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定积分几何应用


第二节 定积分在几何学上的应用
一、 平面图形的面积

二、 平面曲线的弧长
三、已知平行截面面积函数的 立体体积 四、 旋转体的侧面积 (补充)

一、平面图形的面积
1. 直角坐标情形 设曲线 边梯形面积为 A , 则
d A = f ( x ) dx
b

y y

? f (x)
与直线

及 x 轴所围曲

oa x

x ? dx

b x

y y ? f1 ( x) y ? f 2 ( x)

A=

ò

f ( x ) dx

a

右下图所示图形面积为
A=

ò

b

a

f1 ( x) - f 2 ( x) dx

o

axx?dx

b x

例1. 计算两条抛物线 所围图形的面积 . 解: 由
得交点 (0 , 0) , (1, 1)

在第一象限所围

y
y2 ? x
2

(1,1)

? Ad?A ? ?0

1

?

x ? x dx
o

?

y ? x2

x 1 x ?d x

x

1 ? 3

例2. 计算抛物线 y ? 2 x 与直线 y ? x ? 4 所围图形
2

的面积 . 解: 由 得交点

(2 , ? 2) , (8 , 4)
则有

y y?d y y

y 2 ? 2x

(8 , 4)

为简便计算, 选取 y 作积分变量,

o

y ? x?4
(2 , ? 2)

x

d A ? ( y ? 4 ? 1 y 2 ) dy ? A?? 2
?2

4

? 18

例3. 求椭圆

所围图形的面积 .

解: 利用对称性 , 有 d A ? y dx

y

A ? 4? y d x
0

a

b

t

利用椭圆的参数方程 ? x ? a cos t (0 ? t ? 2? ) ? y ? b sin t ? 应用定积分换元法得
?

o x x?dx a x

? 4 a b ? 1? ? ? ? ab
2 2

? 4ab ? 2 sin 2 t dt
0

当 a = b 时得圆面积公式

一般地 , 当曲边梯形的曲边由参数方程

给出时, 按顺时针方向规定起点和终点的参数值

则曲边梯形面积

例4. 求由摆线
的一拱与 x 轴所围平面图形的面积 .

? 解: AdA?? a (1 ? cos t ) ? a (1 ? cos t ) d t ?

2?

? 4a

?0 sin 2 d t 2 ? 4 ? 8a ? sin u d u 0
?

0 2 2? a (1 ? cos t ) 2 0 2 2? 4 t

?

dt

y

o

2? a x

t (令 u ? ) 2
sin 4 u 1 0.8 0.6 0.4 0.2

? 16 a 2 ? 2 sin 4 u d u
0

? 3? a 2

? ? ? ? ?
2

?

u

2. 极坐标情形
求由曲线 围成的曲边扇形的面积 . 在区间 上任取小区间 则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为 及

1 d A ? ?? (? )? 2 d ? 2 所求曲边扇形的面积为 1 ? 2 A ? ? ? (? ) d ? 2 ?

r ? ? (? )

d?

? ? ?

x

例5. 计算阿基米德螺线 到 2? 所围图形面积 .

对应 ? 从 0 变

1 2 (a? ) d? 解: A ? ? 0 2 a 2 ?1 3 ? 2? ? ? ? 2 ?3 ? 0 ? 4 3 2 ? ? a 3

2?

?
o
d?

2? a x

点击图片任意处 播放开始或暂停

例6. 计算心形线
面积 . 解:
2 ? 4? a 4 cos 0 2

所围图形的
(利用对称性)

1 2 a (1 ? cos? ) 2 d? 2 d?

?

?

d?

令t ? ? 2
? 8a 2 ? 2 cos 4t dt
0
?

o

?
2a x

3 1 ? 3 2 ? 8a ? ? ? ? ? a 4 2 2 2
2

例7. 计算心形线
所围图形的面积 .

与圆

1 ? 2 cos ? ? cos 2 ?

1 (1 ? cos 2? ) 解: 利用对称性 , 所求面积 2 1 2 1 2 2 ?2 ? A ? ?a a (1 ? cos? ) d? 2 2 3 1 1 2 2 ? ? a ? a ? ( ? 2 cos? ? cos 2? ) d ? 2 2 2 y 1 2 2 3 ? ? a ? a ( ? ? 2) 2 4 a 2a x o

例8. 求双纽线

所围图形面积 .

解: 利用对称性 , 则所求面积为 1 2 a cos2? d ? 2

y

? ?? 4
a x

? a 2 ? 4 cos 2? d (2? )
0

?

