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1.2.1等差数列


1.2.1 等差数列
问题 1:什么是等差数列? 等差数列:若数列 ?a n ? 从第 2 项起,后面的每一项减去前一项都等于同一个常数,那么称该数列为等差数列;即
a n ? a n ?1 ? d ( d 为常数),则 ?a n ? 为等差数列;例如: ?2 n ? 1? , ?? 3 n ? 2 ? ,…., 3 , 8 , 13 , 18 , 23 ,…

.” “

例题 1:数列 ?a n ? 的通项公式为 a n ? 2 n ? 5 ,则该数列(

)
D .是公差为 n 的等差数列

A .是公差为 2 的等差数列 B .是公差为 ? 2 的等差数列 C .是公差为 5 的等差数列

例题 2:已知数列 ?a n ? 的通项 a n ? ?

?1, n ? 1 ? 2 n ? 1, n ? 2

,那么数列 ?a n ? 是等差数列吗?

问题 2:等差数列的通项? 1.迭代归纳法:已知一个等差数列 ?a n ? 的首项 a 1 ,公差 d ,那么利用递推公式: a n ? a n ?1 ? d ,我们可以推出后面的 所有项: a 2 ? a 1 ? d , a 3 ? a 2 ? d ? a 1 ? 2 d , a 4 ? a 3 ? d ? a 1 ? 3 d , a 5 ? a 4 ? d ? a 1 ? 4 d ,…. 由此我们可归纳出等差数列 ?a n ? 的通项公式为: a n ? a 1 ? ? n ? 1 ?d ; 2.累加法:已知一个等差数列 ?a n ? 的首项 a 1 ,公差 d ,那么利用递推公式: a n ? a n ?1 ? d ,我们可以得到: 当 n ? 2 时:
a 2 ? a1 ? d ? ? a3 ? a2 ? d ? ? 累加 ? a 4 ? a 3 ? d ? ? ? ? a n ? a 1 ? ? n ? 1 ?d ... ? ... ? .. ? ? a n ? a n ?1 ? d ? ?

? a n ? a 1 ? ? n ? 1 ?d

验证:当 n ? 1 时, ? a n ? a 1 ? ?1 ? 1 ?d ? a 1 故 a n ? a 1 ? ? n ? 1 ?d (上述为数列求通项四大方法中的:迭代、累加) 反思:若已知一个等差数列 ?a n ? 的任意项 a m ( m ? N ),公差 d ,那么如何利用递推公式求解通项公式?
*

同理: a n ? a m ? ? n ? m ?d , d ?

an ? am n?m

例题 3:数列 { a n } 满足 a 1 ? 2 , a n ? a n ?1 ? 1 ? 0 ,( n ? N ),则此数列的通项 a n 等于 (
*

)

A .n ?1
2

B .n ?1
1 3

C .1 ? n

D .3 ? n
*

例题 4:在数列 ?a n ? 中,若 a 1 ?

, 3 a n ? 1 ? 3 a n ? 1 ?n ? N

? 则该数列的通项公式 a

n

? (

)

A .n ?

2 3

B .

n 3

C .

1 n? 2

D.

n

2

3

例题 5:已知等差数列 { a n } 满足: a 4 ? 2 , a 7 ? 8 ,则其公差 d ?



问题 3:等差数列中的项与项之间有什么关系? 1.观察下列数列是否为等差数列 1、数列 3 , 8 , 13 , 18 , 23 , 28 , 33 , 38 , 43 ,…. 2、数列 21 , 18 , 15 , 12 , 9 , 6 , 3 , 0 , ? 3 ,…. 3、数列 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 ,…. 4、数列 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ,…. (1)观察任意连续的三项的关系
2 a n ? a n ?1 ? a n ? 1 ( n ? 2 , n ? N )在这里我们将 a n 称为 a n ? 1 与 a n ? 1 的等差中项.
*

例题 6:已知等差数列 ?a n ? 有四项,分别为: x , 2 , y ,8 ,则 x ? y ?

,x ? y ?

.

例题 7:已知 ? ABC 中,三个内角 A 、 B 、 C 成等差数列,则角 B ? ( ) A . 30 ? B . 60 ? D . 120 ? C . 90 ? 例题 8:已知 a 、 b 、 c 三者成等差,且它们之和为 9 ,积为 15 ,求这三个数. 引深:任意间距相等的三项 a n ? m 、 a n 、 a n ? m 有什么关系? (2)观察任意连续四项的关系
a n ? a n ? 3 ? a n ? 1 ? a n ? 2 ,( n ? N )
*

推广:若“ m ? n ? i ? j ” ,则“ a m ? a n ? a i ? a j ” ;(下标和相等,左右两项和相等) 证明:已知 m ? n ? i ? j ,左边 ? a m ? a n ? a 1 ? ? m ? 1 ?d ? a 1 ? ? n ? 1 ?d ? 2 a 1 ? ? m ? n ? 2 ?d 右边 ? a i ? a j ? a 1 ? ?i ? 1 ?d ? a 1 ? ? j ? 1 ?d ? 2 a 1 ? ?i ? j ? 2 ?d 显然:左边 ? 右边 故有“若 m ? n ? i ? j ,则 a m ? a n ? a i ? a j ” ; 反思:若 a m ? a n ? a i ? a j ,则 m ? n ? i ? j 成立吗? 例题 8:已知等差数列 ?a n ? 为等差数列, a 3 ? a 8 ? 22 , a 6 ? 7 ,则 a 5 ? 例题 9:已知等差数列 ?a n ? 中, a 5 ? 1 ,则 2
a1

,该数列是单调递
a7

(增、减)数列.

