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2012届高考一轮复习数学理科课件(两角和与差的三角函数与简单的三角恒等变换)


教 材 面 面 观 1.两角和与差的正余弦公式: cos(α+β)=________; cos(α-β)=________; sin(α+β)=________; sin(α-β)=________.

答案 cosαcosβ-sinαsinβ cosαsinβ sinαcosβ-cosαsinβ

cosαcosβ+sinαsinβ

r />
sinαcosβ+

2.两角和与差的正切公式: tan(α+β)=________; π π tan(α-β)=________(α、β≠kπ+ ,α-β≠kπ+ ,k∈Z). 2 2

答案

tanα+tanβ 1-tanαtanβ

tanα-tanβ 1+tanαtanβ

3.辅助角公式 asinα+bcosα= a2+b2sin(α+φ),其中 cosφ= ________,sinφ=________,tanφ=________. φ 的终边所在象限由________来确定,角 φ 称为辅助角.

答案

a a2+b2

b b a2+b2 a

a、b 的符号

考 点 串 串 讲 1.两角和与差的三角公式需理解 (1)理解运用公式时应注意的几个问题 ①诱导公式是两角和与差的三角函数公式的特殊情况,α、β 中 π 有为 的整数倍时,使用诱导公式更灵活、简便. 2 ②要真正明确两角和与两角差的三角函数的意义 一般情况下,sin(α+β)≠sinα+sinβ,cos(α+β)≠cosα+cosβ. 只有在特殊情况下,才有可能 sinα+sinβ=sin(α+β). ③对于两角和与差公式的异同要进行对比与分析,便于理解、 记忆和应用. (ⅰ)明确角、函数和排列顺序以及式中每一项的符号. (ⅱ)要牢记公式,并能熟练地进行左右两边的互相转化.

(2)常见的角的代换有: α=(α+β)-β α=β-(β-α) 1 α= [(α+β)+(α-β)] 2 1 α= [(β+α)-(β-α)] 2 角的代换实质是根据题意的需要把角看活, 要在活字上作文章.

(3)公式的逆向变换、多向变换 使用任何一个公式都要注意它的逆向变换、多向变换,这是灵 活使用公式所必须的,尤其是三角公式众多,把这些公式用活显得 更加重要,这是学好三角函数的基本功. tanα+tanβ 如两角和的正切公式 tan(α+β)= ,就必须掌握如 1-tanαtanβ 下的一些变换: tanα+tanβ =tan(α+β) 1-tanαtanβ tanα+tanβ 1-tanαtanβ= tan?α+β? tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ) tanα· tanβ· tan(α+β)=tan(α+β)-tanα-tanβ

(4)引入辅助角的变换 形如 asinx+bcosx(a、b 不同时为零)的式子引入辅助角变形为 b Asin(x + φ) 的 形 式 . 这 里 A= a2+b2 , sinφ = 2 2 , cosφ = a +b a 2 2,φ 的终边所在象限由 a 和 b 确定. a +b

2.二倍角的正弦、余弦、正切 (1)二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin2α=2sinαcosα cos2α=2cos2α-1=1-2sin2α=cos2α-sin2α 2tanα tan2α= 1-tan2α 公式的推导:在两角和的正弦、余弦、正切公式中,令 α=β 即 可推得倍角的正弦、余弦、正切公式.从推导中可发现,二倍角公 式是和角公式的特殊情况.

(2)应注意的地方 ①对于“二倍角”的理解,不单纯是 α 与 2α 的关系,而应有更 3α α 广泛的理解.如 4α 是 2α 的二倍角;3α 是 的二倍角;α 是 的二 2 2 α α 倍角; 是 的二倍角等等. 3 6 π ②当 α=kπ+ (k∈Z)时,tanα 的值不存在,这时求 tan2α 的值 2 π 可利用诱导公式.即 tan2α=tan2(kπ+ )=tan(π+2kπ)=tanπ=0. 2

③公式的逆向变换与有关变形 1± sin2α=sin2α+cos2α± 2sinαcosα=(sinα± cosα)2 a 2α 1+cosα=2cos b 2 2α 1-cosα=2sin c 2 1 cos2α= (1+cos2α)d 2 1 sin2α= (1-cos2α)e 2 上述公式中,b、c 又称为升幂公式,d、e 又称为降幂公式.

