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高中数学竞赛教案集


第六章 不等式 第一教时

教材:不等式、不等式的综合性质 目的:首先让学生掌握不等式的一个等价关系,了解并会证明不等式的基本性质ⅠⅡ。 过程: 一、引入新课 1.世界上所有的事物不等是绝对的,相等是相对的。 2.过去我们已经接触过许多不等式 二、几个与不等式有关的名称 1.“同向不等式与异向不等式” 2.“绝对不等式与矛盾不等式” 三、不等式的一个等价关系(

充要条件) 1.从实数与数轴上的点一一对应谈起 从而提出课题 (例略)

a ? b ? a ?b ? 0

a ? b ? a ?b ? 0

a ? b ? a ?b ? 0

2.应用:例一 比较 (a ? 3)(a ? 5) 与 (a ? 2)( a ? 4) 的大小 解:(取差) (a ? 3)(a ? 5) ? (a ? 2)( a ? 4)

? (a 2 ? 2a ? 15) ? (a 2 ? 2a ? 8) ? ?7 ? 0
∴ (a ? 3)(a ? 5) < (a ? 2)( a ? 4) 例二 已知 x ?0, 比较 ( x ? 1) 与 x ? x ? 1 的大小
2 2

4

2

解:(取差) ( x ? 1) ? ( x ? x ? 1)
2 2 4 2

? x 4 ? 2x 2 ? 1 ? x 4 ? x 2 ? 1 ? x 2
∵x?0 ∴x ?0
2

从而 ( x ? 1) > x ? x ? 1
2 2

4

2

小结:步骤:作差—变形—判断—结论

1

例三 比较大小 1.

1 3? 2

和 10

解:∵

1 3? 2

? 3? 2

∵( 3 ? ∴

2 ) 2 ? ( 10 ) 2 ? 2 6 ? 5 ? 24 ? 25 ? 0
< 10

1 3? 2

2.

b b?m 和 a a?m

(a, b, m ? R ? )
∵ (a, b, m ? R )
?

解:(取差)

b b ? m m(b ? a ) ? ? a a ? m a ( a ? m)

b b?m b b?m b b?m > ;当 b ? a 时 = ;当 b ? a 时 < a a?m a a?m a a?m 1 t ?1 3.设 a ? 0 且 a ? 1 , t ? 0 比较 log a t 与 log a 的大小 2 2
∴当 b ? a 时

t ?1 ( t ? 1) 2 ? t? ?0 解: 2 2
当 a ? 1时



t ?1 ? t 2

1 t ?1 1 t ?1 ;当 0 ? a ? 1 时 log a t ≥ log a log a t ≤ log a 2 2 2 2

四、不等式的性质 1.性质 1:如果 a ? b ,那么 b ? a ;如果 b ? a ,那么 a ? b (对称性) 证:∵ a ? b ∴ a ? b ? 0 由正数的相反数是负数

? (a ? b) ? 0
2.性质 2:如果 a ? b , b ? c 证:∵ a ? b , b ? c

b?a ?0

b?a

那么 a ? c (传递性)

∴a ?b ? 0,b ?c ? 0 ∴ (a ? b) ? (b ? c) ? 0

∵两个正数的和仍是正数

a?c ? 0

∴a ? c

由对称性、性质 2 可以表示为如果 c ? b 且 b ? a 那么 c ? a 五、小结:1.不等式的概念 2.一个充要条件

3.性质 1、2 六、作业:P5 练习 P8 习题 6.1 1—3
2 2

补充题:1.若 2 x ? 4 y ? 1 ,比较 x ? y 与

1 的大小 20

2

解: x ?

1? 4y 2

x2 ? y2 ?

(5 y ? 1) 2 1 =??= ?0 5 20

∴x ? y ≥
2 2

1 20

2.比较 2sin?与 sin2?的大小(0<?<2?) 略解:2sin??sin2?=2sin?(1?cos?) 当??(0,?)时 2sin?(1?cos?)≥0 当??(?,2?)时 2sin?(1?cos?)<0
3

2sin?≥sin2? 2sin?<sin2?
2

3.设 a ? 0 且 a ? 1 比较 log a (a ? 1) 与 log a (a ? 1) 的大小 解: (a ? 1) ? (a ? 1) ? a (a ? 1)
3 2 2

当 0 ? a ? 1时 a ? 1 ? a ? 1
3 2

∴ log a (a ? 1) > log a (a ? 1)
3 2 3 2

当 a ? 1时 a ?1 ? a ?1
3 2
3

∴ log a (a ? 1) > log a (a ? 1)
2

∴总有 log a (a ? 1) > log a (a ? 1) 第二教时 教材:不等式基本性质(续完) 目的:继续学习不等式的基本性质,并能用前面的性质进行论证,从而让学生清楚事物内部是具有固有规律的。 过程: 一、复习:不等式的基本概念,充要条件,基本性质 1、2 二、1.性质 3:如果 a ? b ,那么 a ? c ? b ? c 证:∵ (a ? c) ? (b ? c) ? a ? b ? 0 (加法单调性)反之亦然

∴a ?c ? b?c

从而可得移项法则: a ? b ? c ? a ? b ? (?b) ? c ? (?b) ? a ? c ? b 推论:如果 a ? b 且 c ? d ,那么 a ? c ? b ? d 证: (相加法则)

a ? b ? a ? c ? b ? c? ?? a?c ?b?d c ? d ? b ? c ? b ? d?
(相减法则)

推论:如果 a ? b 且 c ? d ,那么 a ? c ? b ? d 证:∵ c ? d ∴ ? c ? ?d

? a?b ? a?c ?b?d ? ?? c ? ? d

或证: (a ? c) ? (b ? d ) ? (a ? b) ? (c ? d )

?a ? b ?c ? d

? a ? b ? 0? ? ? 上式>0 ? c ? d ? 0?

???

2.性质 4:如果 a ? b 且 c ? 0 ,

那么 ac ? bc ;
3

如果 a ? b 且 c ? 0 那么 ac ? bc (乘法单调性) 证: ac ? bc ? (a ? b)c ∵a ? b ∴a ?b ? 0

根据同号相乘得正,异号相乘得负,得:

c ? 0 时 (a ? b)c ? 0 即: ac ? bc c ? 0 时 (a ? b)c ? 0 即: ac ? bc
推论 1 证: 如果 a ? b ? 0 且 c ? d ? 0 ,那么 ac ? bd (相乘法则)

a ? b, c ? 0 ? ac ? bc ? ? ? ac ? bd c ? d , b ? 0 ? bc ? bd ?

推论 1’(补充)如果 a ? b ? 0 且 0 ? c ? d ,那么

a b ? (相除法则) c d

证:∵ d ? c ? 0

1 1 ? a b ? ? 0? ∴c d ?? ? c d a ?b?0? ?
n n

推论 2 如果 a ? b ? 0 , 那么 a ? b

(n ? N且n ? 1)
(n ? N且n ? 1)

3.性质 5:如果 a ? b ? 0 ,那么 n a ? n b 证:(反证法)假设 n a ? n b
n

则:若

a ? a ?

n n

b ?a?b b ?a?b

n

这都与 a ? b 矛盾

∴n a ? n b

三、小结:五个性质及其推论 口答 P8 四、作业 练习 1、2 P8 练习 3 习题 6.1 4 5、6

习题 6.1

五、供选用的例题(或作业) 1.已知 a ? b ? 0 , c ? d ? 0 , e ? 0 ,求证:

e e ? a?c b?d

1 1 ? a ? b ? 0? e e ? ? 证: ? ?? a?c ?b?d ? 0? a?c b?d?? c ? d ? 0? a?c b?d ? e?0 ?
2.若 a, b ? R ,求不等式 a ? b,

1 1 ? 同时成立的条件 a b

解: a

1 b?a ? ? ? 0? ? ? ab ? 0 b ab a ? b ? b ? a ? 0? ? 1 ?
4

3.设 a, b, c ? R , a ? b ? c ? 0, abc ? 0 证:∵ a ? b ? c ? 0 又∵ abc ? 0 ∵
2 2 2 2

求证

1 1 1 ? ? ?0 a b c

∴ a ? b ? c ? 2ab ? 2ac ? 2bc ? 0
2 2

∴ a ? b ? c >0

∴ ab ? ac ? bc ? 0

1 1 1 ab ? bc ? ca ∴ ab ? ac ? bc ? 0 ? ? ? abc ? 0 a b c abc 1 1 1 ∴ ? ? ?0 a b c 1 1 4. ab ? 0, | a |?| b | 比较 与 的大小 a b 1 1 b?a 解: ? ? 当 a ? 0, b ? 0 时∵ | a |?| b | 即 a ? b a b ab b?a ?0 b?a ?0 ab ? 0 ∴ ab
当 a ? 0, b ? 0 时∵ | a |?| b | 即 a ? b



1 1 < a b

b?a ?0
5.若 a, b ? 0 解:

ab ? 0
求证:



b?a ?0 ab



1 1 > a b

b b?a ?1 ? ?0 a a

b ?1? b ? a a
∵a ? 0 ∵a ? 0 ∴b ? a ? 0 ∴ ∴a ? b ∴

b ? a ?b?a ?0

b?a b ? ?1 ? 0 a a

b ?1 a

6.若 a ? b ? 0, c ? d ? 0 证:∵ 0 ? sin? ? 1

求证:

log sin ? ? log sin ? ? ? a?c b?d

?>1 ∴ log sin ? ? ? 0 ∴a?c ? b?d

又∵ a ? b ? 0,?c ? ?d ? 0 ∴

1 1 ? a?c b?d

∴原式成立 第三教时

教材:算术平均数与几何平均数 目的:要求学生掌握算术平均数与几何平均数的意义,并掌握“平均不等式”及其推导过程。 过程: 一、 定理:如果 a, b ? R ,那么 a ? b ? 2ab (当且仅当 a ? b 时取“=”)
2 2

证明: a ? b ? 2ab ? (a ? b)
2 2

2

5

当a ? b时, ? b) 2 ? 0? (a 2 2 ? ? a ? b ? 2ab 2 当a ? b时, ? b) ? 0? (a
1.指出定理适用范围: a, b ? R 2.强调取“=”的条件 a ? b 二、定理:如果 a, b 是正数,那么
2 2

a?b ? ab (当且仅当 a ? b 时取“=”) 2
∴ a ? b ? 2 ab 当且仅当 a ? b 时
?

证明:∵ ( a ) ? ( b ) ? 2 ab 即:

a?b ? ab 2

a?b ? ab 2

注意:1.这个定理适用的范围: a ? R

2.语言表述:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。 三、推广: 定理:如果 a, b, c ? R ,那么 a ? b ? c ? 3abc
3 3 3
?

(当且仅当 a ? b ? c 时取“=”) 证明:∵ a ? b ? c ? 3abc ? (a ? b) ? c ? 3a b ? 3ab ? 3abc
3 3 3 3 3 2 2

? (a ? b ? c)[( a ? b) 2 ? (a ? b)c ? c 2 ] ? 3ab(a ? b ? c) ? (a ? b ? c)[ a 2 ? 2ab ? b 2 ? ac ? bc ? c 2 ? 3ab] ? (a ? b ? c)( a 2 ? b 2 ? c 2 ? ab ? bc ? ca)

?

1 (a ? b ? c)[( a ? b) 2 ? (b ? c) 2 ? (c ? a) 2 ] 2
?

∵ a, b, c ? R

∴上式≥0
?

从而 a ? b ? c ? 3abc
3 3 3

指出:这里 a, b, c ? R

∵ a ? b ? c ? 0 就不能保证
?

推论:如果 a, b, c ? R ,那么

a?b?c 3 ? abc 3 (当且仅当 a ? b ? c 时取“=”)
3 3

证明: (3 a ) ? (3 b ) ? (3 c ) ? 33 a ? 3 b ? 3 c ? a ? b ? c ? 33 abc
3

?

a?b?c 3 ? abc 3
? ?

四、关于“平均数”的概念 1.如果 a1 , a 2 , ?, a n ? R , n ? 1且n ? N 则:

6

a1 ? a 2 ? ? ? a n 叫做这 n 个正数的算术平均数 n
n

a1 a 2 ? a n 叫做这 n 个正数的几何平均数

2.点题:算术平均数与几何平均数 3.基本不等式:

a1 ? a 2 ? ? ? a n n ≥ a1 a 2 ? a n n
n ? N * , ai ? R ? ,1 ? i ? n

这个结论最终可用数学归纳法,二项式定理证明(这里从略) 语言表述:n 个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。 4.

a?b ? ab 的几何解释: 2 以 a ? b 为直径作圆,在直径 AB 上取一点 C,
D

过 C 作弦 DD’?AB

则 CD ? CA ? CB ? ab
2

A

a

C

b D’

B

从而 CD ? 而半径

ab

a?b ? CD ? ab 2
2 2 2

五、例一 已知 a, b, c 为两两不相等的实数,求证: a ? b ? c ? ab ? bc ? ca 证:∵ a ? b ? 2ab
2 2
2 2

b 2 ? c 2 ? 2bc
2

c 2 ? a 2 ? 2ca

以上三式相加: 2(a ? b ? c ) ? 2ab ? 2bc ? 2ca ∴ a ? b ? c ? ab ? bc ? ca
2 2 2

六、小结:算术平均数、几何平均数的概念 基本不等式(即平均不等式) 七、作业:P11-12 练习 1、2 P12 习题 5.2 1--3

补充:1.已知 6 ? a ? 8,2 ? b ? 3 ,分别求 a ? b, a ? b,

a 的范围 b
(8,11) (3,6) (2,4)

2. x ? R 试比较
2

2 x 4 ? 1 与 2 x 3 ? x 2 (作差 2 x 4 ? 1 > 2 x 3 ? x 2 )
2 2 2 2 2

3.求证: a ? b ? b ? c ? c ? a ? 证: a ? b ?
2 2

2 (a ? b ? c)

2 ( a ? b) 2

b2 ? c2 ?

2 (b ? c) 2

c2 ? a2 ?

2 (ca) 2
7

三式相加化简即得 第四教时 教材:极值定理 目的:要求学生在掌握平均不等式的基础上进而掌握极值定理,并学会初步应用。 过程: 一、复习:算术平均数与几何平均数定义,平均不等式 二、 若 x, y ? R ,设 Q ( x, y ) ?
?

x2 ? y2 2

A( x, y) ?

x? y 2

G ( x, y ) ? xy

H ( x, y ) ?

2 1 ? ? x y

求证: Q( x, y) ? A( x, y) ? G( x, y) ? H ( x, y)

加权平均;算术平均;几何平均;调和平均 证:∵ (

x ? y 2 x 2 ? y 2 ? 2 xy x 2 ? y 2 ? x 2 ? y 2 x 2 ? y ) ? ? ? 2 4 4 2

x2 ? y2 x ? y ? ∴ 即: Q( x, y) ? A( x, y) (俗称幂平均不等式) 2 2
由平均不等式 A( x, y) ? G( x, y)

H ( x, y ) ?

2 xy 2 xy ? ? x ? y 2 xy

xy ? G ( x, y ) 即: G( x, y) ? H ( x, y)

综上所述: Q( x, y) ? A( x, y) ? G( x, y) ? H ( x, y)

1 2 1 25 ) ? (b ? ) 2 ? a b 2 1 1 (a ? ? b ? ) 2 1 2 1 2 a b 证:由幂平均不等式: (a ? ) ? (b ? ) ? a b 2 a?b a?b 2 b a (1 ? ? ) (3 ? ? ) 2 2 a b a b ? (3 ? 2) ? 25 ? ? 2 2 2 2
例一、若 a ? b ? 1, a, b ? R
?

求证 (a ?

三、 极值定理 已知 x, y 都是正数,求证: 1? 如果积 xy 是定值 p ,那么当 x ? y 时和 x ? y 有最小值 2 p 2? 如果和 x ? y 是定值 s ,那么当 x ? y 时积 xy 有最大值

1 2 s 4

8

x? y ? xy 2 x? y 1?当 xy ? p (定值)时, ? p 2
证:∵ x, y ? R
?



∴x? y ? 2 p

∵上式当 x ? y 时取“=”

∴当 x ? y 时有 ( x ? y) min ? 2 p

2?当 x ? y ? s (定值)时, xy ? ∵上式当 x ? y 时取“=”

s 2

∴ xy ?

1 2 s 4 1 2 s 4

∴当 x ? y 时有 ( xy) max ?

注意强调:1?最值的含义(“≥”取最小值,“≤”取最大值) 2?用极值定理求最值的三个必要条件: 一“正”、二“定”、三“相等” 四、 例题 1.证明下列各题: ⑴ lg x ? log x 10 ? 2

( x ? 1)
log x 10 ? 0

证:∵ x ? 1∴ lg x ? 0

于是 lg x ? log x 10 ? 2 lg x lg x 10 ? 2 ⑵若上题改成 0 ? x ? 1 ,结果将如何? 解:∵ 0 ? x ? 1

lg x ? 0

log x 10 ? 0

于是 (? lg x) ? (? log x 10) ? 2 从而 lg x ? log x 10 ? ?2 ⑶若 a ? b ? 1 则 ab ?
?

1 4 1 4
∴ ab ?

解:若 a, b ? R 则显然有 0 ? ab ? 若 a, b 异号或一个为 0 则 ab ? 0
2

1 4

2.①求函数 y ? x (1 ? x) 的最大值 (0 ? x ? 1) ②求函数 y ? x(1 ? x ) 的最大值 (0 ? x ? 1)
2

解:①∵ 0 ? x ? 1

∴1 ? x ? 0

∴当

x 2 ? 1? x 即 x ? 时 2 3

x x ? ?1? x 2 4 x x 4 2 2 即 x ? 时 y max ? y ? 4 ? ? (1 ? x) ? 4 ? ( )3 ? 3 27 2 2 3 27
9

②∵ 0 ? x ? 1

∴ 0 ? 1? x ? 1
2

∴ y 2 ? x 2 (1 ? x 2 ) 2 ?

1 ? 2 x 2 ? (1 ? x 2 )(1 ? x 2 ) 2

?

1 2 x 2 ? (1 ? x 2 ) ? (1 ? x 2 ) 3 4 ( ) ? 2 3 27
2 2

∴当 2 x ? 1 ? x , x ?

3 4 时 y 2 max ? 3 27

y max ?

2 3 9

3.若 x ? ?1 ,则 x 为何值时 x ? 解:∵ x ? ?1 ∴x? ∴ x ?1 ? 0

1 有最小值,最小值为几? x ?1 1 ?0 x ?1

1 1 1 ? 1 ? 2 ( x ? 1) ? ?1 ? 2 ?1 ? 1 = x ?1? x ?1 x ?1 x ?1
当且仅当 x ? 1 ?

1 1 即 x ? 0时 (x ? ) min ? 1 x ?1 x ?1

五、 小结:1.四大平均值之间的关系及其证明 2.极值定理及三要素 六、 作业:P12 练习 3、4 习题 6.2 4、5、6

补充:下列函数中 x 取何值时,函数取得最大值或最小值,最值是多少? 1? y ? x(2 ? 3x) 2? y ? 1 ? 4 x ?

x?

1 1 时 y max ? 3 3
x ? 1, y min ? ?2

1 5 ? 4x
3 x

3? x ? 0 时 y ? 1 ? 2 x ?

x??
第五教时

6 , y min ? 1 ? 6 2

教材:极值定理的应用 目的:要求学生更熟悉基本不等式和极值定理,从而更熟练地处理一些最值问题。 过程: 一、 复习:基本不等式、极值定理 二、 例题:1.求函数 y ? 2 x ?
2

3 , ( x ? 0) 的最大值,下列解法是否正确?为什么? x

解一: y ? 2 x ?
2

3 1 1 1 2 ? 2 x 2 ? ? ? 33 2 x 2 ? ? ? 33 4 x x x x x

∴ y min ? 33 4

10

解二: y ? 2 x ?
2

3 3 3 12 3 ? 2 2x 2 ? ? 2 6x 当 2x 2 ? 即 x ? 时 x x 2 x

y min ? 2 6 ?

3

12 ? 2 33 12 ? 26 324 2

答:以上两种解法均有错误。解一错在取不到“=”,即不存在 x 使得 2 x 2 ? 是定值(常数) 正确的解法是: y ? 2 x ?
2

1 2 ? ;解二错在 2 6 x 不 x x

3 3 3 3 3 9 3 ? 2x 2 ? ? ? 33 2 x 2 ? ? ? 33 ? 3 36 x 2x 2x 2x 2x 2 2

当且仅当 2 x ?
2

3 6 3 3 即x ? 时 y min ? 3 36 2 2x 2

2.若 ? 4 ? x ? 1 ,求

x 2 ? 2x ? 2 的最值 2x ? 2

解:

x 2 ? 2 x ? 2 1 ( x ? 1) 2 ? 1 1 1 1 1 ? ? ? [( x ? 1) ? ] ? ? [?( x ? 1) ? ] 2x ? 2 2 x ?1 2 x ?1 2 ? ( x ? 1)
∵? 4 ? x ?1 ∴ ? ( x ? 1) ? 0

1 ?0 ? ( x ? 1)

从而 [?( x ? 1) ?

1 ]? 2 ? ( x ? 1)

1 1 ? [?( x ? 1) ? ] ? ?1 2 ? ( x ? 1)

即(

x 2 ? 2x ? 2 ) min ? ?1 2x ? 2
?
2

3.设 x ? R 且 x ?

y2 ? 1 ,求 x 1 ? y 2 的最大值 2
2

解:∵ x ? 0

∴ x 1? y

1 y2 ? 2 ? x2 ( ? ) 2 2

又x ?( ?
2

1 2

y2 y2 1 3 ) ? (x2 ? ) ? ? 2 2 2 2
1 3 3 2 2( ? ) ? 2 2 4

∴ x 1? y ?
2

11

即 ( x 1 ? y ) max ?
2

3 2 4

4.已知 a, b, x, y ? R 且

?

a b ? ? 1 ,求 x ? y 的最小值 x y
a b ay xb ? ) ? a?b? ? x y x y
ay xb ? ? ( a ? b)2 x y

解: x ? y ? ( x ? y ) ? 1 ? ( x ? y )(

? a?b?2

当且仅当

ay xb x 即 ? ? y x y

a 2 时 ( x ? y ) min ? ( a ? b ) b

三、关于应用题 1.P11 例(即本章开头提出的问题)(略) 2.将一块边长为 a 的正方形铁皮,剪去四个角(四个全等的正方形),作成一个无盖的铁盒,要使其容 积最大,剪去的小正方形的边长为多少?最大容积是多少? 解:设剪去的小正方形的边长为 x 则其容积为 V ? x(a ? 2 x) , (0 ? x ?
2

a ) 2

V?

1 ? 4 x ? ( a ? 2 x) ? ( a ? 2 x) 4
1 4 x ? ( a ? 2 x ) ? ( a ? 2 x ) 3 2a 3 ? [ ] ? 4 3 27

当且仅当 4 x ? a ? 2 x 即 x ?

a 时取“=” 6
2a 3 a 时,铁盒的容积为 27 6

即当剪去的小正方形的边长为 四、 作业:P12 练习 4 补充: 1.求下列函数的最值: 1? y ? 2 x ?
2

习题 6.2 7

4 , (x ? R? ) x
2

(min=6)

a 2? y ? x(a ? 2 x) , (0 ? x ? ) 2
2.1? x ? 0 时求 y ?

2a 3 ( max ? ) 27

6 6 9 ? 3x 2 的最小值, y ? 2 ? 3x 的最小值 (9, 3 4 ) x 2 x
12

2?设 x ? [ ,27 ] ,求 y ? log 3
4

1 9

x ? log 3 (3x) 的最大值(5) 27
2

3?若 0 ? x ? 1 , 求 y ? x (1 ? x ) 的最大值 (

4 2 3 ,x ? ) 27 3

4?若 x, y ? R 且 2 x ? y ? 1 ,求

?

1 1 ? 的最小值 (3 ? 2 2 ) x y

3.若 a ? b ? 0 ,求证: a ?

1 的最小值为 3 b( a ? b)

4.制作一个容积为 16?m 的圆柱形容器(有底有盖),问圆柱底半径和
3

高各取多少时,用料最省?(不计加工时的损耗及接缝用料) ( R ? 2m, h ? 4m) 第六教时 教材:不等式证明一(比较法) 目的:以不等式的等价命题为依据,揭示不等式的常用证明方法之一——比较法,要求学生能教熟练地运用作 差、作商比较法证明不等式。 过程: 一、 复习: 1.不等式的一个等价命题 2.比较法之一(作差法)步骤:作差——变形——判断——结论 二、作差法:(P13—14) 1. 求证:x + 3 > 3x 证:∵(x + 3) ? 3x = x ? 3x ? ( ) ? ( ) ? 3 ? ( x ? ) ?
2 2

2

3 2

2

3 2

2

3 2

2

3 ?0 4

∴x + 3 > 3x 2. 已知 a, b, m 都是正数,并且 a < b,求证:

2

a?m a ? b?m b

证:

a ? m a b(a ? m) ? a(b ? m) m(b ? a) ? ? ? b?m b b(b ? m) b(b ? m)
∵a,b,m 都是正数,并且 a<b,∴b + m > 0 , b ? a > 0 ∴

m(b ? a) ?0 b(b ? m)

即:

a?m a ? b?m b

变式:若 a > b,结果会怎样?若没有“a < b”这个条件,应如何判断? 3. 已知 a, b 都是正数,并且 a ? b,求证:a + b > a b + a b
5 5 2 3 3 2

证:(a + b ) ? (a b + a b ) = ( a ? a b ) + (b ? a b )
5 5 2 3 3 2 5 3 2 5 2 3

13

= a (a ? b ) ? b (a ? b ) = (a ? b ) (a ? b )
3 2 2 3 2 2 2 2 3 3

= (a + b)(a ? b) (a + ab + b )
2 2 2

∵a, b 都是正数,∴a + b, a + ab + b > 0 又∵a ? b,∴(a ? b) > 0
2

2

2

∴(a + b)(a ? b) (a + ab + b ) > 0
2 2 2

即:a + b > a b + a b

5

5

2 3

3 2

4. 甲乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点,甲有一半时间以速度 m 行走,另一半时间以速度 n 行 走;有一半路程乙以速度 m 行走,另一半路程以速度 n 行走,如果 m ? n,问:甲乙两人谁先到达 指定地点? 解:设从出发地到指定地点的路程为 S, 甲乙两人走完全程所需时间分别是 t1, t2, 则:

t1 t m ? 1 n ? S, 2 2

S S ? ? t2 2m 2n

可得: t1 ?

