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2015年高三第一轮复习圆锥曲线的方程及性质

时间:2015-04-11


椭圆的方程及性质 1.椭圆的概念 在平面内到两定点 F1、F2 的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆.这两定点叫做椭圆的焦点,两 焦点间的距离叫做焦距.集合 P={M||MF1|+|MF2|=2a},|F1F2|=2c,其中 a>0,c>0 (1)当 2a>|F1F2|时动点的轨迹是椭圆;(2)当 2a=|F1F2|时动点的轨迹是线段 F1F2; (3)当 2a<|F1F2|时,动点的轨迹是不存在的. 2.椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 x y 2+ 2=1(a>b>0) a b
2 2

y x 2+ 2=1(a>b>0) a b

2

2

图 形





-a≤x≤a,-b≤y≤b 对称轴:坐标轴 A1(-a,0),A2(a,0) B1(0,-b),B2(0,b)

-b≤x≤b,-a≤y≤a 对称中心:原点 A1(0,-a),A2(0,a) B1(-b,0),B2(b,0)

对称性 顶点 轴 性 质 焦距 离心率 a,b,c 的关系 1.椭圆焦点位置与 x ,y 系数间的关系:
2 2

长轴 A1A2 的长为 2a;短轴 B1B2 的长为 2b |F1F2|=2c c e= ∈(0,1) a c =a -b (a>b>0,a>c>0)
2 2 2

x y 给出椭圆方程 + =1 时,椭圆的焦点在 x 轴上?m>n>0;椭圆的焦点在 y 轴上?0<m<n. m n 2.求椭圆方程的方法 (1)定义法:根据椭圆定义,确定 a 、b 的值,再结合焦点位置,直接写出椭圆方程. (2)待定系数法:根据椭圆焦点是在 x 轴还是 y 轴上,设出相应形式的标准方程,然后根据条件确定关于 a、b、c 的方 程组,解出 a 、b ,从而写出椭圆的标准方程.(3) 不能确定焦点的位置时,可进行分类讨论或把椭圆的方程设为 mx +ny =1 ?(m>0,n>0,m≠n). 3.求椭圆的离心率,其法有三:一是通过已知条件列方程组,解出 a,c 的值;二是由已知条件得出关于 a,c 的二元 齐次方程,然后转化为关于离心率 e 的一元二次方程求解;三是通过取特殊值或特殊位置,求出离心率. 4.用待定系数法求椭圆方程的一般步骤 (1)作判断:根据条件判断椭圆的焦点在 x 轴上,还是在 y 轴上,还是两个坐标轴都有可能; x y x y (2)设方程:根据上述判断设方程 2+ 2=1(a>b>0)或 2+ 2=1(a>b>0); a b b a (3)找关系:根据已知条件,建立关于 a、b、c 或 m、n 的方程组; (4)得方程:解方程组,将解代入所设方程,即为所求.注意:用待定系数法求椭圆的方程时,要“先定型,再定量”. 5.椭圆上任意一点 M 到焦点 F 的所有距离中, 长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离, 且最大距离为 a+c, 最小距离为 a-c.
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

2

考点一 椭圆的定义 例 1.已知椭圆 G 的中心在坐标原点,长轴在 x 轴上,离心率为 则椭圆 G 的方程为______________. x y c 3 解析:设椭圆方程为 2+ 2=1(a>b>0),根据椭圆定义 2a=12,即 a=6,又 = ,得 c=3 3, a b a 2 x y 2 2 2 故 b =a -c =36-27=9,故所求椭圆方程为 + =1. 36 9 x 2 1.已知△ABC 的顶点 B,C 在椭圆 +y =1 上,顶点 A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在 BC 边上,则△ABC 3 的周长是( A.2 3 ). B.6 C.4 3 D.12
2 2 2 2 2

3 ,且椭圆上一点到椭圆的两个焦点的距离之和为 12, 2

1.解析 由椭圆的定义知:|BA|+|BF|=|CA|+|CF|=2a,∴周长为 4a=4 3(F 是椭圆的另外一个焦点). 2.设 F1,F2 为定点,|F1F2|=6,动点 M 满足|MF1|+|MF2|=6,则动点 M 的轨迹是( A.椭圆 B.直线 C.圆 D.线段 )

2.解 ∵|MF1|+|MF2|=6,|F1F2|=6,∴|MF1|+|MF2|=|F1F2|,∴点 M 的轨迹是线段 F1F2. x y 3.如果方程 2+ =1 表示焦点在 x 轴上的椭圆,则实数 a 的取值范围是( a a+6 A.(3,+∞) C.(3,+∞)∪(-∞,-2) B.(-∞,-2) D.(3,+∞)∪(-6,-2)
2 2 2

)

? ?a >a+6, 3.解由于椭圆的焦点在 x 轴上,所以? ?a+6>0, ?
2 2

? ??a+2??a-3?>0, 即? ?a>-6. ?

解得 a>3 或-6<a<-2,故选 D.

4.已知方程 A.m<2

x y + =1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则 m 的取值范围是( |m|-1 2-m

)

3 B.1<m<2 C.m<-1 或 1<m<2 D.m<-1 或 1<m< 2 m>1或m<-1, ? ?m<2, 即? 3 m< . ? ? 2

|m|-1>0, ? ? 4.解由题意得?2-m>0, ? ?2-m>|m|-1. 考点二 焦点三角形

3 ∴1<m< 或 m<-1,故选 D. 2

x y → → 例 2.已知 F1、F2 是椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的两个焦点,P 为椭圆 C 上的一点,且PF1⊥PF2.若△PF1F2 的面积为 9, a b 则 b=________. → → 2 2 2 2 解析 由题意知|PF1|+|PF2|=2a,PF1⊥PF2,∴|PF1| +|PF2| =|F1F2| =4c , ∴(|PF1|+|PF2|) -2|PF1||PF2|=4c ,∴2|PF1||PF2|=4a -4c =4b .∴|PF1||PF2|=2b , 1 1 2 2 ∴S△PF1F2= |PF1||PF2|= ?2b =b =9.∴b=3. 2 2 椭圆上一点 P 与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”,利用定义可求其周长,利用定义和余弦定理可 求|PF1|?|PF2|;通过整体代入可求其面积等.
2 2 2 2 2 2

2

2

x y π 1.已知 F1、F2 是椭圆 + =1 的两个焦点,P 是椭圆上任一点,若∠F1PF2= ,求△F1PF2 的面积. 100 64 3 1.解 设|PF1|=m,|PF2|=n.根据椭圆定义有 m+n=20,又 c= 100-64=6,∴在△F1PF2 中, π 2 2 2 2 2 2 由余弦定理得 m +n -2mncos =12 ,∴m +n -mn=144,∴(m+n) -3mn=144, 3 256 1 1 256 3 64 3 ∴mn= ,∴S△F1PF2= |PF1||PF2|sin∠F1PF2= ? ? = . 3 2 2 3 2 3 x y 2.已知 F1,F2 为椭圆 + 2=1(0<b<10)的左、右焦点,P 是椭圆上一点. 100 b 64 3 (1)求|PF1|?|PF2|的最大值;(2)若∠F1PF2=60°且△F1PF2 的面积为 ,求 b 的值. 3
2 2

2

2

2.解析:(1)由题意得|PF1|+|PF2|=20,则|PF1|?|PF2|≤? 故(|PF1|?|PF2|)max=100.

?|PF1|+|PF2|?2=100,当且仅当|PF |=|PF |时,等号成立, ? 1 2 2 ? ?

1 64 3 256 (2)因为 S△F1PF2= |PF1|?|PF2|sin 60°= ,所以|PF1|?|PF2|= .① 2 3 3
? ?|PF1| +|PF2| +2|PF1|?|PF2|=4a =400, 又? 2 2 2 ?|PF1| +|PF2| -4c =2|PF1|?|PF2|cos 60°, ?
2 2 2

所以 3|PF1|?|PF2|=400-4c .②

2

由①②得 c=6,则 b= a -c =8. 考点三 求椭圆的标准方程 x y 例 3.(1)求与椭圆 + =1 有相同的离心率且经过点(2,- 3)的椭圆方程. 4 3 (2)已知点 P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上,且 P 到两焦点的距离分别为 5、3,过 P 且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一 个焦点,求椭圆的方程.
2 2

2

2

x y 2 ?- 3? 解 (1)由题意,设所求椭圆的方程为 + =t(t>0),∵椭圆过点(2,- 3),∴t= + =2, 4 3 4 3 x y 故所求椭圆标准方程为 + =1. 8 6 x y y x (2)设所求的椭圆方程为 2+ 2=1(a>b>0)或 2+ 2=1(a>b>0), a b a b
?2a=5+3, ? 由已知条件得? 2 2 2 ? ??2c? =5 -3 ,
2 2 2 2 2 2

2

2

2

2

解得 a=4,c=2,b =12.故所求方程为

2

x y y x + =1 或 + =1. 16 12 16 12

2

2

2

2

运用待定系数法求椭圆标准方程,即设法建立关于 a、b 的方程组,先定型、再定量,若位置不确定时,考虑是否两解, 有时为了解题需要,椭圆方程可设为 mx +ny =1(m>0,n>0,m≠n),由题目所给条件求出 m、n 即可.
2 2

1.(1)求长轴是短轴的 3 倍且经过点 A(3,0)的椭圆的标准方程. x y (2)已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的一个焦点是 F(1,0),若椭圆短轴的两个三等分点 M,N 与 F 构成正三角形,求椭圆的 a b 方程. 2.中心在原点,焦点在 x 轴上,长轴长为 18,且两个焦点恰好将长轴三等分的椭圆的方程是( x y A. + =1 81 45
2 2 2 2

)

x y B. + =1 81 9
2 2

2

2

x y C. + =1 81 72

2

2

x y D. + =1 81 36

2

2

x y 3 3.已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点为 F1、F2,离心率为 ,过 F2 的直线 l 交 C 于 A、B 两点,若△AF1B 的 a b 3 周长为 4 3,则 C 的方程为(
2 2 2 2

)
2 2 2

x y x x y x y 2 A. + =1 B. +y =1 C. + =1 D. + =1 3 2 3 12 8 12 4 4.已知椭圆 G 的中心在坐标原点,长轴在 x 轴上,离心率为 G 的方程为________. 5.已知椭圆的焦点是 F1(-1,0),F2(1,0),P 是椭圆上的一点,若|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中项,则该椭圆的方程是 ________. 6.求满足下列条件的椭圆的标准方程: (1)焦点在 y 轴上,焦距是 4,且经过点 M(3,2); (2)a ? c=13 ? 5,且椭圆上一点到两焦点的距离的和为 26. x y y x 因为焦点所在的坐标轴不确定,所以椭圆的标准方程为 + =1 或 + =1. 169 144 169 144 7.已知椭圆中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,椭圆与 x 轴的一个交点到两焦点的距离分别为 3 和 1,则椭圆的标准方程 为________. x y 9 1. 解(1)若椭圆的焦点在 x 轴上,设方程为 2+ 2=1(a>b>0),∵椭圆过点 A(3,0),∴ 2=1,a=3,∵2a=3?2b, a b a x 2 ∴b=1,∴方程为 +y =1. 9 y x 0 9 若椭圆的焦点在 y 轴上,设椭圆方程为 2+ 2=1(a>b>0),∴椭圆过点 A(3,0),∴ 2+ 2=1,∴b=3, a b a b y x x y x 2 又 2a=3?2b,∴a=9,∴方程为 + =1.综上所述,椭圆方程为 +y =1 或 + =1. 81 9 9 81 9 (2)由△FMN 为正三角形,则 c=|OF|= 3 3 2 x y 2 2 2 |MN|= ? b=1.∴b= 3.a =b +c =4.故椭圆方程为 + =1. 2 2 3 4 3
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

