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数学选修2-3第1章第1节第二课时知能优化训练

时间:2012-03-16


1.(2010 年高考湖北卷)现有 6 名同学去听同时进行的 5 个课外知识讲座,每名同学可 自由选择其中的 1 个讲座,不同选法的种数是( ) A.56 B.65 5×6×5×4×3×2 C. 2 D.6×5×4×3×2 解析:选 A.依题意知,每位同学都各有 5 种不同的选择,由乘法原理可知,满足题意 的选法种数为 56. 2.从 0,1,2,3,4,5 这六个数字中,任取两

个不同数字相加,其和为偶数的不同取法的种 数有( ) A.30 B.20 C.10 D.6 解析:选 D.从 0,1,2,3,4,5 六个数字中,任取两数和为偶数可分为两类,①取出的两数都 是偶数,共有 3 种方法,②取出的两数都是奇数,共有 3 种方法,故由加法原理共有 N=3 +3=6 种. 3.某通讯公司推出一组手机卡号码,卡号的前七位数字固定,从 “×××××××0000”到“×××××××9999”共 10000 个号码. 公司规定: 凡卡号的 后四位带有数字“4”或“7”的一律作为“优惠卡”,则这组号码中“优惠卡”的个数为( ) A.2000 B.4096 C.5904 D.8320 解析:选 C.可从反面考虑,卡号后四位数不带“4”或“7”的号码共有 8×8×8×8= 4096(个),所以符合题意的号码共有 10000-4096=5904(个),故选 C. 4.(2011 年高考北京卷)用数字 2,3 组成四位数,且数字 2,3 至少都出现一次,这样的四 位数共有________个.(用数字作答) 解析: 因为四位数的每个数位上都有两种可能性, 其中四个数字全是 2 或 3 的情况不合 题意,所以适合题意的四位数有 24-2=14 个.故填 14. 答案:14

一、选择题 1.5 位同学报名参加两个课外活动小组,每位同学限报其中的一个小组,则不同的报 名方法共有( ) A.10 种 B.20 种 C.25 种 D.32 种 解析: D.5 位同学报名参加两个活动小组, 选 则根据分步乘法计数原理知共分 5 步完成, 每位同学均有 2 种不同的报名方法.所以共有 N=2×2×2×2×2=25=32(种)报名方法.故 选 D. 2.同室四人各写一张贺年卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡, 则四张贺年卡不同的分配方式有( )

A.6 种 B.9 种 C.11 种 D.23 种 解析:选 B.法一:设四张贺卡分别记为 A,B,C,D.由题意,某人(不妨设为 A 卡的供 卡人)取卡的情况有 3 种,据此将卡的不同分配方式分为三类,对于每一类,其他人依次取 卡分步进行.为了避免重复或遗漏现像,我们用“树状图”表示,如图.

∴共有 9 种不同的分配方式,故选 B. 法二:让四人 A、B、C、D 依次拿一张别人送出的贺年卡,则可以分四步:第一步: 如果 A 先拿,有 3 种不同的方法;第二步:让被 A 拿走的那张贺年卡的人拿,共有 3 种不 同的取法;第三、四步:剩下的两个人都各有 1 种取法.由分步乘法计数原理,四张贺年卡 不同的分配方式有 3×3×1×1=9 种. 3.(2010 年高考安徽卷)甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线,乙也从该 正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线,则所得的两条直线相互垂直的概率是( ) 3 A. 18 4 B. 18 5 C. 18 6 D. 18 解析:选 C.甲从正方形的 4 个顶点确定的 6 条直线中选 1 条,有 6 种方法,乙选 1 条 也有 6 种方法,根据乘法原理可知,得到 2 条直线共有 6×6=36 种方法. 完成“得到 2 条直线垂直”这件事,按“边”和“对角线”分类如下: 第一类:甲从正方形的 4 条边确定的直线中取 1 条,有 4 种方法,乙取相邻边确定的直 线,有 2 种方法. 依据乘法原理,有 4×2=8 种方法. 第二类:甲从正方形的 2 条对角线确定的直线中取 1 条,有 2 种方法,乙取剩下的 1 条,有 1 种方法. 依据乘法原理,有 2×1=2 种方法. 由加法原理可知,得到 2 条直线垂直共有 8+2=10 种方法. 10 5 故所求概率为 = . 36 18 4.从黄瓜、白菜、油菜、扁豆 4 种蔬菜品种中选出 3 种,分别种在不同土质的三块土 地上,其中黄瓜必须种植,不同的种植方法有( ) A.24 种 B.18 种 C.12 种 D.6 种 解析:选 B.法一:(直接法)若黄瓜种在第一块土地上, 则有 3×2×1=6 种不同种植方法. 同理,黄瓜种在第二块、第三块土地上,均有 3×2×1=6 种不同种植方法. 故不同的种植方法共有 6×3=18 种. 法二:(间接法)从 4 种蔬菜中选出 3 种,种在三块地上,有 4×3×2=24 种,其中不种 黄瓜有 3×2×1=6 种,故共有不同种植方法 24-6=18 种.

