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2010-2011广州高三第一次模拟理科数学试题word(附答案)[1]


2011 年广州市普通高中毕业班综合测试(一)


锥体的体积公式 V ?
2

学 (理 科)

2011.3

1 Sh ,其中 S 为锥体的底面面积, h 为锥体的高. 3

球的表面积公式 S ? 4? R , 其中 R 为球的半径. 如果事件 A 、

B 互斥,那么 P ? A ? B ? ? P ? A? ? P ? B ? . 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1. 已知集合 A ? x x ? 2 x ? 0? , B ? x ?1 ? x ? 1? , 则 A ? B ?
2

?

?

A. x 0 ? x ? 1?

?

B. x ?1 ? x ? 0?

?

C. x ?1 ? x ? 1?

?

D. x ?1 ? x ? 2?

?

2. 若复数 (1 ? i )(a ? i ) 是实数 ( i 是虚数单位 ) ,则实数 a 的值为 A. ?2 B. ?1 C. 1 D. 2

3. 已知向量 p ? ? 2, ?3? , q ? ? x,6? ,且 p // q ,则 p ? q 的值为 A. 5 4. 函数 y ? B. 13 C. 5 D. 13 开始 C.有极小值 D.有极大值 输入 n

x 在区间 ?1, ?? ? 上 ln x
B.是增函数

A.是减函数

5. 阅读图 1 的程序框图. 若输入 n ? 5 , 则输出 k 的值为. A. 2 C. 4
2

B. 3 D. 5 k=k+1 否

k ?0
=3

? a?b? 6. “ a ? b ” 是“ ? ? ? ab ”成立的 ? 2 ?
A.充分不必要条件 C. 充要条件 B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

n ? 3n ? 1

n ? 150 ?
是 输出 k ,n

7. 将 18 个参加青少年科技创新大赛的名额分配给 3 所学校, 要求每校 至少有一个名额且各校分配的名额互不相等, 则不同的分配方法种数为 A.96 C.128 B.114 D.136 图1
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结束

8. 如图 2 所示,已知正方体 ABCD ? A B1C1D1 的棱长为 2, 长 1 为 2 的线段 MN 的一个端点 M 在棱 DD1 上运动, 另一端点 N 在正方形 ABCD 内运动, 则 MN 的中点的轨迹的面积为 A. 4? C. ? B. 2?

D1 A1 M B1

C1

? D. 2
A

D N
图2

C

B

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~13 题) 9.为了了解某地居民月均用电的基本情况, 抽 取出该地区若干户居民的用电数据, 得到频 率分布直方图如图 3 所示, 若月均用电量在 区间 ?110,120? 上共有 150 户, 则月均用电 量在区间 ?120,150? 上的居民共有 户.
频率 组距 0.040 0.035 0.030 0.025 0.020 0.015 0.010 0.005

0

100

110

120

130

140

150

月均用电量(度)

图3

10. 以抛物线 C : y ? 8x 上的一点 A 为圆心作圆,若该圆经过抛物线 C 的顶点和焦点,
2

那么该圆的方程为

. .

11. 已知数列 ?an ? 是等差数列, 若 a4 ? 2a6 ? a8 ? 12 , 则该数列前 11 项的和为 12. △ ABC 的三个内角 A 、 B 、 C 所对边的长分别为 a 、 b 、 c ,已知 c ? 3, C ? 则 b 的值为 .

?
3

, a ? 2b ,

? 2 x ? y ? 5, ? 13. 某所学校计划招聘男教师 x 名,女教师 y 名, x 和 y 须满足约束条件 ? x ? y ? 2, ? x ? 6. ?
则该校招聘的教师最多是 名.
C D B

(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14. (几何证明选讲选做题) 如图 4, CD 是圆 O 的切线, 切点为 C , 点 A 、 B 在圆 O 上, BC ? 1, ?BCD ? 30 ,则圆 O 的面积为 15. (坐标系与参数方程选讲选做题) 在极坐标系中,若过点 ?1,0 ? 且与
A
?

.

O

极轴垂直的直线交曲线 ? ? 4cos ? 于 A 、 B 两点,则 AB ?
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.

图4

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? 2sin x cos x ? cos 2x ( x ?R). (1) 当 x 取什么值时,函数 f ? x ? 取得最大值,并求其最大值; (2) 若 ? 为锐角,且 f ? ? ?

