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2016届新课标数学(理)一轮复习讲义 第二章 第2讲 函数的定义域和值域


第 2 讲 函数的定义域和值域

1.常见函数定义域的求法 (1)分式函数中分母不等于零. (2)偶次根式函数被开方式大于或等于 0. (3)一次函数、二次函数的定义域为 R. (4)y=ax(a>0 且 a≠1),y=sin x,y=cos x,定义域均为 R. π (5)y=tan x 的定义域为{x|x≠kπ + ,k∈Z}. 2 2.基本初等函数

的值域 (1)y=kx+b(k≠0)的值域是 R. (2)y=ax2+bx+c(a≠0)的值域是: ? 4ac-b2? ? ?; 当 a>0 时,值域为 y|y≥ 4a ? ? ? 4ac-b2? ?. 当 a<0 时,值域为?y|y≤ 4a ? ? k (3)y= (k≠0)的值域是{y|y≠0}. x (4)y=ax(a>0 且 a≠1)的值域是{y|y>0}. (5)y=logax(a>0 且 a≠1)的值域是 R. (6)y=sin x,y=cos x 的值域是[-1,1]. (7)y=tan x 的值域是 R. [做一做] 1.(2015· 浙江杭州模拟)函数 y= 16-4x的值域是( ) A.[0,+∞) B.[0,4] C.[0,4) D.(0,4) 解析:选 C.∵4x>0,∴0≤16-4x<16, ∴0≤y<4. 1 2.函数 y= x+1+ 的定义域为________. 2-x 答案:[-1,2)∪(2,+∞)

1.求函数定义域应注意的四点 (1)如果没有特别说明,函数的定义域就是能使解析式有意义的所有实数 x 的集合. (2)不要对解析式进行化简变形,以免定义域发生变化. (3)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时,定义域是使 得各式子都有意义的公共部分的集合. (4)定义域是一个集合,要用集合或区间表示,若用区间表示数集,不能用“或”连接, 而应该用并集符号“∪”连接. 2.求函数值域的六种基本方法 (1)观察法:一些简单函数,通过观察法求值域. (2)配方法:“二次函数类”用配方法求值域.

(3)换元法:形如 y=ax+b± cx+d(a,b,c,d 均为常数,且 a≠0)的函数常用换元法 求值域,形如 y=ax+ a-bx2的函数用三角函数代换求值域. cx+d (4)分离常数法:形如 y= (a≠0)的函数可用此法求值域. ax+b (5)单调性法:函数单调性的变化是求最值和值域的依据,根据函数的单调区间判断其 增减性进而求最值和值域. (6)数形结合法:利用函数所表示的几何意义,借助于图象的直观性来求函数的值域. [做一做] 1 3.函数 y= 的定义域是( ) log2(x-2) A.(-∞,2) B.(2,+∞) C.(2,3)∪(3,+∞) D.(2,4)∪(4,+∞) 答案:C 4.若 x-4有意义,则函数 y=x2-6x+7 的值域是________. 解析:∵ x-4有意义,∴x-4≥0,即 x≥4. 又∵y=x2-6x+7=(x-3)2-2, ∴ymin=(4-3)2-2=1-2=-1. ∴其值域为[-1,+∞). 答案:[-1,+∞)

考点一__求函数的定义域(高频考点)____________ 函数的定义域是高考的重点内容, 考查时多以选择题和填空题形式出现, 一般难度较小, 高考对定义域的考查主要有以下四个命题角度: (1)求分式型函数的定义域; (2)求无理型函数的定义域; (3)求对数型函数的定义域; (4)求抽象函数的定义域. (1)(2015· 广东惠州第二次调研)函数 f(x)=log2(3x-1)的定义域为( ) A.[1,+∞) B.(1,+∞) C.[0,+∞) D.(0,+∞) 1-|x-1| (2)函数 f(x)= 的定义域为____________. x-1 f(2x) (3)(2015· 山东莱芜模拟)已知函数 f(x)的定义域为[3, 6], 则函数 y= 的定 log1(2-x)
2

义域为(

) 3 ? B.? ?2,2? 1 ? D.? ?2,2?

3 ? A.? ?2,+∞? 3 ? C.? ?2,+∞?