5.(2010 年高考天津卷)如图所示,用四种不同颜色给图中的 A,B,C,D,E,F 六个 点涂色,要求每个点涂一种颜色,且图中每条线段的两个端点涂不同颜色.则不同的涂色方 法共有( ) A.288 种 B.264 种 C.240 种 D.168 种 解析:选 B.先涂 A、D、E 三个点,共有 4×3×2=24 种涂法,然后再按 B、C、F 的顺 序涂色,分为两类:一类是 B 与 E 或 D 同色,共有 2×(2×1+1×2)=8 种涂法;另一类是 B 与 E 或 D 不同色,共有 1×(1×1+1×2)=3 种涂法.所以涂色方法共有 24×(8+3)=264 种.故选 B. 6.用 1,2,3 三个数字组成一个四位数,规定这三个数必须全部使用,且同一数字不能相 邻出现,这样的四位数有( ) A.36 个 B.18 个 C.9 个 D.6 个 解析:选 B.分 3 步完成,1,2,3 这三个数中必有某一个数字被使用 2 次. 第 1 步,确定哪一个数字被使用 2 次,有 3 种方法; 第 2 步,把这 2 个相同的数字排在四位数不相邻的两个位置上有 3 种方法; 第 3 步,将余下的 2 个数字排在四位数余下的两个位置上,有 2 种方法. 故有 3×3×2=18 个不同的四位数. 二、填空题 7.从 1 到 200 的自然数中,各个数位上都不含 8 的自然数有________个. 解析:由题意知:可分为三类,①第一类:一位数中除 8 以外符合要求的数有 8 个,② 第二类:两位数中,十位数字除 8,0 以外有 8 种选法,个位数字除 8 以外有 9 种选法,共有 两位数 8×9=72(个)符合题意,③第三类:三位数中,百位数字为 1,十位数字和个位数字 除 8 以外均有 9 种选法,共有 9×9=81 种,另外 200 这个数字也满足题意,故共有 N=8 +72+81+1=162(个). 答案:162 8.在一块并排 10 垄的田地中,选择 2 垄分别种植 A、B 两种作物,每种作物种植一垄, 为有利于作物生长,要求 A、B 两种作物的间隔不小于 6 垄,则不同的选垄方法有________ 种.(用数字作答) 解析:

分两步:第一步,先选垄,如图.共有 6 种选法. 第二步,种植 A、B 两种作物,有 2 种选法. 因此,由分步乘法计数原理,不同的选垄种植方法有 6×2=12 种. 答案:12 9.从 1,2,3,4,7,9 六个数中,任取两个数作对数的底数和真数,则所有不同的对数的值 的个数为________.

解析:(1)当取 1 时,1 只能为真数,此时对数的值为 0. (2)不取 1 时,分两步: ①取底数,5 种; ②取真数,4 种. 其中 log23=log49,log32=log94,log24=log39,log42=log93, ∴N=1+5×4-4=17. 答案:17 三、解答题 10. 电视台在“欢乐今宵”节目中拿出两个信箱, 其中放着竞猜中成绩优秀的观众的来 信,甲信箱中有 30 封,乙信箱中有 20 封,现由主持人抽奖确定幸运观众,若先确定一名幸 运之星,再从两信箱中各确定一名幸运观众,有多少种不同的结果? 解:分两类: 第 1 类,幸运之星在甲箱中抽,选定幸运之星,再在两箱中各抽一名幸运观众有 30×29×20=17400(种); 第 2 类,幸运之星在乙箱中抽,有 20×19×30=11400 种. ∴共有不同结果 17400+11400=28800(种). 11.8 张卡片上写着 0,1,2,…,7 共 8 个数字,取其中的三张卡片排放在一起,可组成 多少个不同的三位数? 解:先排放百位,从 1,2,…,7 共 7 个数中选一个有 7 种选法;再排十位,从除去百 位的数外,剩余的 7 个数(包括 0)中选一个,有 7 种选法;最后排个位,从除前两步选出的 数外,剩余的 6 个数中选一个,有 6 种选法.由分步乘法计数原理,共可以组成 7×7×6= 294 个不同的三位数. 12.把一个圆分成 3 块扇形,现在用 5 种不同的颜色给 3 块扇形涂色,要求相邻扇形的 颜色互不相同,问(1)有多少种不同的涂法?(2)若分割成 4 块扇形呢? 解:(1)不同涂色方法数是:5×4×3=60(种);

(2)如右图所示,分别用 a,b,c,d 记这四块, a 与 c 可同色,也可不同色,先考虑给 a,c 两块涂色,分两类: ①给 a,c 涂同种颜色共 5 种涂法,再给 b 涂色有 4 种涂法,最后给 d 涂色也有 4 种涂 法,由乘法原理知,此时共有 5×4×4 种涂法; ②给 a,c 涂不同颜色共有 5×4 种涂法,再给 b 涂色有 3 种方法,最后给 d 涂色也有 3 种方法,此时共有 5×4×3×3 种涂法. 故由加法原理知,共有 5×4×4+5×4×3×3=260 种涂法.


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