? ?

??

2 ,求 tan ? 的值. ?? 8? 3

17.(本小题满分 12 分) 某企业生产的一批产品中有一、二、三等品及次品共四个等级,1 件不同等级产品的利润 (单位:元)如表 1,从这批产品中随机抽取出 1 件产品,该件产品为不同等级的概率如表 2. 若从这批产品中随机抽取出的 1 件产品的平均利润(即数学期望)为 4.9 元.

等级 利润

一等品

二等品

三等品

次品

等级

一等品

二等品

三等品

次品

6
表1

5

4

?1

P

0.6
表2

a

0.1

b

(1) 求 a , b 的值; (2) 从这批产品中随机取出 3 件产品,求这 3 件产品的总利润不低于 17 元的概率.

18.(本小题满分 14 分) 如图 5,在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,侧棱 AA1 ? 底面 ABC , AB ? BC , D 为 AC 的中点,
A1 A

A1 A ? AB ? 2 .
(1) 求证: AB1 // 平面 BC1D ; (2) 若四棱锥 B ? AAC1D 的体积为 3 , 1 求二面角 C ? BC1 ? D 的正切值.
C1 C B1 D

B

图5
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19.(本小题满分 14 分) 已知直线 y ? ?2 上有一个动点 Q ,过点 Q 作直线 l1 垂直于 x 轴,动点 P 在 l1 上,且满足

OP ? OQ ( O 为坐标原点),记点 P 的轨迹为 C .
(1) 求曲线 C 的方程; (2) 若直线 l2 是曲线 C 的一条切线, 当点 ? 0, 2 ? 到直线 l2 的距离最短时,求直线 l2 的方程.

20.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ? ax2 ? bx ? c ? a ? 0 ? 满足 f ? 0? ? 0 ,对于任意 x?R 都有 f ? x ? ? x ,且

? 1 ? ? 1 ? f ? ? ? x ? ? f ? ? ? x ? ,令 g ? x ? ? f ? x ? ? ? x ?1 ? ? ? 0? . ? 2 ? ? 2 ?
(1) 求函数 f ? x ? 的表达式; (2) 求函数 g ? x ? 的单调区间; (3) 研究函数 g ? x ? 在区间 ? 0,1? 上的零点个数.

21.(本小题满分 14 分) 已知函数 y ? f ? x ? 的定义域为 R, 且对于任意 x1 , x2 ? R,存在正实数 L ,使得

f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? L x1 ? x2 都成立.
(1) 若 f ? x ? ? 1 ? x ,求 L 的取值范围;
2

(2) 当 0 ? L ? 1 时,数列 ?an ? 满足 an?1 ? f ? an ? , n ? 1, 2,? . ① 证明:

?a
k ?1

n

k

? ak ?1 ?

1 a1 ? a2 ; 1? L

② 令 Ak ?

n a1 ? a2 ? ? ak 1 a1 ? a2 . ? k ? 1, 2,3,?? ,证明: ? Ak ? Ak ?1 ? k 1? L k ?1

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2011 年广州市普通高中毕业班综合测试(一)

数学(理科)试题参考答案及评分标准
说明:1.参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考, 如果考生的解法与参考答案不同,可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应 的分数. 2.对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的 内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的得分,但所给分数不得超过该部分正确解答应得 分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:本大题主要考查基本知识和基本运算.共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分. 题号 答案 1 A 2 C 3 B 4 C 5 B 6 A 7 B 8 D

二、填空题:本大题主要考查基本知识和基本运算.本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分.其中 14~15 题是选做题,考生只能选做一题. 说明:第 10 小题写对一个答案给 3 分. 9. 325 14. 10.

? x ? 1?

2

? y?2 2

?

?

2

?9

11. 33

12.

3

13. 10

?

15. 2 3

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) (本小题主要考查三角函数性质, 同角三角函数的基本关系、两倍角公式等知识, 思想方法和运算求解能力) (1) 解: f ? x ? ? 2sin x cos x ? cos 2x 考查化归与转化的数学

? sin 2 x ? cos 2 x

?? 1 分 ?? 2 分

? 2 ? 2 ? 2? sin 2 x ? cos 2 x ? ? 2 ? 2 ? ?

?? ? ? 2 sin ? 2 x ? ? . 4? ?
∴当 2 x ?