(3)知识的延伸及扩展 ①三倍角公式 sin3α=3sinα-4sin3α cos3α=4cos3α-3cosα ②半角公式 1-cosα α sin =± 2 2 1+cosα α cos =± 2 2 1-cosα 1-cosα α sinα tan =± = = 2 sinα 1+cosα 1+cosα

③万能公式 sinα= α 2tan 2 1+tan2

α 2 2α 1-tan 2 cosα= 2α 1+tan 2 α 2tan 2 tanα= α 1-tan2 2

④和差化积公式 α+β α-β sinα+sinβ=2sin cos 2 2 α+β α-β sinα-sinβ=2cos sin 2 2 α+β α-β cosα+cosβ=2cos cos 2 2 α+β α-β cosα-cosβ=-2sin sin 2 2

⑤积化和差公式 1 sinαcosβ= [sin(α+β)+sin(α-β)] 2 1 cosαsinβ= [sin(α+β)-sin(α-β)] 2 1 cosαcosβ= [cos(α+β)+cos(α-β)] 2 1 sinαsinβ=- [cos(α+β)-cos(α-β)] 2

3.三角函数的求值、化简和证明 (1)三角函数的求值主要有三种类型,即给角求值、给值求值、 给值求角 ①给角求值的关键是正确地选用公式,以便把非特殊角的三角 函数相约或相消,从而化为特殊角的三角函数. ②给值求值的关键是找出已知式与欲求式之间的角、运算及函 数的差异.一般可以适当变换已知式,求得另外函数式的值,以备 应用.同时也要注意变换欲求式,便于将已知式求得的函数值代入, 从而达到解题的目的. ③给值求角关键是先求出该角的某一三角函数式的值,其次判 断该角在对应区间的单调性,从而达到解题的目的. 在解给值求角的题型时需注意角的范围.

(2)三角式的化简 这类问题主要是利用诱导公式、同角关系式、和与差的公式及 倍角公式将较复杂的三角式化得较为简单,化简时注意最简式的五 种形式和要求. ①化简三角函数式的意义是为更清楚地显示式中所含量之间的 关系,以便于应用. ②化简三角函数式的要求: (ⅰ)能求出值种数尽量少. (ⅱ)使项数尽量少. (ⅲ)尽量使分母不含三角函数. (ⅳ)尽量使被开方数不含三角函数.

③化简常用的技巧 (ⅰ)注意特殊角的三角函数与特殊值的互化; (ⅱ)注意利用代数上的一些恒等变形法则和分数的基本性质; (ⅲ)对于二次根式,注意二倍角公式的逆用; (ⅳ)注意利用角与角之间的隐含关系; (ⅴ)注意利用“1”的恒等变形; (ⅵ)注意条件的合理使用: 尽可能不去破坏条件的整体结构, 即 要把所求式子适当变形,能使条件整体代入;将条件适当简化、整 理或重新改造、组合,使其与所求式子更吻合. ④作为三角变换的基础的三角式的化简,有三种基本类型:根 式形式、分式形式、多项式形式.常用方法有:公式法、切割化弦 法、异名化同名、异角化同角.

(3)三角恒等式的证明 恒等式的证明,包括有条件的恒等式和无条件的恒等式两种. ①无条件的等式证明,常用综合法(执因索果)和分析法(执果索 因),证明的形式有化繁为简、左右归一、变更论证等. ②有条件的等式证明,常常先观察条件式及欲证式中左、右两 边三角函数式的区别及联系,灵活使用条件,变形得证.

