nbhkdz.com冰点文库

数列通项公式的几种求法归纳


数列通项公式的几种求法
一、常规数列的通项 例 1:求下列数列的通项公式 22—1 32—1 42—1 52—1 (1) , , , ,… 2 3 4 5 1 1 1 1 (2)- , ,- , ,… 1× 2 2× 3 3× 4 4× 5 2 10 17 26 (3) ,1, , , ,… 3 7 9 11 2 (-1)n n2+1 n —1 解: (1)an= (2

)an= (3) an= n n(n+1) 2n+1 二、等差、等比数列的通项 - 直接利用通项公式 an=a1+(n-1)d 和 an=a1qn 1 写通项,但先要根据条件寻求首项、公差和公比。 三、摆动数列的通项 例 2:写出数列 1,-1,1,-1,…的一个通项公式。 - 解:an=(-1)n 1 变式 1:求数列 0,2,0,2,0,2,…的一个通项公式。 分析与解答:若每一项均减去 1,数列相应变为-1,1,-1,1,… 故数列的通项公式为 an=1+(-1)n 变式 2:求数列 3,0,3,0,3,0,…的一个通项公式。 2 分析与解答:若每一项均乘以 ,数列相应变为 2,0,2,0,… 3 3 - 故数列的通项公式为 an= [1+(-1)n 1 ] 2 变式 3:求数列 5,1,5,1,5,1,…的一个通项公式。 分析与解答 1:若每一项均减去 1,数列相应变为 4,0,4,0,… 2 4 - - 故数列的通项公式为 an=1++2× [1+(-1)n 1 ]=1+ [1+(-1)n 1 ] 3 3 分析与解答 2:若每一项均减去 3,数列相应变为 2,-2,2,-2,… - 故数列的通项公式为 an=3+2(-1)n 1 四、循环数列的通项 1 例 3:写出数列 0.1,0.01,0.001,0.0001,…的一个通项公式。解:an= n 10 5 变式 1:求数列 0.5,0.05,0.005,…的一个通项公式。解:an= n 10 变式 2:求数列 0.9,0.99,0.999,…的一个通项公式。 7 1 变式 3:求数列 0.7,0.77,0.777,0.7777,…的一个通项公式。解:an= (1- n ) 9 10 - 例 4:写出数列 1,10,100,1000,…的一个通项公式。解:an=10n 1 变式 1:求数列 9,99,999,…的一个通项公式。 an=10n-1。 4 变式 2:写出数列 4,44,444,4444…的一个通项公式。 解:an= (10n-1) 9 五、通过等差、等比数列求和来求通项 例 5:求下列数列的通项公式 (1)0.7,0.77,0.777,… (2)3,33,333,3333,… (3)12,1212,121212,… (4)1,1+2,1+2+3,… 解: (1)an= 0.77 ? 7 =7× 0.11?1 =7×(0.1+0.01+0.001+…+ 0.0?1 ) ? ?? ? ? ? ?
n个 7 n个1

n ?1个0

1 1 [1-( )n] 10 10 1 1 1 1 7 1 =7×( + 2 + 3 +…+ n )=7× = (1- n ) 10 10 10 10 1 9 10 1- 10

1-10n 1 (2)an= 33?3 =3× 11?1 =3×(1+10+100+…+10n)=3× = (10n-1) ?? ? ? ? ? 1-10 3
n个3 n个1

1-100n 4 - (3)an= 1212 ?? =12×(1+100+10000+…+100n 1)=12× = (102n-1) 12 ? ?? ? 1-100 33
n个12

