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简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词教案(重点)


简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词(重点)
适用学科 高中数学 适用区域 全国新课标 知识点 适用年级 课时时长(分钟)
高中三年级 60

1.简单的逻辑联结词

2.全称量词和存在量词 4.全称命题与存在性命题真假的判断

3.复合命题真假的判断及应用 5.含有一个量词的命题的否定
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br />教学目标 一、 知识与技能
使学生了解学习全称量词和存在量词的必要性,掌握命题的有关概念、能够辨别命题的 真假,掌握了解命题的否定

二、 过程与方法
1.教师提出问题,素材,并及时点拨,与学生进行交流,分析,抽象出数学模型。 2. 设计较典型的问题,通过学生自主探究,激发学习兴趣和积极性

三、 情感、态度与价值观
1.通过具体情景,让学生体会到学好数学对日常生活的重 要作用。 2.培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力,进而 培养学生的实践能力。进一步体会数形结合的重要方法,增强对事物间普遍联系规律的 认识,树立辩证唯物主义思想。

教学重点 复合命题真假的判断及应用 教学难点 全称命题与存在性命题真假的判断

教学过程
一.课程导入:
在大量的数学实例的基础上,思考、探究、分析、发现,最后总结概括出相关概念和知识,是本章内容 的突出特色。本章内容,重在让学生通过对常用逻辑用语的学习,体会运用逻辑用语在表述和论证中的 作用,能用这些逻辑用语准确地表达数学内容,更好地进行交流。为此,教科书在安排内容时,就突出 了让学生领会这些常用逻辑用语的含义, 从而更好的运用这些常用逻辑用语的这一目的。 本章内容与学 生日常生活中的某些概念有一定关联, 但就在数学上的运用和含义还有一定差别, 因此数学中如何正确 理解和运用这些常用逻辑用语,是本章的关键也是较难处理的,为此,教科书是从大量的丰富数学实例 出发,来帮助学生认识数学中的这些常用逻辑用语的含义的。例如,对“命题”概念的阐述,就是通过 总结 6 个数学例子的基础上概括得出的; 对于四种命题及其关系, 也是通过对命题 “若 f(x)是正弦函数, 则 f(x)是周期函数”的条件与结论的互换及否定等具体例子的讨论,达到对四种命题及其关系的认识; 逻辑联结词“或” “且” “非”含义和用法的介绍,也是通过学生熟悉的数学实例讲授的;学习完命题及

命题的否定后,教科书又安排了丰富的实例,使学生了解生活和数学中经常使用的两类量词(全称量词 和存在量词) ,并通过例子说明如何对含有一个量词的命题进行正确地否定。

二、复习预习
复习时应紧扣概念,理清相似概念间的异同点,准确把握逻辑联结词的含义和用法,熟练掌握对含有量 词命题的否定的方法.本讲常与其他知识结合,在知识的交汇处命题,试题难度中档偏下.

三、知识讲解 考点 1、简单的逻辑联结词
(1)命题中的“且”“或”“非”叫做逻辑联结词. (2)简单复合命题的真值表:

p
真 假 真 假

q
真 真 假 假

p∧q p∨q ?p
真 假 假 假 真 真 真 假 假 真 假 真

考点 2、全称量词与存在量词
(1)常见的全称量词有:“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等. (2)常见的存在量词有:“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等. (3)全称量词用符号“?”表示;存在量词用符号“?”表示.

考点 3、全称命题与特称命题
(1)含有全称量词的命题叫全称命题. (2)含有存在量词的命题叫特称命题.

考点 4、命题的否定
(1)全称命题的否定是特称命题;特称命题的否定是全称命题. (2)p 或 q 的否定为:非 p 且非 q;p 且 q 的否定为:非 p 或非 q.

四、例题精析
【例题 1】 【题干】已知命题 p1:函数 y=2x-2-x 在 R 上为增函数,p2:函数 y=2x+2-x 在 R 上为减函数, 则在命题 q1:p1∨p2,q2:p1∧p2,q3:(?p1)∨p2 和 q4:p1∧(?p2)中,真命题是( A.q1,q3 C.q1,q4 B.q2,q3 D.q2,q4 ).