典 例 对 对 碰 题型一 两角和与差的三角公式应用 例 1 求下列各式的值: (1)cos80° cos35° +cos10° cos55° ; (2)sin75° -sin15° ; (3)tan15° +tan30° +tan15° tan30° ; cos15° -sin15° (4) . cos15° +sin15°

解析 充分利用公式,把已知的角化为可求的特殊角. (1)原式=cos80° cos35° +sin80° sin35° =cos(80° -35° ) 2 =cos45° = . 2 (2)原式=sin(45° +30° )-sin(45° -30° ) =sin45° cos30° +cos45° sin30° -sin45° cos30° +cos45°sin30° · =2cos45° sin30° 2 1 2 =2× × = . 2 2 2

(3)∵tan45° =tan(30° +15° ) tan30° +tan15° = , 1-tan30° tan15° ∴tan30° +tan15° =1-tan30° tan15° . ∴原式=tan30° +tan15° +tan30° tan15° =1. 1-tan15° tan45° -tan15° (4)原式= = 1+tan15° 1+tan45° tan15° =tan(45° -15° )=tan30° 3 = . 3

变式迁移 1 已知△ABC 中,sinA(sinB+cosB)-sinC=0,sinB+cos2C=0. 求角 A、B、C 的大小.

解析 由 sinB+cos2C=0 得 sinB=-cos2C=sin(

3π -2C).由 2

3π π 0<B、C<π,所以 B= -2C 或 B=2C- . 2 2 3π π 即 B+2C= 或 2C-B= . 2 2 由 sinA(sinB+cosB)-sinC=0, 得 sinAsinB+sinAcosB-sin(A+B)=0. 所以 sinAsinB+sinAcosB-sinAcosB-cosAsinB=0. 即 sinB(sinA-cosA)=0. 因为 sinB≠0,所以 cosA=sinA.

π 由 A∈(0,π),知 A= . 4 3π 3π 从而 B+C= ,知 B+2C= 不合要求. 4 2 π π 5π 再由 2C-B= ,得 B= ,C= . 2 3 12 π π 5π 所以 A= ,B= ,C= . 4 3 12

题型二 二倍角公式的应用 例 2 化简: (1)cos72°cos36° · ; (2)cos20°cos40°cos60°cos80° · · · ; α α α α (3)cosα· · 2· 3· cos n- 1. cos cos cos ?· 2 2 2 2

解析 (1)cos36°cos72° · 2sin36°cos36°cos72° · · = 2sin36° 2sin72°cos72° · = 4sin36° sin144° 1 = = . 4sin36° 4 1 (2)原式= cos20°cos40°cos80° · · 2 sin20°cos20°cos40°cos80° · · · = 2sin20° sin40°cos40°cos80° · · = 4sin20° sin80°cos80° · = 8sin20° sin160° 1 = = . 16sin20° 16

α (3)原式同乘除因式 sin n- 1,然后逐次使用倍角公式解得 2 sin2α 原式= . α 2nsin n- 1 2 点评 解的过程中反复地使用二倍角公式 sin2α=2sinαcosα.要 注意到凡是角是二倍角关系的余弦函数的连乘积问题时,可采用类 似的方法解之.

变式迁移 2 1 α α 化简:( -tan )· (1+tanα· ). tan 2 2 α tan 2

解析

原式 α ?cosα sinα ? ? sin ? ? 2 2? ? sinα 2? =? - ?·1+cosα · α ? ? α α ?sin ?? cos ? ? 2 cos2 ? ? 2? ?cos2α-sin2α ? cosαcosα+sinαsinα ? 2 2? 2 2 =? ?· α ? sinαcosα ? cosα· cos ? 2 2 ? 2 α cos?α- ? 2cosα 2 = · sinα α cosαcos 2 α cos 2cosα 2 2 = · = . sinα α sinα cosαcos 2

题型三 角的凑配 π 3π π π 3 3π 5 例 3 已知 <α< ,0<β< ,cos( -α)= ,sin( +β)= , 4 4 4 4 5 4 13 求 sin(α+β)的值. 3π π π 分析 注意到( +β)-( -α)= +(α+β).欲求 sin(α+β),即 4 4 2 π 3π π 求-cos( +α+β),这只需求出 cos( +β)和 sin( -α)的值.因此 2 4 4 “整体变换”的方法是解本题的合理选择.

