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浙江省宁波市2013-2014学年高一下学期期末考试 数学试题 Word版含答案

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一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.设 a 、 b 、 c ? R , a ? b ? 0 ,则下列不等式一定成立的是

A. a 2 ? b 2

B. ac 2 ? bc 2

C.

1 1 ? a b

r />
D.

1 1 ? a?b a

2.数列 {a n } : ? 3 、3、 ? 3 3 、9、…的一个通项公式是

A. an ? (?1) n 3n ( n ? N ? ) C. an ? (?1) n ?1 3n ( n ? N ? )

B. an ? (?1) n 3n ( n ? N ? ) D. an ? (?1) n ?1 3n ( n ? N ? )

m 是两条不同的直线, ? 是一个平面,则下列命题不正确 3.设 l、 的是 ... A. 若 l ? ? , m ? ? ,则 l ? m B. 若 l ? ? , l ∥ m ,则 m ? ? C. 若 l ? ? , m ? ? ,则 l ∥ m D. 若 l ∥ ? , m ∥ ? ,则 l ∥ m
4.等差数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,若 S 4 ? 8 , S 8 ? 4 ,则 a9 ? a10 ? a11 ? a12 ?

A. ? 16 B. ? 12 C. 12 D. 16 5.在 ?ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c ,那么下列给出的各组条件能确定三
角形有两解的是

A. a ? 10 , b ? 8 , A ? 30? C. a ? 10 , b ? 8 , A ? 150?
6. 已知数列 {a n } 满足 a1 ? 2 , an ?1 ?

B. a ? 8 , b ? 10 , A ? 45? D. a ? 8 , b ? 10 , A ? 60?
an ? 1 (n ? N ? ) ,则 a30 ? an ? 1

A. 2

B.

1 3

C. ?

7.当 0 ? a ? 1 时,关于 x 的不等式

A. (2,

a?2 ) a ?1

B. (

2?a ,2) a ?1

a ( x ? 1) ? 1 的解集是 x?2 a?2 C. (??,2) ? ( ,??) a ?1

1 2

D. ? 3

D. (??,

8. 已 知 函 数 f ( x) ? sin x ? ? cos x 的 图 象 的 一 个 对 称 中 心 是 点 (

?
3

2?a ) ? (2,??) a ?1 ,0) , 则 函 数 g ( x) =

? sin x cos x ? sin 2 x 的图象的一条对称轴是直线
A. x ?
5? 6

B. x ?

4? 3

C. x ?

?
3

D. x ? ?

?
3

9.若不等式

t t2 ? 3 对任意的 t ? (0,2] 上恒成立,则 ? 的取值范围是 ? ? ? t2 ? 9 t? 3

1 2 2 2 1 2 A. [ ,2 7 ? 21] B. [ ,2 7 ? 21] C. [ , D. [ , ] ] 6 2 13 2 6 13 10. 如图,三棱柱 ABC ? A1B1C1 的各棱长均为 2 ,侧棱 BB1 与底面 ABC 所成的角为 60? , ?AA1B1 为锐角,且侧面 ABB1 A1 ⊥底面 ABC ,给出下列四个结论: ? ① ?ABB1 ? 60 ; B A ② AC ? BB1 ; C ③直线 AC1 与平面 ABB1 A1 所成的角为 45? ; B1 ④ B1C ? AC1 . A1
其中正确的结论是 A. ①③ B. ②④

C. ①③④

D. ①②③④

(第 10 题图)

C1

二、填空题:本大题共 7 个小题,每小题 4 分,共 28 分. 把答案填在答题卷的相应位置 11.求值: sin 52? cos 83? ? cos 52? cos 7? ? ___________. 12.圆锥的母线长为 3,侧面展开图的中心角为

2? ,那么它的表面积为___________. 3

13.将棱长为 2 的正方体切割后得一几何体,其三视图如图所示, 则该几何体的体积为___________. 14.正数 x 、 y 满足 xy ? x ? y ? 8 ,那么 x ? y 的最小值等于 ___________. 15.已知数列 {a n } 是首项为 3,公差为 1 的等差数列,数列 {bn }
正视图 侧视图

1 1 俯视图 ,公比也为 的等比数列,其中 n ? N ? ,那么数 2 2 视图 (第 13 题图) 列 {anbn } 的前 n 项和 S n ? ________. 16.在 ?ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c ,若 a、b、c 成等差数列,则角 B
是首项为 的取值范围是__________(角用弧度表示).
? 2 17.在数列 {an } 中, a1 ? 1 , a6 ? 32 , an an ? 2 ? an ,把数列的各项按如下方法 ?1 ( n ? N )