[解析] (1)要使函数有意义,必须满足 3x-1>0,解得 x>0,故选 D. ?1-|x-1|≥0 ? ?0≤x≤2 ? (2)由? ?? ?0≤x<1 或 1<x≤2. ? ? ?x≠1 ?x≠1

(3)要使函数 y= 故选 B. [答案] (1)D

3 ? ? ?2≤x≤3 3 ?3≤2x≤6 有意义, 需满足?log (2-x)>0?? ? ≤x<2. 2 log1(2-x) ? 1 ? ? 2 ?0<2-x<1 f(2x)
2

(3)B 1-|x-1| 本例(2)变为函数 f(x)= (a>0 且 a≠1),结果如何? ax-1 ? ?1-|x-1|≥0 ? ?0≤x≤2 解:由? x ?? ?0<x≤2, ?a -1≠0 ?x≠0 ? ? 故所求函数的定义域为(0,2]. [规律方法] 简单函数定义域的类型及求法: (1)已知函数的解析式,则构造使解析式有意义的不等式(组)求解. (2)对实际问题:由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解. (3)已知 f(x)的定义域是[a,b],求 f(g(x))的定义域,是指满足 a≤g(x)≤b 的 x 的取值范 围,而已知 f(g(x))的定义域是[a,b],指的是 x∈[a,b]. 1 1.(1)(2013· 高考山东卷)函数 f(x)= 1-2x+ 的定义域为( ) x+3 A.(-3,0] B.(-3,1] C.(-∞,-3)∪(-3,0] D.(-∞,-3)∪(-3,1] lg(2-x) (2)函数 y= +(x-1)0 的定义域是__________. 12+x-x2 (3)(2015· 广东佛山模拟 ) 已知 f(x2 - 1) 的定义域为 [0 , 3] ,则函数 y = f(x) 的定义域为 __________. ?1-2x≥0, ? 解析:(1)由题意知? 解得-3<x≤0,所以函数 f(x)的定义域为(-3,0],故选 ?x+3>0, ? A. ?2-x>0, ?x<2,
2 (2)由?12+x-x >0,得?-3<x<4,所以-3<x<2 且 x≠1,故所求函数的定义域为{x|-

(2)[0,1)∪(1,2]

?

?

? ?x-1≠0

? ?x≠1,

3<x<2 且 x≠1}. (3)∵0≤x≤3,∴0≤x2≤9, ∴-1≤x2-1≤8, ∴函数 y=f(x)的定义域是[-1,8]. 答案:(1)A (2){x|-3<x<2 且 x≠1} (3)[-1,8] 考点二__求函数的值域________________________ 求下列函数的值域. (1)y=x2+2x(x∈[0,3]); 1-x2 (2)y= ; 1+x2 4 (3)y=x+ (x<0); x (4)f(x)=x- 1-2x. [解] (1)(配方法) y=x2+2x=(x+1)2-1, ∵y=(x+1)2-1 在[0,3]上为增函数, ∴0≤y≤15,

即函数 y=x2+2x(x∈[0,3])的值域为[0,15]. 1-x2 2 (2)y= = -1,∵1+x2≥1, 1+x2 1+x2 2 ∴0< ≤2. 1+x2 2 ∴-1< -1≤1.即 y∈(-1,1]. 1+x2 ∴函数的值域为(-1,1]. 4? 4 (3)∵x<0,∴x+ =-? ?-x-x?≤-4, x 当且仅当 x=-2 时等号成立, ∴y∈(-∞,-4]. ∴函数的值域为(-∞,-4]. (4)法一:(换元法) 令 1-2x=t, 1-t2 则 t≥0 且 x= , 2 1-t2 1 于是 y= -t=- (t+1)2+1, 2 2 1 1 -∞, ?. 由于 t≥0,所以 y≤ ,故函数的值域是? 2? ? 2 法二:(单调性法) 1? f(x)的定义域为? ?-∞,2?,容易判断 f(x)为增函数, 1? 1 所以 f(x)≤f? ?2?=2, 1? 即函数的值域是? ?-∞,2?. [规律方法] 求函数值域,应根据解析式的结构特点,选择适当的方法,而常用的方法 有:(1)观察法;(2)配方法;(3)换元法;(4)分离常数法;(5)单调性法;(6)数形结合法.在求 函数值域时,除了上述常用的方法外,还有很多方法,应注意选择最优的解法.总之,求函 数值域的关键是重视对应法则的作用,还要特别注意定义域对值域的制约. 2.求下列函数的值域: x-3 (1)y= ; x+1 x2-x (2)y= 2 ; x -x+1 (3)y=log3x+logx3-1(x>1). x-3 x+1-4 4 解:(1)法一:y= = =1- . x+1 x+1 x+1 4 4 因为 ≠0,所以 1- ≠1, x+1 x+1 即函数的值域是{y|y∈R,y≠1}. x-3 法二:由 y= ,得 yx+y=x-3. x+1 y+3 解得 x= ,所以 y≠1, 1-y 即函数的值域是{y|y∈R,y≠1}. x2-x+1-1 1 (2)y= 2 =1- 2 , x -x+1 x -x+1