π π - < -α<0, 2 4 π 4 3π 3π ∴sin( -α)=- , < +β<π, 4 5 4 4 3π 12 ∴cos( +β)=- . 4 13 π sin(α+β)=-cos[ +(α+β)] 2 3π π =-cos[( +β)-( -α)] 4 4 3π π 3π π =-cos( +β)· cos( -α)-sin( +β)· sin( -α) 4 4 4 4 12 3 5 4 56 = × - ×(- )= . 13 5 13 5 65 解析

π 角度的和差之间相差 kπ 或 kπ+ (k∈Z)时, 可以用诱导公 2 式进行变换.本题若从已知直接去求 sinα、cosα、sinβ、cosβ,则解 题过程十分复杂.因此类似问题中应考虑优先使用上面的简捷解法. 点评

变式迁移 3 4 已知 sinα= ,tan(α+β)=1,且 α 是第二象限的角,那么 tanβ 5 的值是( ) 4 4 A. B.- 3 3 C.7 D.-7

答案

D

4 解析 由 sinα= ,α 是第二象限角, 5 4 可得 tanα=- ,从而 3 tanβ=tan[(α+β)-α] tan?α+β?-tanα = 1+tan?α+β?· tanα 4 1+ 3 = =-7. 4 1- 3

题型四 辅助角公式的应用 3 1 例 4 不查表,计算 2 - 2 +64sin220° . sin 20° cos 20°

3cos220° -sin220° 解析 原式= +64sin220° 2 2 sin 20° 20° cos ? 3cos20° +sin20° 3cos20° ?? -sin20° ? = +64sin220° 1 2 sin 40° 4 16sin80° sin40° = +64sin220° 2 sin 40° 1-cos40° =32cos40° +64× =32. 2

对于形如 asinα± bcosα 的三角函数式的化简求值,往往 π π π 2 2 需要通过提取公因式 a +b 构造辅助角(主要为 , , ),然后逆用 6 4 3 两角和与差的正、余弦公式化简,尤其是当系数中含有 3时,一般 都可运用辅助角公式.

点评

变式迁移 4 已知函数 f(x)=2cos2x+ 3sin 2x,x∈R. (1)求 f(x)的最大值及相应的 x 的取值集合; (2)求 f(x)的单调递增区间.

π 解析 (1)f(x)=2cos x+ 3sin 2x=2sin(2x+ )+1, 6 π π π 当 2x+ = +2kπ(k∈Z),即 x= +kπ(k∈Z)时,f(x)取最大值 6 2 6
2

3. π 所以,f(x)的最大值为 3,相应的 x 的取值集合为{x|x= +kπ, 6 k∈Z}. π (2)f(x)=2sin(2x+ )+1, 6 π π π 由 2kπ- ≤2x+ ≤2kπ+ (k∈Z), 2 6 2 π π 得 kπ- ≤x≤kπ+ (k∈Z). 3 6 π π 所以,f(x)的单调递增区间为[kπ- ,kπ+ ](k∈Z). 3 6

题型五 给角求值 例 5 求 tan20° +4sin20° 的值. 分析 题中有正切和正弦,所以要切割化弦,统一函数名,然 后通分,再适当地选取公式.

sin20° +4sin20° cos20° 解析 原式= cos20° sin20° +2sin40° = cos20° sin20° +2sin?60° -20° ? = cos20° sin20° +2sin60° cos20° -2cos60° sin20° = cos20° = 3. 点评 给角求值(无条件求值)的关键是考虑角与角之间的关系, 构造特殊角,或是利用正负相抵消、分子分母约去公因式等手段达 到求值的目的.