?? 3 分

?
4

? 2 k? ?

?
2

,即 x ? k? ?

?
8

(k ? Z ) 时,函数 f ? x ? 取得最大值,其值为 2 .
?? 5 分

(2)解法 1:∵ f ? ? ?

? ?

??

2 ?? 2 ? , ∴ 2 sin ? 2? ? ? ? . ?? 8? 3 2? 3 ?

?? 6 分

第 5 页 共 15 页

∴ cos 2? ?

1 . 3

?? 7 分

∵ ? 为锐角,即 0 ? ? ?

?
2

,

∴ 0 ? 2? ? ? .

∴ sin 2? ? 1 ? cos 2? ?
2

2 2 . 3

?? 8 分

∴ tan 2? ? ∴

2 tan ? ?2 2. 1 ? tan 2 ?
2

sin 2? ?2 2. cos 2?

?? 9 分 ?? 10 分

∴ 2 tan ∴

? ? tan ? ? 2 ? 0 .

?

2 tan ? ? 1 tan ? ? 2 ? 0 .

??

?

∴ tan ? ?

2 或 tan ? ? ? 2 (不合题意,舍去) 2 2 . 2

?? 11 分

∴ tan ? ?

?? 12 分

解法 2: ∵ f ? ? ?

? ?

??

2 ?? 2 ? , ∴ 2 sin ? 2? ? ? ? . ?? 8? 3 2? 3 ?
1 . 3 1 . 3
?? 7 分 ?? 8 分

∴ cos 2? ?
2

∴ 2 cos ? ? 1 ?

∵ ? 为锐角,即 0 ? ? ? ∴ cos ? ?

?
2

,

6 . 3
2

?? 9 分

∴ sin ? ? 1 ? cos

??

3 . 3

?? 10 分

∴ tan ? ?

sin ? 2 ? . cos ? 2

?? 12 分

解法 3:∵ f ? ? ?

? ?

??

2 ?? 2 ? , ∴ 2 sin ? 2? ? ? ? . ?? 8? 3 2? 3 ?
1 . 3
?? 7 分

∴ cos 2? ?

∵ ? 为锐角,即 0 ? ? ?
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?
2

,

∴ 0 ? 2? ? ? .

∴ sin 2? ? 1 ? cos 2? ?
2

2 2 . 3

?? 8 分

∴ tan ? ?

sin ? cos ? 2 sin ? cos ? ? 2 cos 2 ? sin 2? ? 1 ? cos 2?

?? 9 分 ?? 10 分

?

2 . 2

?? 12 分

17.(本小题满分 12 分) (本小题主要考查数学期望、概率等知识, 解能力和应用意识)

考查或然与必然的数学思想方法,以及数据处理能力、运算求

(1)解:设 1 件产品的利润为随机变量 ? ,依题意得 ? 的分布列为:

?
P

6
0.6

5

4

?1

a

0.1

b
?? 2 分

∴ E? ? 6 ? 0.6 ? 5a ? 4 ? 0.1 ? b ? 4.9 ,即 5a ? b ? 0.9 . ∵ 0.6 ? a ? 0.2 ? 0.1 ? b ? 1 , 即 a ? b ? 0.3 , 解得 a ? 0.2, b ? 0.1 . ∴ a ? 0.2, b ? 0.1 .

?? 3 分 ?? 4 分

?? 6 分

(2)解:为了使所取出的 3 件产品的总利润不低于 17 元,则这 3 件产品可以有两种取法:3 件都 是一等品或 2 件一等品,1 件二等品.
3 2 故所求的概率 P ? 0.6 ? C 3 ?0.62 ? 0.2 ? 0.432 .

?? 8 分 ?? 12 分

18. (本小题满分 14 分) (本小题主要考查空间线面关系、二面角的平面角、锥体的体积等知识, 考查数形结合、化归与转化的数 学思想方法,以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力) (1)证明: 连接 B1C ,设 B1C 与 BC1 相交于点 O ,连接 OD , ∵ 四边形 BCC1B1 是平行四边形, ∴点 O 为 B1C 的中点. ∵ D 为 AC 的中点,
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A1

A

E
D

∴ OD 为△ AB1C 的中位线, ∴ OD // AB1 . ?? 2 分

∵ OD ? 平面 BC1D , AB1 ? 平面 BC1D , ∴ AB1 // 平面 BC1D . (2)解: 依题意知, AB ? BB1 ? 2 , ∵ AA1 ? 平面 ABC , AA1 ? 平面 AA C1C , 1 ∴ 平面 ABC ? 平面 AA C1C ,且平面 ABC ? 平面 AA C1C ? AC . 1 1 作 BE ? AC ,垂足为 E ,则 BE ? 平面 AA C1C , 1 设 BC ? a , 在 Rt△ ABC 中, AC ? ??6 分 ?? 4 分

AB2 ? BC2 ? 4 ? a2 , BE ?