2S S ( m ? n) , t2 ? m?n 2mn

2S S (m ? n) S[4mn ? (m ? n) 2 ] S ( m ? n) 2 ? ? ?? ∴ t1 ? t 2 ? m?n 2mn 2(m ? n)mn 2mn(m ? n)
∵S, m, n 都是正数,且 m ? n,∴t1 ? t2 < 0 从而:甲先到到达指定地点。 变式:若 m = n,结果会怎样? 三、作商法 5. 设 a, b ? R ,求证: a a b b ? (ab)
+

即:t1 < t2

a ?b 2

? abb a
a ?b 2

证:作商:

a abb (ab)
a ?b 2

?a

a ?b 2

b

b?a 2

a ?( ) b

a 当 a = b 时, ( ) b
当 a > b > 0 时,

a ?b 2

?1
a ?b a ? 0, ( ) 2 b
a ?b 2

a ? 1, b

?1
a ?b 2

当 b > a > 0 时, 0 ?
a ?b 2

a ? 1, b

a?b a ? 0, ( ) 2 b

?1

∴ a b ? (ab)
a b

(其余部分布置作业)

作商法步骤与作差法同,不过最后是与 1 比较。 四、小结:作差、作商 五、作业: P15 P18 练习 习题 6.3 1—4
14

第七教时 教材:不等式证明二(比较法、综合法) 目的:加强比商法的训练,以期达到熟练技巧,同时要求学生初步掌握用综合法证明不等式。 过程: 一、比较法: a) 复习:比较法,依据、步骤 比商法,依据、步骤、适用题型 b) 例一、证明: y ? 2
x 2 ?4 x ?3

在 [2,??) 是增函数。
2

2 2 y 2 x1 ? 4 x1 ?3 ? 2 x2 ? 4 x2 ? x1 ? 4 x1 ? 2 ( x2 ? x1 )( x1 ? x2 ? 4 ) 证:设 2≤x1<x2, 则 1 ? 2 y 2 2 x2 ? 4 x2 ? 3

∵x2 ? x1 > 0, x1 + x2 ? 4 > 0



y1 ? 20 ? 1 y2
在 [2,??) 是增函数

又∵y1 > 0, ∴y1 > y2 ∴ y ? 2 二、 综合法:

x 2 ?4 x ?3

定义:利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质,推导出所要证明的不等式,这个证明方法叫综合 法。 i. 已知 a, b, c 是不全相等的正数, 求证:a(b + c ) + b(c + a ) + c(a + b ) > 6abc 证:∵b + c ≥ 2bc ,
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

a > 0 , ∴a(b2 + c2) ≥ 2abc
2 2 2 2 2 2

同理:b(c + a ) ≥ 2abc , c(a + b ) ≥ 2abc ∴a(b + c ) + b(c + a ) + c(a + b ) ≥ 6abc 当且仅当 b=c,c=a,a=b 时取等号,而 a, b, c 是不全相等的正数 ∴a(b + c ) + b(c + a ) + c(a + b ) > 6abc ii. 设 a, b, c ? R, 1?求证: a ? b ?
2 2
2 2 2 2 2 2 2 2

2 ( a ? b) 2
2 2 2 2

2?求证: a ? b ? b ? c ? c ? a ?
2 2

2 (a ? b ? c)

3?若 a + b = 1, 求证: a ?

1 1 ? b? ?2 2 2
a2 ? b2 a?b a?b ?| |? ∴ 2 2 2

a2 ? b2 a?b 2 ?( ) ?0 证:1?∵ 2 2

15

∴ a ?b ?
2 2

2 ( a ? b) 2
2

2?同理: b ? c ?
2

2 (b ? c) , 2
2 2 2

c2 ? a2 ?
2 2

2 (c ? a ) 2
2 (a ? b ? c)

三式相加: a ? b ? b ? c ? c ? a ?
2

3?由幂平均不等式:

1 1 1 ( a? ? b? )? 2 2 2
∴ a? iii.

1 1 (a ? ) ? (b ? ) 2 2 ? 2

(a ? b ? 1) ? 2

2 ?1 2

1 1 ? b? ? 2 2 2

a , b, c?R, 求证:1? (a ? b ? c)( ?

1 1 1 ? )?9 a b c 1 1 1 9 2? (a ? b ? c)( ? ? )? a?b b?c c?a 2 a b c 3 3? ? ? ? b?c c?a a?b 2
1 1 1 1 ? ? ? 33 , 两式相乘即得。 a b c abc

证:1?法一: a ? b ? c ? 33 abc , 法二:左边 ?

a?b?c a?b?c a?b?c b a c a c b ? ? ? 3?( ? ) ?( ? ) ? ( ? ) a b c a b a c b c

≥ 3 + 2 + 2 + 2 = 9 2?∵

a?b b?c c?a 33 ? ? ? (a ? b)(b ? c)(c ? a) 2 2 2 2
1 1 1 1 ? ? ? 33 a?b b?c c?a (a ? b)(b ? c)(c ? a)

两式相乘即得 3?由上题: (a ? b ? c)(

1 1 1 9 ? ? )? a?b b?c c?a 2 c a b 9 ∴1 ? ?1? ?1? ? a?b b?c c?a 2 a b c 3 即: ? ? ? b?c c?a a?b 2
练习 1,2

三、小结:综合法 四、作业: P15—16 P18

习题 6.3 1,2,3
16

补充: 1. 已知 a, b?R 且 a ? b,求证: (
+

a2 2 b2 ) ? ( ) 2 ? a 2 ? b 2 (取差) b a
2

1

1

1

1

2. 设??R,x, y?R,求证: x 3. 已知 a, b?R ,求证: (
+

sin 2 ?

? y cos

?

? x ? y (取商)

a ? b 3 a3 ? b3 ) ? 2 2
2

证:∵a, b?R
3

+

∴ ( a ? b) ? 0
2 2

∴ a ? ab ? b ? ab
2 2

∴ a ? b ? (a ? b)( a ? ab ? b ) ? ab(a ? b)
3

∴ 3(a ? b ) ? 3ab(a ? b)
3 3

∴ 4(a ? b ) ? a ? 3ab(a ? b) ? b ? (a ? b)
3 3 3 3

3

∴(

a ? b 3 a3 ? b3 ) ? 2 2

4. 设 a>0, b>0,且 a + b = 1,求证: (a ? 证:∵ ab ?

a?b 1 ? 2 2

1 2 1 25 ) ? (b ? ) 2 ? a b 2 1 1 ∴ ab ? ∴ ?4 4 ab
2 2

1 1? 1 1? ? ? ?a? ?b? ? ?1? ? ? 1 2 1 2 a b ? ? 2? a b? ∴ (a ? ) ? (b ? ) ? 2? a b 2 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a?b ? 1 ? ? ? 2 ?1? ? ?1? ? ab ? ? 2? ab ? ? 2? 1 ? 4 ? ? 25 ? 2? ? ? 2 2 ? ? ? 2 ? ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ?
第八教时 教材:不等式证明三(分析法) 目的:要求学生学会用分析法证明不等式。 过程:
2 2

一、 介绍“分析法”:从求证的不等式出发,分析使这个不等式成立的充分条件,把证明不等式转化为判定 这些充分条件是否具备的问题。 二、 例一、求证: 3 ? 7 ? 2 5

17

证: ∵ 3 ? 7 ? 0,

2 5 ?0
2 2

综合法: ∵21 < 25 ∴ 21 ? 5 ∴ 2 21 ? 10 ∴ 10 ? 2 21 ? 20 ∴ ( 3 ? 7 ) ? (2 5 )
2 2

只需证明: ( 3 ? 7 ) ? (2 5 ) 展开得: 即: ∴ 即:

10 ? 2 21 ? 20 2 21 ? 10 21 ? 5
21 < 25(显然成立)

∴ 3? 7 ?2 5

∴ 3? 7 ?2 5
1 1

例二、设 x > 0,y > 0,证明不等式: ( x 2 ? y 2 ) 2 ? ( x 3 ? y 3 ) 3 证一:(分析法)所证不等式即: ( x ? y ) ? ( x ? y )
2 2 3 3 6 6 2 2 2 2 6 6 3 3 2

即: x ? y ? 3x y ( x ? y ) ? x ? y ? 2 x y 即: 3x y ( x ? y ) ? 2 x y
2 2 2 2 3 3

3

2 xy 3 2 2 2 ∵ x ? y ? 2 xy ? xy 成立 3
只需证: x ? y ?
2 2

∴ (x ? y ) ? (x ? y )
2 2 3
2 2 3

1 2

1 3 3

证二:(综合法)∵ ( x ? y ) ? x ? y ? 3x y ( x ? y ) ? x ? y ? 6 x y
6 6 2 2 2 2 6 6 3

3

? x 6 ? y 6 ? 2x 3 y 3 ? ( x 3 ? y 3 ) 2
1 1

∵x > 0,y > 0, ∴ ( x 2 ? y 2 ) 2 ? ( x 3 ? y 3 ) 3 例三、已知:a + b + c = 0,求证:ab + bc + ca ≤ 0 2 证一:(综合法)∵a + b + c = 0 ∴(a + b + c) = 0 展开得: ab ? bc ? ca ? ?

a2 ? b2 ? c2 2

∴ab + bc + ca ≤ 0 证二:(分析法)要证 ab + bc + ca ≤ 0 ∵a + b + c = 0 2 故只需证 ab + bc + ca ≤ (a + b + c) 即证: a ? b ? c ? ab ? bc ? ca ? 0
2 2 2

18

即: [( a ? b) 2 ? (b ? c) 2 ? (c ? a) 2 ] ? 0

1 2

(显然)

∴原式成立 证三:∵a + b + c = 0 ∴? c = a + b 2 2 2 ∴ab + bc + ca = ab + (a + b)c = ab ? (a + b) = ?a ?b ?ab = ? [( a ? ) ?
2

b 2

3b 2 ]?0 4

例四、 (课本例)证明:通过水管放水,当流速相等时,如果水管截面(指横截面)的周长相等,那么 截面的圆的水管比截面是正方形的水管流量大。 证:设截面周长为 l,则周长为 l 的圆的半径为
2

l ? l ? ,截面积为 ?? ? , 2? ? 2? ?

2

l ?l? 周长为 l 的正方形边长为 ,截面积为 ? ? 4 ?4?
? l ? ?l? 问题只需证: ?? ? > ? ? ? 2? ? ?4?
2 2

?l 2 l2 即证: > 4? 2 16
两边同乘

4 1 1 ,得: ? 2 ? 4 l
2 2

因此只需证:4 > ? (显然成立)

? l ? ?l? ∴ ?? ? > ? ? ? 2? ? ?4?
三、 作业: P18 练习 1—3 补充作业:

也可用比较法(取商)证,也不困难。 及 习题 6.3 余下部分

1. 已知 0 < ? < ?,证明: 2 sin 2? ? cot

? 2 1 ? cos ? 略证:只需证: 4 sin ? cos ? ? sin ?
2

∵0 < ? < ? ∴sin? > 0

故只需证: 4 sin ? cos ? ? 1 ? cos ? 即证: 4(1 ? cos ?)(1 ? cos ?) cos ? ? 1 ? cos ? 只需证: 4(1 ? cos ?) cos ? ? 1 即只需证: 4 cos ? ? 4 cos ? ? 1 ? 0
2

∵1 + cos? > 0

即: (2 cos ? ? 1) ? 0
2

(成立)

19

2. 已知 a > b > 0,?为锐角,求证: a sec? ? b tan ? ? 略证:只需证: (a sec? ? b tan ?) ? a ? b
2 2 2 2 2 2 2

a2 ? b2

即: a tan ? ? b sec? ? 2ab tan ? sec? ? (a tan ? ? b sec?) ? 0 (成立)
2

3. 设 a, b, c 是的△ABC 三边,S 是三角形的面积,求证: c ? a ? b ? 4ab ? 4 3S
2 2 2

略证:正弦、余弦定理代入得: ? 2ab cos C ? 4ab ? 2 3ab sin C 即证: 2 ? cosC ? 2 3 sin C 即: 3 sin C ? cos C ? 2 即证: sin(C ?

? ) ? 1 (成立) 6
第九教时

教材:不等式证明四(换元法) 目的:增强学生“换元”思想,能较熟练地利用换元手段解决某些不等式证明问题。 过程: 一、 提出课题:(换元法) 二、 三角换元: 例一、求证: ?

1 1 ? x 1? x2 ? 2 2
2

证一:(综合法)

? x 2 ? (1 ? x 2 ) ? 1 ∵ | x 1 ? x |?| x | 1 ? x ? x (1 ? x ) ? ? ? ? 2 2 ? ? 1 1 1 2 2 即: | x 1 ? x |? ∴ ? ? x 1? x ? 2 2 2 证二:(换元法) ∵ ? 1 ? x ? 1 ∴令 x = cos? , ??[0, ?] 1 2 则 x 1 ? x ? cos ? sin ? ? sin 2? 2 1 1 2 ∵ ? 1 ? sin ? ? 1 ∴ ? ? x 1? x ? 2 2
2 2 2 2

例二、已知 x > 0 , y > 0,2x + y = 1,求证:

1 1 ? ? 3? 2 2 x y

证一: ? ?

?1 1? 2x y 1 1 ? ?( 2 x ? y ) ? 3 ? ? ? 3 ? 2 2 即: ? ? 3 ? 2 2 ? y x x y ?x y?

证二:由 x > 0 , y > 0,2x + y = 1,可设 x ?

1 2 sin ?, 2

y ? cos2 ?

20



1 1 2 1 ? ? ? ? 2(1 ? cot 2 ?) ? (1 ? tan 2 ?) 2 x y sin ? cos2 ?
? 3 ? (2 cot 2 ? ? tan 2 ?) ? 3 ? 2 2

2 2 例三:若 x ? y ? 1 ,求证: | x ? 2 xy ? y |?
2 2

2

证:设 x ? r sin ?,
2

y ? r cos?, (0 ? r ? 1) ,
2 2 2 2 2 2

则 | x ? 2 xy ? y |?| r cos ? ? 2r cos ? sin ? ? r sin ? |

?? ? ? r 2 | cos 2? ? sin 2? |? 2r 2 cos? 2? ? ? ? 2r 2 ? 2 4? ?
例四:若 x > 1,y > 1,求证: xy ? 1 ? ( x ? 1)( y ? 1) 证:设 x ? sec ?,
2

? y ? sec2 ?, (0 ? ?, ? ? ) 2
cos(? ? ?) 1 ? ? xy cos ? cos? cos ? cos?
1? 1 ?? 1 ? ? a? ?? b ? ? ?1 ? ?? ? a? a ?? b?
2

则 1 ? ( x ? 1)( y ? 1) ? 1 ? tan ? tan ? ?

例五:已知:a > 1, b > 0 , a ? b = 1,求证: 0 ?

证:∵a > 1, b > 0 , a ? b = 1 ∴不妨设 a ? sec ?,

? b ? tan 2 ?, (0 ? ? ? ) 2



1? 1 ?? 1 ? 1 ? 1 ?? 1 ? ? a? ?? b ? ?? ? ?? ? sec2 ? ? sec? ? sec? ?? tan ? ? tan ? ? a? a ?? b? ? ?? ?

1 tan 2 ? sec2 ? ? ? ? sin ? sec2 ? sec? tan ?
∵0 ? ? ?

? , ∴0 < sin? < 1 2

∴0 ?

1? 1 ?? 1 ? ? a? ?? b ? ? ?1 ? ?? ? a? a ?? b?

小结:若 0≤x≤1,则可令 x = sin? ( 0 ? ? ?
2 2

? ? ? 2 )或 x = sin ? ( ? ? ? ? )。 2 2 2

若 x ? y ? 1 ,则可令 x = cos? , y = sin? ( 0 ? ? ? 2? )。 若 x ? y ? 1 ,则可令 x = sec?, y = tan? ( 0 ? ? ? 2? )。
2 2

若 x≥1,则可令 x = sec? ( 0 ? ? ?

? )。 2

21

若 x?R,则可令 x = tan? ( ? 三、 代数换元: 例六:证明:若 a > 0,则 a ?
2

? ? ? ? ? )。 2 2

1 1 ? 2 ? a? ?2 2 a a 1 , (a ? 0, x ? 2, y ? 2 ) a2
2

证:设 x ? a ?

1 , a

y ? a2 ?

2 1? ? 1 ? ? 则 x ? y ? ?a ? ? ? ? a2 ? 2 ? ? 2 a? ? a ? ? ? ? 2 2

x? y ?a?

1 1 ? a 2 ? 2 ? 2 ? 2 ( 当 a = 1 时取“=” ) a a

∴x? y ?

x2 ? y2 2 ? ? 2? 2 x? y 2? 2
∴原式成立

即y? 2 ? x?2

四、 小结: 还有诸如“均值换元”“设差换元”的方法,有兴趣的课后还可进一步学习。 五、 作业: 1. 若 a ? b ? 1 ,求证: a sin x ? b cos x ? 1
2 2

2. 若|a| < 1,|b| <1,则 | ab ?
n

(1 ? a 2 )(1 ? b 2 ) |? 1
n n

3. 若|x|≤1,求证: (1 ? x) ? (1 ? x) ? 2

4. 若 a > 1, b > 0 , a ? b = 1,求证: 0 ?

1? 1 ?? 1 ? ? a? ?? b ? ? ?1 ? ?? ? a? a ?? b?

5. 求证: 0 ? 1 ? x ?

x ?1
2 2

6. 已知|a|≤1,|b|≤1,求证: | a 1 ? b ? b 1 ? a |? 1 第十教时 教材:不等式证明五(放缩法、反证法) 目的:要求学生掌握放缩法和反证法证明不等式。 过程: 一、 简要回顾已经学习过的几种不等式证明的方法 提出课题:放缩法与反证法 二、 放缩法:

22

例一、若 a, b, c, d?R ,求证: 1 ?
+

a b c d ? ? ? ?2 a?b?d b?c?a c?d ?b d ?a?c a b c d 证:记 m = ? ? ? a?b?d b?c?a c?d ?b d ?a?c
∵a, b, c, d?R ∴m ?
+

a b c d ? ? ? ?1 a?b?c?d a?b?c?a c?d ?a?b d ?a?b?c a b c d m? ? ? ? ?2 a?b a?b c?d d ?c
即原式成立

∴1 < m < 2

例二、当 n > 2 时,求证: log n (n ? 1) log n (n ? 1) ? 1 证:∵n > 2 ∴ log n (n ? 1) ? 0,

log n (n ? 1) ? 0
2 2

? log (n 2 ? 1) ? ? log n (n ? 1) ? log n (n ? 1) ? ∴ log n (n ? 1) log n (n ? 1) ? ? ?? n ? ? 2 2 ? ? ? ? ? log n n 2 ? ?? ? ?1 ? 2 ?
∴n > 2 时, 例三、求证:
2

log n (n ? 1) log n (n ? 1) ? 1

1 1 1 1 ? 2 ? 2 ??? 2 ? 2 2 1 2 3 n

证:

1 1 1 1 ? ? ? 2 n(n ? 1) n ? 1 n n

∴ 三、 反证法:

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 2 ? 2 ??? 2 ? 1?1? ? ? ??? ? ? 2? ? 2 2 2 2 3 n ?1 n n 1 2 3 n 1 4

例四、设 0 < a, b, c < 1,求证:(1 ? a)b, (1 ? b)c, (1 ? c)a,不可能同时大于 证:设(1 ? a)b >

1 1 1 , (1 ? b)c > , (1 ? c)a > , 4 4 4 1 64
2

则三式相乘:ab < (1 ? a)b?(1 ? b)c?(1 ? c)a <



又∵0 < a, b, c < 1 同理: (1 ? b)b ?

1 ? (1 ? a ) ? a ? ∴ 0 ? (1 ? a ) a ? ? ? ?4 2 ? ?

1 , 4

(1 ? c)c ?

1 4 1 64
与①矛盾

以上三式相乘: (1 ? a)a?(1 ? b)b?(1 ? c)c≤ ∴原式成立

23

例五、已知 a + b + c > 0,ab + bc + ca > 0,abc > 0,求证:a, b, c > 0 证:设 a < 0, ∵abc > 0, ∴bc < 0 又由 a + b + c > 0, 则 b + c = ?a > 0 ∴ab + bc + ca = a(b + c) + bc < 0 与题设矛盾 又:若 a = 0,则与 abc > 0 矛盾, ∴必有 a > 0 同理可证:b > 0, c > 0 四、 作业:证明下列不等式: 1. 设 x > 0, y > 0, a ?

x? y x y , b? ,求证:a < b ? 1? x ? y 1? x 1? y

放缩法:

x? y x y x y ? ? ? ? 1? x ? y 1? x ? y 1? x ? y 1? x 1? y

2. lg9?lg11 < 1

? lg 9 ? lg 11 ? ? lg 99 ? ?2? lg 9 ? lg 11 ? ? ? ?? ? ? ? ? ?1 2 ? ? ? 2 ? ?2?
3. log n (n ? 1) log n (n ? 1) ? 1

2

2

2

? log n (n 2 ? 1) ? ? log n n 2 ? log n (n ? 1) log n (n ? 1) ? ? ? ?? ? ?1 2 ? ? ? 2 ? 1 1 4 4. 若 a > b > c, 则 ? ? ?0 a ?b b?c c?a
1 1 1 ? ?2 ?2 a ?b b?c (a ? b)(b ? c)
5.

2

2

? ? 2 4 ? ? (a ? b) ? (b ? c) ? ? a ? c ? ? ?

2

1 1 1 1 ? ? ? ? ? 2 ? 1 (n ? R ? , n ? 2) n n ?1 n ? 2 n
1 1 1 1 1 n2 ? n ?1 左边 ? ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? ? n n n n n n2

6.

1 1 1 1 ? ? ??? ?1 2 n ?1 n ? 2 2n 1 1 ? n ? 中式 ? ?n ?1 2n n ?1
2 2 2

7.已知 a, b, c > 0, 且 a + b = c ,求证:a + b < c (n≥3, n?R )
n n n
*

?a? ?b? ?a? ?a? ?b? ?b? ∵ ? ? ? ? ? ? 1 ,又 a, b, c > 0, ∴ ? ? ? ? ? , ? ? ? ? ? ?c? ?c? ?c? ?c? ?c? ?c?
∴?

2

2

n

2

n

2

?a? ?b? ? ?? ? ?1 ?c? ?c?

n

n

8.设 0 < a, b, c < 2,求证:(2 ? a)c, (2 ? b)a, (2 ? c)b,不可能同时大于 1

24

仿例四 9.若 x, y > 0,且 x + y >2,则

1? y 1? x 和 中至少有一个小于 2 y x
第十一教时

反设

1? x 1? y ≥2, ≥2 y x

∵x, y > 0,可得 x + y ≤2 与 x + y >2 矛盾

教材:不等式证明六(构造法及其它方法) 目的:要求学生逐步熟悉利用构造法等方法证明不等式。 过程: 一、 构造法: 1.构造函数法 例一、已知 x > 0,求证: x ?

1 ? x

1 x? 1 x

?

5 2

证:构造函数 f ( x) ? x ? 由 f (?) ? f (?) ? ? ? 显然 ∵2≤?<?

1 1 ( x ? 0) 则 x ? ? 2 , 设 2≤?<? x x
? 1 1 ? (? ? ?)(?? ? 1) 1 1 ? (? ? ) ? (? ? ?) ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ?? ? ?

∴? ? ? > 0, ?? ? 1 > 0, ?? > 0 ∴上式 > 0

∴f (x)在 [2,??) 上单调递增,∴左边 ? f (2) ? 例二、求证: y ?

5 2

x 2 ? 10 x ?9
2

?

10 3

证:设 t ?

x ? 9 (t ? 3)
2

t 2 ?1 则 f (t ) ? y ? t

用定义法可证:f (t)在 [3,??) 上单调递增

令:3≤t1<t2

t ? 1 t 2 ? 1 (t1 ? t 2 )(t1t 2 ? 1) ? ? ?0 则 f (t1 ) ? f (t 2 ) ? 1 t1 t2 t1t 2
2 2

∴y?

x 2 ? 10 x2 ? 9

? f (3) ?

33 ? 1 10 ? 3 3

2.构造方程法: 例三、已知实数 a, b, c,满足 a + b + c = 0 和 abc = 2,求证:a, b, c 中至少有一个不小于 2。 证:由题设:显然 a, b, c 中必有一个正数,不妨设 a > 0, 则?

? b ? c ? ?a 2 ? bc ? a ?

即 b, c 是二次方程 x ? ax ?
2

2 ? 0 的两个实根。 a
25

∴ ? ? a2 ?

8 ?0 a

即:a≥2

例四、求证:

1 sec2 ? ? tan ? ? ? ? 3 (? ? k? ? , k ? Z ) 2 3 sec ? ? tan ? 2 sec2 ? ? tan ? 2 则:(y ? 1)tan ? + (y + 1)tan? + (y ? 1) = 0 sec2 ? ? tan ?

证:设 y ?

当 y = 1 时,命题显然成立 2 2 当 y ? 1 时,△= (y + 1) ? 4(y ? 1) = (3y ? 1)(y ? 3)≥0 ∴

1 ? y?3 3

综上所述,原式成立。(此法也称判别式法) 3.构造图形法: 例五、已知 0 < a < 1,0 < b < 1,求证:

a 2 ? b 2 ? (a ? 1) 2 ? b 2 ? a 2 ? (b ? 1) 2 ? (a ? 1) 2 ? (b ? 1) 2 ? 2 2
证:构造单位正方形,O 是正方形内一点 D O 到 AD, AB 的距离为 a, b, 则|AO| + |BO| + |CO| + |DO|≥|AC| + |BD| 其中 | AO |?
C

a ?b ,
2 2

1?b O

| BO |? (a ? 1) 2 ? b 2
b

| CO |? (a ? 1) ? (b ? 1)
2

2

A

a

| DO |? a 2 ? (b ? 1) 2

又: | AC |?| BD |?

1?a

B

2

2 2 2 2 2 2 2 2 ∴ a ? b ? (a ? 1) ? b ? a ? (b ? 1) ? (a ? 1) ? (b ? 1) ? 2 2

5. 作业:证明下列不等式:

1 x2 ? x ?1 ? ?3 3 x2 ? x ?1

令y?

x2 ? x ?1 2 ,则 (y ? 1)x + (y + 1)x + (y ? 1) = 0 2 x ? x ?1

用△法,分情况讨论 6. 已知关于 x 的不等式(a ? 1)x ? (a ? 1)x ? 1 < 0 (a?R),对任意实数 x 恒成立,求证:?
2 2

5 ? a ? 1。 3

分 a ? 1 = 0 和?
2

?a 2 ? 1 ? 0 ?? ? 0

讨论

7. 若 x > 0, y > 0, x + y = 1,则 ? x ?

? ?

1 ?? 1 ? 25 ?? y ? ? ? ? x ?? y? 4 ?
26

左边 ?

x y 1 1 ? ? xy ? ? 2 ? xy ? y x xy xy

令 t = xy,则 0 ? t ? ?

1 ?x? y? ? ? 4 ? 2 ?

2

1 1 1 17 f (t ) ? t ? 在 (0, ] 上单调递减 ∴ f (t ) ? f ( ) ? 4 t 4 4 1 1 2 8. 若 0 ? a ? (k ? 2, k ? N * ) ,且 a < a ? b,则 b ? k k ?1 1 1 1 2 令 f (a ) ? a ? a ,又 0 ? a ? ? , f (a ) 在 (0, ) 上单调递增 k 2 2 1 1 1 k ?1 k ?1 1 ∴ b ? a ? a2 ? f ( ) ? ? 2 ? 2 ? 2 ? k k k k k ?1 k ?1
9. 记 f ( x) ? 1 ? x ,a > b > 0,则| f (a) ? f (b) | < | a ? b|
2

构造矩形 ABCD, F 在 CD 上, 使|AB| = a, |DF| = b, |AD| = 1, 则|AC| ? |AF| < |CF| 10. 若 x, y, z > 0,则 x ? y ? xy ?
2 2 2 2

D

C F

A

B

y ? z ? yz ?

z ? x ? zx
2 2

作?AOB = ?BOC = ?COA = 120?, 设|OA| = x, |OB| = y, |OC| = z 第十二教时 教材:不等式证明综合练习 目的:系统小结不等式证明的几种常用方法,渗透“化归”“类比”“换元”等数学思想。 过程: 四、 简述不等式证明的几种常用方法 比较、综合、分析、换元、反证、放缩、构造 五、 例一、已知 0 < x < 1, 0 < a < 1,试比较 | log a (1 ? x) | 和 | log a (1 ? x) | 的大小。 解一: | log a (1 ? x) | 2 ? | log a (1 ? x) | 2 ? ?log a (1 ? x) ? log a (1 ? x)??log a (1 ? x) ? log a (1 ? x)?

