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2013-2014学年 高中数学 人教A版选修1-1 第二章 2.3.2(二)抛物线的简单几何性质(二)

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2.3.2(二)

2.3.2

抛物线的简单几何性质(二)

本 【学习要求】 1.提升对抛物线定义、标准方程的理解,掌握 讲 抛物线的几何特性 .2.学会解决直线与抛物线相交问题的 栏 目 综合问题. 开 关

试一试·双基题目、基础更牢固

2.3.2(二)

1.已知抛物线的方程为标准方程,焦点在 x 轴上,其上一点 P(-3,m)到焦点 F 的距离为 5,则抛物线方程为
本 讲 栏 目 开 关

( B )

A.y2=8x C.y2=4x 解析

B.y2=-8x D.y2=-4x

点 P(-3,m)在抛物线上,焦点在 x 轴上,所以抛物

线的标准方程可设为 y2=-2px(p>0).由抛物线定义知|PF|= p 3+ =5.所以 p=4,所以抛物线的标准方程是 y2=-8x. 2

试一试·双基题目、基础更牢固

2.3.2(二)

2.已知点 A(-2,1),y2=-4x 的焦点是 F,P 是 y2=-4x 上 的点,为使|PA|+|PF|取得最小值,则 P 点的坐标是( A ) ? ? ? 1 ? A.?-4,1? B.(-2,2 2) ? ? ? ? ? 1 C.?-4,-1 ? D.(-2,-2 2) ? ? ?

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解析 过 P 作 PK⊥l(l 为抛物线的准线)于 K,
则|PF|=|PK|,∴|PA|+|PF|=|PA|+|PK|.

∴当 P 点的纵坐标与 A 点的纵坐标相同时,
|PA|+|PK|最小,此时 P 点的纵坐标为 1, 1 2 把 y=1 代入 y =-4x 得 x=- . 4

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2.3.2(二)

3.过抛物线 y2=4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于 A、B 两点,它们的横坐标之和等于 5,则这样的直线 ( B ) A.有且仅有一条
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B.有且仅有两条 D.不存在

C.有无穷多条
解析

∵xA+xB=5,∴|AB|=5+2=7.

∵过焦点垂直于 x 轴的弦长 2p=4,∴所求直线应有两条.

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2.3.2(二)

4.已知 F 是抛物线 C:y2=4x 的焦点,A、B 是抛物线 C 上 的两个点,线段 AB 的中点为 M(2,2),则△ABF 的面积为 2 ________.
2 解析 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y2 1=4x1,y2=4x2.

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∴(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2). y1-y2 4 ∵x1≠x2,∴ = =1. x1-x2 y1+y2 ∴直线 AB 的方程为 y-2=x-2,即 y=x. 将其代入 y2=4x,得 A(0,0)、B(4,4).
2 ∴|AB|=4 2.又 F(1,0)到 y=x 的距离为 , 2
1 2 ∴S△ABF= × ×4 2=2. 2 2

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2.3.2(二)

题型一

抛物线的标准方程

x2 y2 例 1 抛物线的顶点在原点, 对称轴是椭圆 + =1 短轴所 4 9
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在的直线,抛物线的焦点到顶点的距离为 3,求抛物线的 方程及准线方程. x 2 y2 解 ∵椭圆 + =1 短轴在 x 轴上, 4 9 ∴抛物线的对称轴为 x 轴, 设抛物线的标准方程为 y2=2px 或 y2=-2px (p>0), p ∵抛物线的焦点到顶点的距离为 3,∴ =3,即 p=6, 2 ∴抛物线的方程为 y2=12x 或 y2=-12x,准线方程分别为 x
=-3 和 x=3.

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2.3.2(二)

小结

求抛物线的标准方程要明确四个步骤:

(1)定位置(根据条件确定抛物线的焦点位置及开口);
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(2)设方程(根据焦点和开口设出标准方程);
(3)找关系(根据条件列出关于 p 的方程); (4)得出抛物线的标准方程.

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2.3.2(二)

x2 y2 跟踪训练 1 求以双曲线 - =1 的右顶点为焦点的抛物线 8 9 的标准方程及准线方程.
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解 ∵双曲线右顶点为(2 2,0), p 即抛物线的焦点,∴ =2 2,∴2p=8 2, 2 ∴抛物线标准方程为 y2=8 2x,准线方程为 x=-2 2.

