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专题五第3讲知能演练轻松闯关


1.(2012· 山东潍坊二模)已知过点 A(-4,0)的动直线 l 与抛物线 G:x2=2py(p>0)相交于 B,C 1 → → 两点.当直线 l 的斜率是 时,AC=4AB. 2 (1)求抛物线 G 的方程; (2)设线段 BC 的中垂线在 y 轴上的截距为 b,求 b 的取值范围. 1 解:(1)设 B(x1,y1),C(x2,y2),当直线 l 的斜率是 时, 2

1 l 的方程为 y= (x+4),即 x=2y-4, 2 2 ?x =2py ? 联立? ,得 2y2-(8+p)y+8=0, ? ?x=2y-4 8+p y1+y2= ,y1y2=4, 2 → → 由已知AC=4AB,∴y2=4y1, 由根与系数的关系及 p>0 可得 y1=1,y2=4,p=2, ∴抛物线 G 的方程为 x2=4y. (2)由题意知直线 l 的斜率存在,且不为 0, 设 l:y=k(x+4),BC 中点坐标为(x0,y0), ? 2 ?x =4y 由? ,得 x2-4kx-16k=0, ?y=k?x+4? ? 由 Δ>0 得 k<-4 或 k>0, xB+xC ∴x0= =2k,y0=k(x0+4)=2k2+4k, 2 1 BC 中垂线方程为 y-2k2-4k=- (x-2k), k 2 ∴b=2(k+1) , ∴b>2. 故 b 的取值范围是(2,+∞). 2.(2012· 河南八校联考)已知椭圆的中心是坐标原点 O,焦点 F1,F2 在 y 轴上,它的一个顶 1 点为 A( 2,0),且中心 O 到直线 AF1 的距离为焦距的 ,过点 M(2,0)的直线 l 与椭圆交于不 4 同的两点 P,Q,点 N 在线段 PQ 上. (1)求椭圆的标准方程; (2)设|PM|· |NQ|=|PN|· |MQ|,求动点 N 的轨迹方程. y2 x2 解:(1)设椭圆的标准方程是 2+ 2=1(a>b>0). a b 由于椭圆的一个顶点是 A( 2,0),故 b2=2. π b 根据题意得,∠AF1O= ,sin∠AF1O= , 6 a 2 即 a=2b,a =8, y2 x2 所以椭圆的标准方程是 + =1. 8 2 (2)设 P(x1,y1),Q(x2,y2),N(x,y),由题意知,直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为 y= k(x-2). 直线 l 的方程与椭圆方程联立消去 y 得:

(k2+4)x2-4k2x+4k2-8=0. 由 Δ=16k4-4(k2+4)(4k2-8)>0,得-2<k<2. 4k2-8 4k2 根据根与系数的关系得 x1+x2= . 2,x1x2= 4+k 4+k2 又|PM|· |NQ|=|PN|· |MQ|, 即(2-x1)(x2-x)=(x-x1)(2-x2) 解得 x=1,代入直线 l 的方程得 y=-k,y∈(-2,2). 所以动点 N 的轨迹方程为 x=1,y∈(-2,2). x2 y2 3.(2012· 西城区期末考试)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的一个焦点是 F(1,0),且离心率为 a b 1 . 2 (1)求椭圆 C 的方程; (2)设经过点 F 的直线交椭圆 C 于 M,N 两点,线段 MN 的垂直平分线交 y 轴于点 P(0,y0), 求 y0 的取值范围. 解:(1)设椭圆 C 的半焦距是 c. 依题意,得 c=1. 1 因为椭圆 C 的离心率为 , 2 2 2 所以 a=2c=2,b =a -c2=3. x2 y2 故椭圆 C 的方程为 + =1. 4 3 (2)当 MN⊥x 轴时,显然 y0=0. 当 MN 与 x 轴不垂直时,可设直线 MN 的方程为 y=k(x-1)(k≠0). ?y=k?x-1? ? 由?x2 y2 ,消去 y 并整理得(3+4k2)x2-8k2x+4(k2-3)=0. ? 4 + 3 =1 ? 8k2 设 M(x1,y1),N(x2,y2),线段 MN 的中点为 Q(x3,y3),又 x1+x2= , 3+4k2 x1+x2 -3k 4k2 所以 x3= = ,y =k(x3-1)= . 2 3+4k2 3 3+4k2 线段 MN 的垂直平分线的方程为 3k 1 4k2 y+ ). 2=- (x- k 3+4k 3+4k2 k 1 在上述方程中,令 x=0,得 y0= . 2= 3 3+4k +4k k 3 3 当 k<0 时, +4k≤-4 3;当 k>0 时, +4k≥4 3. k k 3 3 所以- ≤y0<0 或 0<y0≤ . 12 12 3 3 综上,y0 的取值范围是[- , ]. 12 12 4.已知点 P 是圆 O:x2+y2=9 上的任意一点,过 P 作垂直 x 轴于点 D 的直线,动点 Q 满 → 2→ 足DQ= DP. 3 (1)求动点 Q 的轨迹方程; → 1 → → (2)已知点 E(1,1),在动点 Q 的轨迹上是否存在不重合的两点 M、N,使OE= (OM+ON)(O 2 是坐标原点)?若存在,求出直线 MN 的方程;若不存在,请说明理由. 解:(1)设 P(x0,y0),Q(x,y).

