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2011届高考数学最后一卷19

时间:2011-05-27


南师大附中 2011 届高三第四次模拟考试 2011、5 、

数 学 I 试 题 注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1. 本试卷共 4 页,包含填空题(第 1 题—第 14 题) 、解答题(第 15 题—第 20 题) 。本试 卷满分 160 分,考试时间为 120 分钟。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。 2. 答题前,请您务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷 及答题卡的规定位置。 3. 请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、 准考证号与您本人是否相符。 4. 请在答题卡上按照各题号的顺序在对应的答题区域内作答, 在其他位置作答一律无效。 作答必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔。请注意字体工整,笔迹清楚。 5. 如需作图,须用 2B 铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗。

参考公式: 参考公式:
1 1 锥体的体积公式:V 锥体= Sh,其中 S 是锥体的底面面积,h 是高.锥体的体积公式:V 锥体= Sh, 3 3 其中 S 是锥体的底面面积,h 是高. 填空题( 小题, 一:填空题(本大题共 14 小题,每题 5 分,共 70 分) 1、已知集合 A = x ∈ R 0 < x < 3 , B = x ∈ R x 2 ≥ 4 ,则 A ∪ B = 2.若复数 (1 ? i )( a + i ) 是实数( i 是虚数单位) ,则实数 a 的值为 3.下图是样本容量为 200 的频率分布直方图,根据样本的频率分布直方图估计,样本数据落在

{

}

{

}

[6,10] 内的频数为

.

开始

输入x n =1 n = n +1
x = 2x +1

n≤ 3




输出x 结束

第7题

4.连续 3 次抛掷一枚硬币,则恰有两次出现正面的概率




x

5.已知函数 f ( x ) = log 4 (4 + 1) + kx ( k ∈ R ) 是偶函数,则 k 的值为 6.已知 S n 是等差数列 {a n } 的前 n 项和,且 S11 = 35 + S 6 , 则S17 的值为 7.执行如图所示的程序框图,若输出 x 的值为 23,则输入的 x 值为

. . .

π 8.将函数 y=sinx 的图像上所有的点向右平行移动 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到 10 原来的 2 倍(纵坐标不变) ,所得图像的函数解析式是 9.已知正四棱柱的底面边长为 2,高为 3,则该正四棱柱的外接球的表面积为 . .

10.已知抛物线 y 2 = 8 x 的焦点为 F , 抛物线的准线与 x 轴的交点为 K ,点 A 在抛物线上且

AK = 2 AF ,则 ?AFK 的面积为



?log (x+1) 11.已知函数 f(x)=? 1 ?(2) -1
2 x

1

x≥0, 若 f(3-2a2)>f(a),则实数 a 的取值范围是 x<0. .

12.Rt△ ABC 中,AB 为斜边, AB · AC =9, S ?ABC =6,设 P 是△ ABC (含边界)内一点, P 到 三边 AB, BC , AC 的距离分别为 x, y , z ,则 x + y + z 的取值范围是 .

13.过双曲线

x2 y2 a2 ? 2 = 1(a > 0, b > 0) 的左焦点 F (?c, 0)(c > 0) ,作圆: x 2 + y 2 = 的切线, a2 b 4

切 点 为 E , 延 长 FE 交 双 曲 线 右 支 于 点 P , 若 OE = 为 .

1 (OF + OP ) , 则 双 曲 线 的 离 心 率 2

14.已知数列 {an } 的各项均为正整数,对于 n = 1, 2, 3, ? ? ? ,有 .

a n +1 = {

3a n + 5 an 2k

a n 为奇数 a n 为偶数, k是使 a n + 1为奇数的正整数 为偶数,

,若存在 m ∈ N ,当 n > m 且 an 为
*

奇数时, an 恒为常数 p ,则 p 的值为

小题, 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 解答题( 15 、 本 题 满 分 14 分 ) 已 知 : 锐 角 ?ABC 中 的 内 角 A, B, C 的 对 边 分 别 为 a, b, c , 定 义 向 量 (

m = (sin B, ? 3) , n = (cos 2 B, 4 cos 2

B ? 2) ,且 m // n . 2

(1)求函数 f ( x) = sin 2 x cos B ? cos 2 x sin B 的单调递减区间; (2)若 b = 1 ,求 ?ABC 的面积的最大值.

