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佛山市2015届普通高中高三教学质量检测(二)(理数)


佛山市 2015 届普通高中高三教学质量检测(二) 数学(理科)
本试卷共 4 页,21 小题, 满分 150 分.考试用时 120 分钟 注意事项: 1.答卷前,考生务必用 2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号.用黑色字迹的钢笔或签字 笔将自己所在的市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在 答题卡上.用 2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置

上. 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑; 如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区 域内的相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使 用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题题号对应的信息点,再作答.漏涂、错 涂、多涂的,答案无效. 5.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.集合 A ? x ? N 0 ? x ? 4 的子集个数为( A. 3 B.4

?

?

) C.7 D.8

2.若复数 z 满足 (1 ? i ) z ? (1 ? i ) 2 ,其中 i 为虚数单位,则在复平面上复数 z 对应的点位于 ( ) A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限 ) D.3

3.已知向量 a ? 0 ,?2 3 ,b ? 1 , 3 ,则向量 a 在 b 上的投影为( A. ? 3 4.不可能以直线 y ? A. y ? ? B. ? 3 C. 3 )

?

?

?

?

3 x ? b 作为切线的曲线是( 2
B. y ? sin x

1 x

C. y ? ln x

D. y ? e

x

5. 已知双曲线

x2 y2 ? ? 1 ( a ? 0 , b ? 0) 的右焦点到左顶点的距离等于它到渐近线距离的 a 2 b2
) C. 4 x ? 3 y ? 0 D. 3 x ? 4 y ? 0 B. x ? 2 y ? 0

2 倍倍,则其渐近线方程为( A. 2 x ? y ? 0

6 .已知函数 f ( x ) ? ln?1 ?

? ?

a ? ? (a ? R ) . 命题 p : ?a ? R , f ( x) 是奇函数;命题 q : x ? 1?
1

?a ? R , f ( x ) 在定义域内是增函数,那么下列命题为真命题的是( )
A. ? p B. p ? q C. ??p ? ? q D. p ? ??q ?

7.已知 a, b, c 均为直线, ? , ? 为平面.下面关于直线与平面关系的命题: (1)任意给定一条直线 a 与一个平面 ? ,则平面 ? 内必存在与 a 垂直的直线; (2)任意给定的三条直线 a, b, c,必存在与 a, b, c 都相交的直线; (3) ? // ? , a ? ? , b ? ? ,必存在与 a, b 都垂直的直线; (4) ? ? ? , ? ? ? ? c , a ? ? , b ? ? ,若 a 不垂直 c,则 a 不垂直 b. 其中真命题的个数为( ) A. 1 B. 2 8.若集合 P 具有以下性质: ① 0 ? P ,1 ? P ;

C.3

D.4

② 若 x, y ? P ,则 x ? y ? P ,且 x ? 0 时, )

1 ?P. x

则称集合 P 是“Γ 集”,则下列结论不 正确的是( .

A.整数集 Z 是“Γ 集” B.有理数集 Q 是 “Γ 集” C.对任意的一个“Γ 集”P,若 x, y ? P ,则必有 xy ? P D.对任意的一个“Γ 集”P,若 x, y ? P ,且 x ? 0 ,则必有

y ?P x

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~13 题) 9.不等式 2 x ? 1 ? 1 的解集为 . .

10.已知等差数列 ? an ?满足 a3 ? a4 ? 12 , 3a2 ? a5 ,则 a6 ?

11.将编号为 1, 2, 3, 4, 5 的五个球放入编号为 1, 2, 3, 4, 5 的一个盒子,每个盒内放一个球, 若恰好有两个球的编号与盒子编号相同,则不同的投放方法的种数为 .

n i s ( ) 12. 在△ABC 中, 角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 若 (a ? b
则 A= .

A ?n i s B) ? (b ? c)n i s C,

13.已知 A ? ( x, y ) x ? 1 ? y ? 2 , B ? ( x, y) x ? 2 y ? a ? 0 ,若 A ? B ? Φ ,则 实数 a 的最大值为 . (二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14. (极坐标与参数方程选讲) 在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 ?

?

?

?

?

?x ? t (t ?y ? 4 ? t

为参数) ,以原点 O 为极点,以 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标为

? ? ? 4 2 sin(? ? ) ,则直线 l 和曲线 C 的公共点有
4
2

个.