变式迁移 5 求[2sin50° +sin10° (1+ 3tan10° 2sin280的值. )]·

解析

原式

cos10° 3sin10° + =[2sin50° +sin10° ]· 2sin80° cos10° 1 3 cos10° + sin10° 2 2 =[2sin50° +2sin10° ]· 2cos10° cos10° =2 2[sin50°cos10° · +sin10°cos(60° · -10° )] 3 =2 2sin(50° +10° )=2 2× = 6. 2

题型六 给值求值 π 例 6 已知 tan( +θ)=3,求 sin2θ-2cos2θ 的值. 4 分析 从条件入手,可求出 tanθ,而结论可化为关于 tanθ 的关 π 系式,将 tanθ 代入即可,也可以将 +θ 看作一个整体,在结论中 4 π 通过三角公式构造角 +θ. 4

π 解法一:∵tan( +θ)=3, 4 1+tanθ ∴ =3, 1-tanθ 1 解得 tanθ= . 2 于是 sin2θ-2cos2θ=sin2θ-cos2θ-1 1-tan2θ 2tanθ = - -1 1+tan2θ 1+tan2θ 4 3 4 = - -1=- . 5 5 5 解析

解法二:sin2θ-2cos2θ=sin2θ-cos2θ-1 π π =-cos( +2θ)-sin( +2θ)-1 2 2 π π 1-tan2? +θ? 2tan? +θ? 4 4 =- - -1 π π 1+tan2? +θ? 1+tan2? +θ? 4 4 1-9 2×3 4 =- - -1=- . 5 1+9 1+9 点评 解法一中转化成 tanθ 后, 对欲求式构造分母, 利用同角 π π 三角函数关系式;解法二是充分考虑角的变换, +θ 与 +2θ 的正 4 2 余弦的关系,构造角求得,这两种思路都是给值求值中常见的解题 思路.

变式迁移 6 β 1 α 2 π π 设 cos(α- )=- , sin( -β)= , 其中 α∈( , β∈(0, ). π), 求 2 9 2 3 2 2 cos(α+β).

π π ∵α∈( ,π),β∈(0, ), 2 2 β π α π π ∴α- ∈( ,π), -β∈(- , ), 2 4 2 4 2 β β ∴sin(α- )= 1-cos2?α- ? 2 2 1 4 5 = 1- = , 81 9 α 2 α cos( -β)= 1-sin ? -β? 2 2 4 5 = 1- = . 9 3 解析

α+β β α ∴cos =cos[(α- )-( -β)] 2 2 2 β α β α =cos(α- )cos( -β)+sin(α- )· sin( -β) 2 2 2 2 1 5 2 4 5 7 5 =- × + × = , 9 3 3 9 27 2α+β ∴cos(α+β)=2cos -1 2 ?7 5 ?2 239 ? -1=- =2×? . 729 ? 27 ?

题型七 给值求角 π π α 例 7 已知 0<α< ,0<β< ,且 3sinβ=sin(2α+β),4tan =1 4 4 2 α -tan2 ,求 α+β 的值. 2 α 分析 由 的关系式可求出 α 的正切值,再据已知 β 和 2α+β 2 构造求式 α+β,从而可求出 α+β 的一个三角函数值,再据 α、β 的 范围求 α+β 范围,从而确定角 α+β.

α α 由 4tan =1-tan2 得 2 2 α 2tan 2 1 tanα= = . 2 2α 1-tan 2 由 3sin[(α+β)-α]=sin[(α+β)+α], 得 tan(α+β)=2tanα,∴tan(α+β)=1. π π 又∵0<α< ,0<β< , 4 4 π ∴0<α+β< . 2 π ∴α+β= . 4 解析

α α 本例中,首先由 4tan =1-tan2 的形式联想倍角公式, 2 2 求得 tanα.再利用角的变换求 tan(α+β),据 α、β 范围确定角 α+β. 一般地,求角的问题可“恰当”地据范围选择一个三角函数值,再 据范围确定角,是必不可少的两步. 点评