16、 本小题 14 分)如图,已知正四面体 ABCD 的棱长为 3cm. (本小题 (1)求证:AD⊥BC; (2)已知点 E 是 CD 的中点,点 P 在△ABC 的内部及边界上运动,且满 足 EP∥平面 ABD,试求点 P 的轨迹; (3)有一个小虫从点 A 开始按以下规则前进:在每一个顶点处等可能地 选择通过这个顶点的三条棱之一,并且沿着这条棱爬到尽头,当它爬了 12cm 之后,求恰好回到 A 点的概率.

A

B C 第 16 题图

D

17、 (本题满分 14 分) 某公司是一家专做产品 A 的国内外销售的企业, 每一批产品 A 上市销售 40 天全部售完, 该公司对 第一批产品 A 上市后的国内外市场的销售情况进行了跟踪调查, 调查结果如图 1、 2、 3 所示, 图 图 其中图 1 中的折线表示的是国内市场的日销售量与上市时间的关系;图 2 中的抛物线表示国外市 场的日销售量与上市时间的关系;图 3 中的折线表示的是每件产品 A 的销售利润与上市时间的关

系(国内外市场相同). (1)分别写出国内市场的日销售量 f (t ) ,国外市场的日销售量 g (t ) 与第一批产品 A 的上市时间 的关系式; (2)每一批产品 A 上市后,问哪一天这家公司的日销售利润最大?最大是多少?
y 日销售量(万件) y 日销售量(万件) y 日销利润(元/件)

60

60

60

O

30 40 国内市场 图1

t (天)

O

20

40

t (天)

O

20

40

国外市场 图2

t (天)

图3

18、 (本题满分 16 分)在平面直角坐标系 xOy 中,A(2a,0) ,B(a,0) 为非零常数,动点 P ,a 满足 PA= 2PB,记点 P 的轨迹曲线为 C. (1)求曲线 C 的方程; → → (2)曲线 C 上不同两点 Q (x1,y1),R (x2,y2)满足 AR =λ AQ,点 S 为 R 关于 x 轴的对称点. ①试用 λ 表示 x1,x2,并求 λ 的取值范围; ②当 λ 变化时,x 轴上是否存在定点 T,使 S,T,Q 三点共线,证明你的结论.

19、 本题满分 16 分) ( 已知对任意的实数 m,直线 x + y + m = 0 都不与曲线 f ( x) = x 3 ? 3ax(a ∈ R ) 相 切. (I)求实数 a 的取值范围; (II)当 x ∈ [?1,1] 时,函数 y=f(x)的图象上是否存在一点 P,使得点 P 到 x 轴的距离不小于 试证明你的结论.

1 . 4

20、 (本题满分 16 分) .已知数列 {an } 和 {bn } 满足: 1 =λ, an +1 = a

2 an + n ? 4, bn = (?1) n (an ? 3n + 21), 其中λ为实数, 3

(2) n 为正整数. Sn 为数列 {bn } 的前 n 项和.(1)对任意实数λ,证明:数列 {an } 不是等比数列; 对于给定的实数λ,试求数列 {bn } 的通项公式,并求 Sn .(3)设 0 < a < b ( a, b 为给定的实常 数),是否存在实数λ,使得对任意正整数 n,都有 a < S n < b ?若存在,求:λ的取值范围;若不 存在,说明理由.

南师大附中 2011 届高三第四次模拟考试 参考答案
一:填空题 1、 ( ?∞, ?2] ∪ ( 0, +∞ ) 5. 2. 1 7. 2 3. 64 .4.

3 8



?

1 2

.6. 119 .10. 8

.8. y = sin(

x π ? ) 2 10

9. 17π

3 .11. a < ? 或a > 1 2

12.

?12 ? ? 5 , 4? ? ?

13.

10 2

14.___1 或 5___. .