? log a (1 ? x 2 ) log a
∵0 < 1 ? x < 1,
2

1? x 1? x 0?

1? x ?1 1? x

∴ log a (1 ? x ) log a
2

1? x ?0 1? x

∴ | log a (1 ? x) |? | log a (1 ? x) | 解二:

log a (1 ? x) 1 1? x ? log1? x (1 ? x) ? ? log1? x (1 ? x) ? log1? x ? log1? x log a (1 ? x) 1? x 1? x2
? 1 ? log1? x (1 ? x 2 )

2 ∵0 < 1 ? x < 1, 1 + x > 1, ∴ ? log1? x (1 ? x ) ? 0
2

2 ∴ 1 ? log1? x (1 ? x ) ? 1

∴ | log a (1 ? x) |? | log a (1 ? x) |
27

解三:∵0 < x < 1, ∴0 < 1 ? x < 1, 1 < 1 + x < 2, ∴ log a (1 ? x) ? 0,

log a (1 ? x) ? 0
2

∴左 ? 右 = log a (1 ? x) ? log a (1 ? x) ? log a (1 ? x ) ∵0 < 1 ? x < 1, 且 0 < a < 1 ∴ log a (1 ? x 2 ) ? 0
2

∴ | log a (1 ? x) |? | log a (1 ? x) | 变题:若将 a 的取值范围改为 a > 0 且 a ? 1,其余条件不变。 2 2 2 2 2 2 例二、已知 x = a + b ,y = c + d ,且所有字母均为正,求证:xy≥ac + bd 证一:(分析法)∵a, b, c, d, x, y 都是正数 ∴要证:xy≥ac + bd 2 2 只需证:(xy) ≥(ac + bd) 2 2 2 2 2 2 2 2 即:(a + b )(c + d )≥a c + b d + 2abcd 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 展开得:a c + b d + a d + b c ≥a c + b d + 2abcd 2 2 2 2 即:a d + b c ≥2abcd 由基本不等式,显然成立 ∴xy≥ac + bd 证二:(综合法)xy = a ? b
2 2

c 2 ? d 2 ? a 2c 2 ? b2c 2 ? a 2d 2 ? b2d 2
(ac ? bd ) 2 ? ac ? bd

2 2 2 2 ≥ a c ? 2abcd ? b d ?

证三:(三角代换法) 2 2 2 ∵x = a + b ,∴不妨设 a = xsin?, b = xcos? y2 = c2 + d2 c = ysin?, d = ycos? ∴ac + bd = xysin?sin? + xycos?cos? = xycos(? ? ?)≤xy 例三、已知 x1, x2 均为正数,求证:

1 ? x1 ? 1 ? x2
2

2

2

? x ? x2 ? ? 1? ? 1 ? ? 2 ?

2

证一:(分析法)由于不等式两边均为正数,平方后只须证:

1 ? x1 ? 1 ? x 2 ? 2 1 ? x1
2 2

2

1 ? x2

2

4
即: (1 ? x1 )(1 ? x 2 ) ? 1 ? x1 x 2
2 2

x ? x 2 ? 2 x1 x 2 ? 1? 1 4
2 2

再平方: (1 ? x1 )(1 ? x 2 ) ? 1 ? 2 x1 x 2 ? x1 x 2
2 2 2 2 2

2

化简整理得: x1 ? x 2 ? 2 x1 x 2 (显然成立) ∴原式成立 证二:(反证法)假设
2

1 ? x1 ? 1 ? x 2
2

2

2
化简可得: x1 ? x 2 ? 2 x1 x 2
2

? x ? x2 ? ? 1? ? 1 ? ? 2 ?

2

(不可能)
D C
28

A

P

M

B

∴原式成立 证三:(构造法)构造矩形 ABCD, 使 AB = CD = 1, BP = x1, PC = x2 当?APB = ?DPC 时,AP + PD 为最短。 取 BC 中点 M,有?AMB = ?DMC, BM = MC = ∴ AP + PD ≥ AM + MD 即: 1 ? x1 ? 1 ? x2
2 2

x1 ? x 2 2

? x ? x2 ? ? x ? x2 ? ? 1? ? 1 ? ? 1? ? 1 ? ? 2 ? ? 2 ?
2 2

2



1 ? x1 ? 1 ? x2
2

2

2

? x ? x2 ? ? 1? ? 1 ? ? 2 ?

六、 作业: 2000 版 高二课课练 第 6 课 第十三教时 教材:复习一元一次不等式 目的:通过复习要求学生能熟练地解答一元一次和一元二次不等式,尤其是对含有参数的一元一次和一元二次 不等式,能正确地对参数分区间讨论。 过程: 一、 提出课题:不等式的解法(复习):一元一次与一元二次不等式 板演:1.解不等式: 2( x ? 1) ?

x ? 2 7x ? ?1 3 2

( x ? 2)
? x ? ?1 ? ( ? x ? 2 ? ?1 ? x ? 1 ) ? x ?1 ?

?10 ? 2 x ? 11 ? 3 x 2.解不等式组: ? ? 5x ? 3 ? 4 x ? 1
3.解不等式: ? x ? 5x ? 6
2

(2 ? x ? 3) ( x ? R, x ? 2) (? ? ?8 ? 0, x ? ? )

4.解不等式: x ? 4 x ? 4 ? 0
2

5.解不等式: x ? 2 x ? 3 ? 0
2

二、含有参数的不等式 例一、解关于 x 的不等式 a( x ? ab) ? b( x ? ab) 解:将原不等式展开,整理得: (a ? b) x ? ab(a ? b) 讨论:当 a ? b 时, x ?

ab(a ? b) a ?b

当 a ? b 时,若 a ? b ≥0 时 x ? ? ;若 a ? b <0 时 x ? R
29

当 a ? b 时, x ?

ab(a ? b) a?b
2

例二、解关于 x 的不等式 x ? x ? a(a ? 1) ? 0 解:原不等式可以化为: ( x ? a ? 1)( x ? a) ? 0

1 则 x ? a 或 x ? 1? a 2 1 1 1 若 a ? ?(a ? 1) 即 a ? 则 ( x ? ) 2 ? 0 x ? ,x?R 2 2 2 1 若 a ? ?(a ? 1) 即 a ? 则 x ? a 或 x ? 1 ? a 2
若 a ? ?(a ? 1) 即 a ? 例三、关于 x 的不等式 ax ? bx ? c ? 0 的解集为 {x | x ? ?2或x ? ? }
2

1 2

求关于 x 的不等式 ax ? bx ? c ? 0 的解集.
2

解:由题设 a ? 0 且 ? 从而

b 5 c ?? , ?1 a 2 a b c x? ?0 a a

ax2 ? bx ? c ? 0 可以变形为 x 2 ?
2

即: x ?

5 x ?1 ? 0 2
2



1 ?x?2 2

例四、关于 x 的不等式 ax ? (a ? 1) x ? a ? 1 ? 0 对于 x ? R 恒成立, 求 a 的取值范围.s 解:当 a>0 时不合 ∴必有: ?

a=0 也不合

?a ? 0 ?a ? 0 ?? 2 2 ?? ? (a ? 1) ? 4a (a ? 1) ? 0 ?3a ? 2a ? 1 ? 0

?a ? 0 1 ?? ?a?? 3 ?(3a ? 1)( a ? 1) ? 0

例五、若函数 f ( x) ? 取值范围

k x2 ? 6k x ? (k ? 8) 的定义域为 R,求实数 k 的

解:显然 k=0 时满足 而 k<0 时不满足

?k ? 0 ? 0 ? k ?1 ? 2 ?? ? 36 k ? 4k (k ? 8) ? 2
∴k 的取值范围是[0,1] 三、 简单绝对不等式 例六、(课本 6.4 例 1)解不等式 | x ? 5 x ? 5 |? 1
2

解集为: {x | 1 ? x ? 2或3 ? x ? 4} 四、 小结
30

五、 作业:6.4 练习

1、2

P25 习题 6.4

1

补充:1.解关于 x 的不等式: 1?

x?2 x?3 ? 1? 2 k k
2

2? 2 x ? ax ? 2 ? 0
2

2.不等式 ax ? bx ? 2 ? 0 的解集为 {x | ?

?a ? ?12 1 1 ) ? x ? } ,求 a, b ( ? 2 3 ? b ? ?2
(a>4)

3.不等式 ax ? 4 x ? a ? 3 对于 x ? R 恒成立,求 a 的取值
2
2

4.已知 A ? {x | x ? x ? 2 ? 0} , B ? {x | 4 x ? p ? 0} 且 B?A, 求 p 的取值范围 (p≥4) 5.已知 y ? ax ? 2a ? 1 当-1≤x≤1 时 y 有正有负,求 a 的取值范围

1 (?1 ? a ? ) 2
第十四教时 教材:高次不等式与分式不等式 目的:要求学生能熟练地运用列表法和标根法解分式不等式和高次不等式。 过程: 一、 提出课题:分式不等式与高次不等式 二、 例一(P22-23) 解不等式 略解一(分析法)

x 2 ? 3x ? 2 ?0 x 2 ? 2x ? 3

? x 2 ? 3 x ? 2 ? 0 ? x ? 1或x ? 2 ?? ? ?1 ? x ? 1或2 ? x ? 3 ? 2 x ? 2x ? 3 ? 0 ? ?1 ? x ? 3 ?
或?

? ?1 ? x ? 2 ?? ?? ? x ? 2 x ? 3 ? 0 ? x ? ?1或x ? 3 ? x 2 ? 3x ? 2 ? 0
2

∴ ? 1 ? x ? 1或2 ? x ? 3 解二:(列表法)原不等式可化为 注意:按根的由小到大排列 解三:(标根法)作数轴;标根;画曲线,定解

( x ? 1)( x ? 2) ? 0 列表(见 P23 略) ( x ? 3)( x ? 1)

-2

-1

0

1

2

3

4

31

小结:在某一区间内,一个式子是大于 0(还是小于 0)取决于这个式子的各因式在此区间内的符号;而 区间的分界线就是各因式的根;上述的列表法和标根法,几乎可以使用在所有的有理分式与高次不等 式,其中最值得推荐的是“标根法” 例二 解不等式 x ? 3x ? 2 x ? 6
3 2

解:原不等式化为

( x ? 3)( x ? 2 )( x ? 2 ) ? 0

∴原不等式的解为 x ?
2

2或 ? 3 ? x ? ? 2
2

例三 解不等式 ( x ? 4 x ? 5)( x ? x ? 2) ? 0 解:∵ x ? x ? 2 ? 0 恒成立
2

∴原不等式等价于 x ? 4 x ? 5 ? 0
2
2 3

即-1<x<5

例四 解不等式 ( x ? 2) ( x ? 1) ( x ? 1)( x ? 2) ? 0 解:原不等式等价于 ( x ? 1)( x ? 1)( x ? 2) ? 0 且 x ? ?2, x ? 1 ∴原不等式的解为 {x | 1 ? x ? 2或 ? 2 ? x ? ?1或x ? ?2} 若原题目改为 ( x ? 2) ( x ? 1) ( x ? 1)( x ? 2) ? 0 呢?
2 3

例五 解不等式 ( x ? 5)( x ? 2)( x ? 1)( x ? 4) ? ?80 解:原不等式等价于 ( x ? x ? 20)( x ? x ? 2) ? 80 ? 0
2 2

即: ( x ? x) ? 22( x ? x) ? 120 ? 0
2 2 2

( x 2 ? x ? 12)( x 2 ? x ? 10) ? 0

( x ? 4)( x ? 3)( x ?

? 1 ? 41 ? 1 ? 41 )( x ? )?0 2 2 1 ? 41 ? 1 ? 41 或 ? x?3 2 2

∴? 4 ? x ? ? 三、 例六 解不等式

16 ? x ?1 x ?1 ( x ? 5)( x ? 3) 解:原不等式等价于 ?0 x ?1 ∴原不等式的解为: ? 3 ? x ? 1或x ? 5

32

例七 k 为何值时,下式恒成立:

2 x 2 ? 2k x ? k ?1 4x 2 ? 6x ? 3

解:原不等式可化为:

2 x 2 ? (6 ? 2k ) x ? (3 ? k ) ?0 4x 2 ? 6x ? 3

而 4x ? 6x ? 3 ? 0
2

∴原不等式等价于 2 x ? (6 ? 2k ) x ? (3 ? k ) ? 0
2

由 ? ? (6 ? 2k ) ? 4 ? 2 ? (3 ? k ) ? 0 得 1<k<3
2

四、 小结:列表法、标根法、分析法 五、 作业:P24 练习 补充: 1.k 为何值时,不等式 0 ? P25 习题 6.4 2、3、4

3x 2 ? kx ? 6 ? 6 对任意实数 x 恒成立 x2 ? x ?1
(k ? ?6)

2.求不等式

( x ? 2) 4 ( x ? 1)3 的解集 (3x ? 2)3 ( x ? 2) 2 ( x 2 ? x ? 2)

2 ({x | x ? ? 或x ? 1且x ? ?2}) 3 1 1 1 1 3.解不等式 ? ? ? x?4 x?5 x?6 x?3 9 x ? (??,?6) ? (?5,? ) ? (?4,?3) 2
4.求适合不等式 0 ? 5.若不等式

( x ? 1) 2 ? 1 的 x 的整数解 x ?1

(x=2)

x?a x ?b 1 的解为 ? x ? 1 ,求 a, b 的值 ? 2 2 x ? x ?1 x ? x ?1
2

(a ? 4, b ? 2)

第十五教时 教材:无理不等式 目的:通过分析典型类型例题,讨论它们的解法,要求学生能正确地解答无理不等式。 过程:

33

一、 提出课题:无理不等式 — 关键是把它同解变形为有理不等式组

二、

f ( x) ?

? f ( x ) ? 0? ? ? 定义域 g ( x)型 ? ? g ( x) ? 0 ? ? ? f ( x) ? g ( x) ?
x ?3 ? 0
?3 x ? 4 ? 0 ? x?3 ? x?3? 0

例一 解不等式 3x ? 4 ? 解:∵根式有意义

∴必须有: ?

又有 ∵ 原不等式可化为 3x ? 4 ? 两边平方得: 3x ? 4 ? x ? 3

x?3

解之: x ?

1 2

∴ {x | x ? 3} ? {x | x ? } ? {x | x ? 3}

1 2

三、

? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x)型 ? ? g ( x) ? 0 或? ? f ( x) ? [ g ( x)] 2 ? g ( x) ? 0 ?
2

例二 解不等式 ? x ? 3 x ? 2 ? 4 ? 3 x 解:原不等式等价于下列两个不等式组得解集的并集:

?4 ? 3 x ? 0 ? 2 Ⅰ: ?? x ? 3 x ? 2 ? 0 ?? x 2 ? 3 x ? 2 ? ( 4 ? 3 x ) 2 ?

?? x 2 ? 3 x ? 2 ? 0 Ⅱ: ? ?4 ? 3 x ? 0

4 ? ?x ? 3 6 4 ? 解Ⅰ: ?1 ? x ? 2 ? ? x ? 5 3 ?6 ? x ? 3 ?5 2 ? 6 ∴原不等式的解集为 {x | ? x ? 2} 5
四、

解Ⅱ:

4 ?x?2 3

? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x)型 ? ? g ( x) ? 0 ? f ( x) ? [ g ( x)] 2 ?
例三 解不等式 2 x ? 6 x ? 4 ? x ? 2
2

34

?2 x 2 ? 6 x ? 4 ? 0 ? 解:原不等式等价于 ? x ? 2 ? 0 ?2 x 2 ? 6 x ? 4 ? ( x ? 2) 2 ?
? x ? 2或x ? 1 ? ? ? x ? ?2 ? {x | 2 ? x ? 10或0 ? x ? 1} ?0 ? x ? 10 ?
特别提醒注意:取等号的情况 五、 例四 解不等式 2 x ? 1 ?

x ?1 ?1

解 :要使不等式有意义必须: ?

?2 x ? 1 ? 0 ? x ? ? 1 1 ? ?? 2?x?? 2 ? x ?1 ? 0 ? x ? ?1 ?
因为两边均为非负

原不等式可变形为
2

2x ? 1 ? 1 ? x ? 1
2

∴ ( 2 x ? 1 ? 1) ? ( x ? 1) ∵x+1≥0

即 2 2 x ? 1 ? ?( x ? 1)

∴不等式的解为 2x+1≥0 即 x ? ?
2 2

1 2

例五 解不等式 9 ? x ? 6 x ? x ? 3

? 9 ? x2 ? 0 ?? 3 ? x ? 3 ?? ?0? x?3 解:要使不等式有意义必须: ? 2 ?6 x ? x ? 0 ? 0 ? x ? 6
在 0≤x≤3 内 0≤ 9 ? x ≤3
2

0≤ 6 x ? x ≤3
2

∴ 9 ? x >3? 6 x ? x
2 2

2

因为不等式两边均为非负
2 2

两边平方得: 9 ? x ? 9 ? 6 x ? x ? 6 6 x ? x 因为两边非负,再次平方: 6 x ? x ? x
2 2

即 6 x ? x >x
2

解之 0<x<3

综合 得:原不等式的解集为 0<x<3 例六 解不等式 3 2 ? x ? 解:定义域 x-1≥0

x ?1 ? 1
x≥1

原不等式可化为: x ? 1 ? 1 ? 3 x ? 2 两边立方并整理得: ( x ? 2) x ? 1 ? 4( x ? 1) 在此条件下两边再平方, 整理得: ( x ? 1)( x ? 2)( x ? 10) ? 0

35

解之并联系定义域得原不等式的解为 {x | 1 ? x ? 2或x ? 10} 六、 小结 七、 作业:P24 练习 1、2、3 补充:解下列不等式 1. 2 x ? 3 ? 3x ? 5 ? 2. 3x ? 3 ? P25 习题 6.4 5

5x ? 6

( x ? 2)

x ? 3 ? 3x ? x ? 3
2? x
(

( x ? ?3)
? 5 ? 13 ? x ? 1 )s 2

3. 4 ? 1 ? x ?

4. ( x ? 1) x ? x ? 2 ? 0
2

( x ? 2或x ? ?1)
(?1 ? x ? 1? 5 ) 2

5. 2 ? x ? x ? 1 ? 1 第十六教时(机动) 教材:指数不等式与对数不等式

目的:通过复习,要求学生能比较熟练地掌握指数不等式与对数不等式的解法。 过程: 一、 提出课题:指数不等式与对数不等式 强调:利用指数不等式与对数不等式的单调性解题 因此必须注意它们的“底”及它们的定义域 二、 例一 解不等式 2
x 2 ? 2 x ?3

1 ? ( ) 3( x ?1) 2
x 2 ? 2 x ?3

解:原不等式可化为: 2
2

? 2 ?3( x?1)
2

∵底数 2>1

∴ x ? 2 x ? 3 ? ?3( x ? 1)

整理得: x ? x ? 6 ? 0

解之,不等式的解集为{x|-3<x<2} 例二 解不等式 3
x ?1

? 18 ? 3? x ? 29
2x

解:原不等式可化为: 3 ? 3
x x

? 29 ? 3 x ? 18 ? 0
解之: 3 ? 9 或 3 ?
x

即: (3 ? 9)(3 ? 3 ? 2) ? 0 ∴x>2 或 x ? log 3

x

2 3 2 } 3

2 3

∴不等式的解集为{x|x>2 或 x ? log 3

例三 解不等式 log x ?3 ( x ? 1) ? 2

36

解:原不等式等价于

?x ? 1 ? 0 ?x ? 1 ? 0 ? ? 或 ?0 ? x ? 3 ? 1 ?x ? 3 ? 1 ? x ? 1 ? ( x ? 3) 2 ? x ? 1 ? ( x ? 3) 2 ? ?

解之得:4<x≤5 ∴原不等式的解集为{x|4<x≤5} 例四 解关于 x 的不等式: log a (4 ? 3x ? x ) ? log a (2 x ? 1) ? log a 2, (a ? 0, a ? 1)
2

解:原不等式可化为 log a (4 ? 3x ? x ) ? log a 2(2 x ? 1)
2

1 ? ?2 x ? 1 ? 0 ?x ? 2 1 ? ? 当 a>1 时有 ?4 ? 3 x ? x 2 ? 0 ? ?? 1 ? x ? 4 ? ? x ? 2 2 ?4 ? 3x ? x 2 ? 2(2 x ? 1) ?? 3 ? x ? 2 ? ? ?
(其实中间一个不等式可省)

1 ? ?2 x ? 1 ? 0 ?x ? 2 ? ? 当 0<a<1 时有 ?4 ? 3 x ? x 2 ? 0 ? ?? 1 ? x ? 4 ?2? x?4 ?4 ? 3x ? x 2 ? 2(2 x ? 1) ? x ? ?3或x ? 2 ? ? ? 1 ∴当 a>1 时不等式的解集为 ? x ? 2 ; 2 当 0<a<1 时不等式的解集为 2 ? x ? 4
例五 解关于 x 的不等式 5 ? log a x ? 1 ? log a x 解:原不等式等价于

?1 ? log a x ? 0 ? 2 Ⅰ: ?5 ? log a x ? (1 ? log a x ) ?5 ? log x ? 0 a ?
解Ⅰ: ? 1 ? log a x ? 1 当 a>1 时有 0<x<a

或 Ⅱ: ?

?5 ? log a x ? 0 ? log a x ? 1 ? 0
∴ log a x ? 1

解Ⅱ: log a x ? ?1 当 0<a<1 时有 x>a

∴原不等式的解集为{x|0<x<a, a>1}或{x|x>a, 0<a<1} 例六 解不等式 x
log a x

?

x4 x a2

解:两边取以 a 为底的对数: 当 0<a<1 时原不等式化为: (log a x) ?
2

9 log a x ? 2 2

37

1 ? log a x ? 4 2 9 当 a>1 时原不等式化为: (log a x) 2 ? log a x ? 2 2
∴ (log a x ? 4)( 2 log a x ? 1) ? 0 ∴ (log a x ? 4)( 2 log a x ? 1) ? 0 ∴ log a x ? 4或 log a x ? ∴原不等式的解集为

∴a ? x ?
4

a

1 2

∴ x ? a 或0 ? x ?
4

a

{x | a 4 ? x ? a ,0 ? a ? 1} 或 {x | x ? a 4或0 ? x ? a , a ? 1}
三、 小结:注意底(单调性)和定义域 s 四、 作业: 补充:解下列不等式 1. a
x 2 ?2 x

? a x ? 4 , (a ? 0且a ? 1)
当 0<a<1 时 x ? (?1,4) )

(当 a>1 时 x ? (??,?1) ? (4,??) 2. log 1 ( x ? 3x ? 4) ? log 1 (2 x ? 10)
2 3 3

(-2<x<1 或 4<x<7) 3. ( )

1 2

x 2 ?3

? 4?x

(-1<x<3)

4. 2

3 x2 ? x?2 2

?2 2

1 ( ? x ? 1) 2
(a<x<1)

5.当 0 ? a ? 1 ,求不等式: log a (log a x) ? 0 6. a ? 1,0 ? b ? 1 ,求证: a 7. log a
logb ( 2 x ?1)

?1
(-1<x<0)
2x

1? x ? 0, (a ? 0, a ? 1) 1? x

8. a ? 1 时解关于 x 的不等式 log a [a

? 2 x (a x ? 2 x ?1 ) ? 1] ? 0

( a ? 2, x ? log a 2 ; 1 ? a ? 2, x ? log a 2 ; a ? 2, x ? ? )
2 2

第十七教时 教材:含绝对值的不等式 目的:要求学生掌握和、差的绝对值与绝对值的和、差的性质,并能用来证明有关含绝对值的不等式。 过程:一、复习:绝对值的定义,含有绝对值的不等式的解法 当 a>0 时,

| x |? a ? ?a ? x ? a | x |? a ? x ? a或x ? ?a

38

二、定理: | a | ? | b |?| a ? b |?| a | ? | b |

证明:∵

? | a |? a ?| a |? ? ? ?(| a | ? | b |) ? a ? b ?| a | ? | b | ? | b |? b ?| b | ?

?| a ? b |?| a | ? | b |
又∵a=a+b-b |-b|=|b|



由①|a|=|a+b-b|≤|a+b|+|-b| 即|a|-|b|≤|a+b| 综合①②: | a | ? | b |?| a ? b |?| a | ? | b |



注意:1? 左边可以“加强”同样成立,即 | a | ? | b | ?| a ? b |?| a | ? | b | 2? 这个不等式俗称“三角不等式”——三角形中两边之和大于第三边,两边之差小于第三边 3? a,b 同号时右边取“=”,a,b 异号时左边取“=” 推论 1: | a1 ? a 2 ? ? ? a n | ≤ | a1 | ? | a 2 | ? ? ? | a n | 推论 2: | a | ? | b |?| a ? b |?| a | ? | b | 证明:在定理中以-b 代 b 得: | a | ? | ?b |?| a ? (?b) |?| a | ? | ?b | 即: | a | ? | b |?| a ? b |?| a | ? | b | 三、应用举例 例一 至 例三见课本 P26-27 略 例四 设|a|<1, |b|<1 求证|a+b|+|a-b|<2 证明:当 a+b 与 a-b 同号时,|a+b|+|a-b|=|a+b+a-b|=2|a|<2 当 a+b 与 a-b 异号时,|a+b|+|a-b|=|a+b-(a-b)|=2|b|<2 ∴|a+b|+|a-b|<2 例五 已知 f ( x) ? 1 ? x
2

当 a?b 时 求证: | f (a) ? f (b) |?| a ? b |

证一: | f ( a ) ? f (b) |?|

a ? 1 ? b ? 1 |?
2 2

a2 ?1? b2 ?1 a2 ?1 ? b2 ?1

?

| a2 ? b2 | a2 ?1 ? b2 ?1

?

| (a ? b)( a ? b) | a2 ? b2

?

| a ? b || (a ? b) | |a|?|b|

?

(| a | ? | b |) | a ? b | ?| a ? b | |a|?|b|

证二:(构造法)

1 O

A

B

39

a

b

如图: OA ? f (a ) ? 1 ? a

2

OB ? f (b) ? 1 ? b 2

| AB |?| a ? b |
由三角形两边之差小于第三边得: | f (a) ? f (b) |?| a ? b | 四、小结:“三角不等式” 五、作业:P28 练习和习题 6.5 第十八教时 教材:含参数的不等式的解法 目的:在解含有参数的不等式时,要求学生能根据参数的“位置”正确分组讨论,解不等式。 过程:一、课题:含有参数的不等式的解法 二、例一 解关于 x 的不等式

log

a

x ? log

x

a

解:原不等式等价于

log

a

x?

1 log a x

即:

(log a x ? 1)(log a x ? 1) ?0 log a x

∴ log a x ? ?1或0 ? log a x ? 1 若 a>1 若 0<a<1

0? x? x?

