2 ? 2t ? ? 3 ?t ? 2 4 ,则当 n ? 3 时,?d n ? 是递增数列,, ②若 ,即 4
7 t? 2 3 4(2 t ? 2)3 ? 4(2 t ? 3)3 d ? d 4 ????14 分 3 ,即 故由题意得 2 ,解得

3 m 3 m 5 ? ? t ? ? (m ? N , m ? 3) m ? 2t ? ? m ? 1(m ? N , m ? 3) 2 4 2 ③若 ,即 2 4 ,
则当 2 ? n ? m 时,

?dn ? 是递减数列,

当 n ? m ? 1 时,

?dn ? 是递增数列,
t? 2m ? 3 4 ?15 分

4(2t ? m)3m ? 4(2t ? m ? 1)3m?1 ,解得 则由题意,得 dm ? dm?1 ,即

6









,

t













?5 ? 97 ?5 ? 97 ?t ? 4 4



t?

2m ? 3 4 (m ? N , m ? 2) ?????16 分

7


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