【答案】C 【解析】可判断 p1 为真,p2 为假;则 q1 为真,q2 为假,q3 为假,q4 为真.

【例题 2】 【题干】已知命题 p:?x0∈R,使 sin x0= 5 2 ;命题 q:?x∈R,都有 x2+x+1>0.给出下列结论

①命题“p∧q”是真命题; ②命题“?p∨?q”是假命题; ③命题“?p∨q”是真命题; ④命题“p∨?q”是假命题. 其中正确的是( A.②③ C.③④ ). B.②④ D.①②③

【答案】C 【解析】命题 p 是假命题,命题 q 是真命题,故③④正确.

【例题 3】 【题干】写出下列命题的否定,并判断其真假. (1)p:?x∈R,x
2-

1 x+ ≥0; 4

(2)q:所有的正方形都是矩形; (3)r:?x0∈R,x2 0+2x0+2≤0; (4)s:至少有一个实数 x0,使 x3 0+1=0.

【答案】见解析 【解析】(1)?p:?x0∈R,x
2- + 0 0

x

1 <0,假命题. 4

(2)?q:至少存在一个正方形不是矩形,假命题. (3)綈 r:?x∈R,x2+2x+2>0,真命题. (4)綈 s:?x∈R,x3+1≠0,假命题.

【例题 4】 【题干】写出下列命题的否定,并判断真假. (1)p:?x∈R,x 不是 3x-5=0 的根; (2)q:有些合数是偶数; (3)r:?x0∈R,|x0-1|>0.

【答案】见解析 【解析】(1)?p:?x0∈R,x0 是 3x-5=0 的根,真命题. (2)?q:每一个合数都不是偶数,假命题. (3)r:?x∈R,|x-1|≤0,假命题.

五、课堂运用
【基础】
1. 已知命题 p:?x∈R,sin x≤1,则( A.?p:?x0∈R,sin x0≥1 C.?p:?x0∈R,sin x0>1 ).

B.?p:?x∈R,sin x≥1 D.?p:?x∈R,sin x>1

【答案】C 【解析】命题 p 是全称命题,全称命题的否定是特称命题.

2. 若 p 是真命题,q 是假命题,则( A.p∧q 是真命题 C.?p 是真命题

).

B.p∨q 是假命题 D.?q 是真命题

【答案】 D 【解析】本题考查命题和逻辑联结词的基础知识,意在考查考生对逻辑联结词的理解运用能力.只有 ?q 是真命题.

3. 命题 p: 若 a, b∈R, 则|a|+|b|>1 是|a+b|>1 的充分而不必要条件. 命题 q: 函数 y= |x-1|-2
的定义域是(-∞,-1]∪[3,+∞)则( A.“p 或 q”为假 B.“p 且 q”为真 ).

C.p 真 q 假 D.p 假 q 真

【答案】D 【解析】根据定义

4. 设 p、q 是两个命题,则复合命题“p∨q 为真,p∧q 为假”的充要条件是
( A.p、q 中至少有一个为真 C.p、q 中有且只有一个为真 B.p、q 中至少有一个为假 D.p 为真、q 为假 ).

【答案】C 【解析】略

【巩固】
5. 命题“对任何 x∈R,|x-2|+|x-4|>3”的否定是______________________.

【答案】见解析 【解析】存在 x0∈R,使|x0-2|+|x0-4|≤3

6. 已知命题 p:方程 x2+mx+1=0 有两个不等的负实数根;命题 q:方程 4x2+4(m-2)x+1=0 无
实数根.若“p 或 q”为真命题,“p 且 q”为假命题,求 m 的取值范围.

【答案】见解析

【解析】

?Δ1=m2-4>0, 由 p 得:? ?-m<0,

则 m>2.

由 q 得:Δ2=16(m-2)2-16=16(m2-4m+3)<0, 则 1<m<3. 又∵“p 或 q”为真,“p 且 q”为假,∴p 与 q 一真一假.

?m>2, ①当 p 真 q 假时,? ?m≤1或m≥3,

解得 m≥3;

?m≤2, ②当 p 假 q 真时,? ?1<m<3,

解得 1<m≤2.