进行分组:( a1 )、 ( a2 , a3 , a4 )、 ( a5 , a6 , a7 , a8 , a9 )、……,记 A(m, n) 为第 m 组的第 n 个数(从 前到后) ,若 A(m, n) ? A(n, m) = 2 ,则 m ? n ? ____________.
50

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.(本题满分 14 分)

1 ,求 cos 2? 的值; 3 ? ? 3 5 (Ⅱ)已知 ? ? ? ? 0 ? ? ? , cos(a ? ? ) ? , sin ? ? ,求 tan ? 的值. 2 2 5 13
(Ⅰ)已知 0 ? ? ? ? , sin ? ? cos ? ?

19.(本题满分 14 分) 在 ?ABC 中, a、b、c 分别是角 A、B、C 所对的边,且 a sin A ? (a ? b) sin B ? c sin C . (Ⅰ)求角 C ; (Ⅱ)若 c ? 1 ,求 ?ABC 的周长 l 的取值范围.

20. (本题满分 14 分) 某市环保部门对市中心每天环境污染情况进行调查研究,发现一天中环境污染指数 f ( x) 与时 刻 x (时)的关系为 f ( x) ? a |

x 16 ? a | ? a ? , x ? [0,24] ,其中 a 是与气象有关的参 x ?1 9
2

1 4 x (Ⅰ)令 t ? 2 , x ? [0,24] ,求 t 的取值范围; x ?1

数,且 a ? (0, ] ,用每天 f ( x) 的最大值作为当天的污染指数,记作 M (a ) .

(Ⅱ)按规定,每天的污染指数不得超过 2,问目前市中心的污染指数是否超标?

21.(本题满分 15 分) 如 图 , 已 知 四 棱 锥 P ? ABCD 的 底 面 为 菱 形 , PA ? 面 ABCD , 且 PA ? AB , ?BAD ? 60 ? , E、F 分别是 PA、BC 的中点. (Ⅰ)求证: BE ∥平面 PDF ; (Ⅱ)过 BD 作一平面交棱 PC 于点 M ,若二面角 M ? BD ? C 的大小为 60? ,求

CM 的值. MP

P

M E D F A
(第 21 题图) 图

C

B

22.(本题满分 15 分) 设数列 {a n } 的首项 a1 ? 1 ,前 n 项和为 S n ,且 2a n ?1 、 S n 、 ? a 2 成等差数列,其中 n ? N ? . (Ⅰ)求数列 {a n } 的通项公式; (Ⅱ)数列 {bn } 满足: bn ?

an ,记数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn ,求 Tn 及数列 (an ?1 ? 18)(an ? 2 ? 18)

{Tn } 的最大项.

命题:宁海中学 陈金伟 审题:象山中学 张美娟、俞建英

宁波市

2013 学 年 第二学期

八校联考高一数学参考答案

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.(本题满分 14 分)

因为 0 ? ? ? ? , sin ? ? cos? ? 0 ,所以

?
2

?? ?

3? 3? , ? ? 2? ? , ……5 分 4 2

8 17 cos 2? ? ? 1 ? (? ) 2 ? ? . ………………………………………………7 分 9 9 5 ? 5 (Ⅱ )因为 0 ? ? ? 且 sin ? ? ,所以 tan ? ? , ……………………………9 分 2 12 13 ? ? 因为 ? ? ? ? 0 ? ? ? ,所以 ? ? ? ? ? ? ? 0 , 2 2 3 ? 4 又 cos(? ? ? ) ? ? 0 ,所以 ? ? ? ? ? ? 0 ,所以 tan(? ? ? ) ? ? ,……11 分 5 2 3

4 5 ? 3 12 ? ? 33 .……………………………14 分 所以 tan ? ? tan[(? ? ? ) ? ? ] ? 4 5 56 1? ? 3 12 ?

因为 0? ? A ? 60? ,所以 60? ? A ? 60? ? 120? ,

3 ? sin( A ? 60? ) ? 1 , 2 2 2 2 2 3 ,所以 2 ? l ? 1? sin( A ? 60? ) ? ? 1 ,即 2 ? l ? ? 1 . ………14 分 3 3 3 3

法 2:由余弦定理得, c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos120? ? a 2 ? b 2 ? ab , …………9 分 而 c ? 1 ,故 1 ? (a ? b) 2 ? ab ? (a ? b) 2 ? ( 所以 a ? b ?

a?b 2 3 ) ? (a ? b) 2 ,………………11 分 2 4

2 3 , …………………………………………………………………12 分 3

又 a ? b ? c ? 1 , ……………………………………………………………………13 分 所以 2 ? a ? b ? c ?

