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【原创精品资料】2.5《函数的综合运用》错误解题分析

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2.5《函数的综合运用》错误解题分析
一、知识导学 1、在应用中深化基础知识。在复习中基础知识经历一个由分散到系统,由单一到综合的发 展过程。 这个过程不是一次完成的, 而是螺旋式上升的。 因此要在应用深化基础知识的同时, 使基础知识向深度和广度发展。 2、以数学知识为载体突出数学思想方法。数学思想方法是观念性的东西,是解决数学问题 的灵魂, 同时它又离不开具体的数学知识。 函数内容最重要的数学思想是函数思想和数形结 合的思想。此外还应注意在解题中运用的分类讨论、换元等思想方法。解较综合的数学问题 要进行一系列等价转化或非等价转化。因此本课题也十分重视转化的数学思想。 3、要重视综合运用知识分析问题解决问题的能力和推理论证能力的培养。函数是数学复习 的开始, 还不可能在大范围内综合运用知识。 但从复习开始就让学生树立综合运用知识解决 问题的意识是十分重要的。 推理论证能力是学生的薄弱环节, 近几年高考命题中加强对这方 面的考查, 尤其是对代数推理论证能力的考查是十分必要的。 本课题在例题安排上作了这方 面的考虑。 4、函数应用题主要研究如何利用函数思想解决生产实践中的实际问题,要求各位同学有较 宽的知识面,能读懂题意,然后对问题进行分析,灵活运用所学过的数学知识,建立量与量 的函数关系, 把实际问题材转化为函数问题, 通过对函数问题材的解决达到实际问题解决目 的。

二、疑难知识导析
1、为了能较快地解决函数综合问题,要求各位学生 ⑴在全面复习函数有关知识的基础上, 进一步深刻理解函数的有关概念, 全面把握各类函数 的特征,提高运用基础知识解决问题的能力。 ⑵掌握初等数学研究函数的方法, 提高研究函数的能力, 重视数形结合数学思想方法的运用 和推理论证能力的培养。 ⑶初步沟通函数与方程、 不等式及解析几何有关知识的横向联系, 提高综合运用知识解决问 题的能力。 ⑷树立函数思想,使学生善于用运动变化的观点分析问题。 2、对数学应用题的学习,是提高分析问题、解决问题能力的好途径。不少人在数学应用题 面前,束手无策;有的读不懂题意;有的不会归纳抽象、建模,因此要解好应用题,首先应
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加强提高阅读理解能力, 然后将普通语言转化为数学语言和数学符号, 实际问题转化为数学 问题,再运用数学方法、数学思想去解决问题。 三、经典例题导讲 [例 1] 不等式

log ( x 2 ? 2) (3x 2 ? 2 x ? 4) ? log ( x 2 ? 2 ) ( x 2 ? 3x ? 2).

【错解】 ? x 2 ? 2 ? 1,

?3x 2 ? 2x ? 4 ? x 2 ? 3x ? 2,
? 2 x 2 ? x ? 6 ? 0, ? x ? 3 或x ? ?2. 2 3 ) ,说明解 2

2 【错因】 当 x ? 2 时,真数 x ? 3x ? 2 ? 0 且 x ? 2 在所求的范围内(因 2 ?

法错误。原因是没有弄清对数定义。此题忽视了“对数的真数大于零”这一条件造成解法错 误,表现出思维的不严密性。 【正解】 ? x ? 2 ? 1
2

?3x ? 2 x ? 4 ? 0 ? ? ? x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ?3x 2 ? 2 x ? 4 ? x 2 ? 3x ? 2 ?
2

? 1 ? 13 1 ? 13 或x ? ?x ? 3 3 ? ? ? ? x ? 2或x ? 1 ? 3 ? x ? 或x ? ?2 ? 2 ?

? x ? 2或x ? ?2.
[例 2]将进价为 8 元的商品,按每件 10 元售出,每天可销售 0 件,若每件售价涨价 0。5 元, 其销售量就减少 10 件,问应将售价定为多少时,才能使所赚利润最大,并求出这个最大利 润。 【错解】 设每件售价提高 x 元, 利润为 y 元, y= (8 ? x)(200? 20x) ? 20[?( x ? 1) ? 81 则 ]
2

∴ x =1 时, y max ? 1620(元) 【错因】没理解题意,每天销售 0 件是在定价 10 元时的情况下,所设的应理解为在定价目 10 元的基础上,再每件售价提高 x 元,故利润每件应为(2+x)元,此时的销售量为(0- 20 x )元。 【正解】 设每件售价提高 x 元, : 利润为 y 元, y= (2 ? x)(200 ? 20x) = ? 20( x ? 4) ? 720 则
2