∴m 的取值范围为 m≥3 或 1<m≤2.

7. 已知 a>0,设命题 p:函数 y=ax 在 R 上单调递增;命题 q:不等式 ax2-ax+1>0 对?x∈R 恒
成立.若 p 且 q 为假,p 或 q 为真,求 a 的取值范围.

【答案】见解析 【解析】∵函数 y=ax 在 R 上单调递增,∴p:a>1. 不等式 ax2-ax+1>0 对?x∈R 恒成立, ∴a>0 且 a2-4a<0,解得 0<a<4,∴q:0<a<4. ∵“p∧q”为假,“p∨q”为真, ∴p、q 中必有一真一假.

?a>1, ①当 p 真 q 假时,? ?a≥4,

得 a≥4.

?0<a≤1, ②当 p 假 q 真时,? ?0<a<4,

得 0<a≤1.

故 a 的取值范围为(0,1]∪[4,+∞).

【拔高】

?1 ? 8. 已知 c>0,且 c≠1,设 p:函数 y=cx 在 R 上单调递减;q:函数 f(x)=x2-2cx+1 在? ,+∞?上 ?2 ?
为增函数,若“p∧q”为假,“p∨q”为真,求实数 c 的取值范围.

【答案】见解析 【解析】 ∵函数 y=cx 在 R 上单调递减, ∴0<c<1.(2 分) 即 p:0<c<1.∵c>0 且 c≠1,∴?p:c>1.(3 分) 又∵f(x)=x
2-2

?1 ? cx+1 在? ,+∞?上为增函数, ?2 ?

1 1 ∴c≤ .即 q:0<c≤ . 2 2 1 ∵c>0 且 c≠1,∴?q:c> 且 c≠1.(6 分) 2

又∵“p∨q”为真,“p∧q”为假,∴p 真 q 假或 p 假 q 真.(7 分)

?? 1 ? ? ?1 ? ①当 p 真,q 假时,{c|0<c<1}∩?c?c> 且c≠1 ?=?c? <c<1 ?;(9 分) 2 2 ?? ? ?? ? ?? 1 ? ②当 p 假,q 真时,{c|c>1}∩?c?0<c≤ ?=?.(11 分) 2 ? ? ? ? ?1 综上所述,实数 c 的取值范围是?c? ?2 ? ? <c<1?.(12 分) ?

9. 设 p: 方程 x2+2mx+1=0 有两个不相等的正根; q: 方程 x2+2(m-2)x-3m+10=0 无实根. 求
使 p∨q 为真,p∧q 为假的实数 m 的取值范围.

【答案】见解析

?Δ1=4m2-4>0, 【解析】由? ?x1+x2=-2m>0,
∴p:m<-1;

得 m<-1.

由 Δ2=4(m-2)2-4(-3m+10)<0, 知-2<m<3,∴q:-2<m<3. 由 p∨q 为真,p∧q 为假可知,命题 p,q 一真一假,

?m<-1, 当 p 真 q 假时,? ?m≥3或m≤-2,

此时 m≤-2;

?m≥-1, 当 p 假 q 真时,? ?-2<m<3,

此时-1≤m<3.

∴m 的取值范围是{m|m≤-2,或-1≤m<3}.

六、课堂小结
一个关系 逻辑联结词与集合的关系 “或、且、非”三个逻辑联结词,对应着集合运算中的“并、交、补”,因此,常常借助集合的“并、 交、补”的意义来解答由“或、且、非”三个联结词构成的命题问题. 两类否定 1.含有一个量词的命题的否定 (1)全称命题的否定是特称命题 全称命题 p:?x∈M,p(x),它的否定?p:?x0∈M,?p(x0). (2)特称命题的否定是全称命题 特称命题 p:?x0∈M,p(x0),它的否定?p:?x∈M,?p(x).

2.复合命题的否定 (1)綈(p∧q)?(?p)∨(?q); (2)綈(p∨q)?(?p)∧(?q). 三条规律 (1)对于“p∧q”命题:一假则假; (2)对“p∨q”命题:一真则真; (3)对“?p”命题:与“p”命题真假相反.


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