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2016-2017年高一上10月月考


中央民族大学附中 2016-2017 学年高一第一学期 10 月月考试卷 数学(2016 年 10 月)
本试卷满分 120 分,考试时间 90 分钟 一、 选择题: 本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中, 选出符合题目要求的一项. 1. 设集合 A ? {1, 2, 4,6} ,B ? {2,3,5} , 则韦恩图中阴影部分表示

的集合为 ( A. ?2? B. ?3,5? C. ?1, 4,6? D. ?3,5,7,8? ) D.y ? x 2 ) D. y ? x )

2.下列函数中与函数 y ? x 是同一个函数的是( A. y ? ( x )2 B. y ?
x2 x

C. y ? 3 x 3

3. 下列给出的函数中,既不是奇函数也不是偶函数的是( A. y ?

2 x

B. y ? x3

C. y ? ? x2

4. 设集合 A= x 0 ? x ? 6 B 的映射的是( A. f:x→y= x
x x
1 2

?

? ,B= ?x 0 ? y ? 2 ? ,下列对应法则 f 不能建立从 A 到
f:x→y= x C. )
1 3

) B. f:x→y= x
1 4

D.

f:x→y= x

1 6

5. 函数 y ?

? x 的图象是(

? 1, x ? Q 3 6. 已知函数 f ( x ) ? [ x ? (取整函数) , 则 f ( g (? )) 的值为( , ] g ( x) ? ? 2 ? 0, x ? Q
A.1 A.
f ( 2) ? f (3) ? f (4)

)

B.0 B.
1

C.2
f (3) ? f ( 2) ? f (4)

D. ? )

7. 已知函数 f ( x) ? ? x2 ? 6x ? a2 ?1 ,那么下列式子中正确的是(

C. f ( 2) ? f (4) ? f (3) D. f (3) ? f (4) ? f ( 2) 8. 将进货单价为 80 元的商品按 90 元出售时,能卖出 400 个.若该商品每个涨 价 1 元,其销售量就减少 20 个,为了赚取最大的利润,售价应定为每个( ) A.115 元 B.105 元 C.95 元 D.85 元 ) 9. 已知函数 f ? x ? ? kx ?1在区间 (?1,1) 上存在零点, 则实数 k 的取值范围是 ( A. ?1 ? k ? 1 B. k ? 1 C. k ? ? 1 D. k ? ?1或k ? 1

? f ( x), f ( x) ? g ( x) 10. 函数 f ( x) ? ? x ?1 , g ( x) ? x2 ? 2 x ,定义 F ( x) ? ? , ? g ( x), f ( x) ? g ( x)
则 F ( x) 满足( ) B.只有最小值,没有最大值 D.既无最大值,也无最小值

A.既有最大值,又有最小值 C.只有最大值,没有最小值

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分.把答案填在题中横线上.

x2 11.函数 f ( x) ? 2 的定义域为{0,1},则值域为 x ?1
12.若 {( x, y) | ?



? x? y?2 ? 0 } ? {( x, y) | y ? 3x ? c} ,则 c ? ?x ? 2 y ? 4 ? 0



? x ? 2 , x ? ?1 ? ? 1 ? x ? 2 若 f ( x) ? 3 ,则 x 的值为 13. 已知函数 f ( x) ? ? x 2 , . ? 2x ?1 , x ? 2 ? 14. 已知偶函数 f ( x) 在 [0, ??) 上是单调函数,且图像经过 A(0, ?1) ,B(3,1) 两点, f ( x) ? 1 的解集为 .
2 15. 函数 f ( x) ? x ? 2bx ? 3 在 x ?[?1, 2] 时有最小值 1,则实数 b ?



16. 已知函数 y ? f ( x) 是定义在 [a, b] 上的增函数,其中 a, b ? R, 且0 ? b ? ?a. 设函 数 F ( x) ? [ f ( x)]2 ? [ f (? x)]2 ,且 F ( x) 不恒等于 0 ,则对于 F ( x) 有如下说法: ①定义域为 [?b, b] ②是奇函数 ③最小值为 0 ④在定义域内单调递增

其中正确说法的序号是

.(写出所有正确的序号)

2

三、解答题:本大题共 5 小题,共 56 分.解答应写出文字说明,证明过程或演 算步骤. 17. (本小题满分 10 分) 已知集合 A ? a 2,a ? 1, ? 3 , B ? ? 3 ? a, 2a ? 1,a 2 ? 1 ,若 A ? B ? ?? 3? ,求实 数 a 的值及 A ? B .

