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高考大题-空间几何


高三数学

空间几何
例 1、如图, 在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC=3,BC=4,AA1=4, AB 求证:AC1 //平面 CDB1;

? 5 ,点 D 是 AB 的中点,

(I)求证:AC⊥BC1; (II)

D

2.如图所示,在平行六面体 AB

CD—A1B1C1D1 中,O 是 B1D1 的中点, 求证:B1C∥平面 ODC1.

3. 如图,在四棱锥 P ?

ABCD

中,底面 ABCD 是正方形,侧棱 PD ? 底面 ABCD,

PD ? DC ,E 是 PC 的中点,作 EF ? PB 交 PB 于点 F.
(1)证明

PA ∥平面 EDB ;

(2)证明 PB ? 平面 EFD.

\

高三数学
练习 1.如图,三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 的所有棱长都相等,且

A1 A ? 底面 ABC ,

D 为 C1C 的中点, AB1 与 A1 B 相交于点 O ,连结 OD ,
(1) 求证: OD // 平面

ABC ; (2)求证: AB1 ? 平面 A 1BD 。

2.如图所示,四边形 且 BF

ABCD 为矩形, AD ? 平面 ABE , F 为 CE 上的点, AE ? EB ? BC ? 2 , F 为 CE 上的点,

? 平面 ACE AE ? 平面 BCE ;
D C

(1)求证: (2)求证:

AE // 平面 BFD ;

(3)求三棱锥 C ? BGF 的体积。 A

G






3.如图,在底面是正方形的四棱锥 P ? (1)证明 PA

ABCD 中, PA ? AC ? 2 , PB ? PD ? 6 。

? 平面 ABCD ; (2)已知点 E 在 PD 上,且 PE : ED ? 2 :1 ,点 F 为棱 PC 的中点,证明 BF // 平面 AEC ; (3)求四面体 FACD 的体积.

高三数学

AD ? 2AB ? 4 , E 、 F 分别是线段 AB 、 BC 的中点, PA ? 平面 ABCD . P (1)证明: PF ? FD ; (2)在 PA 上找一点 G ,使得 EG // 平面 PFD .
4. 矩形 ABCD 中

A E B F
第 22 题图

D

C

5. 如图,在直三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 中, ?ACB (1)证明:

? 90? , AB ? 2 , BC ? 1 , AA1 ? 3 .
A A1

A1C ? 平面 AB1C1 ;

(2)若 D 是棱 CC1 的中点,在棱

AB 上是否存在一点
C B D B1 C1

E ,使 DE // 平面 AB1C1 ?证明你的结论.

高三数学
1.证明: (1)取

AB 的中点 G ,连结 OG 、 GC ,可以证明 OD // GC ,故 OD // 平面 ABC .
AB1 ? A1B .连结 AD 、 B1D ,

(2)由题意四边形 A 1B 1BA 是正方形,则 易证得 Rt ?ADC ≌ Rt ?B1C1D ,故 又O 为

AD ? B1D ,

AB1 的中点,故 OD ? AB1 ,∴ AB1 ? 平面 A1BD

2. (1)证明:∵

AD ? 平面 ABE , AD // BC ,
? 平面 ABE ,则 AE ? BC
D C

∴ BC 又? BF

? 平面 ACE ,则 AE ? BF

G


? AE ? 平面 BCE
(2)证明:由题意可得 G 是

AC 的中点,连接 FG





? BF ? 平面 ACE ,则 CE ? BF ,
而 BC

? BE ,? F 是 EC 中点 AE ,? AE // 平面 BFD



在 ?AEC 中, FG //

(3)解:? AE // 平面 BFD ,? AE // FG , 而? AE

? 平面 BCE ,? FG ? 平面 BCF

? G 是 AC 中点, F 是 CE 中点, ? FG // AE 且 FG ?

1 AE ? 1 , 2 1 CE ? CF ? 2 , 2

? BF ? 平面 ACE ,? BF ? CE , ? Rt ?BCE 中, BF ?

1 1 1 2 ? 2 ? 1 ?VC ? BG F ? VG ? BC F ? ? S ?CFB ?FG ? 。 2 3 3 ABCD AC ? 2 3. (1)证明:因为在正方形 中 ? S?CFB ?


AB ? AD ? 2
? AB 2 ? 6 ? PB 2 。

可得在 ?PAB 中, PA2 所以 PA ?

AB ,同理可得 PA ? AD , 故 PA ? 平面 ABCD
(2)取 PE 中点 M ,连接 FM , BM , 连接 BD 交 ∵ ∴

AC 于 O ,连接 OE ,

F

、 M 分别是 PC 、 PF 的中点,

FM // CE ,

高三数学

FM // 平面 AEC , 又 E 是 DM 的中点,故 OE // BM , ∴ BM // 平面 AEC ,故平面 BFM // 平面 AEC ∴ BF // 平面 AEC
∴ (3)连接 OF ,则 FO // PA ,因为 PA 所以 FO

? 平面 ABCD ,则 FO ? 平面 ABCD

? 1 ,又 ?ACD 的面积为 1 ,故四面体 FACD 的体积

1 . 3

AF ,在矩形 ABCD 中, AD ? 2AB ? 4 , F 是线段 BC 的中点,故 AF ? FD . ? 平面 ABCD ,∴ PA ? FD . P ∴ FD ? 平面 PAF ,∴ PF ? FD . (2) 过 E 作 EH // FD 交 AD 于 H ,则 EH // 平面 PFD , D A E 1 且 AH ? AD . 再过 H 点作 HG // DP 交 PA 于 G , C B 4 F 第 22 题 1 则 HG // 平面 PFD ,且 AG ? AP . 图 4 1 ∴ 平面 EHG // 平面 PFD .∴ EG // 平面 PFD .故满足 AG ? AP 的点 G 为所找. 4
4. (1) 证明:连结 又∵ PA 5. (1)证明:∵ ?ACB ∵

? 90? ,∴ BC ? AC .∵三棱柱 ABC ? A1B1C1 为直三棱柱,∴ BC ? CC1 .

AC ? CC1 ? C ,∴ BC ? 平面 ACC1 A1 .∵ AC ? 平面 ACC1 A1 ,∴ BC ? AC 1 1 ,
. ? AC 1

∵ BC // B1C1 ,则 B1C1 在 Rt?ABC 中, ∵ ∴

A

A1

AB ? 2 , BC ? 1 ,∴ AC ? 3 .

E C B F D B1 C1

AA1 ? 3 ,∴四边形 ACC1 A1 为正方形.
AC ? AC1 .∵ B1C1 ? AC1 ? C1 ,∴ A1C ? 平面 AB1C1 1

(2)当点 E 为棱 ∵

AB 的中点时, DE // 平面 AB1C1 .证明如下:

取 BB1 的中点 F ,连 EF 、 FD 、 DE ,

D 、 E 、 F 分别为 CC1 、 AB 、 BB1 的中点,
AB1 .∵ AB1 ? 平面 AB1C1 , EF ? 平面 AB1C1 ,∴ EF // 平面 AB1C1 . AB1C1 .
∵ EF

∴ EF //

同理可证 FD // 平面 ∵ DE

? FD ? F ,

∴平面 EFD // 平面

AB1C1 .

? 平面 EFD ,

∴ DE // 平面

AB1C1 .


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