依题意,点 D 的坐标为(x0,0), → → ∴DQ=(x-x0,y),DP=(0,y0), → 2→ 又DQ= DP, 3

?x-x0=0 ?x0=x ? ? ∴? 2 ,即? 3 , ?y=3y0 ?y0=2y ? ?
2 ∵点 P 在⊙O 上,故 x0+y2=9, 0 2 2 x y ∴ + =1, 9 4 x2 y2 ∴点 Q 的轨迹方程为 + =1. 9 4 x2 y2 → 1 → → (2)假设椭圆 + =1 上存在不重合的两点 M(x1,y1),N(x2,y2)满足OE= (OM+ON), 9 4 2 则 E(1,1)是线段 MN 的中点,

?x +x =1 2 且有? y +y ? 2 =1
1 2 1 2

?x1+x2=2 ? ,即? . ? ?y1+y2=2

x2 y2 又 M(x1,y1),N(x2,y2)在椭圆 + =1 上, 9 4 2 2 x1 y1 + =1 9 4 ∴ 2 2 , x2 y2 + =1 9 4

? ? ?

两式相减,得 ?x1-x2??x1+x2? ?y1-y2??y1+y2? + =0, 9 4 y1-y2 4 ∴kMN= =- , 9 x1-x2 ∴直线 MN 的方程为 4x+9y-13=0, → 1 → → ∴椭圆上存在不重合的两点 M、N 满足OE= (OM+ON), 2 此时直线 MN 的方程为 4x+9y-13=0. 5.如图,

x2 y2 已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,短轴的两端点为 A、B,且四边形 a b F1AF2B 是边长为 2 的正方形. (1)求椭圆的方程; (2)若 C、D 分别是椭圆长轴的左、右端点,动点 M 满足 MD⊥CD,连结 CM,交椭圆于点 → → P,证明:OM· 为定值; OP (3)在(2)的条件下,试问 x 轴上是否存在异于点 C 的定点 Q,使得以 MP 为直径的圆恒过直 线 DP,MQ 的交点?若存在,求出点 Q 的坐标;若不存在,说明理由.

解:(1)由题意,得 2b=2c=2 2. ∴b=c= 2,a=2, x2 y2 ∴所求椭圆的方程是 + =1. 4 2 (2)证明:由(1)知,C(-2,0),D(2,0). 由题意可设 CM:y=k(x+2),P(x1,y1), ∵MD⊥CD,∴M(2,4k). 2 2 ?x +y =1 ?4 2 由? ,消去 y 并整理得(1+2k2)x2+8k2x+8k2-4=0.

?y=k?x+2? ?

8k2-4 2-4k2 ∵-2x1= . 2,∴x1= 1+2k 1+2k2 4k ∵y1=k(x1+2)= , 1+2k2 2 2-4k 4k ∴P( , ). 1+2k2 1+2k2 2 2-4k 4?1+2k2? 4k → → ∴OM· =2· OP +4k· = =4. 1+2k2 1+2k2 1+2k2 → → 即OM· 为定值. OP (3)设 Q(x0,0)(x0≠-2), 若以 MP 为直径的圆恒过 DP,MQ 的交点, → → 则 MQ⊥DP,∴QM· =0. DP → 由(2)可知QM=(2-x0,4k), 8k2 4k → DP=(- , ). 1+2k2 1+2k2 -8k2 4k → → ∴QM· =(2-x0)· DP +4k· =0. 1+2k2 1+2k2 8k2 即 x =0,∴x0=0. 1+2k2 0 ∴存在 Q(0,0)使得以 MP 为直径的圆恒过直线 DP,MQ 的交点. x2 y2 3 6.(2012· 深圳市调研)如图,已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 ,以椭圆 C 的左 a b 2 顶点 T 为圆心作圆 T:(x+2)2+y2=r2(r>0),设圆 T 与椭圆 C 交于点 M 与点 N.

(1)求椭圆 C 的方程; → → (2)求TM· 的最小值,并求此时圆 T 的方程; TN (3)设点 P 是椭圆 C 上异于 M,N 的任意一点,且直线 MP、NP 分别与 x 轴交于点 R、S,O 为坐标原点,求证:|OR|· |OS|为定值. c 3 解:(1)依题意,得 a=2,e= = , a 2 a2-c2=1. x2 故椭圆 C 的方程为 +y2=1. 4 (2)易知点 M 与点 N 关于 x 轴对称,设 M(x1,y1),N(x1,-y1),不妨设 y1>0. ∴c= 3,b=

x2 1 由于点 M 在椭圆 C 上,∴y2=1- .① 1 4 由已知 T(-2,0), → → 则TM=(x1+2,y1),TN=(x1+2,-y1), → → ∴TM· =(x1+2,y1)· 1+2,-y1) TN (x 2 2 =(x1+2) -y1 x2 1 =(x1+2)2-(1- ) 4 5 = x2+4x1+3 4 1 5 8 1 = (x1+ )2- . 4 5 5 由于-2<x1<2, 8 1 → → 故当 x1=- 时,TM· 取得最小值- . TN 5 5 8 3 8 3 把 x1=- 代入①式,得 y1= ,故 M(- , ). 5 5 5 5 13 又点 M 在圆 T 上,代入圆的方程得 r2= . 25 13 故圆 T 的方程为(x+2)2+y2= . 25 (3)证明:设 P(x0,y0), y0-y1 则直线 MP 的方程为 y-y0= (x-x0), x0-x1 x1y0-x0y1 x1y0+x0y1 令 y=0,得 xR= ,同理:xS= , y0-y1 y0+y1 x2y2-x2y2 1 0 0 1 故 xR·S= 2 2 .② x y0-y1 2 又点 M 与点 P 在椭圆上,故 x2=4(1-y2),x2=4(1-y1), 0 0 1 代入②式,得: 4?1-y2?y2-4?1-y2?y2 4?y2-y2? 1 0 0 1 0 1 xR·S= x = 2 2 =4. y2-y2 y0-y1 0 1 所以|OR|· |OS|=|xR|· S|=|xR·S|=4 为定值. |x x


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