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题型二 抛物线的几何性质

2.3.2(二)

例 2 过抛物线焦点 F 的直线交抛物线于 A,B 两点,通过 点 A 和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点 D,求证: 直线 DB 平行于抛物线的对称轴.
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证明

方法一

如图,以抛物线的对称轴为 x

轴,它的顶点为原点,建立直角坐标系. 设抛物线的方程为 y2=2px,



点A

2p 则直线 OA 的方程为 y= x (y0≠0), y0 p 抛物线的准线方程是 x=- . 2 p2 联立②③,可得点 D 的纵坐标为 y=- . y0

? y2 ? ? 0 的坐标为? ,y0? ?, 2 p ? ?

② ③


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因为点 F
?p ? ? 的坐标是? ,0? ?, 2 ? ?

2.3.2(二)

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2py0 ? p? ? ? 所以直线 AF 的方程为 y= 2 x - , 2? ? 2 y0-p ? ? 2 其中 y2 0≠p . p2 联立①⑤,可得点 B 的纵坐标为 y=- . y0 由④⑥可知,DB∥x 轴.
2 当 y2 = p 时,结论显然成立. 0




方法二 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 当 AB 与 x 轴不垂直时,设 AB 方程为

? p? ? y=k?x- ? 2? ? ?

(k≠0).

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2 - p 由根与系数的关系得,y1y2=-p2,∴y2= . y1 ∵A 在抛物线上,∴y2 1=2px1. y1 2p ∴kOA= = . x1 y1 2p ∴直线 OA 的方程为 y= x. y1 ? ?y=2px 2? ? p y1 ? p ? - ,- 由? ,得 D? ? 2 ?. y p ? 1? ? x =- ? 2 ? ∴B、D 两点纵坐标相等,BD∥x 轴. p 当 AB⊥x 轴时,x1=x2= , 2 ?p ? ? p ? ? ? ? 此时 B? ,-p?,D?- ,-p? ?. 2 2 ? ? ? ?

2.3.2(二)

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显然有 BD∥x 轴.

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2.3.2(二)

小结
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本例的研究过程体现了用坐标法研究直线与圆锥曲

线位置关系的特点.过焦点的直线可将直线方程设为 x=my p + 的形式,从而避免分类讨论.本例是抛物线焦点弦的一个 2 几何性质.

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跟踪训练 2 如图所示, 抛物线 y2=2px (p>0)的焦 点为 F,经过点 F 的直线交抛物线于 A、B 两 点,点 C 在抛物线的准线上,且 BC∥x 轴.证 明直线 AC 经过原点 O.
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2.3.2(二)

证明 方法一 设直线 AB 的方程为
? p ? ? B(x2,y2),C?- ,y2? ?. 2 ? ? ? p? ? ? ?y=k?x- ? ?, 2 ? ? 联立方程组,得?

? p? ? y=k?x- ? ?,A(x1,y1), 2 ? ?

2 ? y ? =2px, 2py 2 消去 x,得 y - -p2=0, k y1 y2 2p 2 ∴y1y2=-p ,kOA= ,kOC= = . x1 p y1 - 2

2.3.2(二) 研一研·题型解法、解题更高效 y1 又∵y2 = 2 px , ∴ k = =kOA,所以 AC 经过原点 O. 1 1 OC x1 当 k 不存在时,AB⊥x 轴,同理可得 kOA=kOC, 所以 AC 经过原点 O. ?p ? ? 2 方法二 因为抛物线 y =2px (p>0)的焦点为 F? ,0? 由于直 ?, 2 ? ? 本 讲 栏 目 开 关

线 AB 斜率不为 0,所以经过点 F 的直线 AB 的方程可设为 x p =my+ ,代入抛物线方程消去 x,得 y2-2pmy-p2=0.若设 2 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1,y2 是该方程的两个根,所以 y1y2 =-p2. p 因为 BC∥x 轴,且点 C 在准线 x=- 上, 2 ? p ? y2 2p y1 ? ? 所以点 C 的坐标为?- ,y2?, 故直线 CO 的斜率为 k= = = , 2 p y1 x1 ? ? - 2 即 k 也是直线 OA 的斜率,所以直线 AC 经过原点 O.

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题型三 例3 抛物线中的定值、定点问题

2.3.2(二)

如图,过抛物线 y2=x 上一点 A(4,2)作倾斜角 互补的两条直线 AB、AC 交抛物线于 B、C 两 点,求证:直线 BC 的斜率是定值.

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证明 设 kAB=k (k≠0),∵直线 AB,AC 的倾斜角互补,
∴kAC=-k(k≠0),∵AB 的方程是 y=k(x-4)+2.
? ?y=k?x-4?+2, 由方程组? 2 ? ?y =x,

消去 y 后,整理得
k2x2+(-8k2+4k-1)x+16k2-16k+4=0.

