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【戴氏教育】2015届高考数学(人教A版文科)一轮复习 题组训练:第四篇 平面向量 第4讲

时间:2014-10-16


第4讲

平面向量应用举例

基础巩固题组 (建议用时:40 分钟) 一、选择题 1.(2014· 邵阳模拟)已知 a=(1,sin2x),b=(2,sin 2x),其中 x∈(0,π).若|a· b| =|a||b|,则 tan x 的值等于 A.1 C. 3 解析 由|a· b|=|a||b|知,a∥b. 所以 sin 2x=2sin2

x,即 2sin xcos x=2sin2x, 而 x∈(0,π), π 所以 sin x=cos x,即 x=4,故 tan x=1. 答案 A 2.(2014· 南昌模拟)若|a|=2sin 15° ,|b|=4cos 15° ,a 与 b 的夹角为 30° ,则 a· b 的值是 3 A. 2 C.2 3 B. 3 1 D.2 ( ). B.-1 2 D. 2 ( ).

3 3 解析 a· b=|a||b|cos 30° =8sin 15° cos 15° × 2 =4×sin 30° × 2 = 3. 答案 B π π → → → 3.(2013· 哈尔滨模拟)函数 y=tan4x-2的部分图象如图所示,则(OA+OB)· AB= ( ).

1

A.4 C.1 解析 由条件可得 B(3,1),A(2,0),

B.6 D.2

→ → → → → → → → → ∴(OA+OB)· AB=(OA+OB)· (OB-OA)=OB2-OA2=10-4=6. 答案 B 4.已知|a|=2|b|,|b|≠0 且关于 x 的方程 x2+|a|x-a· b=0 有两相等实根,则向量 a 与 b 的夹角是 π A.-6 π C. 3 解析 由已知可得 Δ=|a|2+4a· b=0, 即 4|b|2+4×2|b|2cos θ=0, 1 ∴cos θ=-2, 2π 又∵0≤θ≤π,∴θ= 3 . 答案 D 5.(2014· 安庆二模)在△ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 所对应的三角形的 → → → 边长,若 4aBC+2bCA+3cAB=0,则 cos B= 11 A.-24 29 C.36 → → → 解析 由 4aBC+2bCA+3cAB=0,得
2

( π B.-3 D. 2π 3

).

(

).

11 B.24 29 D.-36

→ → → → → → 4aBC+3cAB=-2bCA=-2b(BA-BC)=2bAB+ → 2bBC,所以 4a=3c=2b. b2 4 2 + b -b2 a +c -b 4 9 11 由余弦定理得 cos B= =-24. 2ac = b2 2· 2· 3b
2 2 2

答案 A 二、填空题 → → → → 6.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若AB· AC=BA· BC=1, 那么 c=________. → → → → 解析 由题意知AB· AC+BA· BC=2, → → → → → → → 即AB· AC-AB· BC=AB· (AC+CB) → → =AB2=2?c=|AB|= 2. 答案 2

7.已知在平面直角坐标系中,O(0,0),M(1,1),N(0,1),Q(2,3),动点 P(x,y)满 → → → → → → 足不等式 0≤OP· OM≤1,0≤OP· ON≤1,则 z=OQ· OP的最大值为________. → → → 解析 OP=(x,y),OM=(1,1),ON=(0,1), → → → → ∴OP· OM=x+y,OP· ON=y, ?0≤x+y≤1, 即在? 条件下,求 z=2x+3y 的最大值,由线性规划知识知, ?0≤y≤1 当 x=0,y=1 时,zmax=3. 答案 3 8.(2013· 东北三校一模)设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 → → (3b-c)cos A=acos C,S△ABC= 2,则BA· AC=________. 解析 依题意得(3sin B-sin C)cos A=sin Acos C, 即 3sin Bcos A=sin Acos C+sin Ccos A=sin(A+C)=sin B>0, 1 2 2 于是有 cos A=3,sin A= 1-cos2A= 3 ,
3