AB?BC 2a , ? AC 4 ? a2

∴四棱锥 B ? AAC1D 的体积 V ? 1

1 1 ? ? A1C1 ? AD ??AA1 ?BE 3 2
?? 8 分

1 3 2a ? ? 4 ? a2 ? 2 ? ? a. 6 2 4 ? a2
依题意得, a ? 3 ,即 BC ? 3 . (以下求二面角 C ? BC1 ? D 的正切值提供两种解法)

?? 9 分

解法 1:∵ AB ? BC, AB ? BB1 , BC ? BB1 ? B , BC ? 平面 BB1C1C , BB1 ? 平面 BB1C1C , ∴ AB ? 平面 BB1C1C . 取 BC 的中点 F ,连接 DF ,则 DF // AB ,且 DF ? ∴ DF ? 平面 BB1C1C . 作 FG ? BC1 ,垂足为 G ,连接 DG , 由于 DF ? BC1 ,且 DF ? FG ? F , ∴ BC1 ? 平面 DFG . ∵ DG ? 平面 DFG , ∴ BC1 ? DG .
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1 AB ? 1 . 2

∴ ?DGF 为二面角 C ? BC1 ? D 的平面角. 由 Rt△ BGF ~Rt△ BCC1 ,得

?? 12 分

GF BF , ? CC1 BC1

3 ?2 BF ? 1 2 CC 3 13 ? ? 得 GF ? , BC1 13 13
在 Rt△ DFG 中, tan ?DGF ?

DF 13 . ? GF 3

∴二面角 C ? BC1 ? D 的正切值为

13 . 3

?? 14 分

解法 2: ∵ AB ? BC, AB ? BB1 , BC ? BB1 ? B , BC ? 平面 BB1C1C , BB1 ? 平面 BB1C1C , ∴ AB ? 平面 BB1C1C . 以点 B1 为坐标原点,分别以 B1C1 , B1 B , B1 A1 所在直线为 x 轴,
z A1 A

y 轴和 z 轴,建立空间直角坐标系 B1 ? xyz .
则 B ? 0,2,0? , C1 ? 3,0,0? , A? 0,2,2? , D ?

?3 ? , 2,1? . ?2 ?
D

??? ? 3 ? ???? ? ? ∴ BC1 ? ? 3, ?2,0 ? , BD ? ? , 0,1? ?2 ?
设平面 BC1D 的法向量为 n ? ? x, y, z ? ,

B1 B y

?3x ? 2 y ? 0, ??? ? ???? ? ? 由 n ? BC1 ? 0 及 n ? BD ? 0 ,得 ? 3 ? 2 x ? z ? 0. ?
令 x ? 2 ,得 y ? 3, z ? ?3 . 故平面 BC1D 的一个法向量为 n ? ? 2,3, ?3? , 又平面 BC1C 的一个法向量为 AB ? ? 0,0, ?2 ? ,

O C

C1 x

?? 11 分

??? ?

???? ??? ? n ? AB 2 ? 0 ? 0 ? 3 ? ? ?2 ? ? ? ?3? 3 ∴ cos ?n , AB? ? . ? ???? ? 2 ? 22 22 n AB

?? 12 分

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2 ??? ? 13 ? 3 ? ∴ sin ?n , AB? ? 1 ? ? . ? ? 22 ? 22 ?

?? 13 分

∴ tan ?n , AB? ?

??? ?

