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直线与双曲线的位置关系


直线与双曲线的位置关系

复习: 椭圆与直线的位置关系及判断方法

相离
判断方法
(1)联立方程组

相切

相交

(2)消去一个未知数 (3)

?<0

?=0

?>0

>
含 焦 点 区 域 内

含 焦 点 区 域 外

含 焦 点 区 域 内

P

P

当点P在双曲线上时,能 作3条直线与双曲线只有 一个公共点。

P

当点P在其中一条渐近 线上(中心除外)时, 一条是切线,一条是与 另一条渐近线平行。

P

当点P在含焦点区域 内时,两条是分别与 两条渐近线平行。

P

当点P在双曲线的中 心时,不可能作出一 条直线与双曲线只有 一个公共点。

P

过点P且与双曲线只 有一个公共点的直 线最多有4条
也就是说过点P作与 双曲线只有一个公共 点的直线条数可能是 4条、3条、2条、0条

?y = kx + m ? 2 消去y,得 : (b2-a2k2)x2-2kma2x+a2(m2+b2)=0 ? x y2 ? 2 - 2 =1 ?a b

理论分析:

b 1.二次项系数为0时,直线L(K= ? a

)与双曲

线的渐近线平行或重合。

重合:无交点;平行:有一个交点。
2.二次项系数不为0时,上式为一元二次方程, Δ>0 Δ=0 Δ<0 直线与双曲线相交(两个交点) 直线与双曲线相切 直线与双曲线相离

判断直线与双曲线位置关系的处理程序
把直线方程代入双曲线方程

得到一元一次方程 直线与双曲线的 渐进线平行 相交(一个交点)

得到一元二次方程 计算判别式 >0 =0 <0

相交

相切

相离

特别注意:
直线与双曲线的位置关系中:

一解不一定相切,相交不一定 两解,两解不一定同支

2 y 过点P(0,3)的直线l与双曲线C:x 2 ? ? 1仅有 4 一个公共点,求直线 l的方程。

设l的方程为: y ? kx ? 3
? y ? kx ? 3 ? 由? 2 y 2 ? 4 ? k 2 x 2 ? 6kx ? 13 ? 0 x ? ?1 ? 4 ?

?

?

?1?当4 ? k 2 ? 0时, k ? ?2, 此时l : y ? ?2x ? 3
?2?当4 ? k 2 ? 0时,由? ? ?? 6k ?2 ? 4?4 ? k 2 ??? 13? ? 0,
得k ? ? 13, 此时l : y ? ? 13x ? 3

x2 y2 ? ? 1 只有 一个 2.过点P(1,1)与双曲线 9 16 Y 4 交点的直线 共有_______ 条. ( 1, 1)


变式:将点P(1,1)改为

O

X

1.A(3,4)
2.B(3,0)

3.C(4,0)
4.D(0,0).答案又是怎样的? 1.两条;2.三条;3.两条;4.零条.

例题讲解
例3:如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4没有公共点,求k的取值范围
解:由
y=kx-1 得(1-k2)x2+2kx-5=0(*) 即方程无解

∴ ∴ k>

x2-y2=4 1-k2≠0
△=4k2+20(1-k2)<0 或k< -

k>

或k< -

引申1:如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4有两个公共点,求k的取值范围 解:直线一双曲线有两个公共点
1-k2≠0 △=4k2+20(1-k2)>0

方程(*)有两个不等的根

且k≠ 1

<k<

且k≠ 1



-

<k<

思考?
1、如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4只有1个公共点,求k的取值范围
解:等价于(*)只有一解。①当1-k2=0时,即k= 1(*)只有一解 ② 当1-k2≠0时,△=0,即k= (*)只有一解

2、如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4右支有两个公共点,求k的取值范围 解:等价于
4k2+20(1-k2)>0 1-k2≠0 x1+x2= 2 2 >0
2 >0

1<k<

x1x2= -

3、如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4左支有两个公共点,求k的取值范围

解:等价于

x1x2= -

4k2+20(1-k2)>0 1-k2≠0 x1+x2= 2 2 <0
2 >0

-

<k<-1

4、如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4左、右支各1个公共点,求k的取值范围
4k2+20(1-k2)>0

解:等价于 1-k2≠0

x1x2= -

-1<k<1

2 <0

(2)解:将直线 化简整理

2k ?5 由韦达定理得: x1 ? x2 ? ? ; x1 x2 ? 2 2 (※) 2 2 xk - y = 4 1? k 1?
要使直线与双曲线的右支有两个 相异的公共点,则应满足 ? ? 1? k 2 ? 0 1? k 2 ? 0 ? ? ??0 ??0 ? ? ?? ? ?( x1 ? 2) ? ( x2 ? 2) ? 0 ? ( x1 ? x2 ) ? 4 ? 0 ? ? ? ( x1 ? 2)(x2 ? 2) ? 0 ? x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4 ? 0
5 解得 1 ? k ? 2

y ? kx ? 1代入双曲线方程 x ? y ? 4 2 2 (1 ? k ) x ? 2kx ? 5 ? 0
2 2

注: 直线与 双曲 线的右支有两个 交点,实际上给出 了 方程 解的 范围,涉及到二次 方程的根的分布 问题.解题时需要 注意!