1 或1 ? x ? a a

1 或a ? x ? 1 a
3x

例二 解关于 x 的不等式 2 解:原不等式可化为 2 即: (2
2x 4x

? 2 x ? m(2 x ? 2 ? x )

? (1 ? m) ? 2 x ? m ? 0

? 1)( 2 2 x ? m) ? 0 s

当 m>1 时 当 m=1 时 当 0<m<1 时 当 m≤0 时

1 ? 22x ? m
(2 2 x ? 1) 2 ? 0

∴0 ? x ? ∴x?φ ∴

1 log 2 m 2

m ? 22x ? 1
x<0

1 log 2 m ? x ? 0 2

例三 解关于 x 的不等式

x 2 ? 4mx ? 4m 2 ? m ? 3

解:原不等式等价于 | x ? 2m |? m ? 3

40

当 m ? 3 ? 0 即 m ? ?3 时 ∴ x ? 3m ? 3或x ? m ? 3 当 m ? 3 ? 0 即 m ? ?3 时 当 m ? 3 ? 0 即 m ? ?3 时 例四 解关于 x 的不等式 解:当 cot? ? 1即??(0, 当 cot? ? 1即?=

x ? 2m ? m ? 3或x ? 2m ? ?(m ? 3)

| x ? 6 |? 0
x?R
2

∴x??6

(cot? ) ? x

?3 x ? 2

? 1, (0 ? ? ?

?
2

)

? 时 x?φ 4 ? ? 2 当 cot? ? (0,1) 即??( , )时 ? x ? 3x ? 2 ? 0 4 2
例五 满足 3 ? x ? 的集合为 B 值范围

? 2 )时 ? x ? 3x ? 2 ? 0 4

∴x>2 或 x<1

∴1<x<2

x ? 1 的 x 的集合为 A;满足 x 2 ? (a ? 1) x ? a ? 0 的 x
2? 若 A?B 求 a 的取

1? 若 A?B 求 a 的取值范围

3? 若 A∩B 为仅含一个元素的集合,求 a 的值。

解:A=[1,2] 当 a≤1 时 当 a>2 时

B={x|(x-a)(x-1)≤0} B=[a,1]
当 a>1 时 B=[1,a]

A?B

当 1≤a≤2 时 A?B 当 a≤1 时 A∩B 仅含一个元素 例六 方程 a sin x ?
2

1 1 cos x ? ? a ? 0, (0 ? a ? 1,0 ? x ? ? ) 有相异两实根, 2 2

求 a 的取值范围 解:原不等式可化为 2a cos x ? cos x ? 1 ? 0
2

令: t ? cos x 则 t ? [?1,1] 设 f (t ) ? 2at ? t ? 1
2

又∵a>0

?? ? 1 ? 8a ? 0 1 ? ? ?a ? ? 8 ? f (?1) ? 2a ? 0 ?a ? 0 ? ? ? a ?1 ? f (1) ? 2a ? 2 ? 0 ? ? ? ?a ? 1 1 ?? 1 ? ?a ? 1 或a ? ? 1 ?1 4a ? ? 4 4 ? ?
三、小结 四、作业:

41

1. log 1 x ? (a ?
2 2

1 ) log 1 x ? 1 ? 0 a 2

1 ? ? ? 当a ? 1或 ? 1 ? a ? 0时( 1 ) a ? x ? ( 1 ) a ? 2 2 , a ? ?1时x ? ? ? ? 1 ? ? 1 1 a ?当0 ? a ? 1或a ? ?1时( ) a a ? x ? ( ) ? 2 2 ? ?

2. A ? {x | 3 ? x ? 求 a 的取值范围

x ? 1}

B ? {x || x ? 1 |? a, a ? 0} 若 A ? B ? ?
(a≥1)

3. a ? 3 x ? x ? a, ( a ? 0)
2 2

(?

a ? x ? 0) 2

4. x

loga x ?1

? a 2 x, (a ? 0)
(当0 ? a ? 1时a
2
2

? x ? a ? 2 ,当a ? 1时x ? a 2 或0 ? x ? a ? 2 )

5.当 a 在什么范围内方程: x ? (log 2 a ? 4) x ? 不同的负根

1 2 log 2 a ? 1 ? 0 有两个 4

? 1 ? ? (0, ) ? (4,4 2 ) ? ? 4 ?
2

6.若方程 x ? (m ? 2) x ? 5 ? m ? 0 的两根都对于 2,求实数 m 的范围

??? 5,4??
第七章 直线和圆的方程 直线的倾斜角和斜率 一、教学目标 (一)知识教学点 知道一次函数的图象是直线, 了解直线方程的概念, 掌握直线的倾斜角和斜率的概念以及直线的斜率公式. (二)能力训练点 通过对研究直线方程的必要性的分析,培养学生分析、提出问题的能力;通过建立直线上的点与直线的方 程的解的一一对应关系、方程和直线的对应关系,培养学生的知识转化、迁移能力. (三)学科渗透点 分析问题、提出问题的思维品质,事物之间相互联系、互相转化的辩证唯物主义思想.
42

二、教材分析 1.重点:通过对一次函数的研究,学生对直线的方程已有所了解,要对进一步研究直线方程的内容进行 介绍, 以激发学生学习这一部分知识的兴趣; 直线的倾斜角和斜率是反映直线相对于 x 轴正方向的倾斜程度的, 是研究两条直线位置关系的重要依据,要正确理解概念;斜率公式要在熟练运用上多下功夫. 2.难点:一次函数与其图象的对应关系、直线方程与直线的对应关系是难点.由于以后还要专门研究曲 线与方程,对这一点只需一般介绍就可以了. 3.疑点:是否有继续研究直线方程的必要? 三、活动设计 启发、思考、问答、讨论、练习. 四、教学过程 (一)复习一次函数及其图象 已知一次函数 y=2x+1,试判断点 A(1,2)和点 B(2,1)是否在函数图象上. 初中我们是这样解答的: ∵A(1,2)的坐标满足函数式, ∴点 A 在函数图象上. ∵B(2,1)的坐标不满足函数式, ∴点 B 不在函数图象上. 现在我们问: 这样解答的理论依据是什么?(这个问题是本课的难点, 要给足够的时间让学生思考、 体会. ) 讨论作答:判断点 A 在函数图象上的理论依据是:满足函数关系式的点都在函数的图象上;判断点 B 不在 函数图象上的理论依据是:函数图象上的点的坐标应满足函数关系式.简言之,就是函数图象上的点与满足函 数式的有序数对具有一一对应关系. (二)直线的方程 引导学生思考:直角坐标平面内,一次函数的图象都是直线吗?直线都是一次函数的图象吗? 一次函数的图象是直线,直线不一定是一次函数的图象,如直线 x=a 连函数都不是. 一次函数 y=kx+b,x=a 都可以看作二元一次方程,这个方程的解和它所表示的直线上的点一一对应.

43

以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点; 反之, 这条直线上的点的坐标都是这个方程的解. 这时, 这个方程就叫做这条直线的方程;这条直线就叫做这个方程的直线. 上面的定义可简言之:(方程)有一个解(直线上)就有一个点;(直线上)有一个点(方程)就有一个解,即方 程的解与直线上的点是一一对应的. 显然,直线的方程是比一次函数包含对象更广泛的一个概念. (三)进一步研究直线方程的必要性 通过研究一次函数,我们对直线的方程已有了一些了解,但有些问题还没有完全解决,如 y=kx+b 中 k 的 几何含意、已知直线上一点和直线的方向怎样求直线的方程、怎样通过直线的方程来研究两条直线的位置关系 等都有待于我们继续研究. (四)直线的倾斜角 一条直线 l 向上的方向与 x 轴的正方向所成的最小正角,叫做这条直线的倾斜角,如图 1-21 中的α .特 别地,当直线 l 和 x 轴平行时,我们规定它的倾斜角为 0°,因此,倾斜角的取值范围是 0°≤α <180°.

直线倾斜角角的定义有下面三个要点: (1)以 x 轴正向作为参考方向(始边); (2)直线向上的方向作为终边; (3)最小正角. 按照这个定义不难看出:直线与倾角是多对一的映射关系. (五)直线的斜率 倾斜角不是 90°的直线.它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率.直线的斜率常用 k 表示,即

44

直线与斜率之间的对应不是映射,因为垂直于 x 轴的直线没有斜率. (六)过两点的直线的斜率公式 在坐标平面上, 已知两点 P1(x1, y1)、 P2(x2, y2), 由于两点可以确定一条直线, 直线 P1P2 就是确定的. 当 x1≠x2 时,直线的倾角不等于 90°时,这条直线的斜率也是确定的.怎样用 P2 和 P1 的坐标来表示这条直线的 斜率?

P2 分别向 x 轴作垂线 P1M1、P2M2,再作 P1Q⊥P2M,垂足分别是 M1、M2、Q.那么: α =∠QP1P2(图 1-22 甲)或α =π -∠P2P1Q(图 1-22 乙)

综上所述,我们得到经过点 P1(x1,y1)、P2(x2,y2)两点的直线的斜率公式:

45

对于上面的斜率公式要注意下面四点:(1)当 x1=x2 时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角为 90°;(2)k 与 P1、P2 的顺序无关;(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得;(4)求直 线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到. (七)例题 例1 如图 1-23,直线 l1 的倾斜角α 1=30°,直线 l2⊥l1,求 l1、l2 的斜率.

∵l2 的倾斜角α 2=90°+30°=120°,

本例题是用来复习巩固直线的倾斜角和斜率以及它们之间的关系的,可由学生课堂练习,学生演板. 例2 求经过 A(-2,0)、B(-5,3)两点的直线的斜率和倾斜角.

∴tgα =-1. ∵0°≤α <180°,

46

∴α =135°. 因此,这条直线的斜率是-1,倾斜角是 135°. 讲此例题时,要进一步强调 k 与 P1P2 的顺序无关,直线的斜率和倾斜角可通过直线上的两点的坐标求得. (八)课后小结 (1)直线的方程的倾斜角的概念. (2)直线的倾斜角和斜率的概念. (3)直线的斜率公式. 五、布置作业 1.(1.3 练习第 1 题)在坐标平面上,画出下列方程的直线: (1)y=x (2)2x+3y=6 (3)2x+3y+6=0 (4)2x-3y+6=0 作图要点:利用两点确定一条直线,找出方程的两个特解,以这两个特解为坐标描点连线即可. 2.(1.4 练习第 2 题)求经过下列每两个点的直线的斜率和倾斜角: (1)C(10,8),D(4,-4);

解:(1)k=2

α =arctg2.

(3)k=1,α =45°. 3.(1.4 练习第 3 题)已知:a、b、c 是两两不相等的实数,求经过下列每两个点的直线的倾斜角:(1)A(a, c),(b,c);(2)C(a,b),D(a,c);(3)P(b,b+c),Q(a,c+a).

47

解:(1)α =0°;(2)α =90°;(3)α =45°. 4.已知三点 A(a,2)、B(3,7)、C(-2,-9a)在一条直线上,求实数 a 的值.

∵A、B、C 三点在一条直线上, ∴kAB=kAC.

直线方程的点斜式、斜截式、两点式和截距式

一、教学目标 (一)知识教学点 在直角坐标平面内,已知直线上一点和直线的斜率或已知直线上两点,会求直线的方程;给出直线的点斜 式方程,能观察直线的斜率和直线经过的定点;能化直线方程成截距式,并利用直线的截距式作直线. (二)能力训练点 通过直线的点斜式方程向斜截式方程的过渡、两点式方程向截距式方程的过渡,训练学生由一般到特殊的 处理问题方法;通过直线的方程特征观察直线的位置特征,培养学生的数形结合能力. (三)学科渗透点 通过直线方程的几种形式培养学生的美学意识. 二、教材分析 1.重点:由于斜截式方程是点斜式方程的特殊情况,截距式方程是两点式方程的特殊情况,教学重点应 放在推导直线的斜截式方程和两点式方程上. 2.难点:在推导出直线的点斜式方程后,说明得到的就是直线的方程,即直线上每个点的坐标都是方程 的解;反过来,以这个方程的解为坐标的点在直线上.
48

的坐标不满足这个方程,但化为 y-y1=k(x-x1)后,点 P1 的坐标满足方程. 三、活动设计 分析、启发、诱导、讲练结合. 四、教学过程 (一)点斜式 已知直线 l 的斜率是 k,并且经过点 P1(x1,y1),直线是确定的,也就是可求的,怎样求直线 l 的方程(图 1-24)?

设点 P(x,y)是直线 l 上不同于 P1 的任意一点,根据经过两点的斜率公式得

注意方程(1)与方程(2)的差异:点 P1 的坐标不满足方程(1)而满足方程(2),因此,点 P1 不在方程(1)表 示的图形上而在方程(2)表示的图形上,方程(1)不能称作直线 l 的方程. 重复上面的过程,可以证明直线上每个点的坐标都是这个方程的解;对上面的过程逆推,可以证明以这个 方程的解为坐标的点都在直线 l 上,所以这个方程就是过点 P1、斜率为 k 的直线 l 的方程. 这个方程是由直线上一点和直线的斜率确定的,叫做直线方程的点斜式. 当直线的斜率为 0°时(图 1-25),k=0,直线的方程是 y=y1.

49

当直线的斜率为 90°时(图 1-26),直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示.但因 l 上每一点的 横坐标都等于 x1,所以它的方程是 x=x1.

(二)斜截式 已知直线 l 在 y 轴上的截距为 b,斜率为 b,求直线的方程. 这个问题,相当于给出了直线上一点(0,b)及直线的斜率 k,求直线的方程,是点斜式方程的特殊情况, 代入点斜式方程可得: y-b=k(x-0) 也就是

上面的方程叫做直线的斜截式方程. 为什么叫斜截式方程?因为它是由直线的斜率和它在 y 轴上的截距确 定的. 当 k≠0 时,斜截式方程就是直线的表示形式,这样一次函数中 k 和 b 的几何意义就是分别表示直线的斜 率和在 y 轴上的截距.

50

(三)两点式 已知直线 l 上的两点 P1(x1,y1)、P2(x2,y2),(x1≠x2),直线的位置是确定的,也就是直线的方程是 可求的,请同学们求直线 l 的方程.

当 y1≠y2 时,为了便于记忆,我们把方程改写成

请同学们给这个方程命名:这个方程是由直线上两点确定的,叫做直线的两点式. 对两点式方程要注意下面两点:(1)方程只适用于与坐标轴不平行的直线,当直线与坐标轴平行(x1=x2 或 y1=y2)时, 可直接写出方程; (2)要记住两点式方程, 只要记住左边就行了, 右边可由左边见 y 就用 x 代换得到, 足码的规律完全一样. (四)截距式 例1 已知直线 l 在 x 轴和 y 轴上的截距分别是 a 和 b(a≠0,b≠0),求直线 l 的方程.

此题由老师归纳成已知两点求直线的方程问题,由学生自己完成. 解:因为直线 l 过 A(a,0)和 B(0,b)两点,将这两点的坐标代入两点式,得

就是

学生也可能用先求斜率,然后用点斜式方程求得截距式. 引导学生给方程命名:这个方程是由直线在 x 轴和 y 轴上的截距确定的,叫做直线方程的截距式.

51

对截距式方程要注意下面三点:(1)如果已知直线在两轴上的截距,可以直接代入截距式求直线的方程; (2)将直线的方程化为截距式后,可以观察出直线在 x 轴和 y 轴上的截距,这一点常被用来作图;(3)与坐标轴 平行和过原点的直线不能用截距式表示. (五)例题 例2 三角形的顶点是 A(-5,0)、B(3,-3)、C(0,2)(图 1-27),求这个三角形三边所在直线的方程.

本例题要在引导学生灵活选用方程形式、简化运算上多下功夫. 解:直线 AB 的方程可由两点式得:



3x+8y+15=0

这就是直线 AB 的方程. BC 的方程本来也可以用两点式得到,为简化计算,我们选用下面途径:

由斜截式得:



5x+3y-6=0.

52

这就是直线 BC 的方程. 由截距式方程得 AC 的方程是



2x+5y+10=0.

这就是直线 AC 的方程. (六)课后小结 (1)直线方程的点斜式、斜截式、两点式和截距式的命名都是可以顾名思义的,要会加以区别. (2)四种形式的方程要在熟记的基础上灵活运用. (3)要注意四种形式方程的不适用范围. 五、布置作业 1.(1.5 练习第 1 题)写出下列直线的点斜式方程,并画出图形: (1)经过点 A(2,5),斜率是 4;

(4)经过点 D(0,3),倾斜角是 0°; (5)经过点 E(4,-2),倾斜角是 120°. 解:

53

2.(1.5 练习第 2 题)已知下列直线的点斜方程,试根据方程确定各直线经过的已知点、直线的斜率和倾 斜角:

解: (1)(1,2),k=1,α =45°;

(3)(1,-3),k=-1,α =135°;

3.(1.5 练习第 3 题)写出下列直线的斜截式方程:

(2)倾斜角是 135°,y 轴上的截距是 3.

4.(1.5 练习第 4 题)求过下列两点的直线的两点式方程,再化成截距式方程,并根据截距式方程作图. (1)P1(2,1)、P2(0,-3); (2)A(0,5)、B(5,0); (3)C(-4,-3)、D(-2,-1). 解:

54

(图略) 直线方程的点斜式、斜截式、两点式和截距式

一、教学目标 (一)知识教学点 在直角坐标平面内,已知直线上一点和直线的斜率或已知直线上两点,会求直线的方程;给出直线的点斜 式方程,能观察直线的斜率和直线经过的定点;能化直线方程成截距式,并利用直线的截距式作直线. (二)能力训练点 通过直线的点斜式方程向斜截式方程的过渡、两点式方程向截距式方程的过渡,训练学生由一般到特殊的 处理问题方法;通过直线的方程特征观察直线的位置特征,培养学生的数形结合能力. (三)学科渗透点 通过直线方程的几种形式培养学生的美学意识. 二、教材分析 1.重点:由于斜截式方程是点斜式方程的特殊情况,截距式方程是两点式方程的特殊情况,教学重点应 放在推导直线的斜截式方程和两点式方程上. 2.难点:在推导出直线的点斜式方程后,说明得到的就是直线的方程,即直线上每个点的坐标都是方程 的解;反过来,以这个方程的解为坐标的点在直线上.

的坐标不满足这个方程,但化为 y-y1=k(x-x1)后,点 P1 的坐标满足方程. 三、活动设计
55

分析、启发、诱导、讲练结合. 四、教学过程 (一)点斜式 已知直线 l 的斜率是 k,并且经过点 P1(x1,y1),直线是确定的,也就是可求的,怎样求直线 l 的方程(图 1-24)?

设点 P(x,y)是直线 l 上不同于 P1 的任意一点,根据经过两点的斜率公式得

注意方程(1)与方程(2)的差异:点 P1 的坐标不满足方程(1)而满足方程(2),因此,点 P1 不在方程(1)表 示的图形上而在方程(2)表示的图形上,方程(1)不能称作直线 l 的方程. 重复上面的过程,可以证明直线上每个点的坐标都是这个方程的解;对上面的过程逆推,可以证明以这个 方程的解为坐标的点都在直线 l 上,所以这个方程就是过点 P1、斜率为 k 的直线 l 的方程. 这个方程是由直线上一点和直线的斜率确定的,叫做直线方程的点斜式. 当直线的斜率为 0°时(图 1-25),k=0,直线的方程是 y=y1.

56

当直线的斜率为 90°时(图 1-26),直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示.但因 l 上每一点的 横坐标都等于 x1,所以它的方程是 x=x1.

(二)斜截式 已知直线 l 在 y 轴上的截距为 b,斜率为 b,求直线的方程. 这个问题,相当于给出了直线上一点(0,b)及直线的斜率 k,求直线的方程,是点斜式方程的特殊情况, 代入点斜式方程可得: y-b=k(x-0) 也就是

上面的方程叫做直线的斜截式方程. 为什么叫斜截式方程?因为它是由直线的斜率和它在 y 轴上的截距确 定的. 当 k≠0 时,斜截式方程就是直线的表示形式,这样一次函数中 k 和 b 的几何意义就是分别表示直线的斜 率和在 y 轴上的截距. (三)两点式 已知直线 l 上的两点 P1(x1,y1)、P2(x2,y2),(x1≠x2),直线的位置是确定的,也就是直线的方程是 可求的,请同学们求直线 l 的方程.

57

当 y1≠y2 时,为了便于记忆,我们把方程改写成

请同学们给这个方程命名:这个方程是由直线上两点确定的,叫做直线的两点式. 对两点式方程要注意下面两点:(1)方程只适用于与坐标轴不平行的直线,当直线与坐标轴平行(x1=x2 或 y1=y2)时, 可直接写出方程; (2)要记住两点式方程, 只要记住左边就行了, 右边可由左边见 y 就用 x 代换得到, 足码的规律完全一样. (四)截距式 例1 已知直线 l 在 x 轴和 y 轴上的截距分别是 a 和 b(a≠0,b≠0),求直线 l 的方程.

此题由老师归纳成已知两点求直线的方程问题,由学生自己完成. 解:因为直线 l 过 A(a,0)和 B(0,b)两点,将这两点的坐标代入两点式,得

就是

学生也可能用先求斜率,然后用点斜式方程求得截距式. 引导学生给方程命名:这个方程是由直线在 x 轴和 y 轴上的截距确定的,叫做直线方程的截距式. 对截距式方程要注意下面三点:(1)如果已知直线在两轴上的截距,可以直接代入截距式求直线的方程; (2)将直线的方程化为截距式后,可以观察出直线在 x 轴和 y 轴上的截距,这一点常被用来作图;(3)与坐标轴 平行和过原点的直线不能用截距式表示. (五)例题 例2 三角形的顶点是 A(-5,0)、B(3,-3)、C(0,2)(图 1-27),求这个三角形三边所在直线的方程.

58

本例题要在引导学生灵活选用方程形式、简化运算上多下功夫. 解:直线 AB 的方程可由两点式得:



3x+8y+15=0

这就是直线 AB 的方程. BC 的方程本来也可以用两点式得到,为简化计算,我们选用下面途径:

由斜截式得:



5x+3y-6=0.

这就是直线 BC 的方程. 由截距式方程得 AC 的方程是



2x+5y+10=0.
59

这就是直线 AC 的方程. (六)课后小结 (1)直线方程的点斜式、斜截式、两点式和截距式的命名都是可以顾名思义的,要会加以区别. (2)四种形式的方程要在熟记的基础上灵活运用. (3)要注意四种形式方程的不适用范围. 五、布置作业 1.(1.5 练习第 1 题)写出下列直线的点斜式方程,并画出图形: (1)经过点 A(2,5),斜率是 4;

(4)经过点 D(0,3),倾斜角是 0°; (5)经过点 E(4,-2),倾斜角是 120°. 解:

2.(1.5 练习第 2 题)已知下列直线的点斜方程,试根据方程确定各直线经过的已知点、直线的斜率和倾 斜角:

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解: (1)(1,2),k=1,α =45°;

(3)(1,-3),k=-1,α =135°;

3.(1.5 练习第 3 题)写出下列直线的斜截式方程:

(2)倾斜角是 135°,y 轴上的截距是 3.

4.(1.5 练习第 4 题)求过下列两点的直线的两点式方程,再化成截距式方程,并根据截距式方程作图. (1)P1(2,1)、P2(0,-3); (2)A(0,5)、B(5,0); (3)C(-4,-3)、D(-2,-1). 解:

直线方程的一般形式

61

一、教学目标

(一)知识教学点 掌握直线方程的一般形式,能用定比分点公式设点后求定比. (二)能力训练点 通过研究直线的一般方程与直线之间的对应关系,进一步强化学生的对应概念;通过对几个典型例题的研 究,培养学生灵活运用知识、简化运算的能力. (三)学科渗透点 通过对直线方程的几种形式的特点的分析,培养学生看问题一分为二的辩证唯物主义观点.

二、教材分析

1.重点:直线的点斜式、斜截式、两点式和截距式表示直线有一定的局限性,只有直线的一般式能表示 所有的直线,教学中要讲清直线与二元一次方程的对应关系. 2.难点:与重点相同. 3.疑点:直线与二元一次方程是一对多的关系.同条直线对应的多个二元一次方程是同解方程.

三、活动设计

分析、启发、讲练结合.

四、教学过程

(一)引入新课
62

点斜式、斜截式不能表示与 x 轴垂直的直线;两点式不能表示与坐标轴平行的直线;截距式既不能表示与 坐标轴平行的直线,又不能表示过原点的直线.与 x 轴垂直的直线可表示成 x=x0,与 x 轴平行的直线可表示成 y=y0。它们都是二元一次方程. 我们问:直线的方程都可以写成二元一次方程吗?反过来,二元一次方程都表示直线吗? (二)直线方程的一般形式 我们知道,在直角坐标系中,每一条直线都有倾斜角 α .当 α ≠90°时,直线有斜率,方程可写成下面 的形式: y=kx+b 当 α =90°时,它的方程可以写成 x=x0 的形式. 由于是在坐标平面上讨论问题,上面两种情形得到的方程均可以看成是二元一次方程.这样,对于每一条 直线都可以求得它的一个二元一次方程,就是说,直线的方程都可以写成关于 x、y 的一次方程. 反过来,对于 x、y 的一次方程的一般形式 Ax+By+C=0. 其中 A、B 不同时为零. (1)当 B≠0 时,方程(1)可化为 (1)

这里,我们借用了前一课 y=kx+b 表示直线的结论,不弄清这一点,会感到上面的论证不知所云. (2)当 B=0 时,由于 A、B 不同时为零,必有 A≠0,方程(1)可化为

它表示一条与 y 轴平行的直线. 这样,我们又有:关于 x 和 y 的一次方程都表示一条直线.我们把方程写为

63

Ax+By+C=0 这个方程(其中 A、B 不全为零)叫做直线方程的一般式. 引导学生思考:直线与二元一次方程的对应是什么样的对应? 直线与二元一次方程是一对多的,同一条直线对应的多个二元一次方程是同解方程. (三)例题

解:直线的点斜式是

化成一般式得 4x+3y-12=0. 把常数次移到等号右边,再把方程两边都除以 12,就得到截距式

讲解这个例题时,要顺便解决好下面几个问题:(1)直线的点斜式、两点式方程由于给出的点可以是直线 上的任意点, 因此是不唯一的, 一般不作为最后结果保留, 须进一步化简; (2)直线方程的一般式也是不唯一的, 因为方程的两边同乘以一个非零常数后得到的方程与原方程同解,一般方程可作为最终结果保留,但须化为各 系数既无公约数也不是分数;(3)直线方程的斜截式与截距式如果存在的话是唯一的,如无特别要求,可作为最 终结果保留. 例2 把直线 l 的方程 x-2y+6=0 化成斜截式,求出直线 l 的斜率和在 x 轴与 y 轴上的截距,并画图.

解:将原方程移项,得 2y=x+6,两边除以 2 得斜截式:

64

x=-6 根据直线过点 A(-6,0)、B(0,3),在平面内作出这两点连直线就是所要作的图形(图 1-28). 本例题由学生完成,老师讲清下面的问题:二元一次方程的图形是直线,一条直线可由其方向和它上面的 一点确定,也可由直线上的两点确定,利用前一点作图比较麻烦,通常我们是找出直线在两轴上的截距,然后 在两轴上找出相应的点连线.

例3 证法一

证明:三点 A(1,3)、B(5,7)、C(10,12)在同一条直线上. 直线 AB 的方程是:

化简得

y=x+2.