变式迁移 7 1 1 已知 tanα= ,tanβ= ,并且 α、β 均为锐角,求 α+2β. 7 3

1 1 ∵tanα= <1,tanβ= <1, 7 3 且 α、β 均为锐角, π 3 ∴0<α,β< ,∴0<α+2β< π. 4 4 2tanβ 3 又 tan2β= = . 1-tan2β 4 tanα+tan2β ∴tan(α+2β)= 1-tanα· tan2β 1 3 + 7 4 = =1, 1 3 1- × 7 4 π ∴α+2β= . 4 解析

题型八 条件等式的证明 例 8 求证以下条件恒等式: (1)已知:2sinβ=sinα+cosα,sin2γ=2sinα· cosα,求证:2cos2β =cos2γ; (2)已知:5sinα=3sin(α-2β),求证:tan(α-β)+4tanβ=0. 分析 题(1)从条件中消去 α 的正弦,然后推演,题(2)把条件中 的角进行拆拼,使出现 α-β 及 α,然后推演.

证明 (1)由已知 4sin2β=1+2sinαcosα=1+sin2γ, ∴1-sin2γ=2-4sin2β=2(1-2sin2β). 由此得 cos2γ=2cos2β, ∴所证等式成立. (2)把 5sinα=3sin(α-2β)化成 5sin[(α-β)+β]=3sin[(α-β)-β], 得 5sin(α-β)cosβ+5cos(α-β)sinβ =3sin(α-β)cosβ-3cos(α-β)sinβ. 移项合并得 2sin(α-β)cosβ+8cos(α-β)sinβ=0. π π 依题意 α≠kπ+ 且 α-β≠kπ+ ,k∈Z. 2 2 上式两边都除以 2cosβcos(α-β), 即得 tan(α-β)+4tanβ=0.

变式迁移 8 已知 sinβ=m· sin(2α+β),其中 m≠0,2α+β≠kπ(k∈Z),求证: 1+m tan(α+β)= tanα. 1-m

sinβ 证明 由题得 m= sin?2α+β? 1+m 则 1-m sinβ 1+ sin?2α+β? sin?2α+β?+sinβ = = sinβ sin?2α+β?-sinβ 1- sin?2α+β? sin[?α+β?+α]+sin[?α+β?-α] = sin[?α+β?+α]-sin[?α+β?-α] sin?α+β?cosα = . cos?α+β?sinα 1+m ∴tan(α+β)= tanα. 1-m

【教师备课资源】 题型九 正切公式的应用 α 例 9 已知 tan =2, 2 π 求:(1)tan(α+ )的值; 4 6sinα+cosα (2) 的值. 3sinα-2cosα

α (1)因为 tan =2, 2 α 2tan 2×2 2 4 所以 tanα= = =- , 3 1-4 2α 1-tan 2 π tanα+tan π 4 tanα+1 所以 tan(α+ )= = 4 π 1-tanα 1-tanαtan 4 4 - +1 3 1 = =- . 4 7 1+ 3 解析

6sinα+cosα 6tanα+1 4 (2)由(1)知,tanα=- ,所以 = 3 3sinα-2cosα 3tanα-2 4 6?- ?+1 3 7 = = . 4 6 3?- ?-2 3

变式迁移 9 1+sinα-cosα 1+cosα+sinα 化简: + . 1+sinα+cosα 1-cosα+sinα

1+sinα-cosα 解析 ∵ 1+sinα+cosα α α α 2sin2 +2sin cos 2 2 2 = α α 2α 2cos +2sin cos 2 2 2 α =tan , 2 α 1 2 ∴原式=tan + = . 2 α sinα tan 2