典型例题:

例4.以P(1,8)为中点作双曲线为y2-4x2=4的一条 弦AB,求直线AB的方程。
解法一: (1) 当过P点的直线AB和x轴垂直时,直线被双曲线 截得的弦的中点不是P点。 (2) 当过P点的直线AB和x轴不垂直时,设其斜率为k. 则直线AB的方程为y-8=k(x-1)
? ? y - 8 = k ? x -1? 由? 2 ,得 2 ? ? y - 4x = 4

?k

2

- 4 ? x + 2k ? k - 8 ? x + ? 8 - k ? - 4 = 0
2 2

例4.以P(1,8)为中点作双曲线为y2-4x2=4的一条 弦AB,求直线AB的方程。

?k

2

- 4 ? x + 2k ? k - 8 ? x + ?8 - k ? - 4 = 0
2 2

?1?

设A? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ? , 则x1, x2是方程?1?的两个不等实根.
2 ?>0 ∴ Δ = 4k ? 8- k ? -4 ? k2 -4 ? ? 8k -4 ? ? ? ? 2 2

? 2?

?弦AB的中点是P ?1,8? ,
k ?8- k ? ∵中点坐标公式与韦达定理, 得 - 2 =1 k -4 1 由? 2 ? ? 3 ? 得k = 2 1 ? 直线AB的方程为y-8 = ? x ? 1? 2
即直线AB的方程为x-2y+15 = 0

?3?

解法二:设A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? , 则
2 2 ? y ? 4 x ? 1 1 ?4 , ? 2 2 ? ?y2 ? 4 x2 ? 4

?? y1 ? y1 ?? y1 ? y1 ? ? 4 ? x1 ? x2 ?? x1 ? x2 ? , ?弦AB的中点是P ?1,8? , ?16 ? y1 ? y1 ? ? 8 ? x1 ? x2 ? ,
y1 ? y1 1 ? 直线AB的斜率为 ? , x1 ? x2 2 1 ? 直线AB的方程为y-8 = ? x ? 1? 2
即直线AB的方程为x-2y+15 = 0

? x1 ? x2 ? 2, y1 ? y2 ? 16.

y 例 5、已知双曲线的方程为 x - 2 =1.
2

2

试问:是否存在被点 B(1,1)平分的 弦?如果存在,求出弦所在的直线方程, 如果不存在,请说明理由.

[解析] 解法一:设被 B(1,1)所平分的弦所在的直线方程
2 y 为 y=k(x-1)+1,代入双曲线方程 x2- =1,得(k2-2)x2- 2

2k(k-1)x+k2-2k+3=0. ∴Δ=[-2k(k-1)]2-4(k2-2)(k2-2k+3)>0. 2k?k-1? 3 解得 k< ,且 x1+x2= 2 . 2 k -2 ∵B(1,1)是弦的中点, k?k-1? 3 ∴ 2 =1,∴k=2> . 2 k -2 故不存在被点 B(1,1)所平分的弦.

解法二: 设存在被点 B 平分的弦 MN, 设 M(x1, y1)、 N(x2, y2).
2 ? 2 y1 ?x1- 2 =1, 则 x1+x2=2,y1+y2=2,且? 2 y 2 2 ?x2 - =1. 2 ?

① ②

1 ①-②得(x1+x2)(x1-x2)- (y1+y2)(y1-y2)=0. 2 y1-y2 ∴kMN= =2,故直线 MN:y-1=2(x-1). x1-x2

? 2?x-1? ?y-1= 由? 2 y2 消去 y 得,2x2-4x+3=0, x - =1 ? 2 ? Δ=-8<0. 这说明直线 MN 与双曲线不相交, 故被点 B 平分的弦不存 在.

2 y 2. 过双曲线 x2- =1 的右焦点 F 作直线 l 交双曲线于 A、 2

B 两点,若|AB|=4,则这样的直线 l 有( A.1 条 B.2 条 C.3 条
[答案] C

)

D.4 条

[解析] 设 A(x1,y1),B(x2,y2),当直线 l 的斜率不存在 ? ?x= 3 时,其方程为 x= 3,由? 2 y2 ,得 y=± 2, x - =1 ? 2 ? ∴|AB|=|y1-y2|=4 满足题意. 当直线 l 的斜率存在时, 其 ? - 3? ?y=k?x 方程为 y=k(x- 3),由? 2 y2 , x - =1 ? 2 ? 得(2-k2)x2+2 3k2x-3k2-2=0.

2 2 3 k +2 2 3 k 2 当 2-k ≠0 时,x1+x2= 2 ,x1x2= 2 , k -2 k -2

|AB|= 1+k2 ?x1+x2?2-4x1x2 = 1+k2 = 1+k2
2 2 3k2 2 12k +8 ? 2 ?- 2 k -2 k -2

16?k2+1? ?k2-2?2

4?1+k2? = 2 =4, |k -2| 2 解得 k=± ,故这样的直线有 3 条. 2

x2 y2 ? ?1 交于两点的直线斜率的 3.过原点与双曲线 ? 4 3 ?3 ? 3 ? ?
取值范围是 ? ? ?? , ? ?? ? ? ??, ? ? ? 2 2 ? ? ? ?