13 . 3 13 . 3
?? 14 分

∴二面角 C ? BC1 ? D 的正切值为 19.(本小题满分 14 分)

(本小题主要考查求曲线的轨迹方程、点到直线的距离、曲线的切线等知识, 考查数形结合、化归与转化、 函数与方程的数学思想方法,以及推理论证能力、运算求解能力和创新意识) (1) 解:设点 P 的坐标为 ? x, y ? ,则点 Q 的坐标为 ? x, ?2? . ∵ OP ? OQ , ∴ kOP ? OQ ? ?1 . k 当 x ? 0 时,得 ?

y ?2 ? ?1 ,化简得 x2 ? 2 y . x x

?? 2 分

当 x ? 0 时, P 、 O 、 Q 三点共线,不符合题意,故 x ? 0 . ∴曲线 C 的方程为 x2 ? 2 y ? x ? 0 ? . (2) 解法 1:∵ 直线 l2 与曲线 C 相切,∴直线 l2 的斜率存在. 设直线 l2 的方程为 y ? kx ? b , 由? ?? 5 分 ?? 4 分

? y ? kx ? b, 2 得 x ? 2kx ? 2b ? 0 . 2 ? x ? 2 y,

∵ 直线 l2 与曲线 C 相切, ∴ ? ? 4k ? 8b ? 0 ,即 b ? ?
2

k2 . 2

?? 6 分

点 ? 0, 2 ? 到直线 l2 的距离 d ?

?2 ? b

1 k2 ? 4 ? ? k2 ?1 2 k2 ?1

?? 7 分

1? 3 ? ? ? ? k2 ?1 ? 2? k2 ?1 ? ? ?
? 1 ?2 2 k 2 ? 1? 3 k ?1
2

?? 8 分

?? 9 分

第 10 页 共 15 页

? 3.
当且仅当 k 2 ? 1 ?

?? 10 分 ??12 分

3 k2 ?1

,即 k ? ? 2 时,等号成立.此时 b ? ?1 .

∴直线 l2 的方程为 2x ? y ?1 ? 0 或 2x ? y ? 1 ? 0 . 解法 2:由 x2 ? 2 y ,得 y ' ? x , ∵直线 l2 与曲线 C 相切, 设切点 M 的坐标为 ? x1 , y1 ? ,其中 y1 ? 则直线 l2 的方程为: y ? y1 ? x1 ? x ? x1 ? ,化简得 x1 x ? y ?

?? 14 分 ?? 5 分

1 2 x1 , 2
?? 6 分

1 2 x1 ? 0 . 2

点 ? 0, 2 ? 到直线 l2 的距离 d ?

?2 ?

1 x2 ? 4 ? ? 1 2 x12 ? 1 x12 ? 1

1 2 x1 2

?? 7 分

1? 3 ? ? ? ? x12 ? 1 ? 2 2? x1 ? 1 ? ? ?
? 1 ?2 2 x12 ? 1? 3 x ?1
2 1

?? 8 分

?? 9 分

? 3.
当且仅当 x12 ? 1 ?

?? 10 分 ??12 分

3 x12 ? 1

,即 x1 ? ? 2 时,等号成立.

∴直线 l2 的方程为 2x ? y ?1 ? 0 或 2x ? y ? 1 ? 0 . 解法 3:由 x2 ? 2 y ,得 y ' ? x , ∵直线 l2 与曲线 C 相切, 设切点 M 的坐标为 ? x1 , y1 ? ,其中 y1 ?

?? 14 分 ?? 5 分

1 2 x1 ? 0 , 2
?? 6 分

则直线 l2 的方程为: y ? y1 ? x1 ? x ? x1 ? ,化简得 x1 x ? y ? y1 ? 0 . 点 ? 0, 2 ? 到直线 l2 的距离 d ?

?2 ? y1 x ?1
2 1

?

y1 ? 2 2 y1 ? 1

?? 7 分

? 1? 3 ? ? ? 2 y1 ? 1 ? 2? 2 y1 ? 1 ? ? ?
? 1 ?2 2 2 y1 ? 1? 3 2 y1 ? 1

?? 8 分

?? 9 分

第 11 页 共 15 页

? 3.
当且仅当 2 y1 ? 1 ?

?? 10 分 ??12 分

3 2 y1 ? 1

,即 y1 ? 1 时,等号成立,此时 x1 ? ? 2 .

