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2016高考数学(新课标全国卷Ⅱ·理科)二轮复习:高考热点追踪(二)

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专题二 三角函数与平面向量 高考热点追踪(二) 专题二 三角函数与平面向量 三角函数与平面向量的创新 一、三角函数定义中的创新 栏目 导引 专题二 三角函数与平面向量 (2015· 大连模拟 )如图,已知 l1⊥ l2,圆心在 l1 上、半径为 1 m 的圆 O 在 t= 0 时与 l2 相切于点 A,圆 O 沿 l1 以 1 m/s 的速度 匀速向上移动,

圆被直线 l2 所截上方圆弧长记为 x,令 y= cos x, 则 y 与时间 t(0≤ t≤ 1, 单位: s)的函数 y=f(t)的图象大致为( B ) 栏目 导引 专题二 三角函数与平面向量 [解析] 圆半径为 1,设弧长 x 所对的圆心角为 α,则 α=x,如 α x 2x 图所示,cos =1-t,即 cos = 1- t,则 y=cos x=2cos - 1 2 2 2 = 2(1- t)2-1=2(t-1)2- 1(0≤t≤1).其图象为开口向上,在[0, 1]上的一段抛物线. 栏目 导引 专题二 三角函数与平面向量 [名师点评 ] (1)本题巧妙地把三角函数与圆的知识相结合,弧长 x 因圆动而变,变中关系式不变,见证了数学中的“以静制动” , 求解此类问题的关键是充分利用图形的几何性质, 建立三角函数 关系式,熟练运用二次函数关系式判断其图象,求解时应注意 t 的范围. (2) 近 年 来 高 考 注 重 了 由 “ 静 态 数 学 ” 向 “ 动 态 数 学 ” 的 引 导.一般以简单几何图形的平移、滑动、滚动等形式,运用三角 知识考查学生分析问题、解决问题的能力. 栏目 导引 专题二 三角函数与平面向量 二、以平面向量为背景的新定义 称 d(a,b)= |a-b|为两个向量 a, b 间的“距离”.若向 量 a,b 满足:①|b|=1;② a≠b;③对任意的 t∈ R,恒有 d(a, tb)≥d(a,b),则( B ) A. a⊥b B.b⊥(a- b) C. a⊥(a-b) D. (a+b)⊥ (a-b) 栏目 导引 专题二 三角函数与平面向量 [解析 ] 由于 d(a,b)=|a- b|,因此对任意的 t∈ R,恒有 d(a, tb)≥d(a,b),即|a-tb|≥|a-b|,即(a-tb)2≥(a- b)2,t2-2ta· b +(2a· b-1)≥0 对任意的 t∈ R 都成立,因此有 (- 2a· b)2-4(2a· b -1)≤0,即 (a· b-1)2≤0,得 a· b- 1=0,故 a· b- b2= b· (a-b) =0,故 b⊥(a-b). [名师点评] (1)解决此类问题,首先需要分析新定义的特点,把 新定义所叙述的问题的本质弄清楚,通过转化思想解决,这是破 解新定义信息题难点的关键所在. (2)解答本题的关键是由 d(a, tb)≥d(a,b)转化为|a-tb|≥ |a-b|. 栏目 导引 专题二 三角函数与平面向量 一题多解(法)秀求模 已知点 A,B,C 在圆 x2+ y2= 1 上运动,且 AB⊥ BC.若点 → → → P 的坐标为 (2,0),则 |PA+PB+ PC|的最大值为( B ) A. 6 C. 8 B.7 D. 9 栏目 导引 专题二 三角函数与平面向量 [解析 ] 法一:连接 AC, AC 为 Rt△ ABC 的斜边,则 AC 为圆 → → x2+ y2=1 的一条直径,故 AC 必经过原点,如图,则PA+PC= → → →