将点 C 的坐标代入上面的方程,等式成立. ∴A、B、C 三点共线.

∴A、B、C 三点共线.

65

∵|AB|+|BC|=|AC|, ∴A、C、C 三点共线. 讲解本例题可开拓学生思路,培养学生灵活运用知识解决问题的能力. 例4 直线 x+2y-10=0 与过 A(1,3)、 B(5,2)的直线相交于 C,

此题按常规解题思路可先用两点式求出 AB 的方程,然后解方程组得到点 C 的坐标,再求点 C 分 AB 所成的 定比,计算量大了一些.如果先用定比分点公式设出点 C 的坐标(即满足点 C 在直线 AB 上),然后代入已知的直 线方程求λ ,则计算量要小得多.

代入 x+2y-10=0 有:

解之得

λ =-3.

(四)课后小结 (1)归纳直线方程的五种形式及其特点. (2)例 4 一般化:求过两点的直线与已知直线(或由线)的交点分以这两点为端点的有向线段所成定比时, 可用定比分点公式设出交点的坐标,代入已知直线(或曲线)求得. 五、布置作业 1.(1.6 练习第 1 题)由下列条件,写出直线的方程,并化成一般式:

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(2)经过点 B(4,2),平行于 x 轴;

(5)经过两点 P1(3,-2)、P2(5,-4); (6)x 轴上的截距是-7,倾斜角是 45°. 解:(1)x+2y-4=0; (4)2x-y-3=0; (2)y-2=0; (3)2x+1=0; (6)x-y+7=0.

(5)x+y-1=0;

3.(习题二第 8 题)一条直线和 y 轴相交于点 P(0,2),它的倾斜角

4.(习题二第十三题)求过点 P(2,3),并且在两轴上的截距相等的直线方程.

67

5.(习题二第 16 题)设点 P(x0,y0)在直线 As+By+C=0 上,求证:这条直线的方程可以写成 A(x-x0)+B(y-y0)=0. 证明:将点 P(x0,y0)的坐标代入有 C=-Ax0-By0,将 C 代入 Ax+By+C=0 即有 A(x-x0)+B(y-y0)=0. 6.过 A(x1,y1)、B(x2,y2)的直线交直线 l:Ax+By+C=0 于 C,

两条直线的平行与垂直

一、教学目标

(一)知识教学点 掌握两条直线平行与垂直的条件,会运用条件判断两直线是否平行或垂直,能运用条件确定两平行或垂直 直线的方程系数. (二)能力训练点 通过研究两直线平行或垂直的条件的讨论, 培养学生运用已有知识解决新问题的能力以及学生的数形结合 能力.

68

(三)学科渗透点 通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究,培养学生的成功意识,激发学生学习的兴趣.

二、教材分析

1.重点:两条直线平行和垂直的条件是解析几何中的一个重点,要求学生能熟练掌握,灵活运用. 2.难点:启发学生把研究两直线的平行与垂直问题转化为考查两直线的斜率的关系问题. 3.疑点:对于两直线中有一条直线斜率不存在的情况课本上没有考虑,上课时要注意解决好这个问题.

三、活动设计

提问、讨论、解答.

四、教学过程

(一)特殊情况下的两直线平行与垂直 这一节课,我们研究怎样通过两直线的方程来判断两直线的平行与垂直. 当两条直线中有一条直线没有斜率时:(1)当另一条直线的斜率也不存在时,两直线的倾斜角为 90°,互 相平行;(2)当另一条直线的斜率为 0 时,一条直线的倾斜角为 90°,另一条直线的倾斜角为 0°,两直线互相 垂直. (二)斜率存在时两直线的平行与垂直 设直线 l1 和 l2 的斜率为 k1 和 k2,它们的方程分别是 l1: y=k1x+b1; l2: y=k2x+b2.

两直线的平行与垂直是由两直线的方向来决定的,两直线的方向又是由直线的倾斜角与斜率决定的,所以 我们下面要解决的问题是两平行与垂直的直线它们的斜率有什么特征.

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我们首先研究两条直线平行(不重合)的情形.如果 l1∥l2(图 1-29),那么它们的倾斜角相等:α 1=α 2. ∴tgα 1=tgα 2. 即 k1=k2.

反过来,如果两条直线的斜率相等,k1=k2,那么 tgα 1=tgα 2. 由于 0°≤α 1<180°, ∴α 1=α 2. ∵两直线不重合, ∴l1∥l2. 两条直线有斜率且不重合,如果它们平行,那么它们的斜率相等;反之,如果它们的斜率相等,则它们平 行,即 0°≤α <180°,

eq \x(

)

要注意,上面的等价是在两直线不重合且斜率存在的前提下才成立的,缺少这个前提,结论并不存立. 现在研究两条直线垂直的情形. 如果 l1⊥l2,这时α 1≠α 2,否则两直线平行. 设 α 2<α 1(图 1-30),甲图的特征是 l1 与 l2 的交点在 x 轴上方;乙图的特征是 l1 与 l2 的交点在 x 轴 下方;丙图的特征是 l1 与 l2 的交点在 x 轴上,无论哪种情况下都有 α 1=90°+α 2. 因为 l1、l2 的斜率是 k1、k2,即α 1≠90°,所以α 2≠0°.

70

可以推出

α 1=90°+α 2. l1⊥l2.

两条直线都有斜率,如果它们互相垂直,则它们的斜率互为负倒数;反之,如果它们的斜率互为负倒数, 则它们互相垂直,即

eq \x(

)

(三)例题 例1 l1: 已知两条直线 2x-4y+7=0, L2: x-2y+5=0.

71

求证:l1∥l2. 证明两直线平行,需说明两个要点:(1)两直线斜率相等;(2)两直线不重合. 证明:把 l1、l2 的方程写成斜截式:

∴两直线不相交.

∵两直线不重合, ∴l1∥l2. 例 2 求过点 A(1,-4),且与直线 2x+3y+5=0 平等的直线方程.



2x+3y+10=

0.

解法 2 因所求直线与 2x+3y+5=0 平行,可设所求直线方程为 2x+3y+m=0,将 A(1,-4)代入有 m=10,故 所求直线方程为 2x+3y+10=0. 例3 l1: 已知两条直线 2x-4y+7=0, l2: 2x+y-5=0.

求证:l1⊥l2.

72

∴l1⊥l2. 例4 解法 1 求过点 A(2,1),且与直线 2x+y-10=0 垂直的直线方程. 已知直线的斜率 k1=-2.

∵所求直线与已知直线垂直,

根据点斜式得所求直线的方程是

就是

x-2y=0.

解法 2 因所求直线与已知直线垂直, 所以可设所求直线方程是 x-2y+m=0, 将点 A(2, 1)代入方程得 m=0, 所求直线的方程是 x-2y=0. (四)课后小结 (1)斜率存在的不重合的两直线平行的等价条件; (2)两斜率存在的直线垂直的等价条件; (3)与已知直线平行的直线的设法; (4)与已知直线垂直的直线的设法. 五、布置作业 1.(1.7 练习第 1 题)判断下列各对直线是否平行或垂直: (1)y=3x+4 和 2x-6y+1=0; (2)y=x 与 3x 十 3y-10=0;

73

(3)3x+4y=5 与 6x-8y=7;

解:(1)平行;(2)垂直;(3)不平行也不垂直;(4)垂直. 2.(1.7 练习第 2 题)求过点 A(2,3),且分别适合下列条件的直线方程: (1)平行于直线 2x+5-5=0; (2)垂直于直线 x-y-2=0; 解:(1)2x+y-7=0;(2)x+y-5=0. 3.(1.7 练习第 3 题)已知两条直线 l1、l2,其中一条没有斜率,这两条直线什么时候:(1)平行;(2) 垂直.分别写出逆命题并判断逆命题是否成立. 解:(1)另一条也没有斜率.逆命题:两条直线,其中一条没有斜率,如果这两条直线平行,那么另一条 直线也没有斜率;逆命题成立. (2)另一条斜率为零.逆命题:两条直线,其中一条没有斜率,如果另一条直线和这一条直线垂直,那么 另一条直线的斜率为零;逆命题成立. 4.(习题三第 3 题)已知三角形三个顶点是 A(4,0)、B(6,7)、C(0,3),求这个三角形的三条高所在的 直线方程.

也就是

2x+7y-21=0.

同理可得 BC 边上的高所在直线方程为 3x+2y-12=0. AC 边上的高所在的直线方程为 4x-3y-3=0.

74

两条直线所成的角 一、教学目标 (一)知识教学点 一条直线与另一条直线所成角的概念及其公式,两直线的夹角公式,能熟练运用公式解题. (二)能力训练点 通过课题的引入,训练学生由特殊到一般,定性、定量逐层深入研究问题的思想方法;通过公式的推导, 培养学生综合运用知识解决问题的能力. (三)学科渗透点 训练学生由特殊到一般,定性、定量逐步深入地研究问题的习惯. 二、教材分析 1.重点:前面研究了两条直线平行与垂直,本课时是对两直线相交的情况作定量的研究.两直线所成的 角公式可由一条直线到另一条直线的角公式直接得到, 教学时要讲请 l1、 的公式的推导方法及这一公式的应 l2 用. 2,难点:公式的记忆与应用. 3.疑点:推导 l1、l2 的角公式时的构图的分类依据. 三、活动设计 分析、启发、讲练结合. 四、教学过程 (一)引入新课 我们已经研究了直角坐标平面两条直线平行与垂直的情况,对于两条相交直线,怎样根据它们的直线方程 求它们所成的角是我们下面要解决的问题. (二)l1 到 l2 的角正切 两条直线 l1 和 l2 相交构成四个角,它们是两对对顶角.为了区别这些角,我们把直线 l1 依逆时针方向 旋转到与 l2 重合时所转的角, 叫做 l1 到 l2 的角. 1-27 中, 图 直线 l1 到 l2 的角是θ 1, 到 l1 的角是θ 2(θ l2 1+θ 2=180°). l1 到 l2 的角有三个要点:始边、终边和旋转方向.

75

现在我们来求斜率分别为 k1、k2 的两条直线 l1 到 l2 的角,设已知直线的方程分别是

l1∶y=k1x+b1

l2∶y=k2x+b2

如果 1+k1k2=0,那么θ =90°, 下面研究 1+k1k2≠0 的情形. 由于直线的方向是由直线的倾角决定的,所以我们从研究 θ 与 l1 和 l2 的倾角的关系入手考虑问题. 设 l1、l2 的倾斜角分别是α 1 和α 2(图 1-32),甲图的特征是 l1 到 l2 的角是 l1、l2 和 x 轴围成的三角 形的内角;乙图的特征是 l1 到 l2 的角是 l1、l2 与 x 轴围成的三角形的外角. tgα 1=k1, tgα 2=k2.

∵θ =α 2-α 1(图 1-32), 或 θ =π -(α 1-α 2)=π +(α 2-α 1), ∴tgθ =tg(α 2-α 1). 或 tgθ =tg[π (α 2-α 1)]=tg(α 2-α 1). 可得



eq \x(

)

76

上面的关系记忆时,可抓住分子是终边斜率减始边斜率的特征进行记忆. (三)夹角公式 从一条直线到另一条直线的角,可能不大于直角,也可能大于直角,但我们常常只需要考虑不大于直角的 角(就是两条直线所成的角,简称夹角)就可以了,这时可以用下面的公式

(四)例题

解:k1=-2,k2=1.

∴θ =arctg3≈71°34′. 本例题用来熟悉夹角公式. 例 2 已知直线 l1: l2 的角是θ ,求证: A1x+B1y+C1=0 和 l2: A2x+B2y+C2=0(B1≠0、B2≠0、A1A2+B1B2≠0),l1 到

证明:设两条直线 l1、l2 的斜率分别为 k1、k2,则

77

这个例题用来熟悉直线 l1 到 l2 的角. 例 3 等腰三角形一腰所在的直线 l1 的方程是 x-2y-2=0,底边所在的直线 l2 的方程是 x+y-1=0,点(-2, 0)在另一腰上,求这腰所在直线 l3 的方程. 解:先作图演示一腰到底的角与底到另一腰的角相等,并且与两腰到底的角与底到另一腰的角相等,并且 与两腰的顺序无关. 设 l1、l2、l3 的斜率分别是 k1、k2、k3,l1 到 l2 的角是θ 1,l2 到 l3 的角是θ 2,则



因为 l1、l2、l3 所围成的三角形是等腰三角形,所以 θ 1=θ 2. tgθ 2=tgθ 1=-3.

解得

k3=2.
78

因为 l3 经过点(-2,0),斜率为 2,写出点斜式为 y=2[x-(-2)], 即 2x-y+4=0.

这就是直线 l3 的方程. 讲此例题时,一定要说明:无须作图,任一腰到底的角与底到另一腰的角都相等,要为锐角都为锐角,要 为钝角都为钝角. (五)课后小结 (1)l1 到 l2 的角的概念及 l1 与 l2 夹角的概念; (2)l1 到 l2 的角的正切公式; (3)l1 与 l2 的夹角的正切公式; (4)等腰三角形中,一腰所在直线到底面所在直线的角,等于底边所在直线到另一腰所在直线的角. 五、布置作业 1.(教材第 32 页,1.8 练习第 1 题)求下列直线 l1 到 l2 的角与 l2 到 l1 的角:

∴θ 1=45°.

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l2 到 l1 的角θ 2=π -θ 1=arctg3. 2.(教材第 32 页,1.8 练习第 2 题)求下列直线的夹角:

∵k1?k2=-1, ∴l1 与 l2 的夹角是 90°. (2)k1=1, k2=0.

两直线的夹角为 45°.

∴l1 与 l2 的夹角是 90°. 3.(习题三第 10 题)已知直线 l 经过点 P(2,1),且和直线 5x+2y+3=0 的夹角为 45o,求直线 l 的方程.

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即 3x+7y-13=0 或 7x-3y-11=0. 4.等腰三角形一腰所在的直线 l1 的方程是 2x-y+4=0,底面所在的直线 l2 的方程是 x+y-1=0,点(-2,0) 在另一腰上,求这腰所在的直线 l3 的方程. 解:这是本课例 3 将 l1 与 l3 互换的变形题,解法与例 3 相同,所求方程为: x-2y-2=0. 两条直线的交点

一、教学目标 (一)知识教学点 知道两条直线的相交、平行和重合三种位置关系,对应于相应的二元一次方程组有唯一解、无解和无穷多 组解,会应用这种对应关系通过方程判断两直线的位置关系,以及由已知两直线的位置关系求它们方程的系数 所应满足的条件. (二)能力训练点 通过研究两直线的位置关系与它们对应方程组的解,培养学生的数形结合能力;通过对方程组解的讨论培 养学生的分类思想;求出 x 后直接分析出 y 的表达式,培养学生的抽象思维能力与类比思维能力. (三)学科渗透点 通过学习两直线的位置关系与它们所对应的方程组的解的对应关系,培养学生的转化思想. 二、教材分析 1.重点:两条直线的位置关系与它们所对应的方程组的解的个数的对应关系,本节是从交点个数为特征 对两直线位置关系的进一步讨论.

81

2.难点:对方程组系数中含有未知数的两直线的位置关系的讨论. 3.疑点:当方程组中有一个未知数的系数为零时两直线位置关系的简要说明. 三、活动设计 分析、启发、诱导、讲练结合. 四、教学过程 (一)两直线交点与方程组解的关系 设两直线的方程是 l1: A1x+B1y+c1=0, l2: A2x+B2y+C2=0.

如果两条直线相交,由于交点同时在两条直线上,交点的坐标一定是这两个方程的公共解;反之,如果这 两个二元一次方程只有一个公共解,那么以这个解为坐标的点必是直线 l1 和 l2 的交点.因此,两条直线是否 相交,就要看这两条直线的方程所组成的方程组

是否有唯一解. (二)对方程组的解的讨论 若 A1、A2、B1、B2 中有一个或两个为零,则两直线中至少有一条与坐标轴平行,很容易得到两直线的位 置关系. 下面设 A1、A2、B1、B2 全不为零. 解这个方程组: (1)?B2 得 (2)?B1 得 A1B2x+B1B2y+B2C1=0, A2B1x+B1B2y+B1C2=0. (3) (4)

(3)-(4)得(A1B2-A2B1)x+B2C1-B1C2=0. 下面分两种情况讨论:

82

将上面表达式中右边的 A1、A2 分别用 B1、B2 代入即可得

上面得到 y 可把方程组写成

即将 x 用 y 换,A1、A2 分别与 B1、B2 对换后上面的方程组还原成原方程组. 综上所述,方程组有唯一解:

这时 l1 与 l2 相交,上面 x 和 y 的值就是交点的坐标. (2)当 A1B2-A2B1=0 时: ①当 B1C2-B2C1≠0 时,这时 C1、C2 不能全为零(为什么?).设 C2

②如果 B1C2-B2C1=0,这时 C1、C2 或全为零或全不为零(当 C1、

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(三)统一通过解方程组研究两直线的位置关系与通过斜率研究两直线位置关系的结论

说明:在平面几何中,我们研究两直线的位置关系时,不考虑两条直线重合的情况,而在解析几何中,由 于两个不同的方程可以表示同一条直线,我们把重合也作为两直线的一种位置关系来研究. (四)例题 例1 求下列两条直线的交点: l2: 2x+y+2=0.

l1:3x+4y-2=0, 解:解方程组

∴l1 与 l2 的交点是 M(-2,2). 例2 l1: 已知两条直线: x+my+6=0,
84

l2:

(m-2)x+3y+2m=0.

当 m 为何值时,l1 与 l2:(1)相交,(2)平行,(3)重合. 解:将两直线的方程组成方程组

解得 m=-1 或 m=3.

(2)当 m=-1 时,方程组为

∴方程无解,l1 与 l2 平行. (3)当 m=3 时,方程组为

两方程为同一个方程,l1 与 l2 重合.

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(五)课后小结 (1)两直线的位置关系与它们对应的方程的解的个数的对应关系. (2)直线的三种位置关系所对应的方程特征. (3)对方程组中系数含有字母的两直线位置关系的讨论方法. 五、布置作业 1.(教材第 35 页,1.9 练习第 2 题)判断下列各对直线的位置关系,如果相交,则求出交点的坐标:

2.(教材第 35 页,1.9 练习第 3 题)A 和 C 取什么值时,直线 Ax-2y-1=0 和直线 6x-4y+c=0(1)平行;(2) 重合;(3)相交. 解:(1)A=3,C≠-2;(2)A=3,C=-2;(3)A≠3. 3.(习题三第 7 题)已知两条直线: l1:(3+m)x+4y=5-3m, l2:2x+(5+m)y=8. m 为何值时,l1 与 l2:(1)相交;(2)平行;(3)重合. 解:(1)m≠1 且 m≠-7;(2)m=-7;(3)m=-1. 点到直线的距离公式

一、教学目标 (一)知识教学点

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点到直线距离公式的推导思想方法及公式的简单应用. (二)能力训练点 培养学生数形结合能力,综合应用知识解决问题的能力、类比思维能力,训练学生由特殊到一般的思想方 法. (三)知识渗透点 由特殊到一般、由感性认识上升到理性认识是人们认识世界的基本规律. 二、教材分析 1.重点:展示点到直线的距离公式的探求思维过程. 2.难点:推导点到直线距离公式的方法很多,怎样引导学生数形结合,利用平面几何知识得到课本上给 出的证法是本课的难点,可构造典型的、具有启发性的图形启发学生逐层深入地思考问题. 3.疑点:点到直线的距离公式是在 A≠0、B≠0 的条件下推得的.事实上,这个公式在 A=0 或 B=0 时,也 是成立的. 三、活动设计 启发、思考,逐步推进,讲练结合. 四、教学过程 (一)提出问题 已知点 P(x0,y0)和直线 l:Ax+By+C=0,点的坐标和直线的方程确定后,它们的位置也就确定了,点到直 线的距离也是确定的,怎样求点 P 到直线 l 的距离呢? (二)构造特殊的点到直线的距离学生解决 思考题 1 求点 P(2,0)到直线 L:x-y=0 的距离(图 1-33).

学生可能寻求到下面三种解法:

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方法 2

设 M(x,y)是 l:x-y=0 上任意一点,则

当 x=1 时|PM|有最小值,这个值就是点 P 到直线 l 的距离. 方法 3 直线 x-y=0 的倾角为 45°,在 Rt△OPQ 中,|PQ|=|OP|

进一步放开思路,开阔眼界,还可有下面的解法: 方法 4 过 P 作 y 轴的平行线交 l 于 S,在 Rt△PAS 中,|PO|=|PS|

方法 5

过 P 作 x 轴的垂线交 L 于 S

∵|OP|?|PS|=|OS|?|PQ|,

比较前面 5 种解法,以第 3 种或 4 种解法为最佳,那么第 3 种解法是否可以向一般情况推广呢? 思考题 2 求点 P(2.0)到直线 2x-y=0 的距离(图 1-34).

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思考题

3 求点 P(2,0)到直线 2x-y+2=0 的距离(图 1-35).

思考题 4

求点 P(2,1)到直线 2x-y+2=0 的距离(图 1-36).

过 P 作直线的垂线,垂足为 Q,过 P 作 x 轴的平行线交直线于 R,

(三)推导点到直线的距离公式有思考题 4 作基础,我们很快得到 设 A≠0,B≠0,直线 l 的倾斜角为α ,过点 P 作 PR∥Ox, PR 与 l 交于 R(x1,x1)(图 1-37).

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∵PR∥Ox, ∴y1=y. 代入直线 l 的方程可得:

当 α <90°时(如图 1-37 甲),α 1=α . 当 α >90°时(如图 1-37 乙),α 1=π -α .

∵α <90°,

90

∴|PQ|=|PR|sinα 1

这样,我们就得到平面内一点 P(x0,y0)到一条直线 Ax+By+C=0 的距离公式:

如果 A=0 或 B=0,上面的距离公式仍然成立,但这时不需要利用公式就可以求出距离. (四)例题 例1 求点 P0(-1,2)到直线:(1)2x+y-10=0,(2)3x=2 的距离.

解:(1)根据点到直线的距离公式,得

(2)因为直线 3x=2 平行于 y 轴,所以

例2

求平行线 2x-7y+8=0 和 2x-7y-6=0 的距离.

解: 在直线 2x-7y-6=0 上任取一点, 例如取 P(3, 则两平行线间的距离就是点 P(3, 0), 0)到直线 2x-7y+8=0 的距离(图 1-38).

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例3

正方形的中心在 C(-1,0),一条边所在的直线方程是 x+3y-5=0,求其它三边所在的直线方程.

解:正方形的边心距

设与 x+3y-5=0 平行的一边所在的直线方程是 x+3y+C1=0,则中心到

C1=-5(舍去 0)或 C1=7. ∴与 x+3y-5=0 平行的边所在的直线方程是 x+3y+7=0. 设与 x+3y-5=0 垂直的边所在的直线方程是 3x-y+C2=0,则中心到这

解之有 C2=-3 或 C2=9. ∴与 x+3y-5=0 垂直的两边所在的直线方程是 3x-y-3=0 和 3x-y+9=0.

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(五)课后小结 (1)点到直线的距离公式及其证明方法. (2)两平行直线间的距离公式. 五、布置作业 1.(1.10 练习第 1 题)求坐标原点到下列直线的距离:

2.(1.10 练习第 2 题)求下列点到直线的距离:

3.(1.10 练习第 3 题)求下列两条平行线的距离: (1)2x+3y-8=0, (2)3x+4y=10, 2x+3y+18=0. 3x+4y=0.

解:x-y-6=0 或 x-y+2=0. 5.正方形中心在 C(-1,0),一条边所在直线方程是 3x-y 二 0,求其它三边所在的直线方程. 解:此题是例 3 交换条件与结论后的题: x+3y-5=0, x+3y+7=0, 3x-y+9=0.
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圆的标准方程

一、教学目标 (一)知识教学点 使学生掌握圆的标准方程的特点,能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程,能运 用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径,解决一些简单的实际问题,并会推导圆的标准方程. (二)能力训练点 通过圆的标准方程的推导,培养学生利用求曲线的方程的一般步骤解决一些实际问题的能力. (三)学科渗透点 圆基于初中的知识,同时又是初中的知识的加深,使学生懂得知识的连续性;通过圆的标准方程,可解决 一些如圆拱桥的实际问题,说明理论既来源于实践,又服务于实践,可以适时进行辩证唯物主义思想教育. 二、教材分析 1.重点:(1)圆的标准方程的推导步骤;(2)根据具体条件正确写出圆的标准方程. (解决办法:(1)通过设问,消除难点,并详细讲解;(2)多多练习、讲解.) 2.难点:运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题. (解决办法:使学生掌握分析这类问题的方法是先弄清题意,再建立适当的直角坐标系,使圆的标准方程 形式简单,最后解决实际问题.) 三、活动设计 问答、讲授、设问、演板、重点讲解、归纳小结、阅读. 四、教学过程 (一)复习提问 前面,大家学习了圆的概念,哪一位同学来回答? 问题 1:具有什么性质的点的轨迹称为圆? 平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆(教师在黑板上画一个圆).

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问题 2:图 2-9 中哪个点是定点?哪个点是动点?动点具有什么性质?圆心和半径都反映了圆的什么特 点?

圆心 C 是定点,圆周上的点 M 是动点,它们到圆心距离等于定长|MC|=r,圆心和半径分别确定了圆的位置 和大小. 问题 3:求曲线的方程的一般步骤是什么?其中哪几个步骤必不可少? 求曲线方程的一般步骤为: (1)建立适当的直角坐标系,用(x,y)表示曲线上任意点 M 的坐标,简称建系设点;图 2-9 (2)写出适合条件 P 的点 M 的集合 P={M|P(M)|},简称写点集; (3)用坐标表示条件 P(M),列出方程 f(x,y)=0,简称列方程; (4)化方程 f(x,y)=0 为最简形式,简称化简方程; (5)证明化简后的方程就是所求曲线的方程,简称证明. 其中步骤(1)(3)(4)必不可少.