? a ?sin 2? ?
2

o

? a2

思考: 用定积分表示该双纽线与圆 r ? a 2 sin ? 所围公共部分的面积 . 答案: A ? 2 ? ? 0
?
6

? ? ?? 4

1 2 a sin ? d ? ? ?? a cos 2? d ? 6 2
2 2
4

?

?

二、平面曲线的弧长
定义: 若在弧 AB 上任意作内接折线 , 当折线段的最大

边长 ?→0 时, 折线的长度趋向于一个确定的极限 , 则称
此极限为曲线弧 AB 的弧长 , 即
n

y

M i ?1

Mi

s ? lim ? M i ?1M i ? ?0
i ?1

并称此曲线弧为可求长的.

A? M 0

B ? Mn
x

o
(证明略)

定理: 任意光滑曲线弧都是可求长的.

(1) 曲线弧由直角坐标方程给出:

弧长元素(弧微分) :

ds ? (dx) ? (d y )
2

2

y
(P96)

ds

y ? f (x)

? 1 ? y?2 d x
因此所求弧长

s??

b

a b

?2 d x 1? y

o a

xx?dx b x

? ? 1 ? f ?2 ( x) d x
a

(2) 曲线弧由参数方程给出:

弧长元素(弧微分) :

ds ? (dx) 2 ? (d y ) 2

? ? ? 2 (t ) ? ? ? 2 (t ) d t
因此所求弧长

s??

?

?

? ?2 (t ) ? ? ?2 (t ) d t

(3) 曲线弧由极坐标方程给出:

令 x ? r (? ) cos? , y ? r (? ) sin? , 则得
弧长元素(弧微分) :

ds ? [ x?(? )]2 ? [ y ?(? )]2 d ?
? r 2 (? ) ? r ? 2 (? ) d?
因此所求弧长
(自己验证)
ds ? ( rd? ) 2 ? dr 2
? ?

s??

r 2 (? ) ? r ?2 (? ) d?
d?

dr

r

o

例9. 两根电线杆之间的电线, 由于其本身的重量, 下垂 y 成悬链线 . 悬链线方程为 c x y ? c ch (?b ? x ? b) c ?b o bx 求这一段弧长 .
解:

x x ? 1 ? sh dx ? ch dx c c b x ?sh x ? b ? s ? 2? ch dx ? 2c ? c? 0 0 c ? ? x b 1 x (? ch )? ? c ? sh c 2csh c c c c
2

e x ? e? x ch x ? 2 e x ? e? x sh x ? 2 (ch x)? ? sh x

(sh x)? ? ch x

例10. 求连续曲线段
解: ? cos x ? 0 , ? ? ? ? x ? ? 2 2
?

的弧长.

s??

??

2

?2 d x 1? y

2

? 2?
? 2?

?
2

0
?
2

1 ? ( cos x ) d x
2

x 1 ? cos x ? 2 cos 2
2

0

x ? 2 2 ?2 sin 2 ? 2 0 ?4

x 2 cos d x 2
?

例11. 计算摆线
的弧长 . 解: ds ?
y

一拱

(d x)2 dt

dy 2 ? (d t )

dt

o

2? a x

? a 2 (1 ? cos t ) 2? a 2 sin 2 t d t

? a 2(1 ? cos t ) d t t ? 2a sin dt 2 2? t ?? 2 cos t ? 2? ? s ? ? 2a sin d t ? 2a ? 0 2 2 ? 0 ? 8a ? ?

t 1 ? cos t ? 2 sin 2
2

例12. 求阿基米德螺线 r ? a? (a ? 0)相应于 0≤?≤2?
一段的弧长 . 解: d s ? r 2 (? ) ? r ? 2 (? ) d?

? a 2? 2 ? a 2 d ?

o
2 2

2? a x
x2 ? a2 ) ? C

? a 1 ? ? d?
2

?

2 1 2 2 a ? x dx ? x x ? a ? ln( x ? 2 2

r ? a? a

? s ? a?

2?

?? 1 ? ? 2 ? 1 ln ? ? 1 ? ? 2 ? 2? ? a? ?0 2 ? ?2

0

1 ? ? 2 d ? (参见分部积分法ppt)

三、已知平行截面面积函数的立体体积
设所给立体垂直于x 轴的截面面积为A(x),

上连续, 则对应于小区间

的体积元素为

d V ? A( x) d x
因此所求立体体积为
y b

V ? ? A( x) d x
a

b

A(x)

A( y )

a
a

x

b

x

特别 , 当考虑连续曲线段
轴旋转一周围成的立体体积时, 有
b

V ? ? ? [ f ( x)] dx
2
a

y

y ? f (x)

当考虑连续曲线段

o

a

x

b

x

y
绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时,



V ? ? ? [? ( y )] d y
2
c

d

d y c o

x ? ? ( y)

x

例13. 计算由椭圆 转而成的椭球体的体积.

