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不等式证明:传统pqr方法


pqr pqr 的主要思路是针对三元齐次对称不等式,将其全部转化成关于 pqr 的式子,其中 p=a+b+c,q=ab+bc+ca,r=abc 对于每一个能取到的 p 与 q,我们都可以把式子转化成关于 r 的函数,当次数是 4,5 次时可 以看做是关于 r 的一次函数,当次数是 6,7,8 时可以看做是关于 r 的二次函数,这样最值一定在 r 的最值时取到,我们只要讨论 r 的

最值即可 1、当三元不等式转化成关于 r 的一次函数的时候,r 的最值一定在原三数存在一数为 0 或者 两数相等的时候取到(此证明见<the uvw method>) http://wenku.baidu.com/view/f4a9da8da0116c175f0e4876.html 此具体操作见下文例题 1 2、当三元不等式转化成关于 r 的二次函数的时候,我们只需考虑此二次函数的开口和对称 正负便可判断 r 在何处取到最值 此具体操作见下文例题 2 下面是 6 次和 6 次以下对称式和 pqr 之间的转化:

?a ? b ? c ? p ?记 x a y b z c 为(a, b, c), 其中a ? b ? c ? ? ? ?ab ? bc ? ca ? q ? sym ?abc ? r ? ?若c ? 0简记 : (a, b), 若b ? c ? 0简记:( a) ? a 2 ? b 2 ? c 2 ? (2) ? p 2 ? 2q a 3 ? b3 ? c 3 ? (3) ? p 3 ? 3 pq ? 3r

? (a b ? ab
2 3 2 2 2

2

) ? (2,1) ? pq ? 3r
2 2

a 4 ? b 4 ? c 4 ? (4) ? p 4 ? 4 p 2 q ? 2q 2 ? 4 pr

? (a b ? ab ) ? (3,1) ? p q ? 2q ? a b ? (2, 2) ? q ? 2 pr ? a bc ? (2,1,1) ? pr
3 2 4 4 3 3 2 2 3 2

? pr

a 5 ? b5 ? c 5 ? (5) ? p 5 ? 5 p 3 q ? 5 pq 2 ? 5 p 2 r ? 5qr

? (a b ? ab ) ? (4,1) ? p q ? 3 pq ? p r ? 5qr ? (a b ? a b ) ? (3, 2) ? pq ? 2 p r ? qr ? a bc ? (3,1,1) ? p r ? 2qr ? a b c ? (2, 2,1) ? qr
2 2 2 3 2 2 2

a 6 ? b 6 ? c 6 ? (6) ? p 6 ? 6 p 4 q ? 9 p 2 q 2 ? 2q 3 ? 12 pqr ? 3r 2 ? 6 p 3 r

? (a b ? ab ) ? (5,1) ? p q ? 4 p q ? 2q ? 7 pqr ? 3r ? p r ? (a b ? a b ) ? (4, 2) ? p q ? 2q ? 4 pqr ? 3r ? 2 p r ? a b ? (3,3) ? q ? 3 pqr ? 3r ? a bc ? (4,1,1) ? p r ? 3 pqr ? 3r ? (a b c ? a bc ) ? (3, 2,1) ? pqr ? 3r
5 5 4 2 2 3 2 3 4 2 2 4 2 2 3 2 3 3 3 4 3 2 3 2 3 2 3 2 2

a 2 b 2 c 2 ? (2, 2, 2) ? r 2

1: a, b, c ? 0, 求证 :

a 2 ? b2 ? c2 8abc ? ?2 ab ? bc ? ca (a ? b)(b ? c)(c ? a ) p 2 ? 2q 8r ? ? 2 ? p 3 q ? 3 pq 2 ? p 2 r ? 11qr ? 0 q pq ? r

p ? a ? b ? c ? 1, q ? ab ? bc ? ca, r ? abc ?

f (r ) ? (11q ? p 2 )r ? p 3 q ? 3 pq 2 此为一次函数 对于每一个可以取到的q的值 f (r ) ? (11q ? 1)r ? q ? 3q 2 此为关于r的一次函数,由pqr结论可知最值在一数为0或两数相等时取到 情况1: 一数为0 a ? 0, f (0) ? bc ? 3(bc) 2 ? g (bc), 注意到 : bc ? ( b?c 2 1 ) ? , g (bc)是开口向下的二次函数 2 4