∵A(4,2),B(xB,yB)是上述方程组的解.

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16k2-16k+4 4k2-4k+1 ∴4· xB= ,即 xB= , k2 k2 4k2+4k+1 以-k 代换 xB 中的 k,得 xC= , 2 k
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2.3.2(二)

yB-yC k?xB-4?+2-[-k?xC-4?+2] ∴kBC= = xB-xC xB-xC

k?xB+xC-8? = = xB-xC

?8k2+2 ? ? k? 2 -8? ? ? k ?

-8k k2 所以直线 BC 的斜率为定值.

1 =- . 4

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2.3.2(二)

小结
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在直线和抛物线的综合题中,经常遇到求定值、过定

点问题,解决这类问题的方法很多,如斜率法、方程法、向 量法、参数法等,解决这类问题的关键是代换和转化.

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若 OA⊥OB,求证:直线 AB 过定点. 证明 设 A(x1,y1),B(x2,y2),

2.3.2(二)

跟踪训练 3 A、 B 为抛物线 y2=2px (p>0)上两点, O 为原点,

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∵OA⊥OB?x1x2+y1y2=0, 2 2 A,B 在抛物线上?y2 y = 4 p x1x2, 1 2 ? y2=-4p2 ?y1· ∴? , 2 ? x2=4p ?x1· 2p lAB:y-y1= (x-x1), y1+y2 2? y 2p ? 1? ? x - ∴y-y1= 2p? y1+y2? ? ? 2 2p y1 2p 4p2 ∴y= · x- +y = · x- y1+y2 y1+y2 1 y1+y2 y1+y2 2p = (x-2p), ∴直线 AB 过定点(2p,0). y1+y2

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2.3.2(二)

1.若一动点到点(3,0)的距离比它到直线 x=-2 的距离大 1, 则该点的轨迹是
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( D ) B.双曲线 D.抛物线

A.椭圆 C.双曲线的一支

解析 已知条件可等价于“动点到点(3,0)的距离等于它到直 线 x=-3 的距离”, 由抛物线的定义可判断, 动点的轨迹为 抛物线.

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2.3.2(二)

2.已知抛物线 C:y2=8x 的焦点为 F,准线与 x 轴的交点为 K, 点 A 在 C 上且|AK|= 2|AF|, 则△AFK 的面积为( B ) A.4 B.8 C.16 D.32
解析 ∵抛物线 C:y2=8x 的焦点为 F(2,0),准
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线为 x=-2, ∴K(-2,0). 设 A(x0,y0),过 A 点向准线作垂线 AB,垂足为 B,则 B(-2,y0),

∵|AK|= 2|AF|,又|AF|=|AB|=x0-(-2)=x0+2,
2 ∴y2 0=(x0+2) ,

即 8x0=(x0+2)2,解得 A(2,± 4). 1 1 ∴△AFK 的面积为 |KF|· |y0|= ×4×4=8. 2 2

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3.对于顶点在原点的抛物线,给出下列条件: ①焦点在 y 轴上; ②焦点在 x 轴上; ③抛物线上横坐标为 1 的点到焦点的距离等于 6;
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2.3.2(二)

④抛物线的通径的长为 5; ⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线,垂足坐标为 (2,1). 能使这条抛物线方程为 y2=10x 的条件是________(要求填 写合适条件的序号).
解析 由抛物线方程 y2=10x, 知它的焦点在 x 轴上, 所以② 适合. 又∵它的焦点坐标为
?5 ? ? F?2,0? ?,原点 ? ?

O(0,0),

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2.3.2(二)

设点 P(2,1),可得 kPO· kPF=-1,∴⑤也合适.
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而①显然不合适,通过计算可知③、④不合题意.
∴应填序号为②、⑤.
答案 ②⑤

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2.3.2(二)

4.过抛物线 y2=4x 的顶点 O 作互相垂直的两弦 OM、ON,

16 则 M 的横坐标 x1 与 N 的横坐标 x2 之积为________.
1 解析 由已知设 OM 的斜率为 k,则 ON 的斜率为- . k 2 ? ?y =4x, 从而 OM 的方程为 y=kx,联立方程? ? ?y=kx, 4 解得 M 的横坐标 x1= 2. k

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同理可得 N 的横坐标 x2=4k2,可得 x1x2=16.

2.3.2(二)

求抛物线的方程常用待定系数法和定义法; 直线和抛物线的
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弦长问题、中点弦问题及垂直、对称等可利用判别式、根与 系数的关系解决;抛物线的综合问题要深刻分析条件和结 论,灵活选择解题策略,对题目进行转化.


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