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2.3变量间的相关关系

时间:2016-12-17


函数关系:

函数是研究两个变量之间的依存关 系的一种数量形式。对于两个变量,如 果当一个变量的取值一定时,另一个变 量的取值被惟一确定,则这两个变量之 间的关系就是一个函数关系。
函数关系是一种确定的关系。

例:在一条高速公路上,一辆轿车以80千米/时 的速度匀速行驶.随着时间t的变化汽车行驶的 路程s也相应发生着变化.

r />
1、函数关系式:s = 80t 2、列表:
所用时间t(小时) 1 路程 s(千米) 80 2 3 160 240

3、图像:

S(千米)

320 240

160
80
0

1

2

3

4

t( 时 )

小明,你数学成绩不太好, 学不好数学 ,物理 物理怎么样 ? 也是学不好的

?????... . 也不太好啊

你觉得老师的说法对吗?
数学 成绩 学习 兴趣 物理成绩

花费 时间

其他 因素

如果我们把数学成绩和物理成绩 看成是两个变量,那么这两个变量之间 的关系是函数关系吗?

两个变量间的相关关系:
自变量取值一定时,因变量的取值带 有一定随机性的两个变量之间的关系,叫 做相关关系.

相关关系是一种非确定的关系。
相关关系和函数关系的相同点: 两者均是指两个变量间的关系。

生活中存在许多相关关系的问题: 1、 商品销售收入

?
广告支出经费

2、

粮食产量

?

施肥量

3、 人体内脂肪含量

?

年龄

练习1: 有关法律规定,香烟盒上必须印 上“吸烟有害健康”的警示语.吸烟是 否一定会引起健康问题?你认为“健 康问题不一定是由吸烟引起的,所以 可以吸烟”的说法对吗?

练习2:

某地区的环境条件适合天鹅栖息繁衍, 有人统计发现了一个非常有趣的现象,如果 村庄附近栖息的天鹅多,那么这个村庄的婴 儿出生率也高,天鹅少的地方婴儿的出生率 低.于是,他就得出一个结论:天鹅能够带 来孩子,你认为这样得到的结论可靠吗?如 何证明这个结论的可靠性?

答:从现在我们掌握的知识来看,没有发现根 据说明“天鹅能够带来孩子”,完全可能存在 既能吸引天鹅和又使婴儿出生率高的第3个因 素(例如独特的环境因素),即天鹅与婴儿出 生率之间没有直接的关系,因此“天鹅能够带 来孩子”的结论不可靠. 而要证实此结论是否可靠,可以通过实验 来进行.相同的环境下将居民随机地分为两组, 一组居民和天鹅一起生活(比如家中都饲养天 鹅),而另一组居民的附近不让天鹅活动,对 比两组居民的出生率是否相同.

在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究 中,研究人员获得了一组样本数据:
年龄 23 脂肪 9.5 年龄 53 27 39 41 45 49 50 17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2 54 56 57 58 60 61

脂肪 29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2 34.6

根据上述数据,人体的脂肪含量与年龄之 间有怎样的关系?(其中各年龄对应的脂肪数据 是这个年龄人群脂肪含量的样本平均数。)

年龄 23 脂肪 9.5 年龄 53

27 54

39 56

41 57

45 58

49 60

50 61

17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2

脂肪 29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2 34.6
思考1:对某一个人来说,他的体内脂肪含量不 一定随年龄增长而增加或减少,但是如果把很 多个体放在一起,就可能表现出一定的规律性. 观察上表中的数据,大体上看,随着年龄的增 加,人体脂肪含量怎样变化?

年龄 23 脂肪 9.5 年龄 53

27 54

39 56

41 57

45 58

49 60

50 61

17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2

脂肪 29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2 34.6
思考2:为了确定年龄和人体脂肪含量之间的更 明确的关系,我们需要对数据进行分析,通过作 图可以对两个变量之间的关系有一个直观的印象. 以x轴表示年龄,y轴表示脂肪含量,你能在直角 坐标系中描出样本数据对应的图形吗?

y 脂肪含量 40 30

20
10 0 10 20 30 40 50 60 年龄

1、概念:在平面直角坐标系中,表示具有相关关系 的两个变量的一组数据图形,称之为散点图. 2、作用:用来判断两个变量是否具有相关关系.

y 脂肪含量 40 30
20

10
0 10 20 30 40 50 60 年龄

从散点图可以看出,年龄越大,体内脂肪含 量越高.两变量之间确实存在一定的关系。

y 脂肪含量 40 30
20

10
0

10

20 30 40 50 60

年龄

在上面的散点图中,这些点散布在从左下角 到右上角的区域,对于两个变量的这种相关 关系,我们将它称为正相关.

y 脂肪含量 40 30
20

10
0

10

20 30 40 50 60

年龄

正相关变化趋势: 一个变量随另一个变量的变大而变大。

1、如果两个变量成负相关,从整体上看这两 个变量的变化趋势如何? 一个变量随另一个变量的变大而变小. 2、其散点图有什么特点? 散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域. 3、你能列举一些生活中的变量成正相关或负 相关的实例吗?

