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简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词教案(重点)

时间:2014-11-07


简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词(重点)
适用学科 高中数学 适用区域 全国新课标 知识点 适用年级 课时时长(分钟)
高中三年级 60

1.简单的逻辑联结词

2.全称量词和存在量词 4.全称命题与存在性命题真假的判断

3.复合命题真假的判断及应用 5.含有一个量词的命题的否定

教学目标 一、 知识与技能
使学生了解学习全称量词和存在量词的必要性,掌握命题的有关概念、能够辨别命题的 真假,掌握了解命题的否定

二、 过程与方法
1.教师提出问题,素材,并及时点拨,与学生进行交流,分析,抽象出数学模型。 2. 设计较典型的问题,通过学生自主探究,激发学习兴趣和积极性

三、 情感、态度与价值观
1.通过具体情景,让学生体会到学好数学对日常生活的重 要作用。 2.培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力,进而 培养学生的实践能力。进一步体会数形结合的重要方法,增强对事物间普遍联系规律的 认识,树立辩证唯物主义思想。

教学重点 复合命题真假的判断及应用 教学难点 全称命题与存在性命题真假的判断

教学过程
一.课程导入:
在大量的数学实例的基础上,思考、探究、分析、发现,最后总结概括出相关概念和知识,是本章内容 的突出特色。本章内容,重在让学生通过对常用逻辑用语的学习,体会运用逻辑用语在表述和论证中的 作用,能用这些逻辑用语准确地表达数学内容,更好地进行交流。为此,教科书在安排内容时,就突出 了让学生领会这些常用逻辑用语的含义, 从而更好的运用这些常用逻辑用语的这一目的。 本章内容与学 生日常生活中的某些概念有一定关联, 但就在数学上的运用和含义还有一定差别, 因此数学中如何正确 理解和运用这些常用逻辑用语,是本章的关键也是较难处理的,为此,教科书是从大量的丰富数学实例 出发,来帮助学生认识数学中的这些常用逻辑用语的含义的。例如,对“命题”概念的阐述,就是通过 总结 6 个数学例子的基础上概括得出的; 对于四种命题及其关系, 也是通过对命题 “若 f(x)是正弦函数, 则 f(x)是周期函数”的条件与结论的互换及否定等具体例子的讨论,达到对四种命题及其关系的认识; 逻辑联结词“或” “且” “非”含义和用法的介绍,也是通过学生熟悉的数学实例讲授的;学习完命题及

命题的否定后,教科书又安排了丰富的实例,使学生了解生活和数学中经常使用的两类量词(全称量词 和存在量词) ,并通过例子说明如何对含有一个量词的命题进行正确地否定。

二、复习预习
复习时应紧扣概念,理清相似概念间的异同点,准确把握逻辑联结词的含义和用法,熟练掌握对含有量 词命题的否定的方法.本讲常与其他知识结合,在知识的交汇处命题,试题难度中档偏下.

三、知识讲解 考点 1、简单的逻辑联结词
(1)命题中的“且”“或”“非”叫做逻辑联结词. (2)简单复合命题的真值表:

p
真 假 真 假

q
真 真 假 假

p∧q p∨q ?p
真 假 假 假 真 真 真 假 假 真 假 真

考点 2、全称量词与存在量词
(1)常见的全称量词有:“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等. (2)常见的存在量词有:“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等. (3)全称量词用符号“?”表示;存在量词用符号“?”表示.

考点 3、全称命题与特称命题
(1)含有全称量词的命题叫全称命题. (2)含有存在量词的命题叫特称命题.

考点 4、命题的否定
(1)全称命题的否定是特称命题;特称命题的否定是全称命题. (2)p 或 q 的否定为:非 p 且非 q;p 且 q 的否定为:非 p 或非 q.

四、例题精析
【例题 1】 【题干】已知命题 p1:函数 y=2x-2-x 在 R 上为增函数,p2:函数 y=2x+2-x 在 R 上为减函数, 则在命题 q1:p1∨p2,q2:p1∧p2,q3:(?p1)∨p2 和 q4:p1∧(?p2)中,真命题是( A.q1,q3 C.q1,q4 B.q2,q3 D.q2,q4 ).