3 ,且 G 上一点到 G 的两个焦点的距离之和为 12,则椭圆 2

1 2 2 2 2.解由长轴长为 18 知 a=9,∵两个焦点将长轴长三等分,∴2c= (2a)=6,∴c=3,∴b =a -c =72,故选 C. 3 c 3 x y 3.解根据条件可知 = ,且 4a=4 3,∴a= 3,c=1,b= 2,椭圆的方程为 + =1. a 3 3 2 x y 4.解设椭圆 G 的标准方程为 2+ 2=1 a b
2 2 2 2

2a=12, ? ? (a>b>0),半焦距为 c,则?c 3 = , ? ?a 2
2 2

?a=6, ∴? ?c=3 3.

x y 2 2 2 ∴b =a -c =36-27=9,∴椭圆 G 的方程为 + =1. 36 9

x y 2 2 2 5.解由题意得 2|F1F2|=|PF1|+|PF2|,∴4c=2a,∵c=1,∴a=2.∴b =a -c =3,故椭圆方程为 + =1. 4 3 6.解 (1)由焦距是 4 可得 c=2, 且焦点坐标为(0, -2), (0,2). 由椭圆的定义知, 2a= 3 +?2+2? + 3 +?2-2? y x 2 2 2 =8,所以 a=4,所以 b =a -c =16-4=12.又焦点在 y 轴上,所以椭圆的标准方程为 + =1. 16 12 a 13 2 2 2 2 2 (2)由题意知,2a=26,即 a=13,又 = ,所以 c=5,所以 b =a -c =13 -5 =144, c 5
? ?a+c=3, 7.解由题意可得? ?a-c=1. ? ? ?a=2, ∴? ?c=1. ?
2 2 2 2 2 2

2

2

x y 2 2 2 故 b =a -c =3,所以椭圆方程为 + =1. 4 3

2

2

考点四:求椭圆离心率 x y 例 4.椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的两顶点为 A(a,0),B(0,b),且左焦点为 F,△FAB 是以角 B 为直角的直角三角形,则椭 a b 圆的离心率 e 为( A. 3-1 2 B. ) D. 3+1 4
2 2

5-1 1+ 5 C. 2 4

-1± 5 2 2 2 2 2 2 2 解析:选 B 根据已知 a +b +a =(a+c) ,即 c +ac-a =0,即 e +e-1=0,解得 e= ,故所求的椭圆的 2 离心率为
2

5-1 . 2
2

x y 1.椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左、右顶点分别是 A,B,左、右焦点分别是 F1,F2.若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,则 a b 此椭圆的离心率为________. x y 2.椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的半焦距为 c,若直线 y=2x 与椭圆的一个交点的横坐标恰为 c,则椭圆的离心率为( a b A. 3 2 B. 3-1 C. 2 2 D. 2-1
2 2 2 2

)

x y 1 3.若焦点在 y 轴上的椭圆 + =1 的离心率为 ,则 m 的值为( m 2 2 3 A.1 B. 2
2 2

)

C. 3

8 D. 3 )

x y 4.椭圆 + =1 的离心率为( 16 8 1 A. 3 1 3 B. C. 2 3 D. 2 2

5.椭圆的一个顶点与两焦点组成等边三角形,则它的离心率 e 为( 1 A. 2 1 B. 3 1 C. 4 D. 2 2

)

1 6.已知椭圆的对称轴是坐标轴,离心率为 ,长轴长为 12,则椭圆方程为( 3 A. x y x y + =1 或 + =1 144 128 128 144
2 2 2 2 2 2 2 2 2

)

x y B. + =1 6 4
2 2 2

2

2

x y x y C. + =1 或 + =1 36 32 32 36

x y x y D. + =1 或 + =1 4 6 6 4

2 2 → → x y 1 7.已知 P 是以 F1,F2 为焦点的椭圆 2+ 2=1(a>b>0)上的一点,若PF1?PF2=0,tan∠PF1F2= ,则此椭圆的离心率为 a b 2

________. 8.设椭圆的两个焦点分别为 F1、F2,过 F1 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P,若△F1PF2 为等腰直角三角形,则椭圆的离 心率为( A. 2 2 ) B. 2-1 C.2- 2 2 D. 2-1

c 5 2 2 2 2 2 2 1.解析:依题意得|F1F2| =|AF1|?|BF1|,即 4c =(a-c)?(a+c)=a -c ,整理得 5c =a ,得 e= = . a 5 c 4c 2 2 2 2 2.解析:选 D 依题意直线 y=2x 与椭圆的一个交点坐标为(c,2c),所以 2+ 2 =1,又 b =a -c ,消去 b 整理得 a a b -2ac-c =0,所以 e +2e-1=0,解得 e=-1± 2.又 e∈(0,1),所以 e= 2-1. c 1 2-m 1 3 2 2 2 3.解由题意得 a =2,b =m,∴c =2-m,又 = ,∴ = ,∴m= . a 2 2 2 2 c 2 2 2 2 4.解析:选 D ∵a =16,b =8,∴c =8,∴e= = . a 2 c 1 5.解由题意,得 a=2c,∴e= = . a 2 c 1 2 2 2 6.解由条件知 a=6,e= = ,∴c=2,∴b =a -c =32,故选 C. a 3 → → |PF2| 1 7.解 ∵PF1?PF2=0,∴PF1⊥PF2,在 Rt△PF1F2 中,tan∠PF1F2= = ,设|PF2|=x,则|PF1|=2x,由椭圆的定义 |PF1| 2 2a 20 2 c 5 2 2 2 2 2 2 2 |PF1|+|PF2|=2a,∴x= ,∵|PF1| +|PF2| =|F1F2| ,∴x +4x =4c ,∴ a =4c ,∴e= = . 3 9 a 3 c yP b b b 2 8. ∵F1(-c,0),∴P(-c,yP)代入椭圆方程得 2+ 2=1,∴yP= 2,∴|PF1|= =|F1F2|,即 =2c, a b a a a a -c 2 2 2 2 又∵b =a -c ,∴ =2c,∴e +2e-1=0,又 0<e<1,∴e= 2-1. a [方法规律总结] 求椭圆离心率的值或取值范围问题,先将已知条件转化为 a、b、c 的方程或不等式,再求解. c (1)若已知 a、c 可直接代入 e= 求得;(2)若已知 a、b 则使用 e= a (3)若已知 b、c,则求 a,再利用(1)求解; (4)若已知 a、b、c 的关系,可转化为关于离心率 e 的方程(不等式)求值(范围). (5)给出图形的问题,先由图形和条件找到 a、b、c 的关系,再列方程(不等式)求解. 由于 a、b、c 之间是平方关系,所以在求 e 时,常常先平方再求解. 考点 5 椭圆几何性质的应用 1.(2012?上海高考)对于常数 m,n,“mn>0”是“方程 mx +ny =1 的曲线是椭圆”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 x y 2.已知椭圆: + =1 的焦距为 4,则 m 等于( 10-m m-2 A.4 B.8 C.4 或 8
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2

b 1- 2求解; a

2

)

D.既不充分也不必要条件 )

D.以上均不对 )A.5 B.3 或 8 C.3 或 5 D.20

x y 3.椭圆 + =1 的焦距是 2,则 m 的值是( m 4

x y 4.已知 F1,F2 是椭圆 + =1 的两焦点,过点 F2 的直线交椭圆于 A,B 两点,在△AF1B 中,若有两边之和是 10, 16 9 则第三边的长度为( A.6 B.5 C.4
2 2

2

2

) D.3 )

5.椭圆 x +my =1 的焦点在 y 轴上,长轴长是短轴长的两倍,则 m 的值为( 1 1 A. B. 4 2
2

C.2
2

D.4 )

x y 6.若椭圆 + 2=1 过点(-2, 3),则其焦距为( 16 m A.2 3 B.2 5 C.4 3
2

D.4 5
2

x y 7.设 F1、F2 分别是椭圆 + =1 的左、右焦点,P 为椭圆上一点,M 是 F1P 的中点,|OM|=3,则 P 点到椭圆左焦点的 25 16 距离为________. x y x y 8.椭圆 C1: + =1 和椭圆 C2: + =1 (0<k<9)有( 25 9 9-k 25-k A.等长的长轴 B.相等的焦距 C.相等的离心率 D.等长的短轴 x y 9.已知点 P(x0,y0)是椭圆 + =1 上一点,A 点的坐标为(6,0),求线段 PA 中点 M 的轨迹方程. 8 4 x y 3 10.设 F1、F2 分别为椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右两个焦点,若椭圆 C 上的点 A(1, )到 F1、F2 两点的距离之和为 a b 2 4,则椭圆 C 的方程是________,焦点坐标是________. 1.解:选 B 因为当 m<0,n<0 时,方程 mx +ny =1 表示的曲线不是椭圆,但当方程 mx +ny =1 表示的曲线是椭圆时, m>0,n>0,mn>0.
? ?10-m>0, 2.解:选 C 由? ?m-2>0, ?
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

)

得 2<m<10,由题意知(10-m)-(m-2)=4 或(m-2)-(10-m)=4,解得 m=4 或 m=8.

3.解 2c=2,c=1,故有 m-4=1 或 4-m=1,∴m=5 或 m=3,故选 C. 4.解:选 A 根据椭圆定义,知△AF1B 的周长为 4a=16,故所求的第三边的长度为 16-10=6. 1 1 1 2 2 5.解:选 A 由题意知 a = ,b =1,且 a=2b,则 =4,得 m= . m m 4 6.解:选 C 把点(-2, 3)的坐标代入椭圆方程得 m =4,所以 c =16-4=12,所以 c=2 3,故焦距为 2c=4 3. 1 7.解:由题意知|OM|= |PF2|=3,则|PF2|=6.故|PF1|=2?5-6=4. 2 8.解依题意知椭圆 C2 的焦点在 y 轴上, 对于椭圆 C1: 焦距=2 25-9=8, 对于椭圆 C2: 焦距=2 ?25-k?-?9-k? x +6 ? ? 2 =x, =8,故选 B.9.解设 M(x,y),则? y +0 ? ? 2 =y,
0 0 2 2

? ?x0=2x-6, ∴? ?y0=2y. ?

x y x0 y0 ∵点 P 在椭圆 + =1 上,∴ + =1. 8 4 8 4

2

2

2

2

? ?x0=2x-6, 把? ? ?y0=2y

x0 y0 ?2x-6? ?2y? ?x-3? 2 代入 + =1,得 + =1,即 +y =1 为所求. 8 4 8 4 2
2 2

2

2

2

2

2

x y 3 2 10.解.由|AF1|+|AF2|=2a=4 得 a=2.∴原方程化为: + 2=1,将 A(1, )代入方程得 b =3. 4 b 2

x y ∴椭圆方程为: + =1,焦点坐标为(±1,0). 4 3 考点 6 直线与椭圆的位置关系
? ?Ax+By+C=0, 研究直线与椭圆的位置关系,一般通过解直线方程与椭圆方程所组成的方程组? 2 2 2 2 2 2 ?b x +a y =a b , ?