故当 x ? 4 ,即定价为 14 元时,每天可获得最大利润为 720 元。
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[例 3]某工厂改进了设备,在两年内生产的月增长率都是 m,则这两年内第二年三月份的产 值比第一年三月份的产值的增长率是多少? 【错解】设第一年三月份的产值为 a,则经过二年,三月份的产值是 a(1+m) ,则所求增长率 为
11

a(1 ? m)11 ? a ? (1 ? m)11 ? 1 ,或把第二年三月份的产值写为 a(1+m)13。 a
【错因】对增长率问题的公式 y ? N (1 ? p) x 未透彻理解而造成错解,或者是由于审题不细 致而造成题意的理解错误。若某月的产值是 a,则此后第 x 月的产值为 a(1 ? m) ,指数 x 是
x

基数所在时间后所跨过的时间间隔数。 【正解】:设第一年三月份的产值为 a,则第四个月的产值为 a(1+m),五月份的产值为 a(1+m) ,从此类推,则第二年的三月份是第一年三月份后的第 12 个月,故第二年的三月份 的产值是 a(1+m) ,又由增长率的概念知,这两年的第二年的三月份的产值比第一年的三月 份的产值的增长率为
12 2

a(1 ? m)12 ? a ? (1 ? m)12 ? 1 a

[例 4]在一个交通拥挤及事故易发生路段,为了确保交通安全,交通部门规定,在此路段内 的车速 v(单位:km/h)的平方和车身长 l (单位:m)的乘积与车距 d 成正比,且最小车距 不得少于半个车身长。假定车身长均为 l (单位:m)且当车速为 50(km/h)时,车距恰为 车身长,问交通繁忙时,应规定怎样的车速,才能使在此路段的车流量 Q 最大? (车流量=

车速 ) 车距 ? 车身长

2 【错解】 d ? kv l ,将 v ? 50 , d ? l 代入得 k ?

1 1 1 v 2 l ,又将 d ? l ,∴ d ? 2500 2500 2

代入得 v ? 25 2 ,由题意得 d ?

1 v 2 l ( v ? 25 2 ) 2500

将 Q=

1000 v = d ?l

1000v ( v ? 25 2 ) v2 l (1 ? ) 2500



1000 v 1000 1000 25000 ? ? ? 2 1 v l v ) l ?2 1 ? v l (1 ? ) l( ? v 2500 2500 v 2500

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∴当且仅当 v ? 50 时, Qmax ?

25000 l

综上所知, v ? 50 (km/h)时,车流量 Q 取得最大值。 【错因】上述解法中结果虽然正确,但解题过程中是错误的,即虽然车速要求 v ? 25 2 , 但在行驶过程中车速有可能低于 25 2 (km/h),所以解题材中应分两类情形求解,得分 段函数。

? 1 2 ? 2500v l (v ? 25 2 ) ? d ?? 【正解】:(1)依题意, ?1 l (v ? 25 2 ) ?2 ?

v ? 1000 (v ? 25 2 ) ? v2 ? l (1 ? ) 1000 ? v 2500 ?? 则Q ? d ? l ?1000 v (v ? 25 2 ) ? 3l ? ? 2
显然当 v ? 25 2 时,Q 是关于 v 的增函数,∴当 v ? 25 2 时, Qmax ?

1000 50000 2 v 3l 3l 2

当 v ? 25 2 时,Q=

1000 v = d ?l

1000 v 1000 1000 25000 ? ? ? 2 1 v l v ) l ?2 1 ? v l (1 ? ) l( ? v 2500 2500 v 2500

当且仅当 v ? 50 时,上式等号成立。 综上所述,当且仅当 v ? 50 时,车流量 Q 取得最大值。 [例 5] 定义在 R 上的函数 f ? x ? 满足:对任意实数 m, n ,总有 f ? m ? n ? ? f ? m? ? f ? n ? , 且当 x ? 0 时, 0 ? f ? x ? ? 1。 (1)试求 f ? 0 ? 的值; (2)判断 f ? x ? 的单调性并证明你的结论; (3)设 A ?