2 3 2 3 ? 1 ,即 2 ? l ? ? 1 . ………………………………14 分 3 3

20.(本题满分 14 分) (Ⅰ)(1)当 x ? 0 时, t ? 0 ;………………………………………………………………1 分

1 g (t ) 在 [0, a ) 上 单 调 递 减 , 在 [a, ] 上 单 调 递 增 , 所 以 g (t ) 的 最 大 值 只 可 能 在 t ? 0 或 2 1 t? 2

21.(本题满分 15 分) (Ⅰ)取 PD 的中点 G ,连结 EG 、 FG , 因为 E 是 PA 的中点,所以 EG ∥ AD ,且

P G E D O F C

1 AD ,又 F 是菱形 ABCD 边 BC 2 1 的中点,所以 BF ∥ AD ,且 BF ? AD , 2 所以 EG ∥ BC ,且 EG ? BC ,四边形 EGFB 是平行四边形,所以 BE ∥ FG ,

EG ?

M

……………………………………………5 分 A B 而 FG ? 平 面 PDF , BE ? 平 面 (第 21 题图) PDF ,……………………………………………6 图 分 所以 BE ∥平面 PDF .…………………………………………………………………7 分

(Ⅱ)连结 AC 交 BD 于 O ,连结 OM ,因为 PA ? 面 ABCD ,所以 PA ? BD ,即 BD ? PA ,又 BD ? AC ,且 PA ? AC ? A ,所以 BD ? 平面 PAC ,…………10 分 从 而 OM ? BD , OC ? BD , 所 以 ?MOC 就 是 二 面 角 M ? BD ? C 的 平 面 角 , ?MOC ? 60? ,………………………………………………………………………12 分 设 AB ? 1 ,因为 PA ? AB , ?BAD ? 60 ? ,所以 PA ? 1 , AC ?

3 , PC ? 2 ,

?PCA ? 30? ,所以 ?OMC ? 90? ,在 Rt?OCM 中, CM ?

3 3 cos 30? ? ,…14 分 2 4

所以

CM 3 ? ? 3 MP 2 ? 5 4

3 4

……………………………………………………………15 分

22.(本题满分 15 分) (Ⅰ) 由 2a n ?1 、 S n 、 ? a 2 成等差数列知, 2 S n ? 2an ?1 ? a2 ,………………………1 分 当 n ? 2 时, 2 S n ?1 ? 2an ? a2 , 所以 2 S n ? 2 S n ?1 ? 2an ?1 ? 2an , an ?1 ? 2an ……………………………………4 分 当 n ? 1 时,由 2a1 ? 2a2 ? a2 得 a2 ? 2a1 , ……………………………………5 分 综上知,对任何 n ? N ? ,都有 an ?1 ? 2an ,又 a1 ? 1 ,所以 an ? 0 ,

a n ?1 ? 2 .…6 分 an

所以数列 {a n } 是首项为 1,公比为 2 的等比数列,所以 an ? 2 n ?1 . ……………7 分 (Ⅱ) bn ?

an 2n ?1 1 1 1 ? n ? ( n ? n?1 ) ……10 分 n ?1 (an ?! ? 18)(an ? 2 ? 18) (2 ? 18)(2 ? 18) 2 2 ? 18 2 ? 18 1 1 1 1 1 1 1 Tn ? ( 1 ? 2 ? 2 ? 3 ??? n ? n ?1 ) 2 2 ? 18 2 ? 18 2 ? 18 2 ? 18 2 ? 18 2 ? 18 1 1 1 1 1 1 ? ( 1 ? n ?1 ) ? (? ? n ?1 ) ,……………………………12 分 2 2 ? 18 2 ? 18 2 16 2 ? 18 1 1 1 2n ?1 Tn ?1 ? Tn ? ( n ?1 ? )? , 2 2 ? 18 2n ? 2 ? 18 (2n ?1 ? 9)(2n ?1 ? 18) 当 n ? 2 时, 即 0 ? T1 ? T2 ? T3 ; 当 n ? 4 时, 也有 Tn ?1 ? Tn , 但 Tn ? 0 ; 当n ? 3 Tn ?1 ? Tn ,
时, Tn ?1 ? Tn ? 0 , Tn ?1 ? Tn ,即 T4 ? T3 . 所以数列 {Tn } 的的最大项是 T3 ?

7 . ……………………………………………15 分 32

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