题型十 三角恒等式的证明 sin?2α+β? sinβ 例 10 求证: -2cos(α+β)= . sinα sinα

证明 ∵sin(2α+β)-2cos(α+β)sinα =sin[(α+β)+α]-2cos(α+β)sinα =sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα-2cos(α+β)sinα =sin(α+β)cosα-cos(α+β)sinα =sin[(α+β)-α]=sinβ. 两边同除以 sinα 得: sin?2α+β? sinβ -2cos(α+β)= . sinα sinα

点评 证明三角恒等式,可先从两边的角入手——变角,将表 达式中出现较多的相异的角朝着我们选定的目标转化.然后分析两 边的函数名称——变名,将表达式中较多的函数种类尽量减少,这 是三角恒等变形的两个基本策略.

变式迁移 10 2?cosθ-sinθ? cosθ sinθ 求证: = - . 1+sinθ+cosθ 1+sinθ 1+cosθ

证明

= 1 ?1+sin2θ+cos2θ+2sinθ+2cosθ+2sinθcosθ? 2 ?cosθ-sinθ??1+sinθ+cosθ? = =左边. 1 ?1+sinθ+cosθ?2 2

?cosθ-sinθ??1+sinθ+cosθ? 右边= 1+sinθ+cosθ+sinθcosθ ?cosθ-sinθ??1+sinθ+cosθ?

方 法 路 路 通 1.利用两角和与差的三角公式,要注意公式的正用、逆用和 变形应用. 例如:sin75° =sin(45° +30° ); 1-tanα tan45° -tanα = =tan(45° -α); 1+tanα 1+tan45° tanα tanα+tanβ=tan(α+β)· (1-tanαtanβ)等分别是公式的正用、 逆 用和变用. 2.倍角公式具有倍角化单角和升降幂的作用.如由 cos2α= cos2α-sin2 α 可将倍角化单角, 2cos2α=1+cos2α, 由 起到了降幂的 作用. 3.运 用公式 解题要 充分考 虑角、 名、结 构(如 sinα± cosα, sinαcosα),化异为同,联想公式,如常见的切化弦,倍角与单角的 转化,韦达定理的应用等.

4.要辩证地看待公式中的单角和复角.例如,既可视 α 为单角, α α± 为复角;也可视 α 为复角,例如,视 α 是 的二倍角,2α 的半 β 2 角;又可视 α 为(α-β)与 β 的和角,或是(α+β)与 β 的差角,等等. α 1 即 α=2·= · 2α=(α+β)-β=(α-β)+β. 2 2 5.应该熟悉公式的逆用和变形后用.公式的顺用是常见的,但 逆用和变形后则往往容易被忽视, 而公式的逆用和变用则更能开拓思 路, 培养从正向思维向逆向思维转化的能力, 只有熟悉了公式的逆用 和变用后,才掌握了公式的应用. tanα+tanβ 对于公式 tan(α+β)= , 应注意两种变形: tanβ+tanα 1-tanαtanβ tanα+tanβ =tan(α+β)· (1-tanα · tanβ)和 1-tanα· tanβ= ,这些都是 tan?α+β? 在解题中经常用到的.

6.教材淡化了和差化积与积化和差公式,却加强了积和互化的 数学化归思想.事实上,初中所学的因式分解,其实质就是和积互 化 的 思 想 , 本 节 中 的 升 降 幂 公 式 就 是 和 积 互 化 的典 范 , 而 公 式 b asinα± bcosα= a2+b2· sin(α± φ)(其中 tanφ= )就是和差化积的特例, a 和差化积本身就是数学结构简化统一的一种基本模式,它是化简、 求值、证明等问题的落脚点,更是研究三角函数性质的必要手段.

7.三角函数式的恒等变形是解决有关三角问题的重要环节.在 恒等变形中:(1)要注意三角函数式中的特点,即有没有特殊角;有 没有与特殊角相关的角;有没有互余、互补的角;角与角之间有没有 和差倍半的关系;哪些角需要保留,哪些角需要化掉等.(2)要注意 公式的灵活运用, 即有没有公式可以直接套用; 有没有公式可以逆用; 有没有公式的变形式.(3)要注意常用方法和技巧选择,即有没有常 值“1”可代换;是否可以升幂(降幂);是否需要万能代换等等.