2

2

对解的个数进

行讨论,有两组不同实数解(Δ >0)时,直线与椭圆相交;有两组相同的实数解(Δ =0)时,直线与椭圆相切;无实数解 (Δ <0)时,直线与椭圆相离.求直线被椭圆截得弦长,(一)是求出两交点坐标,用两点间距离公式;(二)是用|AB|= 1+k |x1-x2|=
2

1 1+ 2|y1-y2|,其中 k 为直线 AB 的斜率,A(x1,y1),B(x2,y2). k
2 2

x y 1.若点 P(a,1)在椭圆 + =1 的外部,则 a 的取值范围为( 2 3

)

2 3 2 3 2 3 -2 3 4 4 A.(- , ) B.( ,+∞)∪(-∞, ) C.( ,+∞) D.(-∞,- ) 3 3 3 3 3 3 x y 2.点 P 为椭圆 + =1 上一点,以点 P 及焦点 F1、F2 为顶点的三角形的面积为 1,则 P 点的坐标为( 5 4 A.(± 15 ,1) 2
2 2 2 2

)

B.(

15 15 ,±1) C.( ,1) 2 2

D.(±

15 ,±1) 2

x y 3.若过椭圆 + =1 内一点(2,1)的弦被该点平分,则该弦所在直线的方程是________________________. 16 4 x y 3 4 4.设椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)过点(0,4),离心率为 .(1)求椭圆 C 的方程;(2)求过点(3,0)且斜率为 的直线被 C 所截 a b 5 5 线段的中点坐标. x y 5.P(1,1)为椭圆 + =1 内一定点,经过 P 引一弦,使此弦在 P 点被平分,求此弦所在的直线方程. 4 2 2 2 x y 6.已知斜率为 2 的直线经过椭圆 + =1 的右焦点 F1,与椭圆相交于 A,B 两点,则弦 AB 的长为________. 5 4 x y a 1 2 3 -2 3 1.[解因为点 P 在椭圆 + =1 的外部,所以 + >1,解得 a> 或 a< ,故选 B. 2 3 2 3 3 3 1 x0 y0 2.[解设 P(x0,y0),∵a =5,b =4,∴c=1,∴S△PF1F2= |F1F2|?|y0|=|y0|=1,∴y0=±1,∵ + =1,∴x0= 2 5 4
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

±

15 x1 y1 x2 y2 .故选 D.3.[解析] 设弦两端点 A(x1,y1),B(x2,y2),则 + =1, + =1,两式相减并把 x1+x2=4,y1+ 2 16 4 16 4

2

2

2

2

y1-y2 1 1 y2=2 代入得, =- ,∴所求直线方程为 y-1=- (x-2),即 x+2y-4=0. x1-x2 2 2 16 c 3 a -b 9 16 9 4.[解析](1)将点(0,4)代入椭圆 C 的方程,得 2 =1,∴b=4,又 e= = ,则 2 = ,∴1- 2 = ,∴a=5, b a 5 a 25 a 25 x y ∴椭圆 C 的方程为 + =1. 25 16 4 4 4 (2)过点(3,0)且斜率为 的直线方程为 y= (x-3),设直线与椭圆 C 的交点为 A(x1, y1),B(x2,y2), 将直线方程 y= (x 5 5 5 x ?x-3? x1+x2 2 -3)代入椭圆方程得 + =1, 即 x -3x-8=0, 由韦达定理得 x1+x2=3, 所以线段 AB 中点的横坐标为 25 25 2 3 4 3 6 3 6 = ,纵坐标为 ( -3)=- ,即所截线段的中点坐标为( ,- ). 2 5 2 5 2 5
2 2 2 2 2 2

5.[解析] 解法一:易知此弦所在直线的斜率存在,所以设其方程为 y-1=k(x-1),弦的两端点为 A(x1,y1),B(x2, y-1=k?x-1?, ? ? 2 2 y2),由?x y + =1. ? ?4 2 4k?k-1? 2 2 2 消去 y 得,(2k +1)x -4k(k-1)x+2(k -2k-1)=0,∴x1+x2= ,又∵ 2 2k +1

4k?k-1? 1 1 x1+x2=2,∴ =2,得 k=- .故弦所在直线方程为 y-1=- (x-1),即 x+2y-3=0. 2 2k +1 2 2 解法二:由于此弦所在直线的斜率存在,所以设斜率为 k,且设弦的两端点坐标为(x1,y1)、(x2,y2), x1 y1 x2 y2 ?x1+x2??x1-x2? ?y1+y2??y1-y2? 则 + =1, + =1,两式相减得 + =0,∵x1+x2=2,y1+y2=2, 4 2 4 2 4 2 x1-x2 y1-y2 1 1 ∴ +(y1-y2)=0,∴k= =- .∴此弦所在直线方程为 y-1=- (x-1),即 x+2y-3=0. 2 x1-x2 2 2 [方法规律总结] (1)中点弦问题常用“点差法”求解,即 P(x0,y0)是弦 AB 的中点,A(x1,y1)、B(x2,y2)在椭圆上, y2-y1 将 A、B 坐标代入椭圆方程两式相减,然后结合 x1+x2=2x0,y1+y2=2y0,及 =k 求解. x2-x1 (2)注意“设而不求,整体代换”方法的应用. x y 6.解法一:∵直线 l 过椭圆 + =1 的右焦点 F1(1,0),又直线的斜率为 2,∴直线 l 的方程为 y=2(x-1), 5 4 2x-y-2=0, ? ? 2 2 即 2x-y-2=0.由方程组?x y + =1, ? ?5 4 ∴|AB|= ?xA-xB? +?yA-yB? =
2 2 2 2 2 2 2 2

5 4 得交点 A(0,-2),B( , ). 3 3 125 5 5 = . 9 3

5 2 4 2 ?0- ? +?-2- ? = 3 3

双曲线方程及性质 1.双曲线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线 (1)在平面内;(2)动点到两定点的距离的差的绝对值为一定值;(3)这一定值一定要小于两定点的距离. 只有当 2a<|F1F2|且 2a≠0 时,轨迹才是双曲线;若 2a=|F1F2|,则轨迹是以 F1,F2 为端点的两条射线;若 2a>|F1F2|, 则轨迹不存在. 2.双曲线的标准方程和几何性质

图形

标准方程 范围 性质 对称性 顶点

x y 2- 2=1(a>0,b>0) a b x≥a 或 x≤-a,y∈R 对称轴:坐标轴 对称中心:原点 顶点坐标:A1(-a,0),A2(a,0)

2

2

y x 2- 2=1(a>0,b>0) a b y≤-a 或 y≥a,x∈R 对称轴:坐标轴 对称中心:原点 顶点坐标:A1(0,-a),A2(0,a)

2

2

渐近线 离心率 a,b,c 的关系

b y=± x a c e= ,e∈(1,+∞) a

a y=± x b

c =a +b (c>a>0,c>b>0) 线段 A1A2 叫做双曲线的实轴,它的长|A1A2|=2a;

2

2

2

实虚轴

线段 B1B2 叫做双曲线的虚轴,它的长|B1B2|=2b; a 叫做双曲线的实半轴长,b 叫做双曲线的虚半轴长.

1.在椭圆的标准方程中,判断焦点在哪个轴上是看 x2、y2 项分母的大小,而在双曲线标准方程中,判断焦点在哪个轴 上,是看 x 、y 系数的符号. 2.求双曲线方程的几种方法 (1)定义法:由题目条件判断出动点轨迹是双曲线,由双曲线定义,确定 2a、2b 或 2c,从而求出 a 、b ,写出双曲线 方程. (2)待定系数法:先确定焦点是在 x 轴上还是在 y 轴上,设出标准方程,再由条件确定 a 、b 的值,即“先定型,再定 量”;如果焦点位置不好确定,方程可能有两种形式,求方程时应分类讨论,或者将方程设为 mx +ny =1(mn<0). (3)已知双曲线的渐近线方程 bx±ay=0,求双曲线方程时,可设双曲线方程为 b x -a y =λ (λ ≠0).根据其他条件 确定 λ 的值.若求得 λ >0,则焦点在 x 轴上;若求得 λ <0,则焦点在 y 轴上.
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

x y 1.双曲线 - =1 的焦距为( 10 2 A.3 2 B.4 2
2 2

2

2

). D.4 3 ).

C.3 3

2.双曲线 2x -y =8 的实轴长是( A.2 B.2 2
2 2

C.4

D.4 2 ).

x y 3.设双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的虚轴长为 2,焦距为 2 3,则双曲线的渐近线方程为( a b A.y=± 2x B.y=±2x C.y=±
2 2

2 x 2

1 D.y=± x 2

x y 4.设 P 是双曲线 2- =1 上一点,双曲线的一条渐近线方程为 3x-2y=0,F1、F2 分别是双曲线的左、右焦点, a 9 若|PF1|=3,则|PF2|等于________. x y 5.设点 P 是双曲线 - =1 上任意一点,F1、F2 分别是左、右焦点,若|PF1|=10,则|PF2|=________. 9 16 6.已知两定点 F1(-3,0)、F2(3,0),在满足下列条件的平面内动点 P 的轨迹中,是双曲线的是( A.||PF1|-|PF2||=5 B.||PF1|-|PF2||=6 C.||PF1|-|PF2||=7 D.||PF1|-|PF2||=0 1.解 由已知有 c =a +b =12,∴c=2 3,故双曲线的焦距为 4 3. x y 2 2 2.解 双曲线 2x -y =8 的标准方程为 - =1,所以实轴长 2a=4. 4 8 b 2 3.解 由题意得 b=1,c= 3.∴a= 2,∴双曲线的渐近线方程为 y=± x,即 y=± x. a 2
2 2 2 2 2 2 2

)

3 4.解 由渐近线方程 y= x,且 b=3,得 a=2,由双曲线的定义,得|PF2|-|PF1|=4,又|PF1|=3,∴|PF2|=7. 2 5.解 由双曲线方程,得 a=3,b=4,c=5. 当点 P 在双曲线的左支上时,由双曲线定义,得|PF2|-|PF1|=6,所以|PF2|=|PF1|+6=10+6=16; 当点 P 在双曲线的右支上时,由双曲线定义,得|PF1|-|PF2|=6,所以|PF2|=|PF1|-6=10-6=4. 故|PF2|=4 或|PF2|=16. 6.注意双曲线定义中的“小于|F1F2|”这一限制条件,其依据是“三角形两边之差小于第三边” .实际上, (1)若 2a=|F1F2|,即||PF1|-|PF2||=|F1F2|,根据平面几何知识,当|PF1|-|PF2|=|F1F2|时,动点轨迹是以 F2 为端点 的一条射线;当|PF2|-|PF1|=|F1F2|时,动点轨迹是以 F1 为端点的一条射线; (2)若 2a>|F1F2|,即||PF1|-|PF2||>|F1F2|,则与“三角形两边之差小于第三边”相矛盾,故动点轨迹不存在; (3)特别的当 2a=0 时,||PF1|=|PF2||,根据线段垂直平分线的性质,动点 P 的轨迹是线段 F1F2 的垂直平分线. 例 1.求适合下列条件的双曲线的标准方程: (1)双曲线的一个焦点坐标是(0,-6),经过点 A(-5,6).________ x y (2)与椭圆 + =1 共焦点,且过点(-2, 10).________ 16 25 x y (3)与双曲线 - =1 有公共焦点,且过点(3 2,2).________ 16 4
2 2 2 2

解 (1)解法一:由已知得,c=6,且焦点在 y 轴上,则另一焦点坐标是(0,6).因为点 A(-5,6)在双曲线上,所以点 A 与两焦点的距离的差的绝对值是常数 2a,即 2a=| ?-5? +?6+6? - ?-5? +?6-6? |=|13-5|=8, y x 2 2 2 2 2 得 a=4,b =c -a =6 -4 =20.因此,所求的双曲线标准方程是 - =1. 16 20 y x 2 2 解法二:由焦点坐标知 c=6,∴a +b =36,∴双曲线方程为 2- 2=1. a 36-a 36 25 y x 2 2 ∵双曲线过点 A(-5,6),∴ 2 - - =1. 2=1,∴a =16,b =20.双曲线方程为 a 36-a 16 20 10 4 ? 2 2 2 2 ? 2 - 2=1, x y y x (2)由 + =1 知焦点为 F1(0,-3),F2(0,3).设双曲线的方程为 2- 2=1(a>0,b>0),则有? a b 16 25 a b ? ?a2+b2=9. y x 2 2 ∴a =5,b =4.∴所求的双曲线的方程为 - =1. 5 4 x y (3)依题意,设所求的双曲线的方程为 - =1(-4<k<16),将(3 2,2)代入得 k=4. 16-k 4+k x y ∴所求的双曲线的方程为 - =1. 12 8 5 1.设椭圆 C1 的离心率为 ,焦点在 x 轴上且长轴长为 26.若曲线 C2 上的点到椭圆 C1 的两个焦点的距离的差的绝对值等 13 于 8,则曲线 C2 的标准方程为( x y A. 2- 2=1 4 3
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