C
15. (几何选讲) 如图 1,AB 是圆 O 的直径,CD⊥AB 于 D, 且 AD=2BD,E 为 AD 的中点,连接 CE 并延长交圆 O 于 F, A 若 CD ? 2 ,则 EF= .

E OD F

B

图1 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? sin( 2 x ?

?
3

) ? cos( 2 x ?

?
6

), x?R.

(1)求 f ( ) 的值; (2)求函数 f ( x ) 的值域和单调递增区间.

?

4

17. (本小题满分 12 分) 寒假期间,很多同学都喜欢参加“迎春花市摆档口”的社会实践活动,下表是今年某个档 口某种精品的销售数据. 日期 天气 销售量 (件) 白天 晚上 2 月 14 日 小雨 39 42 2 月 15 日 小雨 33 46 2 月 16 日 阴 43 50 2 月 17 日 阴转多云 41 51 2 月 18 日 多云转阴 54 61

已知摊位租金 900 元/档,精品进货价为 9 元/件,售价为 12 元/件,售余精品可以以进货价 退回厂家. (1) 画出表中 10 个销售数据的茎叶图,并求出这组数据的中位数; (2) 从表中可知:2 月 14、15 日这两个下雨天的平均销售量为 80 件/天,后三个非雨天 平均销售量为 100 件/天,以此数据为依据,除天气外,其它条件不变.假如明年花市 5 天每天下雨的概率为

1 ,且每天是否下雨相互独立,你准备在迎春花市租赁一个 5

档口销售同样的精品,推测花市期间所租档口大约能售出多少件精品? (3) 若所获利润大于 500 元的概率超过 0.6,则称为“值得投资”,那么在(2)条件下, 你认为“值得投资”吗?

18. (本小题满分 14 分) 如图 2,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB=BC=2,∠ABC=1200,D 为 AC 的中点,P 为棱 A1B 上的动点. (1) 探究:AP 能否与平面 A1BC 垂直? A1 C1 (2) 若 AA1= 6 ,求二面角 A1-BD-B1 的余弦值.

B1 P A B
图2

D C

3

19. (本小题满分 14 分) 设数列 ? an ?满足 a1 ? 1 , a1 ? a2 ? ? ? ? ? an?1 ? an ? 1 (n ? 2, n ? N ? ) (1) 求数列 ? an ?的通项公式; (2) 若数列 ? an ?满足 loga bn ? an (a ? 1) ,求证:

b b b a 1 . ? 1 ? 2 ? ? ? ? ? n ?1 ? a ? 1 b2 ? 1 b3 ? 1 bn ? 1 a ? 1
2

20. (本小题满分 14 分) 已知椭圆 E:

x2 y2 5 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 过点(0, -2) ,且离心率为 . 2 a b 3

(1) 求椭圆 E 的方程; (2) 如图 3,ABD 是椭圆 E 的顶点,M 是椭圆 E 上除顶点外的任意一点,直线 DM 交 x 轴于点 Q,直线 AD 交 BM 于点 P,设 BM 的斜率为 k,PQ 的斜率为 m,求动点 N (m, k)的轨迹方程.
y P D M x A O B j

21. (本小题满分 14 分) 设常数 a>0, ? ? R ,函数 f ( x) ? x ( x ? a) ? ? ( x ? a) .
2 3

图3

(1) 若函数 f ( x ) 恰有两个零点,求 ? 的值; (2) 若 g (? ) 是函数 f ( x ) 的极大值,求 g (? ) 的取值范围.

4

数学(理科)参考答案
一、 选择题:DBAB CDBA 二、 填空题:9. (0, 1) ; 10.11; 11.20;12.

2? 2 3 ; 13.5;14.1;15: 3 3

答案解析: 1.集合 A 的元素是自然数,所以 A={1,2,3},共 3 个元素,其子集个数为 23=8 个 2. z ?

?1 ? i ?2 ? ?1 ? i ?2 ?1 ? i ? ? 2i?1 ? i ? ? i?1 ? i ? ? ?1 ? i 与第二象限的点(-1,1)对应. ?1 ? i ??1 ? i ? 1? i 2
a ?b b ? 0?2 3? 3 1 ? ( 3)
2

3.向量 a 在 b 上的投影为 a cos? ?

?

