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1.3简单曲线的极坐标方程hao


三、简单曲线的极坐标方程

在平面直角坐标系中,平面曲线C 可以用方程f(?,?)=0表示。曲线和方程 满足如下关系: (1)曲线C上任一点的坐标(所有坐标中 至少有一个)符合方程f(?,?)=0 ; (2)方程f(?,?)=0的所有解为坐标的点都 在曲线C上。 那么,在极坐标系中,平面曲线是否 可应用方程f(?,?)=0 表示呢?

1.圆的极坐标方程

探 究
如图,半径为a的圆的圆心坐标为 (a,0)(a>0),你能用一个等式表示 圆上任意一点的极坐标(?,?)满足 的条件? M (?,?)
?

O

?

C(a,0)

A

x

问题1:圆O的半径为r,怎样建立极坐标系, 使圆 P ( ? ?? ) 的极坐标方程最简单?

特殊位置的圆的极坐标方程
? ?r
r · O

?

x

问题2:求半径为a,圆心坐标为 (a ,0)(a ? 0)的圆的 P ( ? ?? ) 极坐标方程.

? ? 2a cos?

问题3:求半径为a,圆心坐标为 (a , ) 2 P ( ? ?? ) ? (a ? 0)的圆的极坐标方程. M (a , ) · ?

?

? · O M (a,0)

?

x

? ? 2a sin?

2

?

O

x

题组练习1 求下列圆的极坐标方程 (1)中心在极点,半径为2;

?=2

(2)中心在C(a,0),半径为a;

?=2acos ? ?=2asin ?

(3)中心在(a,?/2),半径为a; (4)中心在C(?0,?0),半径为r。 ?2+ ?0 2 -2 ? ?0 cos( ?- ?0)= r2

问题4:求过点A( ? 0 ,? 0 )为圆心,r为半径的圆 的极坐标方程.
P ( ? ?? )

一般的圆的极坐标方程
2 2

? ? ?0 ? 2?0 ? cos( ? ? ?0 ) ? r 2
(1)? 0 = 0,? 0 ? r ? a时,? ? 2a cos? ( 2)? 0 = ,? 0 ? r ? a时,? ? 2a sin? 2 (3)? 0 = 0,? 0 ? 0时,? ? r

r
?
? ?0

M ( ? 0 ?? 0 )

?0

?

2.直线的极坐标方程

新课引入: 思考:在平面直角坐标系中 1、过点(3,0)且与x轴垂直的直线方程 为 x=3 ; 过点(3,3)且与x轴垂直的直线方程 为 x=3 2、过点(a,b)且垂直于x轴的直线 x=a 方程为_______ 特点:所有点的横坐标都是一样, 纵坐标可以取任意值。

怎样求直线的极坐标方程?

答:与直角坐标系里的情况一样,求 直线的极坐标方程就是找出直线上动 点P的坐标?与?之间的关系,然后列 出方程?(?,?)=0 ,再化简并讨论。

过极点的直线的极坐标方程
问题1:求过极点,倾斜角为 的射线的极坐标方程 . 4 ?

?

??

5? 问题2:求过极点,倾斜角为 的射线的极坐标方程 . 4 5? 问题3:求过极点,倾斜角为 的直线的极坐标方程. 4 ? 5? ? 5? ? ? 或? ? ( ? ? 0) ? ? ( ? ? R) ?? ( ? ? R) 4 4 4 4

4

( ? ? 0)

5 ? ? ? ( ? ? 0) 4

过极点的直线的极坐标 方程: (1)? ? ? 0或? ? ? 0 ? ? ( ? ? 0);(2)? ? ? 0 ( ? ? R).

两种特殊的直线的极坐标方程
问题4:求过点A(a ,0)(a ? 0)且与极轴垂直 的直线的极坐标方程 .

M

?
O

? cos? ? a
?

? ﹚

A M

x

问题5:求过点A(a , )(a ? 0)且与极轴平行 A 2 的直线的极坐标方程.

? sin? ? a
问题6:求过点A(a ,0)(a ? 0)且倾斜角为? 的直线的极坐标方程.

O

﹚?

?
x M

? sin(? ? ? ) ? a sin ?

O

? ﹚? A

?

x

一般的直线的极坐标方程
问题7:求过点A( ? 0 ,? 0 )且倾斜角为? 的直线的极坐标方程 .

?

M
A x

? sin(? ? ? ) ? ? 0 sin(? ? ? 0 )
(1)? 0 = 0, ?= 时, ? cos? ? ? 0 2 ( 2)? 0 = , ?= 0时, ? si n? ? ? 0 2

O

? ﹚ ?1 ﹚

?1

?

?


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