).
2 2

x y x y x y B. 2- 2=1C. 2- 2=1 D. 2- 2=1 13 5 3 4 13 12 )

2.双曲线的焦点为(0,6),(0,-6),且经过点 A(-5,6),则其标准方程为( x y y x y x y x A. - =1 B. - =1 C. - =1 D. - =1 16 20 16 20 20 16 45 9
2 2 2 2 2 2 2 2

x y x y 3.已知椭圆 2+ =1(a>0)与双曲线 - =1 有相同的焦点,则 a 的值为( a 9 4 3 A. 2 B. 10
2

2

2

2

2

)

C.4
2

D.10 )

x y 4.已知双曲线 2- =1 的右焦点为(3,0),则该双曲线的离心率等于( a 5 3 14 A. 14 3 2 B. 4 3 C. 2 4 D. 3

5.求适合下列条件的双曲线的标准方程: (1)两个焦点的坐标分别是(-5,0),(5,0),双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于 8; (2)焦点在 x 轴上,经过点 P(4,-2)和点 Q(2 6,2 2).

6.已知⊙C1:(x+4) +y =1,⊙C2:(x-4) +y =25,动圆 M 与⊙C1 与⊙C2 均内切,求动圆的圆心 M 的轨迹方程.

2

2

2

2

1.解析 由题意知椭圆 C1 的焦点坐标为:F1(-5,0),F2(5,0).设曲线 C2 上的一点 P.则||PF1|-|PF2||=8.由双曲线的 x y 定义知:a=4,b=3.故曲线 C2 的标准方程为 2- 2=1. 4 3 2.[解析] 由条件知 c=6,焦点在 y 轴上,排除 A、D;又双曲线经过点 A(-5,6),排除 C. 2 2 3.[解析] 由条件知 a -9=4+3,∴a =16,∵a>0,∴a=4. c 3 2 2 2 2 4.双曲线的右焦点坐标为(3,0),所以 c=3,b =5,则 a =c -b =9-5=4,所以 a=2.所以 e= = . a 2 5.解 (1)由已知得,c=5,2a=8,即 a=4.∵c =a +b ,∴b =c -a =5 -4 =9.∵焦点在 x 轴上, ∴所求的双曲线标准方程是 x y - =1. 16 9 1 ? ?m=8 ,∴? 1 ? ?n=-4
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

? ?16m+4n=1 2 2 (2)设双曲线方程为 mx +ny =1(m>0,n<0),则? ?24m+8n=1 ?

x y ,∴双曲线方程为 - =1. 8 4

2

2

6.根据内切两圆的充要条件可得,|MC1|=|MA|-|AC1|=R-1,|MC2|=|MB|-|BC2|=R-5, ∴|MC1|-|MC2|=4<8=|C1C2|,∴点 M 的轨迹为以 C1、C2 为焦点的双曲线的右支, x y 2 2 2 c=4,a=2,∴b =c -a =12,∴双曲线方程为 - =1(x≥2). 4 12 1.判断椭圆焦点在哪个轴上,看 x 与 y 项分母的大小,判断双曲线焦点在哪个轴上,看 x 与 y 项的系数的正负. 2 2 2.求双曲线的标准方程一般用待定系数法,特别的过两定点的双曲线方程可设为 mx +ny =1(mn<0). x y x y 2 2 (2)与双曲线 2- 2=1 共焦点的双曲线方程可设为 2 - 2 =1(-b <k<a ). a b a -k b +k 3.用定义法求双曲线方程,应依据条件辨清是哪一支,还是全部曲线. 4.与双曲线两焦点有关的问题常利用定义求解. 5.如果题设条件涉及动点到两定点的距离,求轨迹方程时可考虑能否应用定义求解.
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

焦点三角形 x y 例 2.设双曲线 - =1,F1、F2 是其两个焦点,点 P 在双曲线右支上.(1)若∠F1PF2=90°,求△F1PF2 的面积; 4 9 (2)若∠F1PF2=60°时,△F1PF2 的面积是多少?若∠F1PF2=120°时,△F1PF2 的面积又是多少?
2 2

[解析] (1)由双曲线方程知 a=2,b=3,c= 13,设|PF1|=r1,|PF2|=r2(r1>r2), 由双曲线定义,有 r1-r2=2a=4,两边平方得 r1+r2-2r1r2=16. 1 2 2 2 2 ∵∠F1PF2=90°,∴r1+r2=4c =4?( 13) =52.∴2r1r2=52-16=36,∴S△F1PF2= r1r2=9. 2 (2)若∠F1PF2=60°,在△F1PF2 中,由余弦定理得|F1F2| =r1+r2-2r1r2cos60°=(r1-r2) +r1r2, 1 1 3 而 r1-r2=4,|F1F2|=2 13,∴r1r2=36.于是 S△F1PF2= r1r2sin60°= ?36? =9 3. 2 2 2 同理可求得若∠F1PF2=120°时,S△F1PF2=3 3. [方法规律总结] 双曲线的焦点三角形是常见的命题着眼点,在焦点三角形中,正弦定理、余弦定理、双曲线的定义 等是经常使用的知识点.另外,还经常结合|PF1|-|PF2|=2a,运用平方的方法,建立它与|PF1|?|PF2|的联系. 2 2 1.已知 F1,F2 为双曲线 C:x -y =2 的左,右焦点,点 P 在 C 上,|PF1|=2|PF2|,则 cos∠F1PF2=( ) 1 A. 4 3 3 B. C. 5 4 4 D. 5
2 2 2 2 2 2 2

??? ? ??? ? x 2 2.设 F1,F2 是双曲线 -y =1 的两个焦点,P 在双曲线上,当△F1PF2 的面积为 2 时, PF 1? PF 2 的值为( 3
A.2 B.3 C.4
2 2

)

D.6
2 2

x y x y 3.若双曲线 - =1(m>0,n>0)和椭圆 + =1(a>b>0)有相同的焦点 F1,F2,M 为两曲线的交点,则|MF1|?|MF2|等于_. m n a b

1.双曲线的定义有|PF1|-|PF2|=|PF2|=2a=2 2,∴|PF1|=2|PF2|=4 2, ?4 2? +?2 2? -4 3 cos∠F1PF2= = . 2??4 2???2 2? 4 1 2.解析:选 B 设点 P(x0,y0),依题意得,|F1F2|=2 3+1=4,S△PF1F2= |F1F2|?|y0|=2|y0|=2,∴|y0|=1. 2
2 2 2

??? ? ??? ? x0 2 2 2 2 2 又∵P 在曲线上,∴ -y0=1,即 x0=3(y0+1)=6.∴ PF 1? PF 2=(-2-x0,-y0)?(2-x0,-y0)=x0+y0-4=3. 3
2

3.[解析] 由双曲线及椭圆定义分别可得|MF1|-|MF2|=±2 m, |MF1|+|MF2|=2 a,② ② -① 得,4|MF1|?|MF2|=4a-4m,∴|MF1|?|MF2|=a-m.
2 2



双曲线的性质 1.过双曲线实轴的两个端点与虚轴的两个端点分别作对称轴的平行线,它们围成一个矩形,其两条对角线所在直线即 为双曲线的渐近线. “渐近”两字的含义:当双曲线的各支向外延伸时,与这两条直线逐渐接近,接近的程度是无限的. 对圆锥曲线来说, 渐近线是双曲线的特有性质, 渐近线是刻画双曲线的一个重要概念,画双曲线时应先画出它的渐近线. 2.双曲线上两个重要的三角形

(1)实轴端点、虚轴端点及中心原点构成一个直角三角形,边长满足 c =a +b ,称为双曲线的特征三角形. 2 (2)焦点 F、过 F 作渐近线的垂线,垂足为 D,则|OF|=c,|FD|=____,|OD|=a,△OFD 亦是直角三角形,满足|OF| 2 2 =|FD| +|OD| ,也称为双曲线的特征三角形. 3.等轴双曲线 实轴与虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线,其标准方程为 x -y =λ (λ ≠0),离心率 e= 2,渐近线方程为 y= ±x. 双曲线为等轴双曲线?双曲线的离心率 e= 2?双曲线的两条渐近线互相垂直. 4.双曲线的几何性质从以下三点关注: (1)“六点”:两焦点、两顶点、两虚轴端点; (2)“四线”:两对称轴(实、虚轴),两渐近线; (3)“两形”:中心、顶点、虚轴端点构成的三角形,双曲线上的一点(不包括顶点)与两焦点构成的三角形. 5.双曲线问题的三个易混点 (1)区分双曲线中的 a,b,c 大小关系与椭圆 a,b,c 关系,在椭圆中 a =b +c ,而在双曲线中 c =a +b . (2)双曲线的离心率大于 1,而椭圆的离心率 e∈(0,1). x y b y x a (3)双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的渐近线方程是 y=± x, 2- 2=1(a>0,b>0)的渐近线方程是 y=± x. a b a a b b 6.在双曲线的几何性质中,应充分利用双曲线的渐近线方程,简化解题过程.同时要熟练掌握以下三方面内容: (1)已知双曲线方程,求它的渐近线; (2)求已知渐近线的双曲线的方程; (3)渐近线的斜率与离心率的关系,如 k= = c -a = a
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

2

2

b a

c 2 e -1. 2-1= a

2

双曲线的渐近线与离心率 例 3.(2010?辽宁)设双曲线的一个焦点为 F,虚轴的一个端点为 B,如果直线 FB 与该双曲线的一条渐近线垂直,那么 此双曲线的离心率为( A. 2 B. 3 C. ).