1 2 3 3 x- ? + ≥ , ∵x2-x+1=? ? 2? 4 4 1 4 ∴0< 2 ≤ , x -x+1 3 1 ∴- ≤y<1, 3 1 - ,1?. 即函数的值域为? ? 3 ? 1 (3)y=log3x+ -1, log3x 令 log3x=t, 1 则 y=t+ -1(t≠0), t 1 x>1,t>0,y≥2 t· -1=1, t 1 当且仅当 t= 即 log3x=1,x=3 时,等号成立, t 故函数的值域是[1,+∞). 考点三__与函数定义域、值域有关的参数问题__ mx-1 若函数 y= 2 的定义域为 R,则实数 m 的取值范围是( ) mx +4mx+3 3 3 A.(0, ] B.(0, ) 4 4 3 3 C.[0, ] D.[0, ) 4 4 2 [解析] 要使函数的定义域为 R,则 mx +4mx+3≠0 恒成立. ①当 m=0 时,得到不等式 3≠0,恒成立;②当 m≠0 时,要使不等式恒成立,须 ? ? ? ?m>0 ?m>0, ?m<0, ?m<0, ? 3 ? ? ? ? 即 或 即 解得 0<m< . 2 4 ?m(4m-3)<0 ? ?Δ=(4m) -4×m×3<0, ? ?Δ<0, ? ?m(4m-3)<0. ? 3 由①②得 0≤m< .故选 D. 4 [答案] D [规律方法] 求解定义域为 R 或值域为 R 的函数问题时,都是依据题意对问题进行转 化,转化为不等式恒成立问题进行解决,而解决不等式恒成立问题,一是利用判别式法,二 是利用分离参数法,有时还可利用数形结合法. 4 3.已知函数 f(x)= -1 的定义域是[a,b](a,b∈Z),值域是[0,1],则 |x|+2 满足条件的整数数对(a,b)共有________个. 4 4 解析:由 0≤ -1≤1,即 1≤ ≤2,得 0≤|x|≤2,满足整数数对的有(-2,0), |x|+2 |x|+2 (-2,1),(-2,2),(0,2),(-1,2),共 5 个. 答案:5 ,[学生用书 P18]) 考题溯源——求函数的定义域

(2014· 高考山东卷)函数 f(x)= 1? A.? ?0,2? 1? C.? ?0,2?∪(2,+∞)

1 的定义域为( (log2x)2-1

)

B.(2,+∞) 1? D.? ?0,2?∪[2,+∞)

?x>0, ? 1 [解析] 由题意知? 解得 x>2 或 0<x< .故选 C. 2 2 ?(log2x) >1, ? [答案] C [考题溯源] 本题源于教材人教 A 必修 1P73,练习第 2 题, “求下列函数的定义域.(2)y 1 = ,(4)y= log3x” . log2x

的定义域为__________. -x2-3x+4 ? ? ?x+1>0 ?x>-1 解析:要使函数有意义,必须且只需? 2 ,即? ,解不 ?-x -3x+4>0 ?(x+4)(x-1)<0 ? ? 等式组得-1<x<1. 因此函数 f(x)的定义域为(-1,1). 答案:(-1,1) 2.若函数 f(x)= 2x2+2ax-a-1的定义域为 R,则 a 的取值范围为________. 解析:函数 f(x)的定义域为 R,所以 2x2+2ax-a-1≥0 对 x∈R 恒成立,即 2x2+2ax -a≥1,x2+2ax-a≥0 恒成立, 因此有Δ=(2a)2+4a≤0,解得-1≤a≤0. 答案:[-1,0]

1.函数 f(x)=

ln(x+1)

1.已知 a 为实数,则下列函数中,定义域和值域都有可能是 R 的是( ) A.f(x)=x2+a B.f(x)=ax2+1 C.f(x)=ax2+x+1 D.f(x)=x2+ax+1 2 解析:选 C.当 a=0 时,f(x)=ax +x+1=x+1 为一次函数,其定义域和值域都是 R. 10+9x-x2 2.函数 f(x)= 的定义域为( ) lg(x-1) A.[1,10] B.[1,2)∪(2,10] C.(1,10] D.(1,2)∪(2,10] 解析:选 D.要使函数有意义, 2 ?10+9x-x ≥0, ?(x+1)(x-10)≤0,① 则 x 需满足?x-1>0,

?