n(n+1) (4)an=1+2+3+…n= 2 评注:关键是根据数据的变化规律搞清楚第 n 项的数据特点。 六、用累加法求 an=an-1+f(n)型通项 例 6: (1)数列{an}满足 a1=1 且 an=an-1+3n-2(n≥2) ,求 an。 1 (2)数列{an}满足 a1=1 且 an=an-1+ n (n≥2) ,求 an。 2 解: (1)由 an=an-1+3n-2 知 an-an-1=3n-2,记 f(n)=3n-2= an-an-1 则 an= (an-an-1)+(an-1-an-2)+(an-2-an-3)+…(a2-a1)+a1 =f(n)+ f(n-1)+ f(n-2)+…f(2)+ a1 =(3n-2)+[3(n-1)-2]+ [3(n-2)-2]+ …+(3×2-2)+1 =3[n+(n-1)+(n-2)+…+2]-2(n-1)+1 (n+2)(n-1) 3n2-n =3× -2n+3= 2 2 1 1 1 (2)由 an=an-1+ n 知 an-an-1= n ,记 f(n)= n = an-an-1 2 2 2 则 an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(an-2-an-3)+…(a2-a1)+a1 =f(n)+ f(n-1)+ f(n-2)+…f(2)+ a1 1 1 1 1 1 1 = n + n-1 + n-2 +…+ 2 +1= - n 2 2 2 2 2 2 评注:当 f(n)=d(d 为常数)时,数列{an}就是等差数列,教材对等差数列通项公式的推导其实就 是用累加法求出来的。 七、用累积法求 an= f(n)an-1 型通项 2(n-1) 例 7:(1)已知数列{an}满足 a1=1 且 an= an—1(n≥2) ,求 an n 1 1 (2)数列{an}满足 a1= 且 an= n an—1,求 an 2 2 an 2(n-1) 2(n-1) 解: (1)由条件 = ,记 f(n)= an—1 n n an an-1 a2 an= · ·… ·a1=f(n)f(n-1)f(n-2)…f(2)f(2)a1 an—1 an—2 a1 n-1 2(n-1) 2(n-2) 2(n-3) 2×2 2×1 2 = · · ·… · ·1= n n-1 n-2 3 2 n n(n+1) an an-1 a2 1 1 1 1 1 - (2)an= · ·… ·a1= n · n-1 … 2 · = 1+2+…+n =2 2 an—1 an—2 a1 2 2 2 2 2 评注:如果 f(n)=q(q 为常数) ,则{an}为等比数列,an= f(n)an—1 型数列是等比数列的一种推广, 教材中对等比数列通项公式地推导其实正是用累积法推导出来的。 八、用待定系数法求 an=Aan-1+B 型数列通项 例 8:数列{an}满足 a1=1 且 an+1+2an=1,求其通项公式。 解:由已知,an+1+2an=1,即 an=-2 an—1+1 1 令 an+x=-2(an-1+x) ,则 an=-2 an-1-3x,于是-3x=1,故 x=- 3 1 1 1 1 2 ∴ an- =-2(an-1- ) 故{ an- }是公比 q 为-2,首项为 an- = 的等比数列 3 3 3 3 3