二、解答题 16、当它爬了 12cm 之后,求恰好回到 A 点的概率. A 答案: (1)取 BC 中点 M,连 AM,DM. 因△ABC 及△BCD 均为正三角形,故 BC⊥AM,BC⊥DM. B D 因 AM,DM 为平面 ADM 内的两条相交直线,故 BC⊥平面 ADM,于是 BC⊥ C AD. 第 15 题图 (2)连接 EM,并取 AC 的中点 Q,连 QE,QM.于是 EQ∥AD,故 EQ∥平 面 ABD. 同理 MQ∥平面 ABD. 因 EQ, 为平面 QEM 内的两条相交直线, MQ 故平面 QEM∥平面 ABD, 从而点 P 的轨迹为线段 QM. (3)依题设小虫共走过了 4 条棱,每次走某条棱均有 3 种选择,故所有等可能基本事件总 4 数为 3 =81. 走第 1 条棱时,有 3 种选择,不妨设走了 AB,然后走第 2 条棱为:或 BA 或 BC 或 BD. 若第 2 条棱走的为 BA,则第 3 条棱可以选择走 AB,AC,AD,计 3 种可能;若第 2 条棱走的 为 BC,则第 3 条棱可以选择走 CB,CD,计 2 种可能;同理第 2 条棱走 BD 时,第 3 棱的走法 亦有 2 种选择. 故小虫走 12cm 后仍回到 A 点的选择有 3×(3+2+2)=21 种可能. 于是,所求的概率为 17.(1) f (t ) = ?

21 7 = . 81 27

?2t ?? 6t + 240 3 2 t + 6t 20

(0 ≤ t ≤ 30) (30 < t ≤ 40) (0 ≤ t ≤ 40)

g (t ) = ?

(2)设每件产品 A 的销售利润为 q (t ) 则 q (t ) = ?

?3t ?60

( 0 ≤ t ≤ 20) (20 < t ≤ 40)

从而这家公司的日销售利润 Q(t)的解析式为:

? 9 3 2 ?? 20 t + 24t ? ? Q(t ) = ?? 9t 2 + 480t ? 2 ?? 9t + 14400 ? ?

(0 ≤ t ≤ 20) (20 < t ≤ 30) (30 < t ≤ 40)
27 2 t (20 × 48 ? 27t ) t + 48t = ≥0 20 20

① 当0 ≤ t ≤ 20时 Q ' (t ) = ?

∴ Q (t ) 在区间 [0,20] 上单调递增 此时 Qmax (t ) = Q (20) = 6000 ②当 20 < t ≤ 30 时 Q (t ) = ?9(t ?

80 2 ) + 6400 , t ∈ N + 3

∴ t = 27 时 Qmax (t ) = Q ( 27) = 6399 ③当 30 < t ≤ 40

Q (t ) < Q (30) = 6300

综上所述 Qmax (t ) = Q ( 27) = 6399

19.解: (I) f ′( x) = 3x 2 ? 3a ∈ [?3a,+∞) , ∵对任意 m ∈ R ,直线 x + y + m = 0 都不与 y = f (x) 相切, ∴ ? 1? [?3a,+∞) , ? 1 < ?3a ,实数 a 的取值范围是 a <

…………2 分

1 ; 3

…………4 分

(II)存在,证明方法 1:问题等价于当 x ∈ [?1,1] 时, | f ( x) |max ≥ 设 g ( x) =| f ( x) | ,则 g (x) 在 x ∈ [?1,1] 上是偶函数, 故只要证明当 x ∈ [0,1] 时, | f ( x) |max ≥

1 ,…………6 分 4

1 , 4 ①当 a ≤ 0时, f ′( x) ≥ 0, f ( x)在[0,1] 上单调递增,且 f (0) = 0 , g ( x) = f ( x) 1 g ( x) max = f (1) = 1 ? 3a > 1 > ; …………8 分 4 1 ②当 0 < a < 时, f ′( x) = 3x 2 ? 3a = 3( x + a )( x ? a ) ,列表: 3
x f ′(x) f (x) (?∞,? a )
+

? a
0 极大 2a a

(? a , a )
-

a
0 极 小

( a ,+∞)
+







? 2a a

f (x) 在 (0, a ) 上递减,在 ( a ,1) 上递增,
注意到 f (0) = f ( 3a ) = 0 ,且 a < 3a < 1 ,

…………10 分

∴ x ∈ (0, 3a ) 时, g ( x) = ? f ( x) , x ∈ ( 3a ,1) 时, g ( x) = f ( x) , ∴ g ( x) max = max{ f (1),? f ( a )} ,…………12 分