所围图形绕 x 轴旋转而

y

解: 方法1 利用直角坐标方程

b

o


x

ax

V ? 2 ? ? y 2 dx
0

a

(利用对称性)

b2 a 2 ? 2? 2 ? (a ? x 2 ) dx a 0 b2 ? 2 1 3 ? a 4 ? 2? 2 ?a x ? x ? ? ? ab 2 3 ?0 3 a ?

方法2 利用椭圆参数方程



V ? 2? ? y 2 dx ? 2? ? ab 2 sin 3t d t
0

a

2 ? 2? ab ? ?1 3 4 ? ? ab 2 3
2

4 3 特别当b = a 时, 就得半径为a 的球体的体积 ? a . 3

例14. 计算摆线

的一拱与 y=0

所围成的图形分别绕 x 轴 , y 轴旋转而成的立体体积 .

解: 绕 x 轴旋转而成的体积为

y

Vx ? ?

2? a 0
0

? y dx
2

y
o
2

?? ?

2?

?a

2? a x

a (1 ? cos t ) ? a(1 ? cos t ) d t
2

利用对称性

? 2?

3 ? a (1 ? cos t )3 d t 0

?

? 16?
3

? 32? a 3 2 sin 6 u d u ? 32? 0 2 3

?

?

? 5? a

5 3 1 ? a ? ? ? ? 6 4 2 2

3 ? a sin 6 0

?

t t d t (令 u ? ) 2 2

y

2a
绕 y 轴旋转而成的体积为
o

x ? x2 ( y ) x ? x1 ( y )

?a

2? a x

? 2 注意上下限 ! ? ? ? a (t ? sin t ) 2 ? a sin t d t 2? ? 2 ? ? ? a (t ? sin t ) 2? a sin t d t
0 3 2? ? ?? a ? (t ? sin t ) 2 sin td t
0



说明:

y

x x?dx
柱面面积 柱壳体积

? 2? ?

a(t ? sin t ) ? a (1 ? cos t )

? 2? ? a(t ? sin t ) ? a 2 (1 ? cos t ) 2 d t
0

2?

t ? 8? ? (t ? sin t ) sin d t 2 t 令u ? 2
4

3 2? a 0

? 16?

3 ? a 0

?

(2u ? sin 2u ) sin 4 u d u

2 3 2 4 ? 16? a ? ? (2v ? ? ? sin 2v) cos v d v
?

令v ? u ?
?
2

?

偶函数

奇函数

例15. 一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆中心 , 并
与底面交成 ? 角, 计算该平面截圆柱体所得立体的体积 . 解: 如图所示取坐标系, 则圆的方程为

x2 ? y 2 ? R2 垂直于x 轴 的截面是直角三角形, 其面积为 1 2 2 A( x) ? ( R ? x ) tan ? (? R ? x ? R) 2 利用对称性 R1 V ? 2 ? ( R 2 ? x 2 ) tan ? d x 0 2 1 3 R 2 ? 2 tan ? ? R x ? x ? 0 3

ox

??

y

R

x

思考: 可否选择 y 作积分变量 ?
此时截面面积函数是什么 ?

如何用定积分表示体积 ?
提示:

?

y
( x, y )

A( y) ? 2 x ? y tan ?
? 2 tan ? ? y R ? y
2
R 0

o
R
2

x

2 tan ? ? ? y R 2 ? y 2 d y V?

r1

A
r2

f ( x)
o

?

f ( x ? ?x )

?s

1 2 1 2 A ? r2 ? ? r1 ? 2 2 1 ? ( r2 - r1 )( r2 ? r1 )? 2

y

y ? f (x)

o a

x

b

x

1 ?A ? ?s ? 2? f ( x ) ? 2? f ( x ? ?x ) ? 2 dA ?A ?s ? lim ? ? lim ? f ( x ) ? f ( x ? ?x ) ? ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x dx dA ds ? 2? f ( x ) dx dx

dA ? 2? f ( x )ds

四、旋转体的侧面积
设平面光滑曲线 它绕 x 轴旋转一周所得到的旋转曲面的侧面积 .
取侧面积元素: 求

d S ? 2? y d s

y y
积分后得旋转体的侧面积

y ? f (x)

o a o a

x

b b

x x

S ? 2? ?