下面我们用求曲线方程的一般步骤来建立圆的标准方程. (二)建立圆的标准方程 1.建系设点
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由学生在黑板上画出直角坐标系,并问有无不同建立坐标系的方法.教师指出:这两种建立坐标系的方法 都对,原点在圆心这是特殊情况,现在仅就一般情况推导.因为 C 是定点,可设 C(a,b)、半径 r,且设圆上任 一点 M 坐标为(x,y). 2.写点集 根据定义,圆就是集合 P={M||MC|=r}. 3.列方程 由两点间的距离公式得:

4.化简方程 将上式两边平方得: (x-a)2+(y-b)2=r2. (1) 方程(1)就是圆心是 C(a,b)、半径是 r 的圆的方程.我们把它叫做圆的标准方程. 这时,请大家思考下面一个问题. 问题 5:圆的方程形式有什么特点?当圆心在原点时,圆的方程是什么? 这是二元二次方程,展开后没有 xy 项,括号内变数 x,y 的系数都是 1.点(a,b)、r 分别表示圆心的坐 标和圆的半径.当圆心在原点即 C(0,0)时,方程为 x2+y2=r2. 教师指出:圆心和半径分别确定了圆的位置和大小,从而确定了圆,所以,只要 a,b,r 三个量确定了且 r>0,圆的方程就给定了.这就是说要确定圆的方程,必须具备三个独立的条件.注意,确定 a、b、r,可以 根据条件,利用待定系数法来解决. (三)圆的标准方程的应用 例1 写出下列各圆的方程:(请四位同学演板)

(1)圆心在原点,半径是 3;

(3)经过点 P(5,1),圆心在点 C(8,-3);

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(4)圆心在点 C(1,3),并且和直线 3x-4y-7=0 相切. 教师纠错,分别给出正确答案:(1)x2+y2=9;(2)(x-3)2+(y-4)2=5;

指出:要求能够用圆心坐标、半径长熟练地写出圆的标准方程. 例2 说出下列圆的圆心和半径:(学生回答)

(1)(x-3)2+(y-2)2=5; (2)(x+4)2+(y+3)2=7; (3)(x+2)2+ y2=4 教师指出:已知圆的标准方程,要能够熟练地求出它的圆心和半径. 例 3 (1)已知两点 P1(4,9)和 P2(6,3),求以 P1P2 为直径的圆的方程;(2)试判断点 M(6,9)、N(3, 3)、Q(5,3)是在圆上,在圆内,还是在圆外? 解(1): 分析一: 从确定圆的条件考虑,需要求圆心和半径,可用待定系数解决. 解法一:(学生口答) 设圆心 C(a,b)、半径 r,则由 C 为 P1P2 的中点得:

又由两点间的距离公式得:

∴所求圆的方程为: (x-5)2+(y-6)2=10 分析二:

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从图形上动点 P 性质考虑,用求曲线方程的一般方法解决. 解法二:(给出板书) ∵直径上的四周角是直角, ∴对于圆上任一点 P(x,y),有 PP1⊥PP2.

化简得: x2+y2-10x-12y+51=0. 即(x-5)2+(y-6)2=10 为所求圆的方程. 解(2):(学生阅读课本) 分别计算点到圆心的距离:

因此,点 M 在圆上,点 N 在圆外,点 Q 在圆内. 这时,教师小结本题: 1.求圆的方程的方法 (1)待定系数法,确定 a,b,r; (2)轨迹法,求曲线方程的一般方法. 2.点与圆的位置关系 设点到圆心的距离为 d,圆半径为 r: (1)点在圆上 d=r;

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(2)点在圆外 (3)点在圆内

d>r; d<r.

3.以 A(x1,y1)、B(x2,y2)为直径端点的圆的方程为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0(证明留作作业) 例 4 图 2-10 是某圆拱桥的—孔圆拱的示意图.该圆拱跨度 AB=20m,拱高 OP=4m,在建造时每隔 4m 需 用一个支柱支撑,求支柱 A2P2 的长度(精确到 0.01m).

此例由学生阅读课本,教师巡视并做如下提示: (1)先要建立适当直角坐标系,使圆的标准方程形式简单,便于计算; (2)用待定系数法求圆的标准方程; (3)要注意 P2 的横坐标 x=-2<0,纵坐标 y>0,所以 A2P2 的长度只有一解. (四)本课小结 1.圆的方程的推导步骤; 2.圆的方程的特点:点(a,b)、r 分别表示圆心坐标和圆的半径; 3.求圆的方程的两种方法:(1)待定系数法;(2)轨迹法. 五、布置作业 1.求下列条件所决定的圆的方程: (1)圆心为 C(3,-5),并且与直线 x-7y+2=0 相切; (2)过点 A(3,2),圆心在直线 y=2x 上,且与直线 y=2x+5 相切. 2.已知:一个圆的直径端点是 A(x1,y1)、B(x2,y2). 证明:圆的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0. 3.一个等腰三角形底边上的高等于 5,底边两端点的坐标是(-4,0)和(4,0),求它的外接圆的方程.

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4.赵州桥的跨度是 37.4m,圆拱高约为 7.2m,求这座圆拱桥的拱圆的方程. 作业答案: 1.(1)(x-3)2+(y+5)2= 32

2.因为直径的端点为 A(x1,y1)、B(x2,y2),则圆心和半径分别为

所以圆的方程为

化简得:x2-(x1+x2)x+x1x2+y2-(y1+y2)y+y1y2=0 即(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0

4.如图 2-11 建立坐标系,得拱圆的方程: x2+(y+27.88)2=27.882(-7.2≤y≤0) 圆的一般方程

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一、教学目标 (一)知识教学点 使学生掌握圆的一般方程的特点;能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径;能用 待定系数法,由已知条件导出圆的方程. (二)能力训练点 使学生掌握通过配方求圆心和半径的方法,熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方法,熟练地用待定 系数法由已知条件导出圆的方程,培养学生用配方法和待定系数法解决实际问题的能力. (三)学科渗透点 通过对待定系数法的学习为进一步学习数学和其他相关学科的基础知识和基本方法打下牢固的基础. 二、教材分析 1.重点:(1)能用配方法,由圆的一般方程求出圆心坐标和半径;(2)能用待定系数法,由已知条件导出 圆的方程. (解决办法:(1)要求学生不要死记配方结果,而要熟练掌握通过配方求圆心和半径的方法;(2)加强这方 面题型训练.) 2.难点:圆的一般方程的特点. (解决办法:引导学生分析得出圆的一般方程的特点,并加以记忆.) 3.疑点:圆的一般方程中要加限制条件 D2+E2-4F>0. (解决办法:通过对方程配方分三种讨论易得限制条件.) 三、活动设计 讲授、提问、归纳、演板、小结、再讲授、再演板. 四、教学过程 (一)复习引入新课 前面,我们已讨论了圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2,现将展开可得 x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0.可见, 任何一个圆的方程都可以写成 x2+y2+Dx+Ey+F=0.请大家思考一下:形如 x2+y2+Dx+Ey+F=0 的方程的曲线是不 是圆?下面我们来深入研究这一方面的问题.复习引出课题为“圆的一般方程”. (二)圆的一般方程的定义

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1.分析方程 x3+y2+Dx+Ey+F=0 表示的轨迹 将方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 左边配方得:

(1) (1)当 D2+E2-4F>0 时,方程(1)与标准方程比较,可以看出方程

半径的圆;

(3)当 D2+E2-4F<0 时,方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 没有实数解,因而它不表示任何图形. 这时,教师引导学生小结方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 的轨迹分别是圆、

法. 2.圆的一般方程的定义 当 D2+E2-4F>0 时,方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 称为圆的一般方程. (三)圆的一般方程的特点 请同学们分析下列问题: 问题:比较二元二次方程的一般形式 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0.
102

(2) 与圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0,(D2+E2-4F>0). (3) 的系数可得出什么结论?启发学生归纳结论. 当二元二次方程 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 具有条件: (1)x2 和 y2 的系数相同,不等于零,即 A=C≠0; (2)没有 xy 项,即 B=0; (3)D2+E2-4AF>0. 它才表示圆.条件(3)通过将方程同除以 A 或 C 配方不难得出. 教师还要强调指出: (1)条件(1)、(2)是二元二次方程(2)表示圆的必要条件,但不是充分条件; (2)条件(1)、(2)和(3)合起来是二元二次方程(2)表示圆的充要条件. (四)应用与举例 同圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2 一样,方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 也含有三个系数 D、E、F,因此必具备三 个独立的条件,才能确定一个圆.下面看一看它们的应用. 例1 求下列圆的半径和圆心坐标:

(1)x2+y2-8x+6y=0, (2)x2+y2+2by=0. 此例由学生演板,教师纠错,并给出正确答案:(1)圆心为(4,-3),半径为 5;(2)圆心为(0,-b),半径 为|b|,注意半径不为 b. 同时强调:由圆的一般方程求圆心坐标和半径,一般用配方法,这要熟练掌握. 例2 求过三点 O(0,0)、A(1,1)、B(4,2)的圆的方程.

解:设所求圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0,由 O、A、B 在圆上,则有

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解得:D=-8,E=6,F=0, 故所求圆的方程为 x2+y2-8x+6=0. 例 2 小结: 1.用待定系数法求圆的方程的步骤: (1)根据题意设所求圆的方程为标准式或一般式; (2)根据条件列出关于 a、b、r 或 D、E、F 的方程; (3)解方程组,求出 a、b、r 或 D、E、F 的值,代入所设方程,就得要求的方程. 2.关于何时设圆的标准方程,何时设圆的一般方程:一般说来,如果由已知条件容易求圆心的坐标、半 径或需要用圆心的坐标、半径列方程的问题,往往设圆的标准方程;如果已知条件和圆心坐标或半径都无直接 关系,往往设圆的一般方程.再看下例: 例 3 求圆心在直线 l:x+y=0 上,且过两圆 C1∶x2+y2-2x+10y-24=0 和 C2∶x2+y2+2x+2y-8=0 的交点的 圆的方程.

(0,2). 设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,因为两点在所求圆上,且圆心在直线 l 上所以得方程组为

故所求圆的方程为:(x+3)2+(y-3)2=10. 这时,教师指出:

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(1)由已知条件容易求圆心坐标、半径或需要用圆心的坐标、半径列方程的问题,往往设圆的标准方程. (2)此题也可以用圆系方程来解: 设所求圆的方程为: x2+ y2-2x+10y-24+λ (x2+y2+2x+2y-8)=0(λ ≠-1) 整理并配方得:

由圆心在直线 l 上得λ =-2. 将 λ =-2 代入所假设的方程便可得所求圆的方程为 x2+y2+6x-6y+8=0. 此法到圆与圆的位置关系中再介绍, 此处为学生留下悬念.

的轨迹,求这个曲线的方程,并画出曲线. 此例请两位学生演板,教师巡视,并提示学生: (1)由于曲线表示的图形未知,所以只能用轨迹法求曲线方程,设曲线上任一点 M(x,y),由求曲线方程 的一般步骤可求得; (2)应将圆的一般方程配方成标准方程,进而得出圆心坐标、半径,画出图形. (五)小结 1.圆的一般方程的定义及特点; 2.用配方法求出圆的圆心坐标和半径; 3.用待定系数法,导出圆的方程. 五、布置作业 1.求下列各圆的一般方程: (1)过点 A(5,1),圆心在点 C(8,-3);

105

(2)过三点 A(-1,5)、B(5,5)、C(6,-2). 2.求经过两圆 x2+y2+6x-4=0 和 x2+y2+6y-28=0 的交点,并且圆心在直线 x-y-4=0 上的圆的方程. 3.等腰三角形的顶点是 A(4,2),底边一个端点是 B(3,5),求另一个端点的轨迹方程,并说明它的轨迹 是什么. 4.A、B、C 为已知直线上的三个定点,动点 P 不在此直线上,且使∠APB=∠BPC,求动点 P 的轨迹. 作业答案: 1.(1)x2+y2-16x+6y+48=0 (2)x2+y2-4x-2y-20=0 2.x2+y2-x+7y-32=0 3.所求的轨迹方程为 x2+y2-8x-4y+10=0(x≠3,x≠5),轨迹是以

4.以 B 为原点,直线 ABC 为 x 轴建立直角坐标系,令 A(-a,0),C(c,0)(a>0,c>0),P(x,y),可得 方程为: (a2-c2)x2+(a2-c2)y2-2ac(a+c)x=0. 当 a=c 时,则得 x=0(y≠0),即 y 轴去掉原点;当 a≠c 时,则得(x-

与 x 轴的两个交点. 点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系

一、教学目标 (一)知识教学点 使学生掌握点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系;过圆上一点的圆的切线方程,判断直线与圆相交、 相切、相离的代数方法与几何方法;两圆位置关系的几何特征和代数特征.

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(二)能力训练点 通过点与圆、直线与圆以及圆与圆位置关系的教学,培养学生综合运用圆有关方面知识的能力. (三)学科渗透点 点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系在初中平面几何已进行了分析,现在是用代数方法来分析几何问 题,是平面几何问题的深化. 二、教材分析 1.重点:(1)直线和圆的相切(圆的切线方程)、相交(弦长问题);(2)圆系方程应用. (解决办法:(1)使学生掌握相切的几何特征和代数特征,过圆上一点的圆的代线方程,弦长计算问题; (2) 给学生介绍圆与圆相交的圆系方程以及直线与圆相交的圆系方程.) 2.难点:圆(x-a)2+(y-b)2=r2 上一点(x0,y0)的切线方程的证明. (解决办法:仿照课本上圆 x2+y2=r2 上一点(x0,y0)切线方程的证明.) 三、活动设计 归纳讲授、学生演板、重点讲解、巩固练习. 四、教学过程 (一)知识准备 我们今天研究的课题是“点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系”,为了更好地讲解这个课题,我们先 复习归纳一下点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系中的一些知识. 1.点与圆的位置关系 设圆 C∶(x-a)2+(y-b)2=r2,点 M(x0,y0)到圆心的距离为 d,则有: (1)d>r (2)d=r (3)d<r 点 M 在圆外; 点 M 在圆上; 点 M 在圆内.

2.直线与圆的位置关系 设圆 C∶(x-a)2+(y-b)=r2,直线 l 的方程为 Ax+By+C=0,圆心(a,

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判别式为△,则有: (1)d<r (2)d=r (3)d<r 或(1)△>0 (2)△=0 (3)△<0 直线与圆相交; 直线与圆相切; 直线与圆相离,即几何特征; 直线与圆相交; 直线与圆相切; 直线与圆相离,即代数特征,

3.圆与圆的位置关系 设圆 C1:(x-a)2+(y-b)2=r2 和圆 C2:(x-m)2+(y-n)2=k2(k≥r),且设两圆圆心距为 d,则有: (1)d=k+r (2)d=k-r (3)d>k+r (4)d<k+r 两圆外切; 两圆内切; 两圆外离; 两圆内含; 两圆相交.

(5)k-r<d<k+r 4.其他

(1)过圆上一点的切线方程: ①圆 x2+y2=r2,圆上一点为(x0,y0),则此点的切线方程为 x0x+y0y=r2(课本命题). ②圆(x-a)2+(y-b)2=r2,圆上一点为(x0,y0),则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2(课 本命题的推广). (2)相交两圆的公共弦所在直线方程: 设圆 C1∶x2+y2+D1x+E1y+F1=0 和圆 C2∶x2+y2+D2x+E2y+F2=0,若两圆相交,则过两圆交点的直线方程为 (D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0.

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(3)圆系方程: ①设圆 C1∶x2+y2+D1x+E1y+F1=0 和圆 C2∶x2+y2+D2x+E2y+F2=0.若两圆相交,则过交点的圆系方程为 x2+y2+D1x+E1y+F1+λ (x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ 为参数,圆系中不包括圆 C2,λ =-1 为两圆的公共弦所在直线 方程). ②设圆 C∶x2+y2+Dx+Ey+F=0 与直线 l:Ax+By+C=0,若直线与圆相交,则过交点的圆系方程为 x2+y2+Dx+Ey+F+λ (Ax+By+C)=0(λ 为参数). (二)应用举例

和切点坐标. 分析:求已知圆的切线问题,基本思路一般有两个方面:(1)从代数特征分析;(2)从几何特征分析.一般 来说,从几何特征分析计算量要小些.该例题由学生演板完成.

∵圆心 O(0,0)到切线的距离为 4,

把这两个切线方程写成

注意到过圆 x2+y2=r2 上的一点 P(x0,y0)的切线的方程为 x0x+y0y=r2,

例 2 已知实数 A、B、C 满足 A2+B2=2C2≠0,求证直线 Ax+By+C=0 与圆 x2+y2=1 交于不同的两点 P、Q, 并求弦 PQ 的长.

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分析:证明直线与圆相交既可以用代数方法列方程组、消元、证明△>0,又可以用几何方法证明圆心到 直线的距离小于圆半径,由教师完成. 证:设圆心 O(0,0)到直线 Ax+By+C=0 的距离为 d,则 d=

∴直线 Ax+By+C=0 与圆 x2+y1=1 相交于两个不同点 P、Q.

例3

求以圆 C1∶x2+y2-12x-2y-13=0 和圆 C2:x2+y2+12x+16y-25=0 的公共弦为直径的圆的方程.

解法一:

相减得公共弦所在直线方程为 4x+3y-2=0.

∵所求圆以 AB 为直径,

110

于是圆的方程为(x-2)2+(y+2)2=25. 解法二: 设所求圆的方程为: x2+y2-12x-2y-13+λ (x2+y2+12x+16y-25)=0(λ 为参数)

∵圆心 C 应在公共弦 AB 所在直线上,

∴ 所求圆的方程为 x2+y2-4x+4y-17=0. 小结: 解法一体现了求圆的相交弦所在直线方程的方法;解法二采取了圆系方程求待定系数,解法比较简练. (三)巩固练习 1.已知圆的方程是 x2+y2=1,求: (1)斜率为 1 的切线方程;

2.(1)圆(x-1)2+(y+2)2=4 上的点到直线 2x-y+1=0 的最短距离是

(2)两圆 C1∶x2+y2-4x+2y+4=0 与 C2∶x2+y2+2x-6y-26=0 的位置关系是______.(内切)

111

由学生口答. 3.未经过原点,且过圆 x2+y2+8x-6y+21=0 和直线 x-y+5=0 的两个交点的圆的方程. 分析:若要先求出直线和圆的交点,根据圆的一般方程,由三点可求得圆的方程;若没过交点的圆系方程, 由此圆系过原点可确定参数 λ ,从而求得圆的方程.由两个同学演板给出两种解法: 解法一:

设所求圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0. ∵(0,0),(-2,3),(-4,1)三点在圆上,

解法二: 设过交点的圆系方程为: x2+y2+8x-6y+21+λ (x-y+5)=0.

五、布置作业

2.求证:两圆 x2+y2-4x-6y+9=0 和 x2+y2+12x+6y-19=0 相外切.
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3.求经过两圆 x2+y2+6x-4=0 和 x2+y2+6y-28=0 的交点,并且圆心在直线 x-y-4=0 上的圆的方程. 4.由圆外一点 Q(a,b)向圆 x2+y2=r2 作割线交圆于 A、 B 两点,向圆 x2+y2=r2 作切线 QC、QD,求: (1)切线长; (2)AB 中点 P 的轨迹方程. 作业答案:

2.证明两圆连心线的长等于两圆半径之和 3.x2+y2-x+7y-32=0

第八章

圆锥曲线方程 椭圆及其标准方程

一、教学目标 (一)知识教学点 使学生理解椭圆的定义,掌握椭圆的标准方程的推导及标准方程. (二)能力训练点 通过对椭圆概念的引入与标准方程的推导, 培养学生分析探索能力, 增强运用坐标法解决几何问题的能力. (三)学科渗透点 通过对椭圆标准方程的推导的教学,可以提高对各种知识的综合运用能力. 二、教材分析 1.重点:椭圆的定义和椭圆的标准方程. (解决办法: 用模型演示椭圆, 再给出椭圆的定义, 最后加以强调; 对椭圆的标准方程单独列出加以比较. )

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2.难点:椭圆的标准方程的推导. (解决办法:推导分 4 步完成,每步重点讲解,关键步骤加以补充说明.) 3.疑点:椭圆的定义中常数加以限制的原因. (解决办法:分三种情况说明动点的轨迹.) 三、活动设计 提问、演示、讲授、详细讲授、演板、分析讲解、学生口答. 四、教学过程 (一)椭圆概念的引入 前面,大家学习了曲线的方程等概念,哪一位同学回答: 问题 1:什么叫做曲线的方程?求曲线方程的一般步骤是什么?其中哪几个步骤必不可少? 对上述问题学生的回答基本正确,否则,教师给予纠正.这样便于学生温故而知新,在已有知识基础上去 探求新知识.

提出这一问题以便说明标准方程推导中一个同解变形. 问题 3:圆的几何特征是什么?你能否可类似地提出一些轨迹命题作广泛的探索? 一般学生能回答:“平面内到一定点的距离为常数的点的轨迹是圆”.对同学提出的轨迹命题如: “到两定点距离之和等于常数的点的轨迹.” “到两定点距离平方差等于常数的点的轨迹.” “到两定点距离之差等于常数的点的轨迹.” 教师要加以肯定,以鼓励同学们的探索精神. 比如说,若同学们提出了“到两定点距离之和等于常数的点的轨迹”,那么动点轨迹是什么呢?这时教师 示范引导学生绘图:

114

取一条一定长的细绳,把它的两端固定在画图板上的 F1 和 F2 两点(如图 2-13),当绳长大于 F1 和 F2 的 距离时,用铅笔尖把绳子拉紧,使笔尖在图板上慢慢移动,就可以画出一个椭圆. 教师进一步追问:“椭圆,在哪些地方见过?”有的同学说:“立体几何中圆的直观图.”有的同学说: “人造卫星运行轨道”等??

在此基础上,引导学生概括椭圆的定义: 平面内到两定点 F1、F2 的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的 焦点,两焦点的距离叫做焦距. 学生开始只强调主要几何特征——到两定点 F1、F2 的距离之和等于常数、教师在演示中要从两个方面加 以强调: (1)将穿有铅笔的细线拉到图板平面外,得到的不是椭圆,而是椭球形,使学生认识到需加限制条件: “在 平面内”. (2)这里的常数有什么限制吗?教师边演示边提示学生注意:若常数=|F1F2|,则是线段 F1F2;若常数< |F1F2|,则轨迹不存在;若要轨迹是椭圆,还必须加上限制条件:“此常数大于|F1F2|”. (二)椭圆标准方程的推导 1.标准方程的推导 由椭圆的定义,可以知道它的基本几何特征,但对椭圆还具有哪些性质,我们还一无所知,所以需要用坐 标法先建立椭圆的方程. 如何建立椭圆的方程?根据求曲线方程的一般步骤,可分:(1)建系设点;(2)点的集合;(3)代数方程; (4)化简方程等步骤. (1)建系设点 建立坐标系应遵循简单和优化的原则,如使关键点的坐标、关键几何量(距离、直线斜率等)的表达式简单 化,注意充分利用图形的对称性,使学生认识到下列选取方法是恰当的. 以两定点 F1、 的直线为 x 轴, F2 线段 F1F2 的垂直平分线为 y 轴, 建立直角坐标系(如图 2-14). 设|F1F2|=2c(c >0),M(x,y)为椭圆上任意一点,则有 F1(-1,0),F2(c,0).

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(2)点的集合 由定义不难得出椭圆集合为: P={M||MF1|+|MF2|=2a}. (3)代数方程

(4)化简方程 化简方程可请一个反映比较快、书写比较规范的同学板演,其余同学在下面完成,教师巡视,适当给予提 示: ①原方程要移项平方,否则化简相当复杂;注意两次平方的理由详见问题 3 说明.整理后,再平方得 (a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2) ②为使方程对称和谐而引入 b,同时 b 还有几何意义,下节课还要

(a>b>0). 关于证明所得的方程是椭圆方程,因教材中对此要求不高,可从略.

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示的椭圆的焦点在 x 轴上,焦点是 F1(-c,0)、F2(c,0).这里 c2=a2-b2. 2.两种标准方程的比较(引导学生归纳)

0)、F2(c,0),这里 c2=a2-b2;

-c)、F2(0,c),这里 c2=a2+b2,只须将(1)方程的 x、y 互换即可得到. 教师指出:在两种标准方程中,∵a2>b2,∴可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上. (三)例题与练习 例题 平面内两定点的距离是 8,写出到这两定点的距离的和是 10 的点的轨迹的方程.

分析:先根据题意判断轨迹,再建立直角坐标系,采用待定系数法得出轨迹方程. 解:这个轨迹是一个椭圆,两个定点是焦点,用 F1、F2 表示.取过点 F1 和 F2 的直线为 x 轴,线段 F1F2 的垂直平分线为 y 轴,建立直角坐标系. ∵2a=10,2c=8. ∴a=5,c=4,b2=a2-c2=52-45=9.∴b=3 因此,这个椭圆的标准方程是

请大家再想一想,焦点 F1、F2 放在 y 轴上,线段 F1F2 的垂直平分

练习 1

写出适合下列条件的椭圆的标准方程:

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练习 2

下列各组两个椭圆中,其焦点相同的是

[

]

由学生口答,答案为 D. (四)小结 1.定义:椭圆是平面内与两定点 F1、F2 的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹.

3.图形如图 2-15、2-16.

4.焦点:F1(-c,0),F2(c,0).F1(0,-c),F2(0,c). 五、布置作业 1.如图 2-17,在椭圆上的点中,A1 与焦点 F1 的距离最小,|A1F1|=2,A2
118

F1 的距离最大,|A2F1|=14,求椭圆的标准方程.

3.求适合下列条件的椭圆的标准方程:

是过 F1 的直线被椭圆截得的线段长,求△ABF2 的周长. 作业答案:

119

4.由椭圆定义易得,△ABF2 的周长为 4a. 椭圆的几何性质

一、教学目标 (一)知识教学点 通过椭圆标准方程的讨论,使学生掌握椭圆的几何性质,能正确地画出椭圆的图形,并了解椭圆的一些实 际应用. (二)能力训练点 通过对椭圆的几何性质的教学,培养学生分析问题和解决实际问题的能力. (三)学科渗透点 使学生掌握利用方程研究曲线性质的基本方法,加深对直角坐标系中曲线与方程的关系概念的理解,这样 才能解决随之而来的一些问题,如弦、最值问题等. 二、教材分析 1.重点:椭圆的几何性质及初步运用. (解决办法:引导学生利用方程研究曲线的性质,最后进行归纳小结.) 2.难点:椭圆离心率的概念的理解. (解决办法:先介绍椭圆离心率的定义,再分析离心率的大小对椭圆形状的影响,最后通过椭圆的第二定 义讲清离心率 e 的几何意义.) 3.疑点:椭圆的几何性质是椭圆自身所具有的性质,与坐标系选择无关,即不随坐标系的改变而改变. (解决办法:利用方程分析椭圆性质之前就先给学生说明.) 三、活动设计 提问、讲解、阅读后重点讲解、再讲解、演板、讲解后归纳、小结. 四、教学过程 (一)复习提问 1.椭圆的定义是什么?

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2.椭圆的标准方程是什么? 学生口述,教师板书. (二)几何性质 根据曲线的方程研究曲线的几何性质,并正确地画出它的图形,是

b>0)来研究椭圆的几何性质.说明:椭圆自身固有几何量所具有的性质是与坐标系选择无关,即不随坐 标系的改变而改变. 1.范围

即|x|≤a,|y|≤b,这说明椭圆在直线 x=±a 和直线 y=±b 所围成的矩形里(图 2-18).注意结合图形讲 解,并指出描点画图时,就不能取范围以外的点. 2.对称性 先请大家阅读课本椭圆的几何性质 2. 设问:为什么“把 x 换成-x,或把 y 换成-y?,或把 x、y 同时换成-x、-y 时,方程都不变,所以图形关 于 y 轴、x 轴或原点对称的” 呢?

事实上,在曲线的方程里,如果把 x 换成-x 而方程不变,那么当点 P(x,y)在曲线上时,点 P 关于 y 轴的 对称点 Q(-x,y)也在曲线上,所以曲线关于 y 轴对称.类似可以证明其他两个命题. 同时向学生指出:如果曲线具有关于 y 轴对称、关于 x 轴对称和关于原点对称中的任意两种,那么它一定 具有另一种对称.如:如果曲线关于 x 轴和原点对称,那么它一定关于 y 轴对称.