3+1 5+1 D. 2 2
2 2

x y b b 解析 设双曲线方程为 2- 2=1(a>0,b>0),F(c,0),B(0,b),则 kBF=- ,双曲线的渐近线方程为 y=± x,∴ a b c a b b 1± 5 5+1 2 2 2 2 - ? =-1,即 b =ac,c -a =ac,∴e -e-1=0,解得 e= .又 e>1,∴e= . c a 2 2 x y 1.若双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的离心率为 2,则一条渐近线的方程为( a b A.y= 3x+1
2 2 2 2

)

B.y=3x C.y=-3x+1

D.y= 3x )

x y 2.设双曲线 2- =1(a>0)的渐近线方程为 3x±2y=0,则 a 的值为( a 9 A.4 B.3 C.2
2

D.1
2

x y 5 3.已知双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的离心率为 ,则 C 的渐近线方程为( a b 2 1 A.y=± x 4 1 B.y=± x 3
2 2

)

1 C.y=± x 2

D.y=±x

x y 4.设 P 是双曲线 2- =1 上一点,双曲线的一条渐近线方程为 3x-2y=0,F1,F2 分别是双曲线的左,右焦点, a 9

若|PF1|=3,则|PF2|=( A.1 或 5 B.6
2

) D.9 )

C.7
2

x y 5 5.已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的离心率为 ,则该双曲线的渐近线斜率为( a b 2 A.±2 4 1 B.± C.± 3 2
2 2

3 D.± 4 )

x y 6.已知双曲线 C: 2- 2=1 的焦距为 10,点 P(2,1)在 C 的渐近线上,则 C 的方程为( a b x y x y x y A. - =1 B. - =1 C. - =1 20 5 5 20 80 20
2 2 2 2 2 2

x y D. - =1 20 80

2

2

b 1.解析:选 D 由题意知双曲线的渐近线方程为 y=± x=± a

c -a 2 x=± e -1x,故渐近线方程为 y=± 3x. 2 a

2

2

3 2.[解析] ∵双曲线的焦点在 x 轴上,∴渐近线方程为 y=± x,又已知渐近线方程为 3x±2y=0, a 3 即 y=± x,∴a=2. 2 c 5 c 5 5 2 a b 1 1 2 2 2 2 3.[解析] e= = ,∴ 2= ,∴b =c -a = a -a = ,∴ = ,即渐近线方程为 y=± x. a 2 a 4 4 4 a 2 2 b 3 2 4.解析:选 C 由渐近线方程 3x-2y=0,知 = . 又 b =9,所以 a=2,从而|PF2|=7. a 2 b c -a 1 b 1 2 5.解析:选 C 2= 2 =e -1= ,由此可得双曲线的渐近线的斜率为 k=± =± . a a 4 a 2 b 1 1 b 2 2 2 6.[解析] 由已知可得双曲线的焦距 2c=10,a +b =5 =25,排除 C,D,又由渐近线方程为 y= x= x,得 = ,解 a 2 2 a 得 a =20,b =5. 1.双曲线 2x -y =8 的虚轴长是( A.2 B.2 2 C.4
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

)

D.4 2
2

2.双曲线方程: A.k>5

x y + =1,那么 k 的范围是( |k|-2 5-k D.-2<k<2 或 k>5

)

B.2<k<5 C.-2<k<2

3.已知双曲线的离心率为 2,焦点是(-4,0),(4,0),则双曲线方程为________. 4.已知双曲线 8kx -ky =8 的一个焦点为(0,3),则 k 的值
2 2 2 2



x y 3 5.设双曲线 2- 2=1(0<a<b)的半焦距为 c,直线 l 过(a,0)、(0,b)两点,且原点到直线 l 的距离为 c,则双曲线的 a b 4 离心率为________. x y 6.若 k∈R 则“k>5”是“方程 - =1 表示双曲线”的( k-5 k+2 A.充分不必要条件
2 2 2

)

B.必要不充分条件 C.充要条件

D.既不充分也不必要条件 )

x 2 7.与椭圆 +y =1 共焦点且过点 P(2,1)的双曲线方程是( 4 x 2 A. -y =1 4
2

x x y 2 B. -y =1C. - =1 2 3 3

2

2

2

y 2 D.x - =1 2

2

x y 8.已知点(2,3)在双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)上,C 的焦距为 4,则它的离心率为________. a b x y 9.双曲线 C 与椭圆 + =1 有相同焦点,且经过点( 15,4). 27 36 (1)求双曲线 C 的方程;(2)若 F1,F2 是双曲线 C 的两个焦点,点 P 在双曲线 C 上,且∠F1PF2=120°,求△F1PF2 的面积.
2 2

2

2

x y 10.设 A,B 分别为双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左,右顶点,双曲线的实轴长为 4 3,焦点到渐近线的距离为 3. a b (1)求双曲线的方程;(2)已知直线 y=

2

2

???? ? 3 x-2 与双曲线的右支交于 M,N 两点,且在双曲线的右支上存在点 D,使 OM 3

+ ON =t OD ,求 t 的值及点 D 的坐标.

????

????

1.解选 C 由题意知,b=2 2,故虚轴长为 2a=4.2.解:选 D 由题意知,(|k|-2)(5-k)<0,解得-2<k<2 或 k>5. x y 3.解析:由已知可得 c=4,a=2,所以 b =12,故双曲线的方程为 - =1. 4 12
2 2 2

k 2 x y 8 2 2 2 4.将双曲线方程化为 kx - y =1,即 - =1.因为一个焦点是(0,3),所以焦点在 y 轴上,所以 c=3,a =- ,b 8 1 8 k k k 1 8 1 9 2 2 2 =- ,所以 a +b =- - =- =c =9.所以 k=-1. k k k k 5.[解析] 由 l 过两点(a,0),(0,b),得 l 的方程为 bx+ay-ab=0.由原点到 l 的距离为
2 2 2 2

2

2

3 ab 3 c 得, 2 2= c. 4 4 a +b

a 2 a a a 3 1 2 2 将 b= c -a 代入平方后整理得,16( 2) -16? 2+3=0.解关于 2的一元二次方程得 2= 或 . c c c c 4 4 c 2 3 c a +b ∵e= ,∴e= 或 e=2.因 0<a<b,故 e= = = a 3 a a
2 2

b 2 3 1+ 2> 2,所以应舍去 e= ,故所求离心率 e=2. a 3

2

6.解析:选 A 当 k>5 时,方程表示双曲线;反之,方程表示双曲线时,有 k>5 或 k<-2.故选 A. x 2 7.解析:选 B 椭圆的焦点坐标为(± 3,0),四个选项中,只有 -y =1 的焦点为(± 3,0),且经过点 P(2,1). 2 4 9 ? 2 2 ? 2- 2=1, x y 4 9 2 2 a b 8.解析: 法一: 点(2,3)在双曲线 C: 2- 2=1 上, 则 2- 2=1, 又由于 2c=4, 所以 a +b =4.解方程组? a b a b ? ?a2+b2=4,
2

c 得 a=1 或 a=4.由于 a<c,故 a=1.所以离心率为 e= =2. a 法二: ∵双曲线的焦距为 4, ∴双曲线的两焦点分别为 F1(-2,0), F2(2,0), 点(2,3)到两焦点的距离之差的绝对值为 2, c 即 2a=2,∴a=1,离心率 e= =2. a y x 2 2 2 9.解:(1)椭圆的焦点为 F1(0,-3),F2(0,3).设双曲线的方程为 2- 2=1(a>0,b>0),则 a +b =3 =9.① a b 16 15 y x 2 2 2 2 又双曲线经过点( 15,4),所以 2 - 2 =1,②解①②得 a =4,b =5 或 a =36,b =-27(舍去),所求方程为 - =1. a b 4 5 (2)由双曲线 C 的方程,知 a=2,b= 5,c=3.设|PF1|=m,|PF2|=n,则|m-n|=2a=4, 平方得 m -2mn+n =16.①在△F1PF2 中,由余弦定理得(2c) =m +n -2mncos 120°=m +n +mn=36.② 20 1 5 3 由①②得 mn= .所以△F1PF2 的面积为 S= mnsin 120°= . 3 2 3 b |bc| 2 10.解:(1)∵由题意知 a=2 3,∴一条渐近线为 y= x,即 bx-2 3y=0.∴ 2 = 3,解得 b =3, 2 3 b +12 x y ∴双曲线的方程为 - =1. 12 3 (2)设 M(x1,y1),N(x2,y2),D(x0,y0),则 x1+x2=tx0,y1+y2=ty0. 将直线方程代入双曲线方程得 x -16 3x+84=0,则 x1+x2=16 3,y1+y2=12. x 4 3 ? ?y = 3 , ∴? x y ? ?12- 3 =1.
0 0 2 0 2 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

?x0=4 3, ∴? ?y0=3.

∴t=4,点 D 的坐标为(4 3,3).

直线与双曲线的综合问题------抛物线 一.等轴双曲线 1.实轴与虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线,其标准方程为 x2-y2=λ(λ≠0),离心率 e= 2,渐近线方程为 y=± x. 2.等轴双曲线的离心率及渐近线的关系 双曲线为等轴双曲线?双曲线的离心率 e= 2?双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系). 二.求双曲线标准方程的两种方法 (1)定义法,根据题目的条件,若满足定义,求出相应 a,b,c 即可求得方程. (2)待定系数法 待定系数法求双曲线方程的常用方法

? ? b x y ?若渐近线方程为y=±ax,则可设为a -b =λ?λ≠0?; ? ?若过两个已知点则设为xm+yn =1?mn<0?.
2 2 2 2 2 2

x2 y2 x2 y2 与双曲线 2- 2=1共渐近线的可设为 2- 2=λ?λ≠0?; a b a b

x2 y2 x2 y2 1.与双曲线 2- 2=1 (a>0,b>0)有公共渐近线的双曲线的方程可设为 2- 2=t (t≠0). a b a b 2.已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时,只要令双曲线的标准方程中“1”为“0”就得到两渐近线

x2 y2 x2 y2 方程,即方程 2- 2=0 就是双曲线 2- 2=1 (a>0,b>0)的两条渐近线方程. a b a b 三.双曲线问题的五个易混点 (1)区分双曲线中的 a,b,c 大小关系与椭圆 a,b,c 关系,在椭圆中 a2=b2+c2,而在双曲线中 c2=a2+b2. c (2)双曲线的离心率大于 1,而椭圆的离心率 e∈(0,1).由于 e= 是一个比值,故只需根据条件得到关于 a,b,c a 的一个关系式,利用 b2=c2-a2 消去 b,然后变形即可求 e,并注意 e>1. x2 y2 b y2 x2 a (3)双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的渐近线方程是 y=± x, 2- 2=1(a>0,b>0)的渐近线方程是 y=± x. a b a a b b (4)若利用弦长公式计算,在设直线斜率时要注意说明斜率不存在的情况. (5)直线与双曲线交于一点时,不一定相切,例如:当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交于一点, 但不是相切;反之,当直线与双曲线相切时,直线与双曲线仅有一个交点. 四.直线与双曲线的位置关系 研究直线与双曲线位置关系问题的通法:将直线方程代入双曲线方程,消元,得关于 x 或 y 的一元二次方程.当二次 项系数等于 0 时,直线与双曲线相交于某支上一点,这时直线平行于一条渐近线;当二次项系数不等于 0 时,用判 别式 Δ 来判定.(1)用“点差法”可以解决弦中点和弦斜率的关系问题,但需要检验. (2) 设直线与双曲线交于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点,直线的斜率为 k, 则|AB|= ?1+k2?[?x1+x2?2-4x1x2]= 1 ?1+ 2?[?y1+y2?2-4y1y2] k

题型一 直线与双曲线的位置关系 例 1.已知双曲线 C:x2-y2=1 及直线 l:y=kx-1. (1)若 l 与 C 有两个不同的交点,求实数 k 的取值范围; (2)若 l 与 C 交于 A,B 两点,O 是坐标原点,且△AOB 的面积为 2,求实数 k 的值.
2 2 ? ?x -y =1, ? 解 (1)双曲线 C 与直线 l 有两个不同的交点,则方程组 有两个不同的实数根, ?y=kx-1 ?

?1-k2≠0, ? 整理得(1-k )x +2kx-2=0.∴? 解得- 2<k< 2且 k≠± 1. 2 2 ?Δ=4k +8?1-k ?>0, ?
2 2

双曲线 C 与直线 l 有两个不同的交点时,k 的取值范围是(- 2,-1)∪(-1,1)∪(1, 2). (2)设交点 A(x1,y1),B(x2,y2),直线 l 与 y 轴交于点 D(0,-1), -2k ? ?x +x =1-k , ∴? -2 ?x x =1-k . ?
1 2 2 1 2 2

由(1)知,C 与 l 联立的方程为(1-k )x +2kx-2=0.