∴直线 l2 的方程为 2x ? y ?1 ? 0 或 2x ? y ? 1 ? 0 . 20.(本小题满分 14 分)

?? 14 分

(本小题主要考查二次函数、函数的性质、函数的零点、分段函数等知识, 考查函数与方程、分类与整合 的数学思想方法,以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和应用意识) (1) 解:∵ f ? 0? ? 0 ,∴ c ? 0 . ∵对于任意 x ?R 都有 f ? ? ?? 1 分

? 1 ? ? 1 ? ? x? ? f ?? ? x? , ? 2 ? ? 2 ?
1 b 1 ? ? ,得 a ? b . ,即 ? 2 2a 2
?? 2 分

∴函数 f ? x ? 的对称轴为 x ? ?
2

又 f ? x ? ? x ,即 ax ? ? b ? 1? x ? 0 对于任意 x?R 都成立, ∴ a ? 0 ,且 ? ? ? b ? 1? ? 0 .
2

∵ ? b ? 1? ? 0 ,
2

∴ b ? 1, a ? 1 . ?? 4 分

∴ f ? x? ? x ? x .
2

1 ? 2 ? x ? ?1 ? ? ? x ? 1, x ? ? , ? (2) 解: g ? x ? ? f ? x ? ? ? x ? 1 ? ? ? x 2 ? ?1 ? ? ? x ? 1, x ? 1 . ? ? ?
① 当x?

?? 5 分

1

?
1

时,函数 g ? x ? ? x ? ?1 ? ? ? x ?1 的对称轴为 x ?
2

? ?1
2





? ?1
2

?

?
1

,即 0 ? ? ? 2 ,函数 g ? x ? 在 ? ,即 ? ? 2 ,函数 g ? x ? 在 ?

?1 ? , ?? ? 上单调递增; ?? ?

?? 6 分



? ?1
2

?

?

? 1 ? ?1 ? ? ? ?1 ? , ?? ? 上单调递增,在 ? , ? 上单调递减. ?? 2 ? ? 2 ?
?? 7 分

② 当x ?

1

?

时,函数 g ? x ? ? x ? ?1 ? ? ? x ? 1的对称轴为 x ? ?
2

1? ? 1 ? , 2 ?
?? 8 分

则函数 g ? x ? 在 ? ?

1? ? ? ? 1? ? 1 ? ? , ? 上单调递增,在 ? ??, ? ? 上单调递减. 2 ?? 2 ? ? ?

第 12 页 共 15 页

综上所述,当 0 ? ? ? 2 时,函数 g ? x ? 单调递增区间为 ? ?

? 1? ? ? , ?? ? ,单调递减区间为 2 ? ?
?? 9 分

1? ? ? ? ? ??, ? ?; 2 ? ?
当 ? ? 2 时,函数 g ? x ? 单调递增区间为 ? ?

? 1 ? ? 1 ? ? ? ?1 ? , ?和? , ?? ? ,单调递减区间为 2 ?? ? 2 ? ?
?? 10 分

1? ? ? ? 1 ? ?1 ? ? ? ??, ? ?和? , ?. 2 ? ?? 2 ? ?
(3)解:① 当 0 ? ? ? 2 时,由(2)知函数 g ? x ? 在区间 ? 0,1? 上单调递增, 又 g ? 0? ? ?1 ? 0, g ?1? ? 2 ?

? ?1 ? 0 ,
?? 11 分

故函数 g ? x ? 在区间 ? 0,1? 上只有一个零点. ② 当 ? ? 2 时,则

1

?

?

1 ?1? 1 1 ? 1 ,而 g ? 0? ? ?1 ? 0, g ? ? ? 2 ? ? 0 , 2 ? ??? ?

g ?1? ? 2 ? ? ?1 ,
(ⅰ)若 2 ? ? ? 3 ,由于
2

1

?

?

? ?1
2

?1,
2

? ? ? 1? ? ?1 ? ? ?1? ? ? ?1? 且g? ?1 ? 0 , ?1 ? ? ??? ? ? ?1 ? ? ?? 4 2 ? 2 ? ? 2 ?
此时,函数 g ? x ? 在区间 ? 0,1? 上只有一个零点; (ⅱ)若 ? ? 3 ,由于 ?? 12 分

? ?1
2

? 1 且 g ?1? ? 2 ? ? ?1 ? 0 ,此时,函数 g ? x ? 在区间 ? 0,1?
?? 13 分

上有两个不同的零点. 综上所述,当 0 ? ? ? 3 时,函数 g ? x ? 在区间 ? 0,1? 上只有一个零点; 当 ? ? 3 时,函数 g ? x ? 在区间 ? 0,1? 上有两个不同的零点. 21.(本小题满分 14 分)

?? 14 分

(本小题主要考查函数、数列求和、绝对值不等式等知识, 考查化归与转化的数学思想方法,以及抽象概 括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识) (1) 证明:对任意 x1 , x2 ? R,有
2 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 1 ? x12 ? 1 ? x2

第 13 页 共 15 页

?
?