【答案】C 【解析】可判断 p1 为真,p2 为假;则 q1 为真,q2 为假,q3 为假,q4 为真.

【例题 2】 【题干】已知命题 p:?x0∈R,使 sin x0= 5 2 ;命题 q:?x∈R,都有 x2+x+1>0.给出下列结论

①命题“p∧q”是真命题; ②命题“?p∨?q”是假命题; ③命题“?p∨q”是真命题; ④命题“p∨?q”是假命题. 其中正确的是( A.②③ C.③④ ). B.②④ D.①②③

【答案】C 【解析】命题 p 是假命题,命题 q 是真命题,故③④正确.

【例题 3】 【题干】写出下列命题的否定,并判断其真假. (1)p:?x∈R,x
2-

1 x+ ≥0; 4

(2)q:所有的正方形都是矩形; (3)r:?x0∈R,x2 0+2x0+2≤0; (4)s:至少有一个实数 x0,使 x3 0+1=0.

【答案】见解析 【解析】(1)?p:?x0∈R,x
2- + 0 0

x

1 <0,假命题. 4

(2)?q:至少存在一个正方形不是矩形,假命题. (3)綈 r:?x∈R,x2+2x+2>0,真命题. (4)綈 s:?x∈R,x3+1≠0,假命题.

【例题 4】 【题干】写出下列命题的否定,并判断真假. (1)p:?x∈R,x 不是 3x-5=0 的根; (2)q:有些合数是偶数; (3)r:?x0∈R,|x0-1|>0.

【答案】见解析 【解析】(1)?p:?x0∈R,x0 是 3x-5=0 的根,真命题. (2)?q:每一个合数都不是偶数,假命题. (3)r:?x∈R,|x-1|≤0,假命题.

五、课堂运用
【基础】
1. 已知命题 p:?x∈R,sin x≤1,则( A.?p:?x0∈R,sin x0≥1 C.?p:?x0∈R,sin x0>1 ).

B.?p:?x∈R,sin x≥1 D.?p:?x∈R,sin x>1

【答案】C 【解析】命题 p 是全称命题,全称命题的否定是特称命题.

2. 若 p 是真命题,q 是假命题,则( A.p∧q 是真命题 C.?p 是真命题

).

B.p∨q 是假命题 D.?q 是真命题

【答案】 D 【解析】本题考查命题和逻辑联结词的基础知识,意在考查考生对逻辑联结词的理解运用能力.只有 ?q 是真命题.

3. 命题 p: 若 a, b∈R, 则|a|+|b|>1 是|a+b|>1 的充分而不必要条件. 命题 q: 函数 y= |x-1|-2
的定义域是(-∞,-1]∪[3,+∞)则( A.“p 或 q”为假 B.“p 且 q”为真 ).

C.p 真 q 假 D.p 假 q 真

【答案】D 【解析】根据定义

4. 设 p、q 是两个命题,则复合命题“p∨q 为真,p∧q 为假”的充要条件是
( A.p、q 中至少有一个为真 C.p、q 中有且只有一个为真 B.p、q 中至少有一个为假 D.p 为真、q 为假 ).

【答案】C 【解析】略

【巩固】
5. 命题“对任何 x∈R,|x-2|+|x-4|>3”的否定是______________________.

【答案】见解析 【解析】存在 x0∈R,使|x0-2|+|x0-4|≤3

6. 已知命题 p:方程 x2+mx+1=0 有两个不等的负实数根;命题 q:方程 4x2+4(m-2)x+1=0 无
实数根.若“p 或 q”为真命题,“p 且 q”为假命题,求 m 的取值范围.

【答案】见解析

【解析】

?Δ1=m2-4>0, 由 p 得:? ?-m<0,

则 m>2.

由 q 得:Δ2=16(m-2)2-16=16(m2-4m+3)<0, 则 1<m<3. 又∵“p 或 q”为真,“p 且 q”为假,∴p 与 q 一真一假.

?m>2, ①当 p 真 q 假时,? ?m≤1或m≥3,

解得 m≥3;

?m≤2, ②当 p 假 q 真时,? ?1<m<3,

解得 1<m≤2.