1 2 n-1 1-(-2) ∴an- = (-2) = 3 3 3 评注:一般地,当 A≠1 时令 an+x=A(an-1+x)有 an=A an-1+(A-1)x,则有 B B B B B (A-1)x=B 知 x= ,从而 an+ =A(an-1+ ) ,于是数列{an+ }是首项为 a1+ 、公比 A-1 A-1 A-1 A-1 A-1 B B n-1 为 A 的等比数列,故 an+ =(a1+ )A ,从而 A-1 A-1 B B n-1 an=(a1+ )A - ;特别地,当 A=0 时{an}为等差数列;当 A≠0,B=0 时,数列{an}为等比数列。 A-1 A-1 推广:对于 an=A an-1+f(n) (A≠0 且 A∈R)型数列通项公式也可以用待定系数法求通项公式。 1 例 9:数列{an}满足 a1=1 且 an=2an-1+ n(n≥2) ,求 an。 3 1 1 1 1 5 1 1 解:令 an+x· n=2(an+x· n-1)则 an=2an-1+ 2x· n-1-x· n= x· n-1=5x· n 3 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 而由已知 an=2an-1+ n故 5x=1,则 x= 。故 an+ ·n=2(an-1+ ·n-1) 3 5 5 3 5 3 1 1 1 1 16 从而{an+ ·n}是公比为 q=2、首项为 a1+ ·= 的等比数列。 5 3 5 3 15 1 1 16 16 1 1 1 1 - - 于是 an+ ·n= × n 1,则 an= × n 1- ·n= (2n+3- n-1) 2 2 5 3 15 15 5 3 15 3 评注:一般情况,对条件 an=Aan-1+f(n)而言,可设 an+g(n)=A[an-1+g(n-1)],则有 Ag(n-1) -g(n)=f(n) ,从而只要求出函数 g(n)就可使数列{ an+g(n)}为等比数列,再利用等比数列通项公 式求出 an。值得注意的是 an+g(n)与 an-1+g(n-1)中的对应关系。特别地,当 f(n)=B(B 为常数)时, 就是前面叙述的例 8 型。 这种做法能否进一步推广呢?对于 an=f(n)an-1+g(n)型数列可否用待定系数法求通项公式呢? 我们姑且类比做点尝试:令 an+k(n)=f(n)[an-1+k(n-1)],展开得到 an =f(n)an-1+f(n)k(n-1)-k(n) ,从而 f(n)k(n-1)-k(n)= g(n) ,理论上讲,通过这个 等式 k(n)可以确定出来,但实际操作上,k(n)未必能轻易确定出来,请看下题: n 1 数列{an}满足 a1=1 且 an= nan-1+ ,求其通项公式。 2 n+1 n 1 在这种做法下得到 nk(n-1)-k(n)= ,显然,目前我们用高中数学知识还无法轻易地求出 k 2 n+1 (n)来。 九、通过 Sn 求 an 例 10:数列{an}满足 an =5Sn-3,求 an。 3 解:令 n=1,有 a1=5an-3,∴a1= 。由于 an =5Sn-3………① 4 则 an-1 =5 Sn-1-3………② ①-②得到 an-an-1=5(Sn-Sn-1) ∴an-an-1 =5an 1 1 3 3 1 n-1 故 an=- an-1,则{an}是公比为 q=- 、首项 an= 的等比数列,则 an= (- ) 4 4 4 4 4 评注:递推关系中含有 Sn,通常是用 Sn 和 an 的关系 an=Sn-Sn-1(n≥2)来求通项公式,具体来说有两 类:一是通过 an=Sn-Sn-1 将递推关系揭示的前 n 项和与通项的关系转化为项与项的关系,再根据新的递推 关系求出通项公式;二是通过 an=Sn-Sn-1 将递推关系揭示的前 n 项和与通项的关系转化为前 n 项和与前 n -1 项和的关系,再根据新的递推关系求出通项公式 十、取倒数转化为等差数列 例 11:已知数列{an}满足 a1=1 且 an+1= 解:由 an+1= 2an 有 an+2 2an ,求 an。 an+2 1 an+2 1 1 1 1 1 = = + 即 - = an+1 2an 2 an an+1 an 2

n

1 1 1 所以,数列{ }是首项为 =1、公差为 d= 的等差数列 an a1 2 1 1 n+1 2 则 =1+(n-1) = 从而 an= an 2 2 n+1 评注:注意观察和分析题目条件的结构特点,对所给的递推关系式进行变形,使与所求数列相关的数 1 列(本例中数列{ })是等差或等比数列后,只需解方程就能求出通项公式了。 an 十一、构造函数模型转化为等比数列 例 12:已知数列{an}满足 a1=3 且 an+1=(an-1)2+1,求 an。 解:由条件 an+1=(an-1)2+1 得 an+1-1=(an-1)2 lg(an+1-1) 两边取对数有 lg(an+1-1)=lg( n-1)2)=2lg(an-1) 即 (a =2 lg(an-1) 故数列{ lg(an-1)}是首项为 lg(a1-1)=lg2、公比为 2 的等比数列 所以,lg(an-1)=lg2·2 =lg 2 则 an-1= 2 即 an= 2 +1 评注:通过构造对数函数达到降次的目的,使原来的递推关系转化为等比数列进行求。 十二、数学归纳法 (n≥2) ,求 an。 an-1 解:通过递推关系求出数列前几项如下 2 4 2 4 8 2 a1=4=2+ a2=4- =3=2+ a3=4- = =2+ 1 2 3 a1 a2 3 4 5 2 4 12 2 4 7 2 a4=4- = =2+ a5=4- = =2+ a6=4- = =2+ 4 5 a5 3 6 a3 2 a4 5 2 猜想:通项公式为 an=2+ 。下用归纳法给出证明 n 2 显然,当 n=1 时,a1=4=2+ ,等式成立 1 2 假设当 n=k 时,等式成立,即 ak=2+ k 4 4 2k 2k 2 则当 n=k+1 时,ak+1=4- =4- =4- =2+2- =2+ 2 k+1 k+1 k+1 ak 2+ k 2 由归纳法原理知,对一切 n∈N+都有 an=2+ 。 n 十三、综合应用 例 14:已知各项为正的数列{an}满足 a1=1 且 an2=an-12+2(n≥2) ,求 an。 2 2 2 2 解:由 an =an-1 +2 知 an -an-1 =2 则数列{an2}是公差为 2、首项为 a12=1 的等差数列。 故 an2=1+2(n-1)=2n-1 即 an= 2n-1 例 15:数列{an}满足 a1=a2=5 且 an+1=an+6an-1(n≥2) ,求 an。 解:设 an+1+λan=μ(an+λan-1) ,则 an+1=(μ -λ)an+μλan-1 而 an+1=an+6an-1 则? 例 13:数列{an}满足 a1=4 且 an=4- 4
n-1