π π π 8.公式(Tα±β)在 α=kπ+ ,β=kπ+ ,α± β=kπ+ ,k∈Z 时不 2 2 2 kπ π π 成立;公式 T2α 在 α= + 和 α=kπ+ ,k∈Z 时不成立.一般情况 2 4 2 下,sin(α± β)≠sinα± sinβ;sin2α≠2sinα,cos2α≠2cosα,这都是学生 容易忽视的. 9.求值常用方法:利用所学公式进行转化,使其出现特殊角, 若非特殊角, 则实施角的拆拼, 或使其出现正负相消, 或约分的情况.

10.已知角 α 的三角函数值求角 α 时,实际上就是解最简单的 三角方程,在没有角 α 的限制条件时,其解不是唯一的,而是有无 穷多个. 已知角 α 的三角函数值求角 α 的一般步骤是: (1)由三角函数值的符号确定角 α 所在的象限; (2)根据角 α 所在的象限求出角 α 的最小正角; (3)最后利用终边相同的角写出角 α 的一般表达式. 11.化简三角函数式常可从“角”“名”“形”三个方面考虑, 逐步地进行变换,减少差异,达到化简目的,具体应遵循的原则是: (1)如果不含同角三角函数,一般应从变化函数形式入手,尽量 化为同名函数,常用“化弦法”或“化切法”. (2)如果含有异角,一般应从变化角入手,尽量化不同角为相同 角,化复角为单角. (3)如果含有异次幂,一般利用升幂或降幂公式,化异次幂为同 次幂.

12.三角恒等式的证明思路是根据等式两端的特征,通过三角 恒等变换,应用化繁为简,左右归一,变更论证的方法,使等式两 边的“异”化为“同”.不论采用什么证明方式和方法,都要认真 分析等式两边三角函数式的特点,找出差异,寻找证明的突破口. 13.对于三角证明问题要注意: (1)证明三角恒等式的基本思路,是根据等式两端的特征通过三 角恒等变换,应用化繁为简,左右归一,变更命题等方法使等式两 端的“异”化为“同”. (2)条件等式的证明,注意认真观察,发现已知条件和求证等式 之间的关系,选择适当的途径运用条件,从已知条件出发,以求证 式为目标进行代数或三角恒等变形,逐步推出求证式.

14.三角恒等变形的实质是对角或函数名称进行转化,而转化 的依据就是一系列三角公式,因此要深化对各个公式的理解,明确 各三角公式的作用,才能保证三角变形的合理方向. (1)同角三角函数关系式——可实现三角函数名称的转化. (2)诱导公式及和、差、倍角的三角函数公式——可实现角的转 化,也可实现名称的转化. (3)倍角公式及其变形公式——可实现三角函数式的次数的转 化,同时也可完成角的形式的转化.

正 误 题 题 辨 5 10 ,sinβ= 且 α、β 为锐角,求 α+β 的值. 5 10 错解 ∵α 为锐角 2 5 2 ∴cosα= 1-sin α= 5 3 10 又 β 为锐角,∴cosβ= 1-sin2β= 10 2 且 sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ= 2 由于 0<α<90° ,0<β<90° ∴0<α+β<180° 故 α+β=45° 135° 或 例若 sinα=

2 点击 上述解法欠严密,仅由 sin(α+β)= ,0° <α+β<180° 2 5 1 而得到 α+β=45° 135° 或 是正确的,但题设中 sinα= < 5 2 10 1 sinβ= < 10 2 使得 0° <α+β<60° 故上述结论是错误的.

正解

∵α、β 为锐角 5 10 sinα= ,sinβ= 5 10 2 5 3 10 ∴cosα= ,cosβ= 5 10 2 且 cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ= 2 0° <α+β<60° ∴α+β=45°


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