1 1 1 及 0 < a < ,解得 0 < a ≤ ,此时 ? f ( a ) ≤ f (1) 成立. 4 3 4 1 ∴ g ( x ) max = f (1) = 1 ? 3a ≥ . 4 1 1 1 1 由 ? f ( a ) = 2a a ≥ 及 0 < a < ,解得 ≤ a < ,此时 ? f ( a ) ≥ f (1) 成立. 4 3 4 3 1 ∴ g ( x ) max = ? f ( a ) = 2a a ≥ . 4
由 f (1) = 1 ? 3a ≥ ∴在 x ∈ [?1,1] 上至少存在一个 x0 ,使得 | f ( x0 ) |≥

1 成立. 4

…………14 分

1 ②当 0 < a < 时, f ′( x) = 3x 2 ? 3a = 3( x + a )( x ? a ) ,列表: 3
x

(?∞,? a )
+

? a
0 极大 2a a

(? a , a )
-

a
0 极
? 2a a

( a ,+∞)
+ 小 …………10 分

f ′(x) f (x)







f (x) 在 (0, a ) 上递减,在 ( a ,1) 上递增,
注意到 f (0) = f ( 3a ) = 0 ,且 a < 3a < 1 ,

∴ x ∈ (0, 3a ) 时, g ( x) = ? f ( x) , x ∈ ( 3a ,1) 时, g ( x) = f ( x) , ∴ g ( x) max = max{ f (1),? f ( a )} ,……………12 分 注意到 0 < a <

1 ,由: 3

1 1 ?? f ( a ) ≤ f (1) = 1 ? 3a ?0 < a ≤ ?? f ( a ) ≥ f (1) = 1 ? 3a ?a ≥ ? ? ? ? ? ? 4 4 ,? 矛盾; ? 矛盾; ? 1 1 ,? ? f (1) = 1 ? 3a < ?a > 1 ? ? f ( a ) = 2a a < ?a < 1 4 4 ? ? ? ? 4 4 ? ?

1 1 与 a < 矛盾, 3 4 ∴假设不成立,原命题成立. …………14 分 2 20、 (1)证明:假设存在一个实数?,使{an}是等比数列,则有 a 2 = a1 a 2 ,
∴ ? x ∈ [?1,1] , | f ( x 0 ) |< 即(

4 2 2 4 ?4 ? λ ? 3 )2= λ ? λ ? 4 ? ? λ 2 ?4λ + 9 = 9 λ ? 4λ ? 9 = 0, 3 9 ?9 ?
n+1 n+1

矛盾.所以{an}不是等比数列. (2)因为 bn+1=(-1) [an+1-3(n-1)+21]=(-1) ( =-

2 an-2n+14) 3

2 2 n (-1) · n-3n+21)=- bn (a 3 3

当λ≠-18 时,b1=-(λ+18) ≠0,由上可知 bn≠0, ∴

ba +1 2 = ? (n∈N+). bn 3
2 为公比的等比数列 。 3

故 当 λ ≠ -18 时 , 数 列 { bn } 是 以 - ( λ + 18 ) 为 首 项 , -

3 2 ? ? 2? ? bn = (λ + 18) ? ? ? , S n = ? (λ + 18) ?1 ? (? ) n ? 5 3 ? ? 3? ? 当λ=-18 时, bn = 0 , S n = 0
(3)由(2)知,当λ=-18,bn=0,Sn=0,不满足题目要求. ∴λ≠-18, 要使 a<Sn<b 对任意正整数 n 成立,

n

3 2 n + (λ+18)· [1-(- ) ] 〈b(n∈N ) 5 3 a 3 b 得 < ? (λ + 18) < ?????????? 2 n 2 n 5 1 ? (? ) 1 ? (? ) 3 3 2 令f (n) = 1 ? (? ) n ,则 3 5 5 当 n 为正奇数时,1<f(n) ≤ ;当n为正偶数时, ≤ f ( n) < 1, 3 9 5 5 ∴f(n)的最大值为 f(1)= , f(n)的最小值为 f(2)= , 3 9 9 3 3 于是,由①式得 a<- (λ+18)< b ? ?b ? 18 < λ < ?3a ? 18. 5 5 5 当 a<b ≤ 3a 时,由-b-18 ≥ =-3a-18,不存在实数满足题目要求;
即 a<当 b>3a 存在实数λ,使得对任意正整数 n,都有 a<Sn<b,且λ的取值范围是(-b-18,-3a-18) 。


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