?

?

?

?

18.(本小题满分 12 分)
2 2 设全集是实数集 R , A ? x x ? 4 x ? 3 ≤ 0 , B ? x x ? m ? 0 .

?

?

?

?

(1)当 m ? 4 时,分别求 A ? B 和 A ? B ; (2)若 (CR A) ? B ? B ,求实数 m 的取值范围.

19. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x ?1 (1)求函数 f ( x) 的定义域; (2)判断函数 f ( x) 在定义域上的单调性,并用单调性的定义证明.

3

20. (本小题满分12分) 已知函数 f ( x) ? x ? x ? 2x . (1)判断函数 f ( x) 的奇偶性,并证明; (2)求函数 f ( x) 的零点; (3)画出 y ? f ( x) 的图象,并结合图象写出方程 f ( x) ? m 有三个不同实根时, 实数 m 的取值范围; (4)写出函数 f ( x) 的单调区间.
y

O

x

21 (本小题满分 10 分) 如 果 函 数 f ( x ) 满 足 : 在 定 义 域 D 内 存 在 x0 , 使 得 对 于 给 定 常 数 t , 有 成立,则称 f ( x) 为其定义域上的 t 级分配函数.研究下列 f ( x0 ? t ) ? f ( x 0 )? f ( t ) 问题: (1)判断函数 f ( x) ? 2 x 和 g ( x ) ? (2)问函数 ? ( x) ?
2 是否为 1 级分配函数?说明理由; x

a (a ? 0) 能否成为 2 级分配函数,若能,则求出参数 a 的 x ?1
2

取值范围;若不能请说明理由; (3)讨论是否存在实数 a ,使得对任意常数 t (t ? R) 函数 ? ( x) ?

a (a ? 0) 都 x ?1
2

是其定义域上的 t 级分配函数,若存在,求出参数 a 的取值范围,若不能请说明 理由.

4

中央民族大学附中高一数学月考试卷答题纸(2016 年 10 月)
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二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分.把答案填在下列对应横线上.

姓名__________________________

11. 13. 15.

.

12. 14. 16.

. .
.

.
.

三、解答题:本大题共 5 小题,共 56 分.解答应写出文字说明,证明过程或演 算步骤. 17. (本小题满分 10 分)

学校

班级

考号

5

18. (本小题满分 12 分)

19. (本小题满分 12 分)

6

20. (本小题满分 12 分)
y

O

x

7

21. (本小题满分 10 分)

8

民族大学附中 2016-2017 学年高一第一学期 10 月月考答案
1-5 B C D A 12. 2 D 6-10 A C 13. 2或 3 14. C D B
(?3,3)

1 11. { ,1} 2

15.

2或-

3 2

16. ①② 2分

17. 解:? A ? B ? ?? 3?且 B 中 a 2 ? 1 ? 1 ? 只有 a ? 3 ? ?3 或 2a ? 1 ? ?3
? a ? 0 或 a ? ?1 --------------

--4 分 6分 8分

① 当 a ? 0 时 A ? ?0,1,?3?, B ? ?? 3,?1,1?不满足题意舍去 ② 当 a ? ?1 时 A ? ? 1,0,?3?, B ? ?? 4,?3,2?满足题意

综上所述:实数 a 的值为 ? 1 , A ? B ? ?? 4,?3,0,1,2?.------------10 分 18.解:(Ⅰ)由 x 2 ? 4 x ? 3 ≤ 0 ,得 1 ≤ x ≤ 3 . 所以 A ? {x 1≤ x ≤ 3} .……1 分 当 m ? 4 时,由 x 2 ? 4 ? 0 ,解得 ?2 ? x ? 2 . 所以 B ? ?x ? 2 ? x ? 2? . 所以 A ? B ? {x 1≤ x ? 2} ,
A ? B ? ?x ? 2 ? x ≤ 3? .