?2

a2

?2

a3

?2

a4

?2

a5

?2

a6

?2

?2

a8

?2

a9

??

.

例题 10:已知等差数列 { a n } 的公差 d ? 3 ,则 a 1 ? a 2 ? a 3 ? a 4 ? .... ? a 15 ? a 16 ? (
A . 24 B . ? 24

)

C . 48

D . ? 48

例题 11:已知等差数列 ?a n ? 的公差为正数,且 a 3 ? a 7 ? ? 12 , a 4 ? a 6 ? ? 4 ,求数列 ?a n ? 的通项公式。 例题 11:已知数列 ?a n ? 的前 n 项和 S n ? 2 n ? n ,(1)求出 ?a n ? 的通项式;(2)求证数列 ?a n ? 为等差数列.
2

例题 12:(2012 郑州★)已知数列 ?a n ? 满足 a 1 ? 1 , a 3 ? a 7 ? 18 ,且 a n ?1 ? a n ? 1 ? 2 a n ? n ? 2 ? ,求数列 ?a n ? 的通项公

式. 例题 13:(★)数列 { a n } 满足 a 1 ? 1 ,
1 2 a n ?1 ?

? 1 ? * ? 1 ( n ? N ),求证 ? ? 是等差数列. 2an ? an ?
1

练习: 1、已知 a ?
1 3 ? 2

,b ?

1 3 ? 2

,则 a 、 b 的等差中项为(

)

A. 3

B .

2

C .

1 3

D.

1 2

2、已知等差数列 ?a n ? 的公差为 d ,那么数列 ?c ? a n ? ( c 为常数,且 c ? 0 )是(
A .公差为 d 的等差数列 B .公差为 cd 的等差数列

)
D .公差为 ? cd 的等差数列

C .公差为 ? d 的等差数列

3、在数列 ?a n ? 中, a 1 ? 2 , 2 a n ? 1 ? 2 a n ? 1 ,则 a 101 ? (
A . 49 B . 50

)

C . 51

D . 52

4、在等差数列 ?a n ? 中,已知 a 15 ? 10 , a 45 ? 90 ,则 a 60 ? (
A . 130 B . 140

)

C . 150

D . 160

5、已知 ?a n ? 为等差数列, a 2 ? a 8 ? 12 ,则 a 5 等于(
A .4 B .5

)

C .6

D .7

6、梯子共 12 级,自上而下最高一级宽 33 cm ,以下每一级比上一级的宽多 7 cm ,则最低一级宽是( A . 110 cm B . 103 cm D . 96 cm C . 117 cm 7、等差数列 ?a n ? 中,若 a 1 ? 12 ,从第 8 项开始是负数,则公差 d 的取值范围是(
A .? 2 ? d ? ?

)

)

12 7

B .? 2 ? d ? ?

12 7

C .d ? ?

12 7

D . d ? ?2

8、在 a 、 b ( a ? b )两数之间插入 n 个数,使他们与 a 、 b 组成一个等差数列,则该数列的公差是(
A.

)

b?a n

B .

b?a n ?1 , a2 ? 2 5

C .

a?b n ?1
2 an ?

D.

b?a n? 2
? 1 a n ?1

9、数列 ?a n ? 中, a 1 ?

1 2

,当 n ? 1 时,

1 a n ?1

,则 a n ? (

)

?2? A .? ? ?3?

n

?2? B .? ? ?3?

n ?1

C .

n n? 2
a1

D.

n n?3
? .... ? 3
a13

10、等差数列 ?a n ? 中,若 a 4 ? a 5 ? a 6 ? 3 ,则 3

?3

a2

?3

a3

?3

a4

?3

a14

?

.

11、在等差数列 ?a n ? 中,已知 a 1 ? 83 , a 4 ? 98 ,问这个数列有多少项在 300 到 500 之间? 12、已知数列 ?a n ? 中 a 3 ? 2 , a 7 ? 1 ,又数列 ?
? ? ? 为等差数列,求 a 11 . ? an ? 1? 1

探究引深: 1、已知方程 ? x ? 2 x ? m ?? x ? 2 x ? n ? ? 0 的四个根组成一个首项为
2 2

1 4

的等差数列,则 m ? n ? (

)

A .2

B .

3 4

C .

1 2

D.

3

8 1 1 1 b?c c?a a?b 、 、 2、已知 、 、 三者成等差,求证: 也成等差. a b c a b c


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