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事实上,设 P(x,y)在曲线上,因为曲线关于 x 轴对称,所以点 P1(x,-y)必在曲线上.又因为曲线关于 原点对称,所以 P1 关于原点对称点 P2(-x,y)必在曲线上.因 P(x,y)、P2(-x,y)都在曲线上,所以曲线关于 y 轴对称. 最后指出:x 轴、y 轴是椭圆的对称轴,原点是椭圆的对称中心即椭圆中心. 3.顶点

只须令 x=0,得 y=±b,点 B1(0,-b)、B2(0,b)是椭圆和 y 轴的两个交点;令 y=0,得 x=±a,点 A1(-a, 0)、A2(a,0)是椭圆和 x 轴的两个交点.强调指出:椭圆有四个顶点 A1(-a,0)、A2(a,0)、B1(0,-b)、B2(0, b). 教师还需指出: (1)线段 A1A2、线段 B1B2 分别叫椭圆的长轴和短轴,它们的长分别等于 2a 和 2b; (2)a、b 的几何意义:a 是长半轴的长,b 是短半轴的长; 这时,教师可以小结以下:由椭圆的范围、对称性和顶点,再进行描点画图,只须描出较少的点,就可以 得到较正确的图形. 4.离心率 教师直接给出椭圆的离心率的定义:

等到介绍椭圆的第二定义时,再讲清离心率 e 的几何意义. 先分析椭圆的离心率 e 的取值范围: ∵a>c>0,∴ 0<e<1. 再结合图形分析离心率的大小对椭圆形状的影响:

(2)当 e 接近 0 时,c 越接近 0,从而 b 越接近 a,因此椭圆接近圆; (3)当 e=0 时,c=0,a=b 两焦点重合,椭圆的标准方程成为 x2+y2=a2,图形就是圆了.
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(三)应用 为了加深对椭圆的几何性质的认识,掌握用描点法画图的基本方法,给出如下例 1. 例1 形. 本例前一部分请一个同学板演,教师予以订正,估计不难完成.后一部分由教师讲解,以引起学生重视, 步骤是: 求椭圆 16x2+25y2=400 的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标,并用描点法画出它的图

(2)描点作图.先描点画出椭圆在第一象限内的图形,再利用椭圆的对称性就可以画出整个椭圆(图 2-19).要强调:利用对称性可以使计算量大大减少.

本例实质上是椭圆的第二定义,是为以后讲解抛物线和圆锥曲线的统一定义做准备的,同时再一次使学生 熟悉求曲线方程的一般步骤,因此,要详细讲解: 设 d 是点 M 到直线 l 的距离,根据题意,所求轨迹就是集合 P={M

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将上式化简,得:(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2).

这是椭圆的标准方程,所以点 M 的轨迹是椭圆. 由此例不难归纳出椭圆的第二定义. (四)椭圆的第二定义 1.定义 平面内点 M 与一个定点的距离和它到一定直线的距离的比是常数

线叫做椭圆的准线,常数 e 是椭圆的离心率. 2.说明

这时还要讲清 e 的几何意义是:椭圆上一点到焦点的距离和它到准线的距离的比. (五)小结

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解法研究图形的性质是通过对方程的讨论进行的,同一曲线由于坐标系选取不同,方程的形式也不同,但 是最后得出的性质是一样的,即与坐标系的选取无关.前面我们着重分析了第一个标准方程的椭圆的性质,类 似可以理解第二个标准方程的椭圆的性质.布置学生最后小结下列表格:

五、布置作业 1.求下列椭圆的长轴和短轴的长、焦距、离心率、各个顶点和焦点坐标、准线方程: (1)25x2+4y2-100=0, (2)x2+4y2-1=0. 2. 我国发射的科学实验人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆, 近地点距地面 266Km, 远地点距地面 1826Km,求这颗卫星的轨道方程. 3.点 P 与一定点 F(2,0)的距离和它到一定直线 x=8 的距离的比是 1∶2,求点 P 的轨迹方程,并说明轨 迹是什么图形.

的方程. 作业答案:

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4.顶点(0,2)可能是长轴的端点,也可能是短轴的一个端点,故分两种情况求方程:

双曲线及其标准方程

一、教学目标 (一)知识教学点 使学生掌握双曲线的定义和标准方程,以及标准方程的推导. (二)能力训练点 在与椭圆的类比中获得双曲线的知识,从而培养学生分析、归纳、推理等能力. (三)学科渗透点 本次课注意发挥类比和设想的作用,与椭圆进行类比、设想,使学生得到关于双曲线的定义、标准方程一 个比较深刻的认识. 二、教材分析 1.重点:双曲线的定义和双曲线的标准方程. (解决办法:通过一个简单实验得出双曲线,再通过设问给出双曲线的定义;对于双曲线的标准方程通过 比较加深认识.) 2.难点:双曲线的标准方程的推导.

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(解决办法:引导学生完成,提醒学生与椭圆标准方程的推导类比.) 3.疑点:双曲线的方程是二次函数关系吗? (解决办法:教师可以从引导学生回忆函数定义和观察双曲线图形来解决,同时让学生在课外去研究在什 么附加条件下,双曲线方程可以转化为函数式.) 三、活动设计 提问、实验、设问、归纳定义、讲解、演板、口答、重点讲解、小结. 四、教学过程 (一)复习提问 1.椭圆的定义是什么?(学生回答,教师板书) 平面内与两定点 F1、F2 的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.教师要强调条件:(1) 平面内;(2)到两定点 F1、F2 的距离的和等于常数;(3)常数 2a>|F1F2|. 2.椭圆的标准方程是什么?(学生口答,教师板书)

(二)双曲线的概念 把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”,那么点的轨迹会怎样?它的方程是怎样的呢? 1.简单实验(边演示、边说明) 如图 2-23,定点 F1、F2 是两个按钉,MN 是一个细套管,两条细绳分别拴在按钉上且穿过套管,点 M 移动 时,|MF1|-|MF2|是常数,这样就画出曲线的一支;由|MF2|-|MF1|是同一常数,可以画出另一支.

注意:常数要小于|F1F2|,否则作不出图形.这样作出的曲线就叫做双曲线.

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2.设问 问题 1:定点 F1、F2 与动点 M 不在平面上,能否得到双曲线? 请学生回答,不能.强调“在平面内”. 问题 2:|MF1|与|MF2|哪个大? 请学生回答,不定:当 M 在双曲线右支上时,|MF1|>|MF2|;当点 M 在双曲线左支上时,|MF1|<|MF2|. 问题 3:点 M 与定点 F1、F2 距离的差是否就是|MF1|-|MF2|? 请学生回答,不一定,也可以是|MF2|-|MF1|.正确表示为||MF2|-|MF1||. 问题 4:这个常数是否会大于等于|F1F2|? 请学生回答,应小于|F1F2|且大于零.当常数=|F1F2|时,轨迹是以 F1、F2 为端点的两条射线;当常数> |F1F2|时,无轨迹. 3.定义 在上述基础上,引导学生概括双曲线的定义: 平面内与两定点 F1、 的距离的差的绝对值是常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线. F2 这两个定点 F1、 F2 叫做双曲线的焦点,两个焦点之间的距离叫做焦距. 教师指出:双曲线的定义可以与椭圆相对照来记忆,不要死记. (三)双曲线的标准方程 现在来研究双曲线的方程.我们可以类似求椭圆的方程的方法来求双曲线的方程.这时设问:求椭圆的方 程的一般步骤方法是什么?不要求学生回答,主要引起学生思考,随即引导学生给出双曲线的方程的推导. 标准方程的推导: (1)建系设点 取过焦点 F1、F2 的直线为 x 轴,线段 F1F2 的垂直平分线为 y 轴(如图 2-24)

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建立直角坐标系. 设 M(x, y)为双曲线上任意一点, 双曲线的焦距是 2c(c>0), 那么 F1、 的坐标分别是(-c, (c, 又 F2 0)、 0). 设点 M 与 F1、F2 的距离的差的绝对值等于常数. (2)点的集合 由定义可知,双曲线就是集合: P={M||MF1|-|MF2||=2a}={M|MF1|-|MF2|=±2a}. (3)代数方程

(4)化简方程(由学生演板) 将这个方程移项,两边平方得:

化简得:

两边再平方,整理得:

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(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2). (以上推导完全可以仿照椭圆方程的推导.) 由双曲线定义,2c>2a 即 c>a,所以 c2-a2>0.

设 c2-a2=b2(b>0),代入上式得: b2x2-a2y2=a2b2.

这就是双曲线的标准方程. 两种标准方程的比较(引导学生归纳):

教师指出: (1)双曲线标准方程中,a>0,b>0,但 a 不一定大于 b; (2)如果 x2 项的系数是正的,那么焦点在 x 轴上;如果 y2 项的系数是正的,那么焦点在 y 轴上.注意有 别于椭圆通过比较分母的大小来判定焦点在哪一坐标轴上. (3)双曲线标准方程中 a、b、c 的关系是 c2=a2+b2,不同于椭圆方程中 c2=a2-b2. (四)练习与例题 1.求满足下列的双曲线的标准方程: 焦点 F1(-3,0)、F2(3,0),且 2a=4;

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3.已知两点 F1(-5,0)、F2(5,0),求与它们的距离的差的绝对值是 6 的点的轨迹方程.如果把这里的 数字 6 改为 12,其他条件不变,会出现什么情况? 由教师讲解: 按定义,所求点的轨迹是双曲线,因为 c=5,a=3,所以 b2=c2-a2=52-32=42.

因为 2a=12,2c=10,且 2a>2c. 所以动点无轨迹. (五)小结 1.定义:平面内与两定点 F1、F2 的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹.

3.图形(见图 2-25):

4.焦点:F1(-c,0)、F2(c,0);F1(0,-c)、F2(0,c). 5.a、b、c 的关系:c2=a2+b2;c=a2+b2.

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五、布置作业 1.根据下列条件,求双曲线的标准方程: (1)焦点的坐标是(-6,0)、(6,0),并且经过点 A(-5,2);

3.已知圆锥曲线的方程为 mx2+ny2=m+n(m<0<m+n),求其焦点坐标. 作业答案:

2.由(1+k)(1-k)<0 解得:k<-1 或 k>1

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双曲线的几何性质

一、教学目标 (一)知识教学点 使学生理解并掌握双曲线的几何性质,并能从双曲线的标准方程出发,推导出这些性质,并能具体估计双 曲线的形状特征. (二)能力训练点 在与椭圆的性质的类比中获得双曲线的性质,从而培养学生分析、归纳、推理等能力. (三)学科渗透点 使学生进一步掌握利用方程研究曲线性质的基本方法,加深对直角坐标系中曲线与方程的关系概念的理 解,这样才能解决双曲线中的弦、最值等问题. 二、教材分析 1.重点:双曲线的几何性质及初步运用. (解决办法:引导学生类比椭圆的几何性质得出,至于渐近线引导学生证明.) 2.难点:双曲线的渐近线方程的导出和论证. (解决办法:先引导学生观察以原点为中心,2a、2b 长为邻边的矩形的两条对角线,再论证这两条对角线 即为双曲线的渐近线.) 3.疑点:双曲线的渐近线的证明. (解决办法:通过详细讲解.) 三、活动设计
133

提问、类比、重点讲解、演板、讲解并归纳、小结. 四、教学过程 (一)复习提问引入新课 1.椭圆有哪些几何性质,是如何探讨的? 请一同学回答.应为:范围、对称性、顶点、离心率,是从标准方程探讨的. 2.双曲线的两种标准方程是什么? 再请一同学回答.应为:中心在原点、焦点在 x 轴上的双曲线的标

下面我们类比椭圆的几何性质来研究它的几何性质. (二)类比联想得出性质(性质 1~3) 引导学生完成下列关于椭圆与双曲线性质的表格(让学生回答,教师引导、启发、订正并板书).<见下页> (三)问题之中导出渐近线(性质 4) 在学习椭圆时,以原点为中心,2a、2b 为邻边的矩形,对于估计

仍以原点为中心,2a、2b 为邻边作一矩形(板书图形),那么双曲线和这个矩形有什么关系?这个矩形对 于估计和画出双曲线简图(图 2-26)有什么指导意义?这些问题不要求学生回答,只引起学生类比联想. 接着再提出问题:当 a、b 为已知时,这个矩形的两条对角线的方程是什么?

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下面,我们来证明它:

双曲线在第一象限的部分可写成:

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当 x 逐渐增大时,|MN|逐渐减小,x 无限增大,|MN|接近于零,|MQ|也接近于零,就是说,双曲线在第一 象限的部分从射线 ON 的下方逐渐接近于射线 ON. 在其他象限内也可以证明类似的情况.

现在来看看实轴在 y 轴上的双曲线的渐近线方程是怎样的?由于焦点在 y 轴上的双曲线方程是由焦点在 x 轴上的双曲线方程,将 x、y 字 母对调所得到,自然前者渐近线方程也可由后者渐近线方程将 x、y 字

这样,我们就完满地解决了画双曲线远处趋向问题,从而可比较精

136

再描几个点,就可以随后画出比较精确的双曲线. (四)顺其自然介绍离心率(性质 5) 由于正确认识了渐近线的概念,对于离心率的直观意义也就容易掌握了,为此,介绍一下双曲线的离心率 以及它对双曲线的形状的影响:

变得开阔,从而得出:双曲线的离心率越大,它的开口就越开阔. 这时,教师指出:焦点在 y 轴上的双曲线的几何性质可以类似得出,双曲线的几何性质与坐标系的选择无 关,即不随坐标系的改变而改变. (五)练习与例题 1.求双曲线 9y2-16x2=144 的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程. 请一学生演板,其他同学练习,教师巡视,练习毕予以订正.

由此可知,实半轴长 a=4,虚半轴长 b=3.

焦点坐标是(0,-5),(0,5).

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本题实质上是双曲线的第二定义,要重点讲解并加以归纳小结. 解:设 d 是点 M 到直线 l 的距离,根据题意,所求轨迹就是集合:

化简得:(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2).

这就是双曲线的标准方程. 由此例不难归纳出双曲线的第二定义. (六)双曲线的第二定义 1.定义(由学生归纳给出) 平面内点 M 与一定点的距离和它到一条直线的距离的比是常数 e=

叫做双曲线的准线,常数 e 是双曲线的离心率.
138

2.说明

(七)小结(由学生课后完成) 将双曲线的几何性质按两种标准方程形式列表小结. 五、布置作业 1.已知双曲线方程如下,求它们的两个焦点、离心率 e 和渐近线方程. (1)16x2-9y2=144; (2)16x2-9y2=-144. 2.求双曲线的标准方程: (1)实轴的长是 10,虚轴长是 8,焦点在 x 轴上; (2)焦距是 10,虚轴长是 8,焦点在 y 轴上;

曲线的方程.

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点到两准线及右焦点的距离. 作业答案:

距离为 7 抛物线及其标准方程

一、教学目标 (一)知识教育点 使学生掌握抛物线的定义、抛物线的标准方程及其推导过程. (二)能力训练点 要求学生进一步熟练掌握解析几何的基本思想方法,提高分析、对比、概括、转化等方面的能力. (三)学科渗透点 通过一个简单实验引入抛物线的定义,可以对学生进行理论来源于实践的辩证唯物主义思想教育. 二、教材分析 1.重点:抛物线的定义和标准方程.

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(解决办法:通过一个简单实验与椭圆、双曲线的定义相比较引入抛物线的定义;通过一些例题加深对标 准方程的认识.) 2.难点:抛物线的标准方程的推导. (解决办法:由三种建立坐标系的方法中选出一种最佳方法,避免了硬性规定坐标系.) 3.疑点:抛物线的定义中需要加上“定点 F 不在定直线 l 上”的限制. (解决办法:向学生加以说明.) 三、活动设计 提问、回顾、实验、讲解、演板、归纳表格. 四、教学过程 (一)导出课题 我们已学习了圆、椭圆、双曲线三种圆锥曲线.今天我们将学习第四种圆锥曲线——抛物线,以及它的定 义和标准方程.课题是“抛物线及其标准方程”. 请大家思考两个问题: 问题 1:同学们对抛物线已有了哪些认识? 在物理中,抛物线被认为是抛射物体的运行轨道;在数学中,抛物线是二次函数的图象? 问题 2:在二次函数中研究的抛物线有什么特征? 在二次函数中研究的抛物线,它的对称轴是平行于 y 轴、开口向上或开口向下两种情形. 引导学生进一步思考:如果抛物线的对称轴不平行于 y 轴,那么就不能作为二次函数的图象来研究了.今 天,我们突破函数研究中这个限制,从更一般意义上来研究抛物线. (二)抛物线的定义 1.回顾 平面内与一个定点 F 的距离和一条定直线 l 的距离的比是常数 e 的轨迹,当 0<e<1 时是椭圆,当 e>1 时是双曲线,那么当 e=1 时,它又是什么曲线? 2.简单实验 如图 2-29,把一根直尺固定在画图板内直线 l 的位置上,一块三角板的一条直角边紧靠直尺的边缘;把 一条绳子的一端固定于三角板另一条直角边上的点 A,截取绳子的长等于 A 到直线 l 的距离 AC,并且把绳子另

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一端固定在图板上的一点 F;用一支铅笔扣着绳子,紧靠着三角板的这条直角边把绳子绷紧,然后使三角板紧 靠着直尺左右滑动,这样铅笔就描出一条曲线,这条曲线叫做抛物线.反复演示后,请同学们来归纳抛物线的 定义,教师总结.

3.定义 这样,可以把抛物线的定义概括成: 平面内与一定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点 F 不在定直线 l 上). 定点 F 叫 做抛物线的焦点,定直线 l 叫做抛物线的准线. (三)抛物线的标准方程 设定点 F 到定直线 l 的距离为 p(p 为已知数且大于 0).下面,我们来求抛物线的方程.怎样选择直角坐 标系,才能使所得的方程取较简单的形式呢? 让学生议论一下,教师巡视,启发辅导,最后简单小结建立直角坐标系的几种方案: 方案 1:(由第一组同学完成,请一优等生演板.) 以 l 为 y 轴,过点 F 与直线 l 垂直的直线为 x 轴建立直角坐标系(图 230).设定点 F(p,0),动点 M 的坐标为(x,y),过 M 作 MD⊥y 轴于 D,抛物线的集合为:p={M||MF|=|MD|}.

化简后得:y2=2px-p2(p>0). 方案 2:(由第二组同学完成,请一优等生演板)

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以定点 F 为原点,平行 l 的直线为 y 轴建立直角坐标系(图 2-31).设动点 M 的坐标为(x,y),且设直线 l 的方程为 x=-p,定点 F(0,0),过 M 作 MD⊥l 于 D,抛物线的集合为: p={M||MF|=|MD|}.

化简得:y2=2px+p2(p>0). 方案 3:(由第三、四组同学完成,请一优等生演板.)

取过焦点 F 且垂直于准线 l 的直线为 x 轴,x 轴与 l 交于 K,以线段 KF 的垂直平分线为 y 轴,建立直角坐 标系(图 2-32).

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抛物线上的点 M(x,y)到 l 的距离为 d,抛物线是集合 p={M||MF|=d}.

化简后得:y2=2px(p>0). 比较所得的各个方程,应该选择哪些方程作为抛物线的标准方程呢? 引导学生分析出:方案 3 中得出的方程作为抛物线的标准方程.这是因为这个方程不仅具有较简的形式, 而方程中的系数有明确的几何意义:一次项系数是焦点到准线距离的 2 倍. 由于焦点和准线在坐标系下的不同分布情况,抛物线的标准方程有四种情形(列表如下):

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将上表画在小黑板上,讲解时出示小黑板,并讲清为什么会出现四种不同的情形,四种情形中 P>0;并 指出图形的位置特征和方程的形式应结合起来记忆.即:当对称轴为 x 轴时,方程等号右端为±2px,相应地左 端为 y2;当对称轴为 y 轴时,方程等号的右端为±2py,相应地左端为 x2.同时注意:当焦点在正半轴上时, 取正号;当焦点在负半轴上时,取负号. (四)四种标准方程的应用 例题:(1)已知抛物线的标准方程是 y2=6x,求它的焦点坐标和准线方程; (2)已知抛物线的焦点坐标是 F(0,-2),求它的标准方程.

方程是 x2=-8y.
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练习:根据下列所给条件,写出抛物线的标准方程: (1)焦点是 F(3,0);

(3)焦点到准线的距离是 2. 由三名学生演板,教师予以订正.答案是:(1)y2=12x;(2)y2=-x;(3)y2=4x,y2=-4x,x2=4y,x2=-4y. 这时,教师小结一下:由于抛物线的标准方程有四种形式,且每一种形式中都只含一个系数 p,因此只要 给出确定 p 的一个条件,就可以求出抛物线的标准方程.当抛物线的焦点坐标或准线方程给定以后,它的标准 方程就唯一确定了;若抛物线的焦点坐标或准线方程没有给定,则所求的标准方程就会有多解. (五)小结 本次课主要介绍了抛物线的定义,推导出抛物线的四种标准方程形式,并加以运用. 五、布置作业

到准线的距离是多少?点 M 的横坐标是多少? 2.求下列抛物线的焦点坐标和准线方程: (1)x2=2y;(2)4x2+3y=0; (3)2y2+5x=0;(4)y2-6x=0. 3.根据下列条件,求抛物线的方程,并描点画出图形: (1)顶点在原点,对称轴是 x 轴,并且顶点与焦点的距离等于 6; (2)顶点在原点,对称轴是 y 轴,并经过点 p(-6,-3). 4.求焦点在直线 3x-4y-12=0 上的抛物线的标准方程. 作业答案:

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3.(1)y2=24x,y2=-2x (2)x2=-12y(图略) 4.分别令 x=0,y=0 得两个焦点 F1(0,-3),F2(4,0),从而可得抛物线方程为 x2=-12y 或 y2=16x 抛物线的几何性质

一、教学目标 (一)知识教学点 使学生理解并掌握抛物线的几何性质,并能从抛物线的标准方程出发,推导这些性质. (二)能力训练点 从抛物线的标准方程出发,推导抛物线的性质,从而培养学生分析、归纳、推理等能力. (三)学科渗透点 使学生进一步掌握利用方程研究曲线性质的基本方法,加深对直角坐标系中曲线方程的关系概念的理解, 这样才能解决抛物线中的弦、最值等问题. 二、教材分析 1.重点:抛物线的几何性质及初步运用. (解决办法:引导学生类比椭圆、双曲线的几何性质得出.) 2.难点:抛物线的几何性质的应用.
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(解决办法:通过几个典型例题的讲解,使学生掌握几何性质的应用.) 3.疑点:抛物线的焦半径和焦点弦长公式. (解决办法:引导学生证明并加以记忆.) 三、活动设计 提问、填表、讲解、演板、口答. 四、教学过程 (一)复习 1.抛物线的定义是什么? 请一同学回答.应为:“平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.” 2.抛物线的标准方程是什么? 再请一同学回答. 应为:抛物线的标准方程是 y2=2px(p>0),y2=-2px(p>0),x2=2py(p>0)和 x2=-2py(p >0). 下面我们类比椭圆、双曲线的几何性质,从抛物线的标准方程 y2=2px(p>0)出发来研究它的几何性质. (二)几何性质 怎样由抛物线的标准方程确定它的几何性质?以 y2=2px(p>0)为例,用小黑板给出下表,请学生对比、 研究和填写.

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填写完毕后,再向学生提出问题:和椭圆、双曲线的几何性质相比,抛物线的几何性质有什么特点? 学生和教师共同小结: (1)抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它也可以无限延伸,但是没有渐近线. (2)抛物线只有一条对称轴,这条对称轴垂直于抛物线的准线或与顶点和焦点的连线重合,抛物线没有中 心. (3)抛物线只有一个顶点,它是焦点和焦点在准线上射影的中点. (4)抛物线的离心率要联系椭圆、双曲线的第二定义,并和抛物线的定义作比较.其结果是应规定抛物线 的离心率为 1.注意:这样不仅引入了抛物线离心率的概念,而且把圆锥曲线作为点的轨迹统一起来了. (三)应用举例 为了加深对抛物线的几何性质的认识,掌握描点法画图的基本方法,给出如下例 1. 例1 已知抛物线关于 x 轴对称,它的顶点在坐标原点,并且经过点

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解:因为抛物线关于 x 轴对称,它的顶点在坐标原点,并且经过点

程是 y2=4x. 后一部分由学生演板,检查一下学生对用描点法画图的基本方法掌握情况.

第一象限内的几个点的坐标,得:

(2)描点作图 描点画出抛物线在第一象限内的一部分,再利用对称性,就可以画出抛物线的另一部分(如图 2-33).

例 2 已知抛物线的顶点在原点,对称轴是 x 轴,抛物线上的点 M(-3,m)到焦点的距离等于 5,求抛物 线的方程和 m 的值.

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解法一:由焦半径关系,设抛物线方程为 y2=-2px(p>0),则准线方

因为抛物线上的点 M(-3,m)到焦点的距离|MF|与到准线的距离

得 p=4. 因此,所求抛物线方程为 y2=-8x. 又点 M(-3,m)在此抛物线上,故 m2=-8(-3).

解法二:由题设列两个方程,可求得 p 和 m.由学生演板.由题意

在抛物线上且|MF|=5,故

本例小结: (1)解法一运用了抛物线的重要性质:抛物线上任一点到焦点的距离(即此点的焦半径)等于此点到准线的 距离.可得焦半径公式:设 P(x0,

这个性质在解决许多有关焦点的弦的问题中经常用到,因此必须熟练掌握.

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(2)由焦半径不难得出焦点弦长公式:设 AB 是过抛物线焦点的一条弦(焦点弦),若 A(x1,y1)、B(x2,y2) 则有|AB|=x1+x2+p.特别地:当 AB⊥x 轴,抛物线的通径|AB|=2p(详见课本习题). 例 3 过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F 的一条直线与这抛物线相交于 A、B 两点,且 A(x1,y1)、B(x2, y2)(图 2-34).

证明:

(1)当 AB 与 x 轴不垂直时,设 AB 方程为:

此方程的两根 y1、y2 分别是 A、B 两点的纵坐标,则有 y1y2=-p2.

或 y1=-p,y2=p,故 y1y2=-p2. 综合上述有 y1y2=-p2 又∵A(x1,y1)、B(x2,y2)是抛物线上的两点,

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本例小结: (1)涉及直线与圆锥曲线相交时,常把直线与圆锥曲线方程联立,消去一个变量,得到关于另一变量的一 元二次方程,然后用韦达定理求解,这是解决这类问题的一种常用方法. (2)本例命题 1 是课本习题中结论,要求学生记忆. (四)练习 1.过抛物线 y2=4x 的焦点作直线交抛物线于 A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,若 x1+x2=6,求|AB|的值. 由学生练习后口答.由焦半径公式得:|AB|=x1+x2+p=8 2.证明:与抛物线的轴平行的直线和抛物线只有一个交点. 请一同学演板,其他同学练习,教师巡视.证明:可设抛物线方程

故抛物线 y2=2px 与平行于其轴的直线只有一个交点. (五)全课小结 1.抛物线的几何性质; 2.抛物线的应用. 五、布置作业 1.在抛物线 y2=12x 上,求和焦点的距离等于 9 的点的坐标. 2.有一正三角形的两个顶点在抛物线 y2=2px 上,另一顶点在原点,求这个三角形的边长.

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3.图 2-35 是抛物线拱桥的示意图,当水面在 l 时,拱顶高水面 2m,水面宽 4m,水下降 11m 后,水面宽 多少?