………………………………………………2 分 ………………………………………………3 分 …………………………………………………4 分

(Ⅱ)因为当 (CR A) ? B ? B 时,有 B ? CR A={x x ? 1或x ? 3} (或者 A ? B ? ? )6 分 ①当 B ? ? 时,即 m ? 0 时, B ? x ? m ? x ? m . …7 分 要使 B ? CR A ,必须 m ≤ 1 . ②当 B ? ? 时,显然 m ? 0 . 综上可得实数 m 的取值范围是 (??,1] 此时
0 ? m ≤ 1 …………………………9 分

?

?

……………………………………10 分 ……………………………… 2分 3分 4分 ----------------5 分 12 分

19. 解:(Ⅰ)要使函数有意义,需使 x ? 1 所以函数 f ( x) ? x ?1 的定义域为 [1, ??) (2)函数 f ( x) ? x ?1 在 [1, ??) 上为增函数 证明:任取 x1 , x2 ? [1, ??) ,且 ?x ? x2 ? x1 ? 0 ,

所以 ?y ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? x2 ? 1 ? x1 ? 1 ---------------------------------------6 分

9

?

( x2 ? 1 ? x 1? 1)( x 2 ?1 ? x ? 1 1) x2 ? 1 ? x1 ? 1

?

( x2 ? 1 )? x (1 ? 1 ) ? x2 ? 1 ? x1? 1

x2( ? x1 ) x2 ? 1 ? x ? 1 1

10 分

因为 x2 ? x1 ? 0 且 x2 ? 1 ? x1 ? 1 >0 故 ?y ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0

11 分

所以函数 f ( x) 在 [1, ??) 上是增函数.-------------------------------------------------12 分 20.解(1)函数 f ( x) 为奇函数 证明:任取 x ? R , ? x ? R

f (? x) ? ? x? | ? x | ?2 x ? ? x? | x | ?2 x , ? f ( x) ? ?x ? x ? 2x , f (? x) ? ? f ( x) ,函数 f ( x) 为奇函数

3分

(2)令 f ( x) ? 0 , x? | x | ?2 x ? 0 ,所以 x(| x | ?2) ? 0 ,解得 x ? 0 或 | x |? 2 所以函数的零点为-2,0,2 (3)图略 8分 由图象可得实数 m 的取值范围为 (?1,1) 6分 9分 11 分 12 分

(4) f ( x) 的单调递增区间为 (??, ?1), (1, ??)
f ( x) 的单调递减区间为 (?1,1)

2 是 1 级分裂函数,则存在非参数 a 的取值范零实数 x0 , x 2 1 1 使得 ? ? 2 ,即 x0 ? ?2 ,所以函数 f ( x) ? 不是 1 级分裂函数. 2 分 x x0 ? 1 x0 若 f ( x) ? 2 x 是 1 级分裂函数, 即存在实数 x0 , 使得 2( x0 ? 1) ? 2 x0 ? 2 ,解得 x0 ? 1 ,

21. 解:(1)若 f ( x) ?

故 f ( x) ? 2 x 是 1 级分裂函数 (2)由题意, a ? 0 , D ? R .存在实数 x0 ,使得

3分

a ? ( x0 ? 2)2 ? 1
所以

a a , ? x ?1 5
2 0

4分 5分

a a 2 化简得 (a ? 5) x2 ? 4ax ? 5a ? 5 ? 0 ? 0 0 2 ( x0 ? 2)2 ? 1 5( x0 ? 1)

当 a ? 5 时, x0 ? ?1 ,符合题意 当 a ? 0 且 a ? 5 时,由△ ? 0 得 16a2 ? 4(a ? 5)(5a ? 5) ? 0 ,化简得
a2 ? 3 0 a? 2? 5 ,解得 0 a ?[15 ?10 2,5) ? (5,15 ?10 2] .

7分 10 分

综上,实数 a 的取值范围是 [15 ?10 2 ,15 ? 10 (3)存在, a ? 1

2] .

10


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