练习1: 在下列两个变量的关系中,哪些是相关关系?
(1)汽车行驶路程与速度之间的关系; (2)作文水平与课外阅读量之间的关系; (3)吸烟与癌症的发生率之间的关系; (4)正方形边长与面积之间的关系;

(5)降雪量与交通事故的发生率之间的关系.

2、以下是某地搜集到的新房屋的销售价格和房 屋的面积的数据:
房屋面积 (平方米) 销售价格 (万元) 61 70 115 110 80 135 105

12.2 15.3 24.8 21.6 18.4 29.2

22

画出数据对应的散点图,并指出销售价格与房 屋面积这两个变量是正相关还是负相关.

探究:进一步考虑的问题是,当人的年龄增加 时,体内脂肪含量到底是以什么方式增加呢?
y 脂肪含量

40 30
20

10
0

10

20 30 40 50 60

年龄

y 脂肪含量 40 30 20 10

0

10

20 30 40 50 60

年龄

从散点图可看出,这些点大致分布在通过散点 图中心的一条直线附近。

如果散点图中点的分布从整体上看大致在 一条直线附近,我们就称这两个变量之间 具有线性相关关系,这条直线就叫做回归 直线。 这条回归直线的方程,简称为回归方程。

探究:如何求出这个回归方程呢? 1、每个同学画的直线相同吗? 2、你认为回归直线有很多条吗?
y 脂肪含量 40 30

20
10 0 10 20 30 40 50 60 年龄

方案一(测量法):先画一条直线,测量出各 点到它的距离,然后移动直线,到达一个使距 离之和最小的位置,测量出此时直线的斜率和 截距,就得到回归方程。
脂肪含量
40 35 30 25 20 15 10 5 0 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 年龄

方案二: 在图中选取两点画直线,使得 直线两侧的点的个数基本相同。
脂肪 40 30 20 10 0 0 20 40 60 80

脂肪

方案三: 在散点图中多取几组点,确定几条直 线的方程,分别求出各条直线的斜率和截距的 平均数,将这两个平均数作为回归方程的斜率 和截距。
脂肪 40 30 20 10 0 0 20 40 60 80

脂肪

求回归方程的关键是如何用数学的方法来刻画 “从整体上看,各点与直线的距离最小”。

讨论:对一组具有线性相关关系的样本数据:
(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),如何表达这 些点与一条直线 y ? bx ? a ,之间的距离。

我们可以用点(xi,yi)与这条直线上横 坐标为xi的点之间的距离来刻画点(xi,yi)到 直线的远近.即用

yi ? ?bxi ? a? (i ? 1,2,3,?, n)
来表示点(xi,yi)到直线的远近。
(x1,y1)
(xi , yi) (xn , yn)

(x2 , y2)

用这n个距离之和来刻画各点到直线 的“整体距离”是比较合适的,即可以 n 用 ? yi ? ?bxi ? a ?

表示各点到直线 y ? bx ? a 的“整体距 离”. y ? ?bx ? a?
(x1,y1) (xi , yi)
i i

i ?1

(xn , yn)

(x2 , y2)

由于绝对值使得计算不方便,在实 际应用中人们更喜欢用
Q ? ? y1 ? bx1 ? a? ? ? y2 ? bx2 ? a? ? ?? ? yn ? bxn ? a?
2 2 2

这样,问题就归结为:当a,b取什 么值时Q最小?即点到直线 y ? bx ? a 的“整体距离”最小.

根据有关数学原理推导a,b的值由下 列公式给出
b?
?

? ?x ? x ??y
n i ?1 i n i ?1 i

i

?y
2

? ? x y ? nx y
n

? ?x ? x ?
?

?

i ?1 n

i

i

?x
i ?1

2

i

? nx

2

a ? y ?b x

?

这样通过求此式的最小值而得到 回归直线的方法,即使得样本数据的 点到回归直线的距离的平方和最小的 方法叫做最小二乘法.

例 有一个同学家开了一家小卖部,他为了研
究气温对热饮销售的影响,经过统计,得到 一个卖出的热饮杯数与当天气温的对比表:
摄氏温度/oC 热饮杯数
摄氏温度/oC 热饮杯数

-5 156
19 104

0 150
23 89

4 132
27 93

7 128
31 76

12 130
36 54

15 116

摄氏温度/oC 热饮杯数 摄氏温度/oC 热饮杯数

-5 156 19 104

0 150 23 89

4 132 27 93

7 128 31 76

12 130 36 54

15 116

(1)画出散点图; (2)从散点图中发现气温与热饮销售杯数之 间关系的一般规律; (3)求回归方程; (4)如果某天的气温是2℃,预测这天卖出的 热饮杯数。

求回归方程的步骤:
第一步,计算平均数 第二步,求和
n i ?1 i

x
i

,
n

y
i ?1

?x y

2 x ,? i

第三步,利用公式计算

a 和b
? ?

?

?

的值
?

第四步,写出回归方程

y ?bx?a

回归方程被样本数据惟一确定,各样本 点大致分布在回归直线附近.对同一个总体, 不同的样本数据对应不同的回归直线,所以 回归直线也具有随机性. 对一组样本数据,应先作散点图,在具 有线性相关关系的前提下再求回归方程.如果 一组数据不具有线性相关关系,即不存在回 归直线,那么所得的“回归方程”是没有实 际意义的.


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