2

2

1 1 当 A,B 在双曲线的一支上且|x1|>|x2|时,S△OAB=S△OAD-S△OBD= (|x1|-|x2|)= |x1-x2|; 2 2 1 1 当 A,B 在双曲线的两支上且 x1>x2 时,S△OAB=S△ODA+S△OBD= (|x1|+|x2|)= |x1-x2|. 2 2 -2k 2 1 8 6 ∴S△OAB= |x1-x2|= 2,∴(x1-x2)2=(2 2)2,即( 2) + 2=8,解得 k=0 或 k=± . 2 2 1-k 1-k 6 又∵- 2<k< 2,且 k≠± 1,∴当 k=0 或 k=± 时,△AOB 的面积为 2. 2 y2 1.已知双曲线 x2- =1,过点 P(1,1)能否作一条直线 l,与双曲线交于 A、B 两点,且点 P 是线段 AB 的中点? 2 1.解 设点 A(x1,y1),B(x2,y2)在双曲线上,且线段 AB 的中点为(x0,y0), 若直线 l 的斜率不存在,显然不符合题意.设经过点 P 的直线 l 的方程为 y-1=k(x-1),即 y=kx+1-k. y=kx+1-k, ? ? 由? 2 y2 得(2-k2)x2-2k(1-k)x-(1-k)2-2=0 (2-k2≠0).① [6 分] x - = 1 , ? 2 ? x1+x2 k?1-k? k?1-k? ∴x0= = =1,解得 k=2.当 k=2 时,方程①成为 2x2-4x+3=0. 2 .由题意,得 2 2-k 2-k2 Δ=16-24=-8<0,方程①没有实数解. ∴不能作一条直线 l 与双曲线交于 A,B 两点,且点 P(1,1)是线段 AB 的中点

2.已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为(2,0),实轴长为 2 3. (1)求双曲线 C 的方程;(2)若直线 l:y=kx+ 2与双曲线 C 左支交于 A、B 两点,求 k 的取值范围 2.解 x2 y2 (1)设双曲线 C 的方程为 2- 2=1(a>0,b>0).由已知得:a= 3,c=2,再由 a2+b2=c2,得 b2=1, a b

x2 ∴双曲线 C 的方程为 -y2=1. 3 x2 (2)设 A(xA,yA)、B(xB,yB),将 y=kx+ 2代入 -y2=1,得,(1-3k2)x2-6 2kx-9=0. 3

?Δ=36?1-k ?>0, ? 6 2k 由题意知?x +x = <0, 1-3k -9 ? ?x x =1-3k >0,
2 A B 2 A B 2

1-3k2≠0,

解得

3 3 <k<1.∴当 <k<1 时,l 与双曲线左支有两个交点. 3 3

3.等轴双曲线 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,C 与抛物线 y2=16x 的准线交于 A,B 两点|AB|=4 3,则 C 的实轴 长为( 3.解 )A. 2 B.2 2C.4 D.8

c 3 (1)因为双曲线的右焦点坐标为(3,0),所以 c=3,b2=5,则 a2=c2-b2=9-5=4,所以 a=2.所以 e= = . a 2
2 2 2 2

x y ? ?a2-a2=1, x y 2 (2)由题意可设双曲线的方程为 2- 2=1(a>0).易知抛物线 y =16x 的准线方程为 x=-4,联立? 得 a a ?x=-4, ? 16-y2=a2.(*)因为|AB|=4 3,所以 y=± 2 3.代入(*)式,得 16-(± 2 3)2=a2,解得 a=2(a>0).

所以双曲线 C 的实轴长为 2a=4. x2 y2 4.设 A,B 分别为双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左,右顶点,双曲线的实轴长为 4 3,焦点到渐近线的距离为 3. a b (1)求双曲线的方程; (2)已知直线 y=

???? ? ???? ???? 3 x-2 与双曲线的右支交于 M,N 两点,且在双曲线的右支上存在点 D,使 OM + ON =t OD , 3

求 t 的值及点 D 的坐标. b |bc| 4.解:(1)∵由题意知 a=2 3,∴一条渐近线为 y= x,即 bx-2 3y=0.∴ 2 = 3,解得 b2=3, 2 3 b +12 x2 y2 ∴双曲线的方程为 - =1. 12 3 (2)设 M(x1,y1),N(x2,y2),D(x0,y0),则 x1+x2=tx0,y1+y2=ty0. 将直线方程代入双曲线方程得 x2-16 3x+84=0,则 x1+x2=16 3,y1+y2=12. 4 3 = , ?x y 3 ∴? x y ?12- 3 =1.
0 0 2 0 2 0

?x0=4 3, ∴? ∴t=4,点 D 的坐标为(4 3,3). ?y0=3.

y2 x2 5.设双曲线 2- =1 的两个焦点分别为 F1,F2,离心率为 2. a 3 (1)求此双曲线的渐近线 l1,l2 的方程; (2)若 A,B 分别为 l1,l2 上的点,且 2|AB|=5|F1F2|,求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线. x2 3 5.解:(1)∵e=2,∴c2=4a2.∵c2=a2+3,∴a=1,c=2.∴双曲线方程为 y2- =1,渐近线方程为 y=± x. 3 3 5 5 (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),AB 的中点 M(x,y).∵2|AB|=5|F1F2|,∴|AB|= |F1F2|= ?2c=10. 2 2 ∴ ?x1-x2?2+?y1-y2?2=10.又 y1= 3 (x +x ),∴ 3 1 2 3 3 3 x1,y2=- x2,2x=x1+x2,2y=y1+y2,∴y1+y2= (x1-x2), 3 3 3 x2 3y2 3 ?2 2 1 2 ?x1+x2? =10,∴3(2y) +3(2x) =100,即75+ 25 =1.则 M 的轨迹 ?3 ?

y1-y2=

[ 3?y1+y2?]2+?

10 3 是中心在原点,焦点在 x 轴上,长轴长为 10 3,短轴长为 的椭圆. 3 1.抛物线的定义 满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线: (1)在平面内;(2)动点到定点 F 距离与到定直线 l 的距离相等; (3)定点不在定直线上.当定点 F 在定直线 l 上时,动点的轨迹是过定点 F 且与直线 l 垂直的直线. 2.抛物线的标准方程和几何性质 标准方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0)

p 的几何意义:焦点 F 到准线 l 的距离

图形

顶点 对称轴 y=0

O(0,0) x=0

焦点 离心率 准线方程 范围 开口方向 焦半径(其中 P(x0,y0)

p ? F? ?2,0?

p ? F? ?-2,0? e=1

p? F? ?0,2?

p? F? ?0,-2?

p x=- 2 x≥0,y∈R 向右 |PF|=x0+ p 2

p x= 2 x≤0,y∈R 向左 p |PF|=-x0+ 2

p y=- 2 y≥0,x∈R 向上 p |PF|=y0+ 2

p y= 2 y≤0,x∈R 向下 p |PF|=-y0+ 2

抛物线的标准方程与性质 [例 1] (1)抛物线 y2=24ax(a>0)上有一点 M,它的横坐标是 3,它到焦点的距离是 5,则抛物线的方程为( A.y2=8x B.y2=12x C.y2=16x D.y2=20x (2)设抛物线 y2=2px(p>0)的焦点为 F,点 A(0,2).若线段 FA 的中点 B 在抛物线上,则 B 到该抛物线准线的距离为 ________. 1 解 (1)由题意知,3+6a=5,a= ,则抛物线方程为 y2=8x. 3 p ? p ?p ? (2)抛物线的焦点 F 的坐标为? ?2,0?,线段 FA 的中点 B 的坐标为?4,1?,代入抛物线方程得 1=2p?4, 解得 p= 2,故点 B 的坐标为? 2 2 3 2 2 ? ,故点 B 到该抛物线准线的距离为 + = . 4 2 4 ? 4 ,1? ) )

1.设抛物线的顶点在原点,准线方程为 x=-2,则抛物线的方程是( A.y2=-8x B.y2=-4x C.y2=8x D.y2=4x

1.解析:选 C 由抛物线准线方程为 x=-2 知 p=4,且开口向右,故抛物线方程为 y2=8x. 2.(1)若点 P 到直线 y=-1 的距离比它到点(0,3)的距离小 2,则点 P 的轨迹方程是________. (2)过抛物线 y2=4x 的焦点作直线 l 交抛物线于 A,B 两点,若线段 AB 中点的横坐标为 3,则|AB|等于________. 2.解析:(1)由题意可知点 P 到直线 y=-3 的距离等于它到点(0,3)的距离,故点 P 的轨迹是以点(0,3)为焦点,以 y =-3 为准线的抛物线,且 p=6,所以其标准方程为 x2=12y. (2)抛物线的准线方程为 x=-1,则 AB 中点到准线的距离为 3-(-1)=4.由抛物线的定义得|AB|=8. 3.已知直线 l 过抛物线 C 的焦点,且与 C 的对称轴垂直,l 与 C 交于 A,B 两点,|AB|=12,P 为 C 的准线上一点, 则△ABP 的面积为( A.18 ) D.48

B.24 C.36

p ? p 2 2 2 3.解析:选 C 设抛物线方程为 y2=2px,则焦点坐标为? ?2,0?,将 x=2代入 y =2px 可得 y =p ,|AB|=12,即 2p 1 =12,得 p=6.点 P 在准线上,到 AB 的距离为 p=6,所以△PAB 的面积为 ?6?12=36. 2 直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似,一般要用到根与系数的关系; (2)有关直线与抛物线的弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦点,若过抛物线的焦点,可直接使用公式|AB|=x1

+x2+p,若不过焦点,则必须用一般弦长公式. (3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时,一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法. 提醒:涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解. 1 1.抛物线 y=- x2 的焦点坐标是 ( 2 1 A.(0, ) 8 ) 1 D.(- ,0) 2

1 1 B.(- ,0) C.(0,- ) 8 2

p 1 1 1.解析 把原方程先化为标准方程 x2=-2y,则 2p=2,∴ = ,即焦点坐标为(0,- ),故选 C. 2 2 2 y2 2.(2013· 四川)抛物线 y2=4x 的焦点到双曲线 x2- =1 的渐近线的距离是 ( 3 1 A. 2 B. 3 2 C.1 D. 3 )

y2 2.解析 抛物线 y2=4x 的焦点 F(1,0),双曲线 x2- =1 的渐近线是 y=± 3x,即 3x± y=0, 3 ∴所求距离为 | 3± 0| ? 3? +?± 1?
2 2



3 .选 B. 2

3.已知抛物线 y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于 A、B 两点,若线段 AB 的中点的纵坐标为 2,则该 抛物线的准线方程为 ( A.x=1 B.x=-1 ) C.x=2 D.x=-2

p p 3.解析 ∵y2=2px 的焦点坐标为( ,0),∴过焦点且斜率为 1 的直线方程为 y=x- , 2 2 p 即 x=y+ ,将其代入 y2=2px,得 y2=2py+p2,即 y2-2py-p2=0.设 A(x1,y1),B(x2,y2), 2 y1+y2 则 y1+y2=2p,∴ =p=2,∴抛物线的方程为 y2=4x,其准线方程为 x=-1. 2 y1y2 4.已知抛物线 y2=2px(p>0)的焦点弦 AB 的两端点坐标分别为 A(x1,y1),B(x2,y2),则 的值一定等于 ( x1x2 A.-4 B.4 C.p2 D.-p2 )

p p2 p 4.解析 ①若焦点弦 AB⊥x 轴,则 x1=x2= ,则 x1x2= ;②若焦点弦 AB 不垂直于 x 轴,可设 AB:y=k(x- ), 2 4 2 p2k2 p2 y1y2 联立 y2=2px 得 k2x2-(k2p+2p)x+ =0,则 x1x2= .则 y1y2=-p2.故 =-4. 4 4 x1x2 5.若点 P 到直线 y=-1 的距离比它到点(0,3)的距离小 2,则点 P 的轨迹方程是__________. 5.解析 由题意可知点 P 到直线 y=-3 的距离等于它到点(0,3)的距离,故点 P 的轨迹是以点(0,3)为焦点,以 y=-3 为准线的抛物线,且 p=6,所以其标准方程为 x2=12y. 抛物线问题的三个注意点 (1)求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求 p 的值,但首先要判断抛物线是否为标准方程,若是标准方程, 则要由焦点位置(或开口方向)判断是哪一种标准方程. (2)注意应用抛物线定义中的距离相等的转化来解决问题. (3)直线与抛物线有一个交点,并不表明直线与抛物线相切,因为当直线与对称轴平行 (或重合)时,直线与抛物线 也只有一个交点. 1.动圆过点(1,0),且与直线 x=-1 相切,则动圆的圆心的轨迹方程为__________.