? ?lg(x-1)≠0, ? ?x≠2,

即?x>1,

?

解①得-1≤x≤10. 所以不等式组的解集为(1,2)∪(2,10].故选 D. 3.函数 y=2- -x2+4x的值域是( ) A.[-2,2] B.[1,2] C.[0,2] D.[- 2, 2] 解析:选 C.-x2+4x=-(x-2)2+4≤4, 0≤ -x2+4x≤2,

-2≤- -x2+4x≤0, 0≤2- -x2+4x≤2,所以 0≤y≤2. f(x+1) 的定义域是( ) x-1 A.[-1,2 015] B.[-1,1)∪(1,2 015] C.[0,2 016] D.[-1,1)∪(1,2 016] 解析: 选 B.令 t=x+1, 则由已知函数 y=f(x)的定义域为[0, 2 016]可知 f(t)中 0≤t≤2 016, 故要使函数 f(x+1)有意义,则 0≤x+1≤2 016,解得-1≤x≤2 015,故函数 f(x+1)的定义 ? ?-1≤x≤2 015, 域为[-1,2 015].所以函数 g(x)有意义的条件是? 解得-1≤x<1 或 1<x≤2 ?x-1≠0 ? 015.故函数 g(x)的定义域为[-1,1)∪(1,2 015]. ?g(x)+x+4,x<g(x), ? 5. 设函数 g(x)=x2-2(x∈R), f(x)=? , 则 f(x)的值域是( ) ?g(x)-x,x≥g(x). ? 9 A.[- ,0]∪(1,+∞) B.[0,+∞) 4 9 9 C.[- ,+∞) D.[- ,0]∪(2,+∞) 4 4 解析:选 D.令 x<g(x),即 x2-x-2>0,解得 x<-1 或 x>2.令 x≥g(x),即 x2-x-2≤0, 2 ? ?x +x+2(x<-1或x>2), 解得-1≤x≤2.故函数 f(x)=? 2 当 x<-1 或 x>2 时,函数 f(x)>f(- ?x -x-2(-1≤x≤2). ? 1 9 9 1)=2;当-1≤x≤2 时,函数 f( )≤f(x)≤f(-1),即- ≤f(x)≤0.故函数 f(x)的值域是[- , 2 4 4 0]∪(2,+∞). 6.下表表示 y 是 x 的函数,则函数的值域是________. x 0<x<5 5≤x<10 10≤x<15 15≤x≤20 y 2 3 4 5 解析:函数值只有四个数 2,3,4,5,故值域为{2,3,4,5}. 答案:{2,3,4,5} 1 7.已知函数 f(x)= ,则函数 f[f(x)]的定义域是__________. x+1 1 解析:根据题意可得 f[f(x)]= , 1 +1 x+1 ?x+1≠0, 4.若函数 y=f(x)的定义域是[0,2 016],则函数 g(x)= 要使函数有意义,只需? 1 ?x+1+1≠0, ? 解得 x≠-1 且 x≠-2,故函数 f[f(x)]的定义域为{x|x≠-1 且 x≠-2}. 答案:{x|x≠-1 且 x≠-2} 1 ? 1 8 . (2015· 温州模拟 ) 若函数 f(x) = 在区间 [a , b] 上的值域为 ? ?3,1? ,则 a + b = x-1 ________. 解析:∵由题意知 x-1>0,又 x∈[a,b], 1 ∴a>1.则 f(x)= 在[a,b]上为减函数, x-1 1 1 1 则 f(a)= =1 且 f(b)= = , a-1 b-1 3 ∴a=2,b=4,a+b=6. 答案:6 1 9.若函数 f(x)= x2-x+a 的定义域和值域均为[1,b](b>1),求 a,b 的值. 2

?

1 1 解:∵f(x)= (x-1)2+a- , 2 2 ∴其对称轴为 x=1. 即函数 f(x)在[1,b]上单调递增. 1 ∴f(x)min=f(1)=a- =1,① 2 1 2 f(x)max=f(b)= b -b+a=b.② 2 3 ? ?a=2, 又 b>1,由①②解得?