2 x12 ? x2 2 1 ? x12 ? 1 ? x2

x1 ? x2 ?x1 ? x2
2 1 ? x12 ? 1 ? x2

.

?? 2 分

由 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? L x1 ? x2 ,即

x1 ? x2 ?x1 ? x2
2 1 ? x12 ? 1 ? x2

? L x1 ? x2 .

当 x1 ? x2 时,得 L ?

x1 ? x2
2 1 ? x12 ? 1 ? x2

.

2 ? 1 ? x12 ? x1 , 1 ? x2 ? x2 , 且 x1 ? x2 ? x1 ? x2 ,



x1 ? x2 1? x ? 1? x
2 1 2 2

?

x1 ? x2 x1 ? x2

? 1.

?? 4 分

∴要使 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? L x1 ? x2 对任意 x1 , x2 ? R 都成立,只要 L ? 1 . 当 x1 ? x2 时,

f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? L x1 ? x2 恒成立.
?? 5 分

∴ L 的取值范围是 ?1, ?? ? . (2) 证明:①∵ an?1 ? f ? an ? , n ? 1, 2,? , 故当 n ? 2 时, an ? an ?1 ? f ? an ?1 ? ? f ? an ? ? L an ?1 ? an

? L f ? an ? 2 ? ? f ? an ?1 ? ? L2 an ? 2 ? an ?1 ? ? ? Ln ?1 a1 ? a2 .


?? 6 分

?a
k ?1

n

k

? ak ?1 ? a1 ? a2 ? a2 ? a3 ? a3 ? a4 ? ? ? an ? an?1
? ?1 ? L ? L2 ? ? ? Ln ?1 ? a1 ? a2
?? 7 分

?
∵ 0 ? L ? 1, ∴

1 ? Ln a1 ? a2 . 1? L

?? 8 分

?a
k ?1

n

k

? ak ?1 ?

1 a1 ? a2 ( 当 n ? 1 时,不等式也成立 ) . 1? L

?? 9 分

②∵ Ak ?

a1 ? a2 ? ? ak , k

∴ Ak ? Ak ?1 ?
第 14 页 共 15 页

a1 ? a2 ? ? ? ak a1 ? a2 ? ? ? ak ?1 ? k k ?1

?

1 ? a1 ? a2 ? ? ? ak ? kak ?1 ? k ? k ? 1?

?

1 ? a1 ? a2 ? ? 2 ? a2 ? a3 ? ? 3 ? a3 ? a4 ? ? ? ? k ? ak ? ak ?1 ? k ? k ? 1? 1 ? a1 ? a2 ? 2 a2 ? a3 ? 3 a3 ? a4 ? ? ? k ak ? ak ?1 ? . k ? k ? 1?
?? 11 分

?



?A
k ?1

n

k

? Ak ?1 ? A1 ? A2 ? A2 ? A3 ? ? ? An ? An ?1
? 1 ? 1 1 ? a1 ? a2 ? ? 1? 2 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? n ? 1? ? ? 2 a2 ? a3 ? ? ? ? 1 ? 1 1 ? ? 2 ? 3 ? 3 ? 4 ? ? ? n ? n ? 1? ? ? ? ?

? 1 ? 1 1 1 ?3 a3 ? a4 ? ? ??? ? ? ? ? n an ? an ?1 ? ? 3? 4 4 ? 5 ? n ? n ? 1? ? n ? n ? 1? ?

1 ? ? ? a1 ? a2 ?1 ? ? ? a2 ? a3 ? n ?1 ?

2 ? ? ?1 ? ? ? ? ? an ? an?1 ? n ?1 ?

n ? ? ?1 ? ? ? n ?1?

? a1 ? a2 ? a2 ? a3 ??? an ? an?1
? 1 a1 ? a2 . 1? L
??14 分

第 15 页 共 15 页


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