1 1 2 2 又 S△ABC=2· bcsin A=2bc× 3 = 2, 1 → → 所以 bc=3,BA· AC=bccos(π-A)=-bccos A=-3×3=-1. 答案 -1 三、解答题 9.已知圆 C:(x-3)2+(y-3)2=4 及点 A(1,1),M 是圆 C 上的任意一点,点 N → → 在线段 MA 的延长线上,且MA=2AN,求点 N 的轨迹方程. → → 解 设 M(x0,y0),N(x,y).由MA=2AN,得 ?x0=3-2x, (1-x0,1-y0)=2(x-1,y-1),∴? ?y0=3-2y. ∵点 M(x0,y0)在圆 C 上, ∴(x0-3)2+(y0-3)2=4, 即(3-2x-3)2+(3-2y-3)2=4.∴x2+y2=1. ∴所求点 N 的轨迹方程是 x2+y2=1. → → 10. (2014· 北京海淀模拟)在△ABC 中, 角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 若AB· AC → → =BA· BC=k(k∈R). (1)判断△ABC 的形状; (2)若 c= 2,求 k 的值. → → → → 解 (1)∵AB· AC=cbcos A,BA· BC=cacos B, → → → → 又AB· AC=BA· BC,∴bccos A=accos B, ∴sin Bcos A=sin Acos B, 即 sin Acos B-sin Bcos A=0,∴sin(A-B)=0, ∵-π<A-B<π,∴A=B,即△ABC 为等腰三角形. b2+c2-a2 c2 → → (2)由(1)知,AB· AC=bccos A=bc· 2bc = 2 =k, ∵c= 2,∴k=1. 能力提升题组 (建议用时:25 分钟)
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一、选择题 → → → → 1. 已知向量OB=(2,0), 向量OC=(2,2), 向量CA=( 2cos α, 2sin α), 则向量OA → 与向量OB的夹角的取值范围是( π? ? A.?0,4? ? ? π? ?5 C.?12π,2? ? ? ). ?π 5 ? B.?4,12π? ? ? ?π 5 ? D.?12,12π? ? ?

→ → → 解析 由题意,得OA=OC+CA=(2+ 2cos α,2+ 2sin α),所以点 A 的轨 → 迹是圆(x-2)2+(y-2)2=2,如图,当 A 位于使直线 OA 与圆相切时,向量OA → 与向量OB的夹角分别达到最大、最小值,故选 D. 答案 D → 1→ → → 2.(2013· 北京东城区期末)已知△ABD 是等边三角形,且AB+2AD=AC, |CD| = 3,那么四边形 ABCD 的面积为( 3 A. 2 C.3 3 解析 ). 3 B.2 9 D.2 3 3

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→ → → 1→ → → ?1 → → ? 如图所示,CD=AD-AC=2AD-AB,∴CD2=?2AD-AB?2, ? ? 1→ → → → 即 3=4AD2+AB2-AD· AB, → → ∵|AD|=|AB|, 5→ → → → ∴4|AD|2-|AD||AB|cos 60° =3,∴|AD|=2. → → → 1→ → 1→ 又BC=AC-AB=2AD,∴|BC|=2|AD|=1, → → → ∴|BC|2+|CD|2=|BD|2,∴BC⊥CD. 1 1 3 ∴S 四边形 ABCD=S△ABD+S△BCD=2×22×sin 60° +2×1× 3=2 答案 B 二、填空题 → → 3.如图,△ABC 的外接圆的圆心为 O,AB=2,AC=3,BC= 7,则AO· BC等于 ________. 3,故选 B.

→ → → → → → → → → 解析 AO· BC=AO· (AC-AB)=AO· AC-AO· AB, 1→ → → 因为 OA=OB,所以AO在AB上的投影为2|AB|. → → 1→ → 所以AO· AB=2|AB|· |AB|=2, → → 1→ → 9 同理AO· AC=2|AC|· |AC|=2, 5 → → 9 故AO· BC=2-2=2. 5 答案 2
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三、解答题 x ? ? 4.(2014· 南通模拟)已知向量 m=? 3sin 4,1?, ? ? x x? ? n=?cos 4,cos24?. ? ? ?2π ? (1)若 m· n=1,求 cos? 3 -x?的值; ? ? (2)记 f(x)=m· n,在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,且满足(2a -c)cos B=bcos C,求函数 f(A)的取值范围. x x x 解 (1)m· n= 3sin 4· cos 4+cos24 x 1+cos 2 3 x ? x π? 1 = 2 sin 2+ =sin?2+6?+2, 2 ? ? ? x π? 1 ∵m· n=1,∴sin?2+6?=2. ? ? ? π? ? x π? 1 cos?x+3?=1-2sin2?2+6?=2, ? ? ? ? 1 ?2π ? ? π? cos? 3 -x?=-cos?x+3?=-2. ? ? ? ? (2)∵(2a-c)cos B=bcos C, 由正弦定理得(2sin A-sin C)cos B=sin Bcos C, ∴2sin Acos B-sin Ccos B=sin Bcos C. ∴2sin Acos B=sin(B+C). ∵A+B+C=π,∴sin(B+C)=sin A≠0. 1 π 2π ∴cos B=2,∵0<B<π,∴B=3,∴0<A< 3 . π A π π ?A π? ?1 ? ∴ < + < ,sin? 2 +6?∈?2,1?. 6 2 6 2 ? ? ? ? ? x π? 1 又∵f(x)=sin?2+6?+2, ? ? ?A π? 1 ∴f(A)=sin? 2 +6?+2. ? ? 3? ? 故函数 f(A)的取值范围是?1,2?. ? ?

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