1 1 最小值在边界取到g (0) ? 0; g ( ) ? ? 0均大于等于0 4 16 情况2 : 两数相等 a ? b ? t , c ? 1 ? 2t ; f (r ) ? [11(t 2 ? 2t ? 4t 2 ) ? 1]t 2 (1 ? 2t ) ? t 2 ? 2t ? 4t 2 ? 3(t 2 ? 2t ? 4t 2 ) 2 1 ? 66 x5 ? 104 x 4 ? 60 x3 ? 16 x 2 ? 2 x ? h( x)(0 ? x ? ) ? 2 x(33x 4 ? 52 x 3 ? 30 x 2 ? 8 x ? 1) ? 2 xl ( x) 2 l ?( x) ? 132 x 3 ? 156 x 2 ? 60 x ? 8 ? 4(33x 3 ? 39 x 2 ? 15 x ? 2) ? 4[(6 x 3 ? 3x 2 ) ? (27 x 3 ? 36 x 2 ? 15 x ? 2)] 1 ? 12 x 2 (2 x ? 1) ? 4(3 x ? 1) 2 (3 x ? 2) ? 12 x 2 (1 ? 1) ? 4(3 x ? 1) 2 (? ) ? 0 2 1 so : l ( x) ? l ( ) ? 0.0625 ? 0 ? f (r ) ? h( x) ? 2 xl ( x) ? 0均大于等于0 2 综上,原不等式得证

2 2 2 2 2 2 ? ?max{(a ? ab ? b )(b ? bc ? c )(c ? ca ? a )} ? ? 2 : a, b, c ? 0, a ? b ? c ? 3, ? 2 2 2 2 2 2 ? ?max{(a ? ab ? b )(b ? bc ? c )(c ? ca ? a )} ? ? 做代换 : p ? a ? b ? c ? 3, q ? ab ? bc ? ca, r ? abc

第一题 : ?5r 2 ? (27 q ? 81)r ? 9q 2 ? 3q 3 对于每一个能取到的q值,我们都可以把上式记做关于r的二次函数 27 q ? 81 注意到 : 3q ? p 2 ? 9 ? q ? 3, so对称轴 ?0 10 由于r ? 0, so此开口向下的二次函数的最大值在0处取到 不妨设c ? 0带入原式 : 得到 : (a 2 ? ab ? b 2 )(b 2 ? bc ? c 2 )(c 2 ? ca ? a 2 ) ? (a 2 ? ab ? b 2 )a 2 b 2 4 3 3 4 a 2 ? 2ab ? b 2 3 4 ? (a ? b ? c) 6 再由均值 : (a 2 ? ab ? b 2 )a 2 b 2 = (a 2 ? ab ? b 2 )( ab)( ab) ? ( ) ? ? 12 9 2 2 9 3 9 ? 33 第二题 : 3r 2 ? (3q ? 27)r ? 9q 2 ? q 3 对于每一个能取到的q值都可以把上式看做关于r的二次函数 此为开口向上, 对称轴大于0的二次函数 p ? 3说明函数的定义域为0 ? r ? 1 对于取定的q值,由均值 : q ? 3 3 r 2 ? r ? 最大值只能在r ? 0或r ? 当r ? q3 处取到 27 q3 ?1? 0 ? r ? 27 q3 27

q3 时,根据均值的取等条件,只能是q ? 3, a ? b ? c ? 1, 此时原式的值为 : 33 ? 27 27 当r ? 0时, 不妨设c ? 0, 带入原式得到 : (a 2 ? ab ? b 2 )(b 2 ? bc ? c 2 )(c 2 ? ca ? a 2 ) ? (a 2 ? ab ? b 2 )a 2 b 2 3 2 a?b 2 3 ? 9 a 2 ? 2ab ? b 2 2 3 ? 9 ? 92 2187 (a ? b 2 )( ) (2ab) ? ?( ) ? ? 4 2 4? 4 2 4?4?4 64 2187 2187 3 注意到 : ? 27, so最大值 ,当且仅当a ? b ? , c ? 0取到 64 64 2 (a 2 ? ab ? b 2 )a 2 b 2 ?

第二个题,文中说当 r=√(q?/27)时,q=3,a=b=c=1,这是不合逻辑的,因为 q 是固定的,当 q<3 时,r 取不到 r=√(q?/27),即使 r 硬要取√(q?/27),根据 tejs 的文章,也不存在 a,b,c 与 p,q,r 对应,所以就无所谓 a=b=c=1 的说法了。根据 tejs 的文章,当 u=1 且 v<1 时,w?<v ?。不可能有 r=√(q?/27),也不能认定 a=b=c


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