∴m 的取值范围为 m≥3 或 1<m≤2.

7. 已知 a>0,设命题 p:函数 y=ax 在 R 上单调递增;命题 q:不等式 ax2-ax+1>0 对?x∈R 恒
成立.若 p 且 q 为假,p 或 q 为真,求 a 的取值范围.

【答案】见解析 【解析】∵函数 y=ax 在 R 上单调递增,∴p:a>1. 不等式 ax2-ax+1>0 对?x∈R 恒成立, ∴a>0 且 a2-4a<0,解得 0<a<4,∴q:0<a<4. ∵“p∧q”为假,“p∨q”为真, ∴p、q 中必有一真一假.

?a>1, ①当 p 真 q 假时,? ?a≥4,

得 a≥4.

?0<a≤1, ②当 p 假 q 真时,? ?0<a<4,

得 0<a≤1.

故 a 的取值范围为(0,1]∪[4,+∞).

【拔高】

?1 ? 8. 已知 c>0,且 c≠1,设 p:函数 y=cx 在 R 上单调递减;q:函数 f(x)=x2-2cx+1 在? ,+∞?上 ?2 ?
为增函数,若“p∧q”为假,“p∨q”为真,求实数 c 的取值范围.

【答案】见解析 【解析】 ∵函数 y=cx 在 R 上单调递减, ∴0<c<1.(2 分) 即 p:0<c<1.∵c>0 且 c≠1,∴?p:c>1.(3 分) 又∵f(x)=x
2-2

?1 ? cx+1 在? ,+∞?上为增函数, ?2 ?

1 1 ∴c≤ .即 q:0<c≤ . 2 2 1 ∵c>0 且 c≠1,∴?q:c> 且 c≠1.(6 分) 2

又∵“p∨q”为真,“p∧q”为假,∴p 真 q 假或 p 假 q 真.(7 分)

?? 1 ? ? ?1 ? ①当 p 真,q 假时,{c|0<c<1}∩?c?c> 且c≠1 ?=?c? <c<1 ?;(9 分) 2 2 ?? ? ?? ? ?? 1 ? ②当 p 假,q 真时,{c|c>1}∩?c?0<c≤ ?=?.(11 分) 2 ? ? ? ? ?1 综上所述,实数 c 的取值范围是?c? ?2 ? ? <c<1?.(12 分) ?

9. 设 p: 方程 x2+2mx+1=0 有两个不相等的正根; q: 方程 x2+2(m-2)x-3m+10=0 无实根. 求
使 p∨q 为真,p∧q 为假的实数 m 的取值范围.

【答案】见解析

?Δ1=4m2-4>0, 【解析】由? ?x1+x2=-2m>0,
∴p:m<-1;

得 m<-1.

由 Δ2=4(m-2)2-4(-3m+10)<0, 知-2<m<3,∴q:-2<m<3. 由 p∨q 为真,p∧q 为假可知,命题 p,q 一真一假,

?m<-1, 当 p 真 q 假时,? ?m≥3或m≤-2,

此时 m≤-2;

?m≥-1, 当 p 假 q 真时,? ?-2<m<3,

此时-1≤m<3.

∴m 的取值范围是{m|m≤-2,或-1≤m<3}.

六、课堂小结
一个关系 逻辑联结词与集合的关系 “或、且、非”三个逻辑联结词,对应着集合运算中的“并、交、补”,因此,常常借助集合的“并、 交、补”的意义来解答由“或、且、非”三个联结词构成的命题问题. 两类否定 1.含有一个量词的命题的否定 (1)全称命题的否定是特称命题 全称命题 p:?x∈M,p(x),它的否定?p:?x0∈M,?p(x0). (2)特称命题的否定是全称命题 特称命题 p:?x0∈M,p(x0),它的否定?p:?x∈M,?p(x).

2.复合命题的否定 (1)綈(p∧q)?(?p)∨(?q); (2)綈(p∨q)?(?p)∧(?q). 三条规律 (1)对于“p∧q”命题:一假则假; (2)对“p∨q”命题:一真则真; (3)对“?p”命题:与“p”命题真假相反.


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