?? x, y ? f ? x ? ? f ? y ? ? f ?1??, B ? ?? x, y ? f ?ax ? y ? 2 ? ? 1, a ? R? , 若
2 2

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A ? B ? ? ,试确定 a 的取值范围。
(4)试举出一个满足条件的函数 f ? x ? 。 解:(1)在 f ? m ? n ? ? f ? m? ? f ? n ? 中,令 m ? 1, n ? 0 。得: f ?1? ? f ?1? ? f ? 0? 。 因为 f ?1? ? 0 ,所以, f ? 0? ? 1。 (2)要判断 f ? x ? 的单调性,可任取 x1 , x2 ? R ,且设 x1 ? x2 。 在已知条件 f ? m ? n? ? f ? m? ? f ? n 中,若取 m ? n ? x2 , m ? x1 ,则已知条件可化为: ?

f ? x2 ? ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? x1 ?



由于 x2 ? x1 ? 0 ,所以 1 ? f ? x2 ? x1 ? ? 0 。 为比较 f ? x2 ?、f ? x1 ? 的大小,只需考虑 f ? x1 ? 的正负即可。 在 f ? m ? n ? ? f ? m? ? f ? n ? 中,令 m ? x , n ? ?x ,则得 f ? x ? ? f ? ?x ? ? 1 。 ∵ x ? 0 时, 0 ? f ? x ? ? 1, ∴ 当 x ? 0 时, f ? x ? ?

1 ?1? 0 。 f ??x?

又 f ? 0? ? 1,所以,综上,可知,对于任意 x1 ? R ,均有 f ? x1 ? ? 0 。 ∴ f ? x2 ? ? f ? x1 ? ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? x1 ? ? 1? ? 0 。 ? ? ∴ 函数 f ? x ? 在 R 上单调递减。 (3)首先利用 f ? x ? 的单调性,将有关函数值的不等式转化为不含 f 的式子。

f ? x 2 ? ? f ? y 2 ? ? f ?1? 即x 2 ? y 2 ? 1 ,

f ax ? y ? 2 ? 1 ? f ? 0 ? ,即 ax ? y ? 2 ? 0 。
由 A? B ? ?, 所以, 直线 ax ? y ? 2 ? 0 与圆面 x ? y ? 1无公共点。 所以,
2 2

?

?

2 a2 ? 1

?1。

解得

?1 ? a ? 1 。

(4)如 f ? x ? ? ? ? 。
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?1? ? 2?

x

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【点评】根据题意,将一般问题特殊化,也即选取适当的特值(如本题中令 m ? 1, n ? 0 ; 以及 m ? n ? x2 , m ? x1 等)是解决有关抽象函数问题的非常重要的手段;另外,如果能找 到一个适合题目条件的函数,则有助于问题的思考和解决。 [例 6]设 a 为实数,函数 f ( x) ? x 2 ? | x ? a | ?1 , x ? R (1)讨论 f (x) 的奇偶性; (2)求 f (x) 的最小值。
2 解:(1)当 a ? 0 时,函数 f (? x) ? (? x) ? | ? x | ?1 ? f ( x)

此时, f (x) 为偶函数
2 2 当 a ? 0 时, f (a) ? a ? 1 , f (?a) ? a ? 2 | a | ?1 , f (a) ? f (?a) , f (a) ? ? f (?a)

此时 f (x) 既不是奇函数,也不是偶函数
2 2 (2)(i)当 x ? a 时, f ( x) ? x ? x ? a ? 1 ? ( x ? ) ? a ?

1 2

3 4

当a ?

1 ,则函数 f (x) 在 (??, a ] 上单调递减,从而函数 f (x) 在 (??, a ] 上的最小值为 2

f (a) ? a 2 ? 1。
1 1 3 1 ,则函数 f (x) 在 (??, a ] 上的最小值为 f ( ) ? ? a ,且 f ( ) ? f (a ) 。 2 2 4 2 1 2 3 2 (ii)当 x ? a 时,函数 f ( x) ? x ? x ? a ? 1 ? ( x ? ) ? a ? 2 4 1 1 3 1 若 a ? ? ,则函数 f (x) 在 (??, a ] 上的最小值为 f (? ) ? ? a ,且 f (? ) ? f (a ) 2 2 4 2 1 若 a ? ? ,则函数 f (x) 在 [a,??) 上单调递增,从而函数 f (x) 在 [a,??) 上的最小值为 2
若a ?

f (a) ? a 2 ? 1。
综上,当 a ? ? 当?