b

a

? 2 ( x ) dx f ( x) 1 ? f

注意: 侧面积元素

d S ? 2? y ds ? 2? y dx
因为2? y dx 不是薄片侧面积△S 的 的线性主部 .
若光滑曲线由参数方程

y

y ? f (x)

o a

x

b x

ds dx

给出, 则它绕 x 轴旋转一周所得旋转体的 侧面积为

S ? ? 2?? (t ) ? ?2 (t ) ? ? ?2 (t ) d t ?

?

例16. 计算圆 x 轴旋转一周所得的球台的侧面积 S . 解: 对曲线弧 应用公式得

y

x1 o
? dx R2 ? x2 ? 1 ? ? 2 ? 2? ? R ?x ?
?x
2

x2 R x

S ? 2? ?

x2

x1 x2

y

? 2? ? R dx ? 2? R( x2 ? x1 )
x1

o x

当球台高 h=2R 时, 得球的表面积公式

S ? 4? R 2

z

绕 x 轴旋转 例17. 求由星形线 一周所得的旋转体的表面积 S . b S ? 2? ? y d 2 x ? d 2 y 解: 利用对称性

S ? 2 ? 2? ? 2 a sin 3 t
0

?

a

?

? ? 3a cos t sin t ? ? ?3a sin t cos t ? d t
2
2

2

2

? 12? a 2 ? 2 sin 4 t cos t d t
0

?

? 12? a ? sin 5 t ? ? ?5 ? 12 2 ? ?a 5

2 ?1

内容小结
1. 平面图形的面积 直角坐标方程 边界方程 参数方程 极坐标方程 2. 平面曲线的弧长

上下限按顺时针方向 确定

弧微分: d s ? (d x) 2 ? (d y ) 2 注意: 求弧长时积分上
下限必须上大下小

直角坐标方程 曲线方程 参数方程方程

极坐标方程 d s ? r 2 (? ) ? r ? 2 (? ) d ?

3. 已知平行截面面面积函数的立体体积

旋转体的体积 绕 x 轴 : A( x) ? ? y 2 绕 y 轴 : A( x) ? 2? x y 4. 旋转体的侧面积
(柱壳法)

侧面积元素为 d S ? 2? y d s
(注意在不同坐标系下 ds 的表达式)

思考与练习
1.用定积分表示图中阴影部分的面积 A 及边界长 s .

提示: 交点为(1, ? 1) , (9 , 3) , 以 x 为积分变量 , 则要分
两段积分, 故以 y 为积分变量.

32 A ? ? ? (2 y ? 3) ? y ? d y ? ?1 3
3
2

弧线段部分

直线段部分
3 ?1

s?

??1 1 ? 4 y

3

2

dy ? ?

y 3 y o ?1

x ? 2y ?3 ? 0

dy

x ? y2

x

2. 试用定积分求圆
旋转而成的环体体积 V 及表面积 S .

绕x轴

提示: 上 半圆为 下

?
?

y
b
?Ro R x

求体积 : 方法1 利用对称性

V ? 2? ? ?
R 0

? (b ? R ? x )
2

2 2

?dx

? 2? 2 R 2b

上 半圆为 下 方法2 用柱壳法

?

?

y
b

y

dV ?
V ? 4? ?

? 2x ? d y
b? R b? R

y R 2 ? ( y ? b) 2 d y

?Ro R x

说明: 上式可变形为

V ? ? R2
此式反映了环体微元的另一种取法(如图所示).

上 半圆为 下 求侧面积 :

?
2 2

?

y
b
?Ro R x
利用对称性

S ? 2?

R 0

? 1 ? y ? 2 dx 2? (b ? R ? x )
R

? 2 ? 2? (b ? R 2 ? x 2 ) ? 1 ? y ? 2 dx 0

二者 y ? 相同
2

? 8? b ?

R 0

1 ? y ? 2 dx

上式也可写成 S ? 2? R 它也反映了环面微元的另一种取法.

作业
面积及弧长部分: P200 1 (2) , (4) , (6) , (7) ; 2 (2) (5) ;
√8 (2) , (4) , (5)

体积及表面积部分:
P200 √7 (2) , (3) 9 (2) , (4)
补充题: 设有曲线 y ? x ? 1 , 过原点作其切线 , 求

由此曲线、切线及 x 轴围成的平面图形绕 x 轴旋转一
周所得到的旋转体的表面积.