?b=3. ? 3 ∴a,b 的值分别为 ,3. 2

3 4 10.已知函数 f(x)的值域为[ , ],求函数 g(x)=f(x)+ 1-2f(x)的值域. 8 9 3 4 解:∵ ≤f(x)≤ , 8 9 1 1 ∴ ≤ 1-2f(x)≤ , 3 2 1 令 t= 1-2f(x),则 f(x)= (1-t2), 2 令 y=g(x), 1 ∴y=- (t2-1)+t. 2 7 7? 1 7 1 7 ∴当 t= 时,y 有最小值 ,当 t= 时,y 有最大值 .∴g(x)的值域为? ?9,8?. 3 9 2 8 1. (2015· 河南漯河模拟)已知 A, B 是非空数集, 定义 A⊕B={x|x∈A∪B, 且 x?A∩B}. 若 2 x A={x|y= x -3x},B={y|y=3 },则 A⊕B=( ) A.[0,3) B.(-∞,3) C.(-∞,0)∪(3,+∞) D.[0,3] 解析:选 B.分析得到 A=(-∞,0]∪[3,+∞),B=(0,+∞),A∪B=R,A∩B=[3, +∞),所以 A⊕B=(-∞,3). 2. 设 f(x)与 g(x)是定义在同一区间[a, b]上的两个函数, 若对任意的 x∈[a, b], 都有|f(x) -g(x)|≤1 成立, 则称 f(x)和 g(x)在[a, b]上是 “亲密函数” , 区间[a, b]称为“亲密区间”. 若 f(x)=x2+x+2 与 g(x)=2x+1 在[a,b]上是“亲密函数”,则其“亲密区间”可以是( ) A.[0,2] B.[0,1] C.[1,2] D.[-1,0] 解析:选 B. 在同一坐标系中作出函数 f(x)及 g(x)的图象,如图所示.

由题意作出与 g(x)=2x+1 的距离为 1 的平行线 y=2x+2 的图象, 由图并结合“亲密函 数”的定义可知其“亲密区间”可以是[0,1]. 3.已知函数 f(x)的定义域为[0,1],值域为[1,2],则函数 f(x+2)的定义域为________, 值域为________. 解析:由已知可得 x+2∈[0,1],故 x∈[-2,-1],所以函数 f(x+2)的定义域为[-2, -1].函数 f(x)的图象向左平移 2 个单位得到函数 f(x+2)的图象,所以值域不发生变化,所

以函数 f(x+2)的值域仍为[1,2]. 答案:[-2,-1] [1,2] 4.若函数 y= kx2-6kx+(k+8)的值域为[0,+∞),则 k 的取值范围是________. 解析:当 k=0 时,原函数可化为 y= 8=2 2,此时值域不是[0,+∞),从而 k≠0. 当 k≠0 时,想满足题意,则有 ?k>0, ?
? 2 ? ?Δ=(-6k) -4×k×(k+8)≥0.

解得 k≥1,从而 k 的取值范围为[1,+∞). 答案:[1,+∞) 5.已知函数 f(x)=x2+4ax+2a+6. (1)若函数 f(x)的值域为[0,+∞),求 a 的值; (2)若函数 f(x)的函数值均为非负数,求 g(a)=2-a|a+3|的值域. 解:(1)∵函数的值域为[0,+∞), ∴Δ=16a2-4(2a+6)=0 3 ?2a2-a-3=0?a=-1 或 a= . 2 (2)∵对一切 x∈R 函数值均为非负, 3 ∴Δ=8(2a2-a-3)≤0?-1≤a≤ . 2 ∴a+3>0. ∴g(a)=2-a|a+3|=-a2-3a+2 3 2 17 3 a+ ? + ?a∈?-1, ??. =-? 2?? ? 2? 4 ? ? 3? ∵二次函数 g(a)在? ?-1,2?上单调递减, 3? 19 ∴g? ?2?≤g(a)≤g(-1),即- 4 ≤g(a)≤4. 19 - ,4?. ∴g(a)的值域为? ? 4 ? 1 6.(选做题)已知函数 g(x)= x+1,h(x)= ,x∈(-3,a],其中 a 为常数且 a>0, x+3 令函数 f(x)=g(x)· h(x). (1)求函数 f(x)的表达式,并求其定义域; 1 (2)当 a= 时,求函数 f(x)的值域. 4 x+1 解:(1)f(x)= ,x∈[0,a](a>0). x+3 1? 1 (2)当 a= 时,函数 f(x)的定义域为? ?0,4?, 4 3? 令 x+1=t,则 x=(t-1)2,t∈? ?1,2?, t 1 f(x)=F(t)= 2 = , 4 t -2t+4 t+ -2 t 3 4 ? 当 t= 时,t=± 2?? ?1,2?, t 3 1 6 4 1, ?时,t+ 单调递减,F(t)单调递增,F(t)∈? , ?. 又 t∈? ? 2? ?3 13? t 1 6 ? 即函数 f(x)的值域为? ?3,13?.


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