1.解析 设动圆的圆心坐标为(x,y),则圆心到点(1,0)的距离与到直线 x=-1 的距离相等,根据抛物线的定义易知动圆 的圆心的轨迹方程为 y2=4x. x2 y2 2.若抛物线 y2=2px 的焦点与椭圆 + =1 的右焦点重合,则 p 的值为______ 6 2 x2 y2 2.解析 因为椭圆 + =1 的右焦点为(2,0),所以抛物线 y2=2px 的焦点为(2,0),则 p=4. 6 2

3.抛物线 y=x2 上一点到直线 2x-y-4=0 的距离最短的点的坐标是( 1 1? 3 9 , B.(1,1) C.? , ? A.? ?2 4? ?2 4? D.(2,4)

)

3.解析:选 B 法一:设抛物线上任一点为(x,y),则由点到直线的距离得 |2x-y-4| |2x-x2-4| |?x-1?2+3| ?x-1?2+3 3 d= = = = ≥ .当 x=1 时,取得最小值,此时点的坐标为(1,1). 5 5 5 5 5 法二:设 2x-y+m=0 与 y=x2 相切,则 x2-2x-m=0.Δ=4+4m=0,得 m=-1,此时 x=1,故点的坐标为(1,1). 4.已知过抛物线 y2=4x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A,B 两点,|AF|=2,则|BF|=________. 4.解析:设点 A,B 的横坐标分别是 x1,x2,则依题意有焦点 F(1,0),|AF|=x1+1=2,x1=1,直线 AF 的方程是 x=1, 此时弦 AB 为抛物线的通径,故|BF|=|AF|=2. 5.已知抛物线 y2=2x 的焦点是 F,点 P 是抛物线上的动点,又有点 A(3,2),求|PA|+|PF|的最小值,并求出取最小值时 点 P 的坐标. 5.思维启迪 由定义知,抛物线上点 P 到焦点 F 的距离等于点 P 到准线 l 的距离 d,求|PA|+|PF|的问题可转化为求|PA| +d 的问题.解 将 x=3 代入抛物线方程 y2=2x,得 y=± 6.∵ 6>2, 1 ∴A 在抛物线内部,如图.设抛物线上点 P 到准线 l:x=- 的距离为 d, 2 由定义知|PA|+|PF|=|PA| 7 +d,当 PA⊥l 时,|PA|+d 最小,最小值为 , 2 标为 2,代入 y2=2x,得 x=2,∴点 P 的坐标为(2,2). )

7 即|PA|+|PF|的最小值为 ,此时 P 点纵坐 2

6.已知点 P 是抛物线 y2=2x 上的一个动点, 则点 P 到点(0,2)的距离与点 P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为 ( A. 17 9 B.3 C. 5 D. 2 2

1 6.解析 抛物线 y2=2x 的焦点为 F( ,0),准线是 l,由抛物线的定义知点 P 到焦点 F 的距离等于它到准线 l 的距离, 2 因此要求点 P 到点(0,2)的距离与点 P 到抛物线的准线的距离之和的最小值,可以转化为求点 P 到点(0,2)的距离与点 P 到焦点 F 的距离之和的最小值,结合图形不难得出相应的最小值就等于焦点 F 到点(0,2)的距离.因此所求的最小值等于 1 17 ? ?2+?-2?2= ,选 A. 2 2 已知抛物线 y2=2px(p>0),过其焦点的直线交抛物线于 A,B 两点,设 A(x1,y1),B(x2,y2),则有以下结论: 2p (1)|AB|=x1+x2+p 或|AB|= 2 (α 为 AB 所在直线的倾斜角); sin α p2 (2)x1x2= ; y1y2=-p2; 4 (3)过抛物线焦点且与对称轴垂直的弦称为抛物线的通径,抛物线的通径长为 2p. 1 1 (4) + 为定值; |AF| |BF| (5)以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切. 证明 p p (2)由已知得抛物线焦点坐标为( ,0).由题意可设直线方程为 x=my+ ,代入 y2=2px, 2 2

p 得 y2=2p(my+ ),即 y2-2pmy-p2=0.(*)则 y1、y2 是方程(*)的两个实数根,所以 y1y2=-p2. 2

2 y2 p4 p2 1y2 2 2 2 2 因为 y2 2 = 2= . 1=2px1,y2=2px2,所以 y1y2=4p x1x2,所以 x1x2= 4p 4p 4

(4)

x1+x2+p 1 1 1 1 p2 + = + = 2.因为 x1x2= ,x1+x2=|AB|-p,代入上式, |AF| |BF| p p p p 4 x1+ x2+ x1x2+ ?x1+x2?+ 2 2 2 4



1 1 |AB| 2 + = 2 2= (定值). |AF| |BF| p p p p + ?|AB|-p?+ 4 2 4

(5)设 AB 的中点为 M(x0,y0),分别过 A、B 作准线的垂线,垂足为 C、 1 1 1 D,过 M 作准线的垂线,垂足为 N,则|MN|= (|AC|+|BD|)= (|AF|+|BF|)= |AB|. 2 2 2 所以以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切. 1.抛物线 x2=(2a-1)y 的准线方程是 y=1,则实数 a=( 5 A. 2 3 B. 2 1 3 C.- D.- 2 2 )

1 1 -a -a 2 2 1 1 p -a?y,则 p= -a,故抛物线的准线方程是 y= = 1.解析:选 D 把抛物线方程化为 x2=-2? ,则 =1,解 ?2 ? 2 2 2 2 3 得 a=- . 2 2.已知抛物线 y2=4x,若过焦点 F 且垂直于对称轴的直线与抛物线交于 A,B 两点,O 是坐标原点,则△OAB 的面积 是( )

A.1 B.2 C.4 D.6 1 1 2.解析:选 B 焦点坐标是(1,0),A(1,2),B(1,-2),|AB|=4,故△OAB 的面积 S= |AB||OF|= ?4?1=2. 2 2 3.直线 y=x+1 截抛物线 y2=2px 所得弦长为 2 6,此抛物线方程为( A.y2=2x B.y2=6x D.以上都不对 )

C.y2=-2x 或 y2=6x

?y=x+1, ? 3.解析:选 C 由? 2 得 x2+(2-2p)x+1=0.x1+x2=2p-2,x1x2=1. ? y = 2 px , ?

则 2 6= 1+12· ?x1+x2?2-4x1x2=

2· ?2p-2?2-4.解得 p=-1 或 p=3,故抛物线方程为 y2=-2x 或 y2=6x.

4.设斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y2=ax(a≠0)的焦点 F,且和 y 轴交于点 A,若△OAF(O 为坐标原点)的面积为 4,则抛 物线的方程为( A.y =± 4x
2

) B.y2=± 8x C.y2=4x D.y2=8x

a ? ? a? 4.解析:选 B 由题可知抛物线焦点坐标为? ?4,0?,于是过焦点且斜率为 2 的直线的方程为 y=2?x-4?,令 x=0,可得 a? 1 |a| |a| A 点坐标为? · =4.得 a=± 8 故抛物线方程为 y=± 8x. ?0,-2?,所以 S△OAF=2· 4 2 5.下图是抛物线形拱桥,当水面在 l 时,拱顶离水面 2 米,水面宽 4 米,水位下降 1 米后,水面宽____________米.

5.[解析] 以拱顶为坐标原点建立平面直角坐标系,设抛物线的方程为 x2=-2py(p>0),由题意知抛物线过点(2,-2), 代入方程得 p=1,则抛物线的方程为 x2=-2y,当水面下降 1 米时,为 y=-3,代入抛物线方程得 x=± 6,所以此 时水面宽为 2 6米. 6.过抛物线 y2=4x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A,B 两点.若|AF|=3,则|BF|=________. 6.解析:如图,设 A(x0,y0)(y0<0),易知抛物线 y2=4x 的焦点为 F(1,0), 抛物线的准线方程为 x=-1,故由抛物线的定义得|AF|=x0-(-1)=3, 解得 x0=2,所以 y0=-2 -2 2-0 k= =-2 2-1 2.故点 A(2,-2 2).则直线 AB 的斜率为

2,直线 AB 的方程为 y=-2 2x+2 2,

?y=-2 2x+2 2, 联立? 2 消去 y 得 2x2-5x+2=0,由 x1x2=1,得 A,B 两点横坐标之积为 1, ?y =4x,
1 1 3 所以点 B 的横坐标为 .再由抛物线的定义得|BF|= -(-1)= . 2 2 2 1 ? 1 7.已知圆 C 过定点 F? ?-4,0?,且与直线 x=4相切,圆心 C 的轨迹为 E,曲线 E 与直线 l:y=k(x+1)(k∈R)相交于 A, B 两点.(1)求曲线 E 的方程;(2)当△OAB 的面积等于 10时,求 k 的值. 1 ? 1 2 7.解:(1)由题意,点 C 到定点 F? ?-4,0?和直线 x=4的距离相等,故点 C 的轨迹 E 的方程为 y =-x.
?y2=-x, ? (2)由方程组? 消去 x 后,整理得 ky2+y-k=0.设 A(x1,y1),B(x2,y2), ? ?y=k?x+1?

1 由韦达定理有 y1+y2=- ,y1y2=-1.设直线 l 与 x 轴交于点 N,则 N(-1,0). k 1 1 1 1 ∵S△OAB=S△OAN+S△OBN= |ON||y1|+ |ON||y2|= |ON||y1-y2|= · 1· ?y1+y2?2-4y1y2 2 2 2 2 1 = 2

?1?2+4.∵S△OAB= 10,所以1 ?k? 2

1 ?1?2+4= 10,解得 k=± . ?k? 6

8.如图,直线 l:y=x+b 与抛物线 C:x2=4y 相切于点为 A. (1)求实数 b 的值; (2)求以点 A 为圆心,且与抛物线 C 的准线相切的圆的方程.
? ?y=x+b, 解:(1)由? 2 得 x2-4x-4b=0.(*)∵直线 l 与抛物线相切, ?x =4y, ?

∴Δ=(-4)2-4?(-4b)=0.∴b=-1. (2)由(1)知 b=-1,方程(*)为 x2-4x+4=0.解得 x=2,代入 x2=4y 中得,y=1,∴A(2,1). ∵圆 A 与抛物线准线 y=-1 相切,∴r=|1-(-1)|=2.∴圆 A 的方程为(x-2)2+(y-1)2=4.