4.求证:以抛物线的焦点弦为直径的圆,必与抛物线的准线相切. 作业答案:

3.建立直角坐标系,设拱桥的抛物线方程为 x2=-2py,可得抛物线

4.由抛物线的定义不难证明 求曲线的轨迹方程

一、教学目标 (一)知识教学点 使学生掌握常用动点的轨迹以及求动点轨迹方程的常用技巧与方法.(二)能力训练点 通过对求轨迹方程的常用技巧与方法的归纳和介绍,培养学生综合运用各方面知识的能力. (三)学科渗透点 通过对求轨迹方程的常用技巧与方法的介绍,使学生掌握常用动点的轨迹,为学习物理等学科打下扎实的 基础. 二、教材分析 1.重点:求动点的轨迹方程的常用技巧与方法.

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(解决办法:对每种方法用例题加以说明,使学生掌握这种方法.)2.难点:作相关点法求动点的轨迹方 法. (解决办法:先使学生了解相关点法的思路,再用例题进行讲解.) 三、活动设计 提问、讲解方法、演板、小测验. 四、教学过程 (一)复习引入 大家知道,平面解析几何研究的主要问题是: (1)根据已知条件,求出表示平面曲线的方程; (2)通过方程,研究平面曲线的性质. 我们已经对常见曲线圆、椭圆、双曲线以及抛物线进行过这两个方面的研究,今天在上面已经研究的基础 上来对根据已知条件求曲线的轨迹方程的常见技巧与方法进行系统分析. (二)几种常见求轨迹方程的方法 1.直接法 由题设所给(或通过分析图形的几何性质而得出)的动点所满足的几何条件列出等式,再用坐标代替这等 式,化简得曲线的方程,这种方法叫直接法. 例 1(1)求和定圆 x2+y2=k2 的圆周的距离等于 k 的动点 P 的轨迹方程;

(2)过点 A(a,o)作圆 O∶x2+y2=R2(a>R>o)的割线,求割线被圆 O 截得弦的中点的轨迹. 对(1)分析: 动点 P 的轨迹是不知道的,不能考查其几何特征,但是给出了动点 P 的运动规律:|OP|=2R 或|OP|=0. 解:设动点 P(x,y),则有|OP|=2R 或|OP|=0. 即 x2+y2=4R2 或 x2+y2=0.

故所求动点 P 的轨迹方程为 x2+y2=4R2 或 x2+y2=0.

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对(2)分析: 题设中没有具体给出动点所满足的几何条件,但可以通过分析图形的几何性质而得出,即圆心与弦的中点 连线垂直于弦,它们的斜率互为负倒数.由学生演板完成,解答为: 设弦的中点为 M(x,y),连结 OM, 则 OM⊥AM. ∵kOM?kAM=-1,

其轨迹是以 OA 为直径的圆在圆 O 内的一段弧(不含端点). 2.定义法 利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接写出所求的动点的轨迹方程,这 种方法叫做定义法.这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的条件,或利用平面几 何知识分析得出这些条件.

直平分线 l 交半径 OQ 于点 P(见图 2-45),当 Q 点在圆周上运动时,求点 P 的轨迹方程.

分析: ∵点 P 在 AQ 的垂直平分线上, ∴|PQ|=|PA|.

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又 P 在半径 OQ 上. ∴|PO|+|PQ|=R,即|PO|+|PA|=R. 故 P 点到两定点距离之和是定值,可用椭圆定义 写出 P 点的轨迹方程. 解:连接 PA ∵l⊥PQ,∴|PA|=|PQ|. 又 P 在半径 OQ 上. ∴|PO|+|PQ|=2.

由椭圆定义可知:P 点轨迹是以 O、A 为焦点的椭圆.

3.相关点法 若动点 P(x,y)随已知曲线上的点 Q(x0,y0)的变动而变动,且 x0、y0 可用 x、y 表示,则将 Q 点坐标表 达式代入已知曲线方程,即得点 P 的轨迹方程.这种方法称为相关点法(或代换法). 例 3 已知抛物线 y2=x+1,定点 A(3,1)、B 为抛物线上任意一点,点 P 在线段 AB 上,且有 BP∶PA=1∶ 2,当 B 点在抛物线上变动时,求点 P 的轨迹方程. 分析: P 点运动的原因是 B 点在抛物线上运动,因此 B 可作为相关点,应先找出点 P 与点 B 的联系. 解:设点 P(x,y),且设点 B(x0,y0)

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∵BP∶PA=1∶2,且 P 为线段 AB 的内分点.

4.待定系数法 求圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方程常用待定系数法求. 例4 已知抛物线 y2=4x 和以坐标轴为对称轴、实轴在 y 轴上的双曲

曲线方程. 分析: 因为双曲线以坐标轴为对称轴,实轴在 y 轴上,所以可设双曲线方

158

ax2-4b2x+a2b2=0 ∵抛物线和双曲线仅有两个公共点,根据它们的对称性,这两个点的横坐标应相等,因此方程 ax2-4b2x+a2b2=0 应有等根.

∴△=1664-4Q4b2=0,即 a2=2b. (以下由学生完成)

由弦长公式得:

即 a2b2=4b2-a2.

(三)巩固练习 用十多分钟时间作一个小测验,检查一下教学效果.练习题用一小黑板给出. 1.△ABC 一边的两个端点是 B(0,6)和 C(0,-6),另两边斜率的

2.点 P 与一定点 F(2,0)的距离和它到一定直线 x=8 的距离的比是 1∶2,求点 P 的轨迹方程,并说明轨 迹是什么图形? 3.求抛物线 y2=2px(p>0)上各点与焦点连线的中点的轨迹方程.

159

答案:

义法)

由中点坐标公式得:

(四)小结 求曲线的轨迹方程一般地有直接法、定义法、相关点法、待定系数法,还有参数法、复数法也是求曲线的 轨迹方程的常见方法,这等到讲了参数方程、复数以后再作介绍. 五、布置作业 1.两定点的距离为 6,点 M 到这两个定点的距离的平方和为 26,求点 M 的轨迹方程. 2.动点 P 到点 F1(1,0)的距离比它到 F2(3,0)的距离少 2,求 P 点的轨迹. 3.已知圆 x2+y2=4 上有定点 A(2,0),过定点 A 作弦 AB,并延长到点 P,使 3|AB|=2|AB|,求动点 P 的轨 迹方程.作业答案:

160

1. 以两定点 A、 所在直线为 x 轴, B 线段 AB 的垂直平分线为 y 轴建立直角坐标系, 得点 M 的轨迹方程 x2+y2=4 2.∵|PF2|-|PF|=2,且|F1F2|∴P 点只能在 x 轴上且 x<1,轨迹是一条射线

点、直线与圆锥曲线的位置关系

一、教学目标 (一)知识教学点 使学生掌握点、直线与圆锥曲线的位置及其判定,重点掌握直线与圆锥曲线相交的有关问题. (二)能力训练点 通过对点、直线与圆锥曲线的位置关系的研究,培养学生综合运用直线、圆锥曲线的各方面知识的能力. (三)学科渗透点 通过点与圆锥曲线的位置及其判定,渗透归纳、推理、判断等方面的能力.
161

二、教材分析 1.重点:直线与圆锥曲线的相交的有关问题. (解决办法:先引导学生归纳出直线与圆锥曲线的位置关系,再加以应用.) 2.难点:圆锥曲线上存在关于直线对称的两点,求参数的取值范围. (解决办法:利用判别式法和内点法进行讲解.) 3.疑点:直线与圆锥曲线位置关系的判定方法中△=0 不是相切的充要条件. (解决办法:用图形向学生讲清楚这一点.) 三、活动设计 四、教学过程 (一)问题提出 1.点 P(x0,y0)和圆锥曲线 C:f(x,y)=0 有哪几种位置关系?它们的条件是什么? 引导学生回答,点 P 与圆锥曲线 C 的位置关系有:点 P 在曲线 C 上、点 P 在曲线 C 内部(含焦点区域)、点 P 在曲线的外部(不含焦点的区域).那么这三种位置关系的条件是什么呢?这是我们要分析的问题之一. 2.直线 l:Ax+By+C=0 和圆锥曲线 C:f(x,y)=0 有哪几种位置关系? 引导学生类比直线与圆的位置关系回答.直线 l 与圆锥曲线 C 的位置关系可分为:相交、相切、相离.那 么这三种位置关系的条件是什么呢?这是我们要分析的问题之二. (二)讲授新课 1.点 M(x0,y0)与圆锥曲线 C:f(x,y)=0 的位置关系

的焦点为 F1、F2,y2=2px(p>0)的焦点为 F,一定点为 P(x0,y0),M 点到抛物线的准线的距离为 d,则 有: (由教师引导学生完成,填好小黑板)

162

上述结论可以利用定比分点公式,建立两点间的关系进行证明. 2.直线 l∶Ax+Bx+C=0 与圆锥曲线 C∶f(x,y)=0 的位置关系: 直线与圆锥曲线的位置关系可分为:相交、相切、相离.对于抛物线来说,平行于对称轴的直线与抛物线 相交于一点,但并不是相切;对于双曲线来说,平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点,但并不相切.这 三种位置关系的判定条件可引导学生归纳为:

注意:直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件,但不是充分条件. 3.应用

163

求 m 的取值范围. 解法一:考虑到直线与椭圆总有公共点,由直线与圆锥曲线的位置关系的充要条件可求. 由一名同学演板.解答为: 由椭圆方程及椭圆的焦点在 x 轴上,知:0<m<5.



∵直线与椭圆总有公共点,

即(10k)2-4x(m+5k2)?5(1-m)≥0, 亦即 5k2≥1-m 对一切实数 k 成立. ∴1-m≤0,即 m≥1. 故 m 的取值范围为 m∈(1,5). 解法二:由于直线过定点(0,1),而直线与椭圆总有公共点,所以定点(0,1)必在椭圆内部或边界上,由 点与椭圆的位置关系的充要条件易求. 另解: 由椭圆方程及椭圆的焦点在 x 轴上知:0<m<5. 又∵直线与椭圆总有公共点. ∴ 直线所经过的定点(0,1)必在椭圆内部或边界上.

故 m 的取值范围为 m∈(1,5), 小结:解法一由直线与圆锥曲线的位置关系的充要条件求,思路易得,但计算量大;解法二由点与圆锥曲 线的位置关系的充要条件求,思路灵活,且简捷.

164

称,求 m 的取值范围. 解法一:利用判别式法.

并整理得:

∵直线 l′与椭圆 C 相交于两点,

解法二:利用内点法. 设两对称点为 P1(x1,y1),P2(x2,y2),P1P2 的中点为 M(x0,y0),
165

∴y1+y2=3(x1+x2).(1)

小结:本例中的判别式法和内点法,是解决圆锥曲线上存在两点关于直线的对称的一般方法,类似可解抛 物线、双曲线中的对称问题. 练习 1:(1)直线过点 A(0,1)且与抛物线 y2=x 只有一个公共点,这样的直线有几条? (2)过点 P(2,0)的直线 l 与双曲线 x2-y2=1 只有一个公共点,这样的直线有几条? 由学生练习后口答:(1)3 条,两条切线和一条平行于 x 轴的直线;(2)2 条,注意到平行于渐近线的直线 与双曲线只有一个交点,故这样的直线也只有 2 条.

166

练习 2:求曲线 C∶x2+4y2=4 关于直线 y=x-3 对称的曲线 C′的方程. 由教师引导方法,学生演板完成.解答为: 设(x′,y′)是曲线 C 上任意一点,且设它关于直线 y=x-3 的对称点为(x,y).

又(x′,y′)为曲线 C 上的点, ∴(y+3)2+4(x-3)2=4. ∴曲线 C 的方程为:4(x-3)2+(y+3)2=4. (三)小结 本课主要研究了点、直线与圆锥曲线的三种位置关系及重要条件. 五、布置作业

的值. 2.k 取何值时,直线 y=kx 与双曲线 4x2-y2=16 相交、相切、相离? 3.已知抛物线 x=y2+2y 上存在关于直线 y=x+m 对称的相异两点,求 m 的取值范围. 作业答案: 1.由弦长公式易求得:k=-4

当 4-k2=0,k=±2, y=±2x 为双曲线的渐近线,直线与双曲线相离 当 4-k2≠0 时,△=4(4-k2)?(-6)
167

(1)当△>0,即-2<k<2 时,直线与双曲线有两个交点 (2)当△<0,即 k<-2 或 k>2 时,直线与双曲线无交点 (3)当△=0,即 k=±2 时,为渐近线,与双曲线不相切 故当-2<k<2 时,直线与双曲线相交 当 k≤-2 或 k≥2 时,直线与双曲线相离

圆锥曲线教案 对称问题教案

教学目标 1.引导学生探索并掌握解决中心对称及轴对称问题的解析方法. 2.通过对称问题的研究求解,进一步理解数形结合的思想方法,提高分析问题和解决问题的能力. 3.通过对称问题的探讨,使学生会进一步运用运动变化的观点,用转化的思想来处理问题. 教学重点与难点 两曲线关于定点和定直线的对称知识方法是重点.把数学问题转化为对称问题,即用对称观点解决实际问 题是难点. 教学过程 师:前面学过了几种常见的曲线方程,并讨论了曲线的性质.今天这节课继续讨论有关对称的问题.大家 想一想:点 P(x,y)、P′(x′,y′)关于点 Q(x0,y0)对称,那么它们的坐标应满足什么条件?

师:P(x,y),P′(x′,y′)关于原点对称,那么它们的坐标满足什么条件? 生:P 和 P′的中点是原点.即 x=-x′且 y=-y′. 师:若 P 和 P′关于 x 轴对称,它们的坐标又怎样呢? 生:x=x′且 y=-y′.

168

师:若 P 和 P′关于 y 轴对称,它们的坐标有什么关系? 生:y=y′且 x=-x′. 师:若 P 和 P′关于直线 y=x 对称,它们的坐标又会怎样? 生:y=x′且 x=y′.

生:它们关于直线 y=x 对称. 师:若 P 与 P′关于直线 Ax+By+C=0 对称,它们在位置上有什么特征? 生:P 和 P′必须在直线 Ax+By+C=0 的两侧. 师:还有补充吗? 生:PP′的连线一定与直线 Ax+By+C=0 垂直. 师:P 与 P′在直线 Ax+By+C=0 的两侧且与直线垂直就能对称了吗? 生:还需要保证 P 和 P′到直线 Ax+By+C=0 的距离相等. 师:P 与 P′到直线 Ax+By+C=0 的距离相等的含义是什么? 生:就是 P 与 P′的中点落在直线 Ax+By+C=0 上,换句话说 P 与 P′的中点坐标满足直线方程 Ax+By+C=0. 师:下面谁来总结一下,两点 P(x,y)、P′(x′,y′)关于直线 Ax+By+C=0 对称应满足的条件? 生:应满足两个条件.第一个条件是 PP′的连线垂直于直线 Ax+By+C=0,第二个条件是 P,P′的中点应 落在直线 Ax+By+C=0 上. 师:这两个条件能否用方程表示呢? (在黑板上可画出图形(如图 2-72),可直观些)

169

生:方程组:

师:这个方程组成立说明了什么?它能解决什么问题? 生:方程组中含有 x′,y′,也可认为这是一个含 x′,y′的二元一次方程组.换句话说,给定一个点 P(x,y)和一条定直线 Ax+By+C=0,可以求出 P 点关于直线 Ax+By+C=0 的对称点 P′(x′,y′)的坐标. 师:今后有很多有关对称问题都可以用此方法处理,很有代表性.但也还有其他方法,大家一起看下面的 例题. 例1 已知直线 l1 和 l2 关于直线 2x-2y+1=0 对称(如图 2-73),若 l1 的方程是 3x-2y+1=0,求 l2 的方程.

(选题目的:熟悉对称直线方程) 师:哪位同学有思路请谈谈. 生:先求出已知两直线的交点,设 l2 的斜率为 k,由两条直线的夹角公式可求出 k,再用点斜式求得 l2 的 方程. (让这位同学在黑板上把解题的过程写出来,大家订正.)

170

由点斜式,l2 的方程为 4x-6y+3=0. 师:还有别的解法吗? 生:在直线 l1 上任取一点,求出这点关于 2x-2y+1=0 对称的点,然后再利用交点,两点式可求出 l2 的直 线方程。 (让这位学生在黑板上把解题过程写出来,如有错误,大家订正.) 解 由方程组:

171

师:还有别的解法吗? 生:在 l2 上任取一点 P(x,y),则 P 点关于 2x-2y+1=0 对称的点 P′(x′,y′)在 l1 上,列出 P,P′的方 程组,解出 x′,y′,代入 l1 问题就解决了. 师:请你到黑板上把解题过程写出来. 解 设 P(x,y)为 l2 上的任意一点,

则 P 点关于直线 2x-2y+1=0 对称,点 P′(x′,y′)在 l1 上(如图 2-75),

又因为 P′(x′,y′)在直线 l1:3x-2y+1=0 上, 所以 3?x′-2y′+1=0.

172

即 l2 的方程为:4x-6y+3=0. 师:很好,大家刚才的几种解法是求对称直线方程的常规方法.那么,如果把 l1 改为曲线,怎样求曲线关 于一条直线对称的曲线方程呢? 引申:已知:曲线 C:y=x ,求它关于直线 x-y-2=0 对称的曲线方程. (选题目的:进一步熟悉对称曲线方程的一般方法.) 师:例 1 中的几种解法还都适用吗? 生:第二种和第三种方法还能适用. 师:谁来试一试? 生:可先在 y=x 上任取一点 P0(x0,y0),它关于直线的对称点 P′(x1,y1),可得它们的交点,从中解出 x0, 2 y0 代入曲线 y=x 即可(如图 2-76).
2 2

(让学生把他的解法写出来.) 解 设 P0(x0,y0)是曲线 C:y=x 上任意一点,它关于直线 x-y-2=0 对称的点为 P′(x1,y1),因此,连结 P0(x0,y0)和 P′(x1,y1)两点的直线方程为 y-y0=-(x-x0).
2

师:还有不同的方法吗? 生:用两点关于直线对称的方法也能解决.

173

师:把你的解法写在黑板上. 生:解:设 M(x,y)为所求的曲线上任一点,M0(x0,y0)是 M 关于直线 x-y-2=0 对称的点,所以 M0 定在曲线 2 C:y=x 上.

代入 C 的方程可得 x=4y +4y+6. 师:大家再看一个例子.

2

点出发射到 x 轴上后,沿圆的切线方向反射,求这条光线从 A 点到切点所经过的路程.(如图 2-77)

师:解这题的关键是什么? 生:关键是找到 x 轴的交点. 师:有办法找到交点吗? 生:没人回答. 师:交点不好找,那么我们先假设 M 就是交点,利用交点 M 对解决这个问题有什么帮助吗? 生:既然 AM 是入射光线,MD 为反射光线,D 为切点,这样入射角就等于反射角,从而能推出∠AMO=∠DMx. 师:我们要求|AM|+|MD|能解决吗? 生:可以先找 A 关于 x 轴的对称点 A′(0,-2),由对称的特征知:|AM|=|A′M|,这样把求|AM|+|MD|就 可以转化为|A′M|+|MD|即|A′D|.

174

师:|A′D|怎么求呢? 生:|A′D|实际上是过 A′点到圆切线的长,要求切线长,只需先连结半径 CD,再连结 A′C,在 Rt△A′ CD,|CD|和|A′C|都已知,|AD|就可以得到了.(如图 2-77) (让这位学生把解答写在黑板上.) 解 已知点 A 关于 x 轴的对称点为 A′(0,-2),所求的路程即为

师:巧用对称性,化简了计算,很好.哪位同学能把这个题适当改一下,变成另一个题目. 生:若已知 A(0,2),D(4,1)两定点,在 x 轴上,求一点 P,使得|AP|+|PD|为最短. 师:谁能解答这个问题? 生:先过 A(0,2)关于 x 轴的对称点 A′(0,-2), 连结 A′D 与 x 轴相交于点 P,P 为所求(如图 2-78).

师:你能保证|AP|+|PD|最短吗? 生:因为 A,A′关于 x 轴对称,所以|AP|=|A′P|,这时|AP|+|PD|=|A′D|为线段,当 P 点在 x 轴其他位 置上时, 如在 P′处, 那么, 连结 AP′、 A′P′和 P′D. 这时|AP′|+|P′D|=|A′P|+|P′D|>|A′D|. 理由(三 角形两边之和大于第三边).所以|A′D|为最短.即 P 为所求. 师:这题还能不能再做些变形,使之成为另一个题目?

175

x 轴和圆 C 上的动点,求|AM|+|MP|的最小值. 师:哪位同学能够解决? 生:先作 A 点关于 x 轴的对称点 A′(0,-2),连结 A′和圆心 C,A′C 交 x 轴于 M 点,交圆于 P 点,这时 |AM|+|MP|最小(如图 2-79).

师:你怎样想到先找 A 点关于 x 轴的对称点 A′的呢? 生:由前题的结论可知,把 AM 线段搬到 x 轴下方,尽可能使它们成为直线,这样|A′M|+|MP|最小. 师:很好,大家一起动笔算一算(同时让这位学生上前面书写). 生:解 A 点关于 x 轴的对称点为 A′(0,-2),连 A′C 交 x 轴于 M,交圆 C 于 P 点,因为 A′(0,-2),C(6, 4),所以|A′C|=

师:我们一起看下面的问题. 例3 若抛物线 y=a?x -1 上总存在关于直线 x+y=0 对称的两点,求 a 的范围.
2

师:这题的思路是什么? 生:如图 2-80,设 A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线上关于直线 x=-

176

师:很好,谁还有不同的解法吗? 生:曲线 y=ax -1 关于直线 x+y=0 对称曲线方程为:-x=ay -1,解方
2 2

师:今天我们讨论了有关点,直线,曲线关于定点,定直线,对称的问题.解决这些问题的关键所在就是 牢固掌握灵活运用两点关于定直线对称的思想方法,结合图象利用数形结合思想解决问题. 作业: 1.一个以原点为圆心的圆与圆:x +y +8x-4y=0 关于直线 l 对称,求直线 l 的方程. (2x-y+5=0) 2.ABCD 是平行四边形,已知点 A(-1,3)和 C(-3,2),点 D 在直线 x-3y-1=0 上移动,则点 B 的轨迹方程 是 ______. (x-3y+20=0)
2 2

3.若光线从点 A(-3,5)射到直线 3x-4y+4=0 之后,反射到点 B(3, 9),则此光线所经过的路程的长是______. (12)
177

4.已知曲线 C:y=-x +x+2 关于点(a,2a)对称的曲线是 C′,若 C 与 C′有两个不同的公共点,求 a 的取 值范围.(-2<a<1)

2

设计说明 1.这节课是一节专题习题课,也可以认为是复习题,通过讨论对称问题把有关的知识进行复习,最重要 的是充分突出以学生为主体.让学生讨论和发言,就是让学生参加到数学教学中来,使学生兴趣盎然,思维活 跃,同时对自己也充满了信心.这样,才有利于发挥学生的主动性,有利于培养学生的独立思考的习惯,发展 学生的创造性和思维能力.因此,在数学教学中要有一定的时间让学生充分地发表自己的见解,从而来提高他 们的兴趣,发展他们的能力. 2.这节课自始至终贯穿数形结合的数学思想,让学生在脑海里留下一个深刻的印象,就是对称问题,归 根结底都可以化成点关于直线的对称问题,即可用方程组去解决.反过来,一直线与一曲线的方程组消元后得 到一元二次方程,若这二次方程的判别式大于零,也可得直线与曲线有两个交点,这种从形到数,再由数到形 的转化为我们处理解析几何问题带来了便利.在解题时,只有站在一定的高度上去处理问题,思路才能开阔, 方法才能灵活,学生的能力才能真正的得到培养,同时水平才能提高得较快. 3.习题课的一个中心就是解题,怎样才能让学生做尽可能少的题,从而让学生掌握通理通法,这是一个 值得研究和探讨的问题.本节课采取了让学生把题目进行一题多变,一题多解,从中使学生悟出一些解题办法 和规律,从而达到尽可能做少量的题,而达到获取尽可能多的知识、方法和规律的目的,真正提高学生的分析 问题、提出问题、解决问题的能力.解决当前学生课业负担过重的问题,根除题海战术给学生带来的危害. 4.本课的例题选择可根据自己所教学生的实际情况,下面几个备用题可供参考. 题目 1 过圆 O:x +y =4 与 y 轴正半轴的交点 A 作这圆的切线 l,M 为 l 上任一点,过 M 作圆 O 的另一条切 线,切点为 Q,求点 M 在直线 l 上移动时,△MAQ 垂心的轨迹方程. (选题目的:熟练用代入法求动点的轨迹方程,活用平几简化计算.) 解 如图 2-81 所示.P 为△AMQ 的垂心,连 OQ,则四边形 AOQP 为菱形,所以|PQ|=|OA|=2,设 P(x1,y1), Q(x0,y0).于是有 x0=x1 且
2 2

178

题目 2 若抛物线 y=x 上存在关于直线 y=m(x-3)对称的两点,求实数 m 的取值范围. 解 (如图 2-82)设抛物线上两点 A(x1,y1),B(x2,y2)关于直线

2

(选题目的:结合对称问题,训练反证法的应用.) 此题证法很多.下面给一种证法供参考. 证明 如图 2-83,若 P、Q 两点关于 y=x 对称,可设 P(a,b)、

179

5.本教案作业 4,5 题的参考解答: 4 题.解设 P(x,y)是曲线 y=-x +x+2 上任一点,它关于点(a,2a)的对称点是 P′(x0,y0),则 x=2a-x0, 2 2 y=4a-y0,代入抛物线 C 的方程便得到了 C′的方程:y=x +(1-4a)x+(4a +2a-2).联立曲线 C 与 C′的方程并消 2 2 去 y 得:x -2ax+2a +a-2=0,由Δ >0 得-2<a<1. 5 题略解:如图 2-84,F1(-5,2),F2(-1,2),F1 关于直线 x-y=1 的对称点为 F1(3,-6),直线 F1F2 的方程 为 2x+y=0,代入 x-y=1 解得,
2

与圆锥曲线有关的几种典型题

180

一、教学目标 (一)知识教学点 使学生掌握与圆锥曲线有关的几种典型题,如圆锥曲线的弦长求法、与圆锥曲线有关的最值(极值)问题、 与圆锥曲线有关的证明问题以及圆锥曲线与圆锥曲线相交问题等. (二)能力训练点 通过对圆锥曲线有关的几种典型题的教学,培养学生综合运用圆锥曲线知识的能力. (三)学科渗透点 通过与圆锥曲线有关的几种典型题的教学,使学生掌握一些相关学科中的类似问题的处理方法. 二、教材分析 1.重点:圆锥曲线的弦长求法、与圆锥曲线有关的最值(极值)问题、与圆锥曲线有关的证明问题. (解决办法:先介绍基础知识,再讲解应用.) 2.难点:双圆锥曲线的相交问题. (解决办法:要提醒学生注意,除了要用一元二次方程的判别式,还要结合图形分析.) 3.疑点:与圆锥曲线有关的证明问题. (解决办法:因为这类问题涉及到线段相等、角相等、直线平行、垂直的证明方法,以及定点、定值问题 的判断方法,所以比较灵活,只能通过一些例题予以示范.) 三、活动设计 演板、讲解、练习、分析、提问. 四、教学过程 (一)引入 与圆锥曲线有关的几种典型题,如圆锥曲线的弦长求法、与圆锥曲线有关的最值(极值)问题、与圆锥曲线 有关的证明问题以及圆锥曲线与圆锥曲线有关的证明问题等,在圆锥曲线的综合应用中经常见到,为了让大家 对这方面的知识有一个比较系

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