例15. 设

在 x≥0 时为连续的非负函数, 且

形绕直线 x=t 旋转一周所成旋转体体积 , 证明:

y
证: 利用柱壳法

f (x)

d V ? 2? (t ? x) f ( x) d x


V (t ) ? ? 2 ? (t ? x) f ( x) d x
0 t t 0 t 0

t

o

x

? 2? t ? f ( x) d x? 2? ? x f ( x) d x

0

x t x?dx

V ?(t ) ? 2? ? f ( x) d x ? 2? t f (t ) ? 2? t f (t )

V ??(t ) ? 2? f (t )

例17. 计算由曲面
的体积. 解: 垂直 x 轴的截面是椭圆

所围立体(椭球体)

y

2 x2 a

b 2 (1 ?
它的面积为

) c 2 (1 ? 2

?

z

2 x2 a2

?1 )

x
a

c o
b

因此椭球体体积为

x3 a 4 V ? 2 ? ? bc(1 ? 2 ) d x ? 2? bc? x ? ? 2 0 ? ? abc 0 a 3a 3 特别当 a = b = c 时就是球体体积 .
a

x2

例18. 求曲线 y ? 3 ? x 2 ? 1 与 x 轴围成的封闭图形 绕直线 y=3 旋转得的旋转体体积. (94 考研) 解: 利用对称性 , 在第一象限

? x ? 2, y?? ? 4 ? x2 , 故旋转体体积为
2

0 ? x ?1 1? x ? 2
1

y B 3
A

V ? ? ? 32 ? 4 ? 2? ? [3 ? ( x 2 ? 2)]2 d x
? 2 ? ? [3 ? (4 ? x )] d x
2 2 1 0 2
2 1

o

C 1 2x

448 2 2 ? ? 36? ? 2 ? ? (1 ? ? 1) d x ? 2 ? ? ( x ? 1) 2 d x x x ? 0 0 15 1
2 2 2 2

备用题 1. 求曲线
解: 显然 ln x ? 1 , ln y ? 1

所围图形的面积.

又 ln x ?

e ?1 ? x ? e , e ?1 ? y ? e ln x , 1? x ? e e ?1 ? x ? 1 1? y ? e e ?1 ? y ? 1

y e y ? ex

xy ? e

? ln x , ln y , ln y ? ? ln y ,
e ? x ?1 e ? y ?1
?1 ?1

1

o

1 e

xy ?

1 e

1
1 e

x y?e

ex

故在区域
面积为

同理其它.

?1 e

1

dx ? ?

e 1

dx

2. ? 为何值才能使 y ? x( x ? 1) 与 x 轴围成的面积等

于 y ? x( x ? 1) 与x ? ? 及 x 轴围成的面积 .
解: y ? x( x ? 1) 与 x 轴所围面积 1 1 A1 ? ? ? x ( x ? 1) d x ? 0 6
?

y
A2
1

A2 ? ? x ( x ? 1) d x ? 1 ?3 ? 1 ?2 ? 1 1 3 2 分析曲线特点 6 由 A1 ? A2 , 得 ?2 (1 ? ? 1 ) ? 0 , 故 y ? x( x ? 1) 3 2 1 )2 ? 1 3 ? (x ? ?1 ? , ? 2 ? 0 2 4 2 由图形的对称性 , ? 3 ? ? 1 , ? 4 ? 1 也合于所求. 2

? ? 0时 ,

o A1

2

1? x

3. 求曲线 图形的公共部分的面积 .



所围成

解: r2 (? ) ? 0 , 得 ? ? ? 令
所围区域的面积为

?
4

r2 ? a(cos? ? sin ? )

o

?
r1 ? a cos?

0 ?? 4

a 2 (? ? 1) ? 4

4. 设平面图形 A 由 x 2 ? y 2 ? 2 x 与 y ? x 所确定 , 求
图形 A 绕直线 x=2 旋转一周所得旋转体的体积 .

提示: x 为积分变量. 选 旋转体的体积为

y

V ? 2? ? (2 ? x)( 2 x ? x ? x) d x 0 1 2 2 ? ? ? ? 2 3
2

1

y o x 1

1

2 x

若选 y 为积分变量, 则

V ? ? ? 0 ? 2 ? (1 ? 1 ? y ) ? d y ? ?
1 2 2

?0

1

(2 ? y ) 2 d y


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