2 n ?1

2 n ?1

2 n ?1

?? ? ? ? 1 ? ? ? 3 ? ? ? ?2 解得 ? 或? ?? ? 2 ?? ? ?3 ? ?? ? 6

当 λ=2 且 μ=3 时 an+1+2an=3(an+2an-1) ,即

an+1+2an =3 an+2an-1 则数列{an+2an-1}是公比为 3、首项为 a2+2a1=15 的等比数列。 n-1 n n 于是,an+2an-1=15×3 =5×3 则 an=-2an-1+5×3 n n-1 n 令 an+x·3 =-2(an-1+x·3 ) 则 an=-2an-1-x·3 故 x=-1 n n-1 于是,an-3 =-2(an-1-3 ) n 从而{an-3 }是公比为-2、首项为 a1-3=2 的等比数列。 n n-1 n n-1 n n 所以,an-3 =2×(-2) 则 an=3 +2×(-2) =3 -(-2)

当 λ=-3 且 μ=-2 时,同理可求得 an=3 -(-2) n n 于是,数列{an}的通项公式为 an=3 -(-2)

n

n


数列通项公式的几种求法归纳

数列通项公式的几种求法归纳 隐藏>> 数列通项公式的几种求法一、常规数列的通项 例 1:求下列数列的通项公式 22—1 32—1 42—1 52—1 (1) ,,,… ...

数列通项公式求法大全(配练习及答案)

数列通项公式的几种求法注:一道题中往往会同时用到几种方法求解,要学会灵活...法 (当通项公式中含幂指数时适用) (八) 、迭代法 (九) 、数学归纳法 ...

求数列通项公式的十种方法

数列通项公式的十种方法_数学_自然科学_专业资料。总述:求数列通项的方法:累加法、累乘法、待定系数法、阶差法(逐差法) 、迭代法、对数变换法、倒数变换法...

数列通项公式的求法(有答案)

数列通项公式的方法和类型通常归结为一下几 种: 1. 观察法 通过观察数列各项与项的序号的关系, 找出各项共同的规律特征, 归纳出通项公式的方法。 2.定义法...

数列通项公式的几种常见求法

龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 数列通项公式的几种常见求法 作者:李斌 来源:《考试周刊》2013 年第 31 期 摘要:数列知识是高考中的重要考查内容,而...

数列的通项公式的几种常用求法(文科)

an ? d (常数)或 an 若在已知数列中存在: 的关系,可采用求等差、等比数列的通项公式的求法,确定数列的通项。 2、非等差、等比数列的通项公式的求法。 (...

数列通项公式求法归纳

数列通项公式求法归纳高考数列问题第一问一般是对数列通项公式的求解。在一些综合性比较强的数列问题 中, 数列通项公式求解往往是解决数列难题的瓶颈。 此文归纳...

史上最全的数列通项公式的求法15种

归纳猜想 猜想法 ◆三、归纳猜想法如果给出了数列的几项或能求出数列的几项,我们可以根据前几项的规律,归纳猜想出数列的通项 公式,然后再用数学归纳法证明...

史上最全的数列通项公式的求法15种

q n (q ? 1) ◆三、归纳猜想法 如果给出了数列的几项或能求出数列的几项,我们可以根据前几项的规律,归纳猜想出数列的通项 公式,然后再用数学归纳法...