1 3 时,函数 f (x) 的最小值为 ? a 2 4

1 1 ? a ? 时,函数 f (x) 的最小值为 a 2 ? 1 2 2 1 3 当 a ? 时,函数 f (x) 的最小值为 ? a 。 2 4
【点评】(1)探索函数的奇偶性,可依据定义,通过 f (? x) ? f ( x) 代入有
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(? x) 2 ? | ? x ? a | ?1 ? x 2 ? | x ? a | ?1,即 | x ? a |?| x ? a |
可得,当 a ? 0 时, | x ? a |?| x ? a | ,函数 f (? x) ? f ( x) 函数为偶函数。 通过 f (? x) ? ? f ( x) 可得 化得

(? x) 2 ? | ? x ? a | ?1 ? ? x 2 ? | x ? a | ?1

2x 2 ? 2 ?| x ? a | ? | x ? a | 此式不管 a ? 0 还是 a ? 0 都不恒成立,所以函数不可

能是奇函数。 (2)由于本题中含有绝对值,需要去掉,故分类讨论,既要对二次函数值域的研究方法熟 练掌握,又要将结论综合,对学生的综合运用数学知识能力及数学思想作了较好的考查。 [例 7]某公司为帮助尚有 26。8 万元无息贷款没有偿还的残疾人商店,借出 20 万元将该商 店改建成经营状况良好的某种消费品专卖店,并约定用 该店经营的利润逐步偿还债务(所有债务均不计利息)。
60 q

已知该种消费品的进价为每件 40 元; 该店每月销售量 q (百件)与销售价 p(元/件)之间的关系用右图中的 一条折线(实线)表示;职工每人每月工资为 600 元, 该店应交付的其它费用为每月 130 元。 (1) 若当销售价 p 为 52 元/件时, 该店正好收支平衡, 求该店的职工人数; (2)若该店只安排 40 名职工,则该店最早可在几年后还清所有债务,此时每件消费品的价 格定为多少元? [分析]本题题目的篇幅较长,所给条件零散杂乱,为此,不仅需要划分段落层次,弄清每一 层次独立的含义和相互间的关系, 更需要抓住矛盾的主要方面。 由题目的问题找到关键词— —“收支平衡”、“还清所有债务”,不难想到,均与“利润”相关。 从阅读和以上分析,可以达成我们对题目的整体理解,明确这是一道函数型应用题。为此, 首先应该建立利润与职工人数、月销售量 q、单位商品的销售价 p 之间的关系,然后,通过 研究解析式,来对问题作出解答。 由于销售量和各种支出均以月为单位计量,所以,先考虑月利润。 解:(1)设该店的月利润为 S 元,有职工 m 名。则 S ? q ? p ? 40? ?100 ? 600m ?13200 。
24 1 40 58 81 p

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又由图可知: q ? ?

??2 p ? 140, ? ?? p ? 82 ?

? 40 ? p ? 58? 。 ? 58 ? p ? 81? ? 40 ? p ? 58 ? ?58<p ? 81?

所以, S ? ?

?? ?2 p ? 140 ?? p ? 40 ? ?100 ? 600m ? 13200 ? ?? ? p ? 82 ?? p ? 40 ? ?100 ? 600m ? 13200 ?

由已知,当 p ? 52 时, S ? 0 ,即 ? ?2 p ?140?? p ? 40? ?100 ? 600m ?13200 ? 0 , 解得 m ? 50 。即此时该店有 50 名职工。 (2)若该店只安排 40 名职工,则月利润

?? ?2 p ? 140 ?? p ? 40 ? ?100 ? 37200 ? S ?? ?? ? p ? 82 ?? p ? 40 ? ?100 ? 37200 ?

? 40 ? p ? 58? 。 ? 58<p ? 81?

当 40 ? p ? 58 时,求得 p ? 55 时,S 取最大值 7800 元。 当 58 ? p ? 81 时,求得 p ? 61 时,S 取最大值 6900 元。 综上,当 p ? 55 时,S 有最大值 7800 元。 设该店最早可在 n 年后还清债务,依题意,有 12n ? 7800 ? 268000 ? 200000 ? 0 。解得

n ? 5 。所以,该店最早可在 5 年后还清债务,此时消费品的单价定为 55 元。
【点评】求解数学应用题必须突破三关: (1)阅读理解关:一般数学应用题的文字阅读量都比较大,要通过阅读审题,找出关键词、 句,理解其意义。 (2)建模关:即建立实际问题的数学模型,将其转化为数学问题。 (3)数理关:运用恰当的数学方法去解决已建立的数学模型。

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