?6 ? ?3 2

3 的切线。 2 b 5. 可用筛选。 双曲线的右焦点到左顶点的距离为 a+c, 右焦点到渐近线 y ? ? x 距离为 b, a 4 所以有:a+c=2b,由 4 x ? 3 y ? 0 得 y ? ? x ,取 a=3,b=4,则 c=5,满足 a+c 3
4.对于 B 选项: f ' ( x) ? cos x 的最大值为 1,所以 y ? sin x 不存在斜率为 =2b. 6.存在 a=0, f ( x ) ? ln?1 ?

? ?

a ? ? ? ln1 ? 0 既是奇函数又是偶函数,也存在 a=2,使 x ? 1?
?1

a ? 2 ? ? ? ? x ?1? ? ? x ?1? ? x ? 1? ? x ?1? f ( x) ? ln?1 ? ? ? ln?1 ? ? ? ln? ? ? f (? x) ? ln? ? ? ln? ? ? ln? ? ? ? f ( x) ? x ? 1? ? x ? 1? ? x ? 1? ? ? x ? 1? ? x ?1? ? x ? 1?
此时函数 f(x)是奇函数, 所以命题 p 为真命题, 而当 a=0, f ( x ) ? ln?1 ? 没有单调性,所以命题 q 为假命题,故 p ? ??q ? 为真命题,选 D。 7. (1) , (3)正确;当 a//b,且 a, b ? ? ,c// ? 时(2)错误;若 b ? c ? b ? ? ? b ? a 故 (4)错误。 8.当 x=2 时,

? ?

a ? ? ? ln1 ? 0 x ? 1?

1 1 ? ? Z ,所以整数集 Z 不是“Γ 集” x 2

9. 2x ? 1 ? 1 ? ?1 ? 2 x ? 1 ? 1 ? 0 ? x ? 1 ,所以不等式的解集为(0, 1) ; 10. ?

?a3 ? a 4 ? 12 ?2a1 ? 5d ? 12 ?a ? 1 ?? ?? 1 ? a6 ? a1 ? 5d ? 1 ? 5 ? 2 ? 11 ?d ? 2 ?3( a1 ? d ) ? a1 ? 4d ?3a 2 ? a5
2

11.5 个球中 2 个编号与盒子编号一样有 C5 ? 10 种可以,余下的 3 个球与盒子的编号都不 同,只有 2 种可以,用分步乘法可知投放方法共 10× 2=20 种.
5

12.利用正弦正理可知:

(a ? b)(sin A ? sin B) ? (b ? c) sin C ? (a ? b)(a ? b) ? (b ? c)c ? b2 ? c2 ? a 2 ? ?bc ,
cos A ?
2? b 2 ? c 2 ? a 2 ? bc 1 ? ? ? ,? A ? (0, ? ) , ? A ? 3 2bc 2bc 2
y B A

13



? x ?1 ? 2 ?? 3 ? x ? 1 ? ? x ?1 ? y ? 2 ? ?y ? 2 ? ?y ? 2 ? x ?1 ? y ?y ? x ?1 ? ?







A ? ( x, y ) x ? 1 ? y ? 2 的元素(x, y)是如右图所示的阴影部
分, 目标函数 a=x+2y 表示的平行直线系经过可行域上的点 A (1,2) 时 a 取最大值为 1+2× 2=5。 14. ?
x C D O E

?

?

?x ? t ? 2 2 sin ? ? cos? ) ? x ? y ? 4 ? 0 ; ? ? 4 2 sin(? ? ) ? 4 2 ? ( 4 2 2 ?y ? 4 ? t

? 4 sin ? ? 4 cos? ? ? 2 ? 4? sin ? ? 4? cos? ? x 2 ? y 2 ? 4x ? 4 y ? ( x ? 4) 2 ? ( y ? 4) 2 ? 8
圆心(4,4)到直线 x-y+4=0 的距离 d ?

4?4?4 2

? 2 2 ? r ,所以直线与圆相切,只有一

个交点。 15.在 Rt ?ABC 中,CD⊥AB 于 D,所以 CD2=AD· BD=2BD2=2,∴DB=AE=ED=1, ∴

CE ? BC ? BD2 ? CD2 ? 3
? AE CE AE ? BE 2 3 ? ? EF ? ? EF BE CE 3





△ACE∽△FBE



6

7

8

9

10

11

12


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