1.直线与圆锥曲线的位置关系 判断直线 l 与圆锥曲线 C 的位置关系时,通常将直线 l 的方程 Ax+By+C=0(A,B 不同时为 0)代入圆锥曲线 C 的方程 F(x,y)=0,消 去 y(也可以消去 x)得到一个关于变量 x(或变量 y)的一元方程. ?Ax+By+C=0, 即? 消去 y,得 ax2+bx+c=0. ?F?x,y?=0, (1) 当 a≠0 时,设一元二次方程 ax2+bx+c=0 的判别式为 Δ, 则 Δ>0?直线与圆锥曲线 C 相交; Δ=0?直线与圆锥曲线 C 相切; Δ<0?直线与圆锥曲线 C 相离. (2)当 a=0,b≠0 时,即得到一个一次方程,则直线 l 与圆锥曲线 C 相交,且只有一个交点,此时, 若 C 为双曲线,则直线 l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行; 若 C 为抛物线,则直线 l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合. (3)直线与圆锥曲线只有一个公共点时,是否是直线与圆锥曲线相切? 提示:直线与圆锥曲线只有一个公共点时,未必一定相切,还有其他情况,如抛物线与平行或重合于其对称轴的直线,双曲线与平行 于其渐近线的直线,它们都只有一个公共点,但不是相切,而是相交. 2.圆锥曲线的弦长 与弦长有关问题的解法 (1)求圆锥曲线的弦长问题的一般思路是:将直线方程代入圆锥曲线方程,消去 y(或 x)后,得到关于 x(或 y)的一元二次方程 ax2+bx+c =0(或 ay2+by+c=0),设斜率为 k(k≠0)的直线 l 与圆锥曲线 C 相交于 A,B 两点,A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|= 1+k2|x1-x2|= 1+k2· ?x1+x2?2-4x1x2 = 1 1+ 2· |y -y |= k 1 2 2p sin2θ 1 1+ 2· ?y1+y2?2-4y1y2. k

抛物线的焦点弦长|AB|=x1+x2+p=

y1-y2 (2)涉及弦的中点及直线的斜率问题,可考虑用“点差法”,构造出 kAB= 和 x1+x2,y1+y2,运用整体代入的方法,求中点或斜 x1-x2 率,体现“设而不求”的思想. 考点一 直线与圆锥曲线的位置关系

1.y=kx+2 与 y2=8x 有且仅有一个公共点,则 k 的取值为________.

2.已知双曲线 E 的中心为原点, F(3,0)是 E 的焦点, 过 F 的直线 l 与 E 相交于 A, B 两点, 且 AB 的中点为 N(-12, -15), 则 E 的方程为( x y A. - =1 3 6
2 2

).

x y B. - =1 4 5

2

2

x y C. - =1 6 3

2

2

x y D. - =1 5 4

2

2

3.已知直线 x-y-1=0 与抛物线 y=ax2 相切,则 a 等于( A. 1 2 1 B. 3 C. 1 4 D.4

)

b x2 y2 4.直线 y= x+3 与双曲线 2- 2=1 的交点个数是( a a b A.1 B.2 C.1 或 2 D.0

)

5.已知以 F1(-2,0),F2(2,0)为焦点的椭圆与直线 x+ 3y+4=0 有且仅有一个交点,则椭圆的长轴长为( A.3 2 B.2 6 C.2 7 D.4 2

).

x2 y2 6.直线 y=kx-k+1 与椭圆 + =1 的位置关系为( 9 4 A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定

).

7.过点(0,1)作直线,使它与抛物线 y2=4x 仅有一个公共点,这样的直线有( A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条

)

x2 y2 8.若直线 mx+ny=4 与⊙O:x2+y2=4 没有交点,则过点 P(m,n)的直线与椭圆 + =1 的交点个数是( 9 4 A.至多为 1 B.2 C.1 D.0

).

9.已知双曲线 E 的中心为原点, F(3,0)是 E 的焦点, 过 F 的直线 l 与 E 相交于 A, B 两点, 且 AB 的中点为 N(-12, -15), 则 E 的方程为( x y A. - =1 3 6
2 2

).

x y x y B. - =1C. - =1 4 5 6 3

2

2

2

2

x y D. - =1 5 4

2

2

10.设抛物线 y2=8x 的准线与 x 轴交于点 Q,若过点 Q 的直线 l 与抛物线有公共点,则直线 l 的斜率的取值范围是( 1 1 A. -2,2

).

[

]

B.[-2,2] C.[-1,1]

D.[-4,4]

8 3 11.以直线 x± 2y=0 为渐近线,且截直线 x-y-3=0 所得弦长为 的双曲线方程为________. 3

x2 y2 12.已知(4,2)是直线 l 被椭圆 + =1 所截得的线段的中点,则 l 的方程是________. 36 9

y2 13.设 F1,F2 分别是椭圆 E:x2+ 2=1(0<b<1)的左,右焦点,过 F1 的直线 l 与 E 相交于 A,B 两点,且|AF2|,|AB|,|BF2|成等差数列.(1) b 求|AB|;(2)若直线 l 的斜率为 1,求 b 的值.

1.解析

?y=kx+2, 由? 2 得 ky2-8y+16=0,若 k=0,则 y=2;若 k≠0,则 Δ=0,即 64-64k=0,解得 k=1.故 k=0 或 k=1. ?y =8x, x1 y1 ? ?a2-b2=1, x y 2 2 设双曲线的标准方程为 2- 2=1(a>0,b>0),由题意知 c=3,a +b =9,设 A(x1,y1),B(x2,y2),则有:? 2 a b x2 y2 2 ? ?a2-b2=1,
2 2 2 2

2.解析

两式

y1-y2 b2?x1+x2? -12b2 4b2 -15-0 作差得: = = = 2,又 AB 的斜率是 =1,所以将 4b2=5a2 代入 a2+b2=9 得 a2=4,b2=5,所以双曲线的标 x1-x2 a2?y1+y2? -15a2 5a -12-3 x2 y2 准方程是 - =1. 4 5 ?x-y-1=0, ?a≠0, 1 3.解析:选 C 由? 消去 y 得 ax2-x+1=0,所以? 解得 a= . 2 4 y = ax , 1 - 4 a = 0 , ? ? b b 4.解析:选 A 因为直线 y= x+3 与双曲线的渐近线 y= x 平行,所以它与双曲线只有 1 个交点. a a 5.解析 x2 y2 根据题意设椭圆方程为 2 + 2=1(b>0),则将 x=- 3y-4 代入椭圆方程,得 4(b2+1)y2+8 3b2y-b4+12b2=0,∵椭圆与直 b +4 b

线 x+ 3y+4=0 有且仅有一个交点,∴Δ=(8 3b2)2-4?4(b2+1)· (-b4+12b2)=0,即(b2+4)(b2-3)=0,∴b2=3,长轴长为 2 b2+4= 2 7. 6.解析 直线 y=kx-k+1=k(x-1)+1 恒过定点(1,1),而点(1,1)在椭圆内部,故直线与椭圆相交.

?y=kx+1, 7.解析:选 C 设过点(0,1)斜率为 k 的直线方程为 y=kx+1.由? 2 得 k2x2+(2k-4)x+1=0.(*) ?y =4x, 当 k=0 时,(*)式只有一个根; 当 k≠0 时,Δ=(2k-4)2-4k2=-16k+16,由 Δ=0,即-16k+16=0 得 k=1. 所以 k=0,或 k=1 时,直线与抛物线只有一个公共点, 又直线 x=0 和抛物线只有一个公共点. 8.解析 由题意知: 4 x2 y2 2 2 > 2 ,即 m + n < 2 ,∴点 P ( m , n ) 在椭圆 + =1 的内部,故所求交点个数是 2 个. 9 4 m2+n2

9.解析

x2 y2 设双曲线的标准方程为 2- 2=1(a>0,b>0),由题意知 c=3,a2+b2=9,设 A(x1,y1),B(x2,y2),则有: a b y1-y2 b2?x1+x2? -12b2 4b2 -15-0 = = = 2,又 AB 的斜率是 =1,所以将 4b2=5a2 代入 a2+b2=9 得 a2=4,b2=5, x1-x2 a2?y1+y2? -15a2 5a -12-3

两式作差得:

x2 y2 所以双曲线的标准方程是 - =1. 4 5 由题意得 Q(-2,0).设 l 的方程为 y=k(x+2),代入 y2=8x 得 k2x2+4(k2-2)x+4k2=0,∴当 k=0 时,直线 l 与抛物线恒有一个

10.解析

交点;当 k≠0 时,Δ=16(k2-2)2-16k4≥0,即 k2≤1,∴-1≤k≤1,且 k≠0,综上-1≤k≤1.

2 2 ?x -4y =λ, 11.解析:设双曲线方程为 x2-4y2=λ,联立方程组? 消去 y,得 3x2-24x+(36+λ)=0. ?x-y-3=0,

? 36+λ 设直线被双曲线截得的弦为 AB,且 A(x ,y ),B(x ,y ),那么,?x x = , 3 ?Δ=24 -1236+λ>0.
x1+x2=8,
1 2 1 1 2 2 2

所以|AB|= ?1+k2?[?x1+x2?2-4x1x2]= x2 解得 λ=4,故所求双曲线方程是 -y2=1. 4

36+λ? ?1+1??82-4? = 3 ? ?

8?12-λ? 8 3 = . 3 3

12.解析:设直线 l 与椭圆相交于 A(x1,y1),B(x2,y2).则 又 x1+x2=8,y1+y2=4,所以

y1-y2 x1+x2 x2 y2 x2 y2 1 1 2 2 + =1,且 + =1,两式相减得 =- . 36 9 36 9 x1-x2 4?y1+y2?

y1-y2 1 1 =- ,故直线 l 的方程为 y-2=- (x-4),即 x+2y-8=0. 2 2 x1-x2

4 13.解:(1)由椭圆定义知|AF2|+|AB|+|BF2|=4,又 2|AB|=|AF2|+|BF2|,得|AB|= . 3 (2)l 的方程为 y=x+c,其中 c= 1-b2.

?y=x+c, 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 A,B 两点坐标满足方程组? 2 y2 ?x +b2=1,
则 x1+x2=

化简得(1+b2)x2+2cx+1-2b2=0.

- 2c 1-2b2 4 .因为直线 AB 的斜率为 1,所以|AB|= 2|x2-x1|,即 = 2|x2-x1|. 2,x1x2= 3 1+b 1+b2

4?1-b?2 4?1-2b2? 8 8b4 2 则 =(x1+x2)2-4x1x2= - = ,解得 b= . 9 2 ?1+b2?2 1+b2 ?1+b2?2


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高三数学第一轮复习资料——圆锥曲线(很全很给力的,一定要看哦)_高三数学_数学...椭圆的标准方程,能根据已知条件求椭圆的标准方程;掌握椭圆的简单几何性质,能 ...

高三数学第一轮复习 讲座八 ---圆锥曲线方程

2006 年 高三数学第一轮复习 讲座八 ---圆锥曲线方程一、复习要求 1、三种圆锥曲线:椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何性质等。 2、直线和圆锥曲线位置...

高三数学一轮复习精析教案15《圆锥曲线方程及性质》

高三数学一轮复习精析教案15《圆锥曲线方程及性质》_数学_高中教育_教育专区。高三数学一轮复习精析教案15《圆锥曲线方程及性质》第...

高三数学一轮复习圆锥曲线(1-4讲)含答案

高三数学一轮复习圆锥曲线(1-4讲)含答案_数学_高中教育_教育专区。高三数学一...那么椭圆 C 的方程为___. 思维启迪:根据椭圆的定义和几何性质确定椭圆的基本量...

2016届高三数学一轮复习备考试题:圆锥曲线

江苏省 2016 届高考一轮复习备考试题 圆锥曲线一、填空题 1.(5 分)(2015?...则此双曲线的渐近线方程为 ▲ 2 Y 8、(南京市 2014 届高三第三次模拟)已知...

江苏省2015届高三数学一轮复习备考试题:圆锥曲线

江苏省 2015 年高考一轮复习备考试题 圆锥曲线一、填空题 x2 y2 ? ? 1 ...则此双曲线的渐近线方程为 ▲ 7、 (南京市 2014 届高三第三次模拟)已知抛物线...