典型例题: 例6、直线y-ax-1=0和曲线3x2-y2=1相交,交点为 A、B,当a为何值时,以AB为直径的圆经过坐 标原点。
解:将y=ax+1代入3x2-y2=1

得(3-a2)x2-2ax-2=0, 它有两个实根,必须△>0,

? a ? (? 6, 6),
又设方程的两根为x1,x2,A(x1,y1),B(x2,y2),

2a ?2 ? x1 ? x2 ? , x1x 2 ? 2 2 3?a 3?a

∵原点O(0,0)在以AB为直径的圆上,

解:将y=ax+1代入3x2-y2=1 得(3-a2)x2-2ax-2=0, 它有两个实根,必须△>0,

? a ? (? 6, 6),

又设方程的两根为x1,x2,A(x1,y1),B(x2,y2),

2a ?2 ? x1 ? x2 ? , x1x2 ? 2 3?a 3 ? a2

∵原点O(0,0)在以AB为直径的圆上, ∴OA⊥OB,即x1x2+y1y2=0, 即x1x2+(ax1+1)(ax2+1)=0, ∴(a2+1) x1x2 +a(x1+x2 )+1=0,

?2 2a ? (a +1) +a? +1=0 2 2 3?a 3?a
2

解得a=±1.

探索延拓创新 综合应用问题

[例 1] 直线 l:y=kx+1 与双曲线 C:2x2-y2=1 的右 支交于不同的两点 A、B. (1)求实数 k 的取值范围; (2)是否存在实数 k,使得以线段 AB 为直径的圆经过双 曲线 C 的右焦点 F?若存在,求出 k 的值;若不存在,说明 理由.

[解析] (1)将直线 l 的方程 y=kx+1 代入双曲线 C 的方程 2x2-y2=1 后整理得, (k2-2)x2+2kx+2=0① 依题意,直线 l 与双曲线 C 的右支交于不同的两点, ?k2-2≠0 ? 2 2 ?Δ=?2k? -8?k -2?>0 ? 2k 故?- 2 >0 ? k -2 ? 2 ?k2-2>0 ?



解得 k 的取值范围为-2<k<- 2.

(2)设 A、B 两点的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),则由① 式得 ? ?x1+x2= 2k 2 2-k ? ? 2 ?x · 1 x2= 2 ? k -2 ?



假设存在实数 k,使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 6 C 的右焦点 F( ,0),则 FA⊥FB, 2

6 6 ∴(x1- )(x2- )+y1y2=0, 2 2 6 6 即(x1- )(x2- )+(kx1+1)(kx2+1)=0. 2 2 (1+k2)x1x2+(k-
2

6 5 )(x1+x2)+ =0, 2 2

2 6 2k 5 ∴(1+k )·2 +(k- )· 2+ =0, 2 2-k 2 k -2

化简得 5k2+2 6k-6=0. 6+ 6 6- 6 解得 k=- ,或 k= ?(-2,- 2)(舍去). 5 5 6+ 6 可知 k=- 使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C 5 的右焦点.

例 2:已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为(2,0),右顶 点为( 3,0). (1)求双曲线 C 的方程; (2)若直线 l: y=kx+ 2与双曲线 C 恒有两个不同的交点 A → → 和 B,且OA· OB>2(其中 O 为原点),求 k 的取值范围.

x 2 y2 [解析] (1)设双曲线方程为 2- 2=1(a>0,b>0). a b 由已知得 a= 3,c=2,于是 a2+b2=22,b2=1, x2 2 故双曲线 C 的方程为 -y =1. 3

x2 2 (2)将 y=kx+ 2代入 -y =1,得 3 (1-3k2)x2-6 2kx-9=0. 由直线 l 与双曲线交于不同的两点,得
2 ? ?1-3k ≠0 ? 2 2 2 ? ?Δ=?6 2k? +36?1-3k ?=36?1-k ?>0



1 即 k ≠ 且 k2<1. 3
2

设 A(xA,yA),B(xB,yB),

-9 6 2k 则 xA+xB= 2,xAxB= 2. 1-3k 1-3k → → 由OA· OB>2,得 xAxB+yAyB>2. xAxB+yAyB=xAxB+(kxA+ 2)(kxB+ 2) =(k2+1)xAxB+ 2k(xA+xB)+2
2 - 9 3 k +7 6 2 k 2 =(k +1) + 2k +2= 2 . 1-3k2 1-3k2 3k - 1

3k2+7 -3k2+9 于是 2 >2,即 2 >0, 3k - 1 3k - 1 1 2 解得 <k <3,又∵k2<1, 3 1 2 ∴ <k <1, 3 3 3 故 k 的取值范围为(-1,- )∪( ,1). 3 3


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